21.2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过回顾y=a(x-h)²+k的性质导入，以配方法为支架，从具体例子配方过渡到一般式推导，构建前后知识联系。 其亮点是步骤化呈现配方法（提、配、化），结合典型例题与分层练习，培养运算能力和推理意识（数学思维），通过具体到一般的抽象发展数学眼光，结构化小结梳理知识。学生能掌握转化方法，教师可利用清晰流程提升教学效率。

第21章　二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 回顾复习 二次函数的图象和性质 你目前学会了哪种函数的图象的画法呢？ 探索新知 知识点1 我们已经熟悉函数y=a(x－h)2+k的图象特点，能否利用这些知识探讨y=x²8x7的图象和性质？ 思考：能不能把y=x²8x7化成y=a(x－h)2+k的形式，用什么方法呢？ 能，用配方法. 配方可得 y=x²8x7 =-2(x²+4x+4)-7+8 = -2 (x+2)²+1. 想一想：配方法的技巧及步骤是什么？ 配方的步骤： (1)“提”：提出二次项系数. (2)“配”：括号内配成完全平方的形式. (3)“化”：化成顶点式. 提示：配方所得二次函数表达式通常称为顶点式. y=x²8x7 配方 y=-2(x+2)²+1 (1)你能说出y=x²8x7的图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数的最值吗？ 函数y=x²8x7的图象是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(-2,1)，对称轴是直线x=-2，函数的最大值为1. 想一想： (2)二次函数y=x+2)²+1图象可以看作是由y=x²怎样平移得到的？ 平移方法1： 先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的. 平移方法2： 先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的. 画出抛物线y=-2x²-8x-7. ①列表： ②描点、连线： x … -2 -1 0 … y=-2x²-8x-7 … 1 -1 -7 … 新知引入 知识点2 如果将函数y=ax²+bx+c配方，则有 y=ax²+bx+c =a[x²+x+()²-()²]+c =a(x+)²-+c = a(x+)²+ . 一般地，二次函数y=ax²+bx+c可以通过配方化成y=a(x+h)²+k的形式，即 y=ax²+bx+c=a(x+ )²+ . 因此，抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标是： （- ， ）; 对称轴是：直线x=- . 二次函数y=ax²+bx+c的图象特点和函数性质如下： y=ax²+bx+c a＞0 a＜0 函数图象 图象特点 抛物线开口方向 抛物线顶点坐标 抛物线对称轴 函数性质 函数增减情况 函数最大值或最小值 开口向上 开口向下 直线 直线 当x>时，y随x的增大而增大； 当x< 时，y随x的增大而减小 当x>时，y随x的增大而减小； 当x< 时，y随x的增大而增大 当x=时，y取得最小值，y最小值= 当x=时，y取得最大值，y最大值= 典型例题 例1 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A．b≥－1 B．b≤－1 C．b≥1 D．b≤1 解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴 ，即b≤1，故选择D . D 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确； 由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确． 【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确； 由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确； 随堂练习 1、抛物线y=x²-2x+3的对称轴是直线( ) A.x=1 B.x=2 C.x=-1 D.x=-2 2、二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，根据图象可得( ) A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a<0,b<0,c>0 D.a<0,b>0,c>0 A C 3、用配方法将二次函数y=x²-8x-9化为y=a(x+h)²+k的形式为( ) A.y=(x-4)²+7 B.y=(x-4)²-25 C.y=(x+4)²+7 D.y=(x+4)²-25 4、已知抛物线C的表达式为y=ax²+bx+c,则下列说法中错误的是（ ） A.a确定抛物线的开口方向与大小 B.若将抛物线C沿y轴平移，则a,b的值不变 C.若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变 D.若将抛物线C沿直线l:y=x+2平移，则a,b,c的值全变 A D 拓展提升 1.已知 ， ， 是抛物线 上的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． C 2.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( ) 解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A. A 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ） A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④ x y O 2 x=-1 B 二 次 函 数 y= ax2+bx+c的 图 象 和 性 质 配方：确定对称轴、顶点坐标 对称轴: ，顶点坐标：　　　　　.　 图象：平移法：左加右减，上加下减. 描点法：与对称轴等距的x， 对应的y相等. 性质：最值、增减性 分a>0,a<0两种情况处理 一般式 配方 顶点式 化归 最简式 归纳小结 课后作业 1.完成课后习题. 2.完成练习册本课时的习题. $