专题09 乘法公式 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题09 乘法公式 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.平方差公式：公式推导→文字与符号公式→结构判定→几何面积验证→公式变形、简算、整体代换 2.完全平方公式：完全平方公式推导→标准公式与记忆口诀→几何验证→恒等变形求值 3.添括号法则：符号变化规则→添括号构造乘法公式计算 ✺学习目标 知识与技能 1.借助多项式乘法推导平方差、完全平方公式，熟记文字与符号表达式。 2.准确识别两类公式结构，理解a、b可代表数字、单项式、多项式，掌握整体代换法。 3.能用面积图形解释公式，正向运用公式化简、简算，逆用公式完成代数式求值。 4.掌握添括号法则，能通过变形构造标准公式简化运算，区分两类公式展开形式，规避符号、漏项等计算错误。 思路方法 1.学习“特例计算 — 归纳规律 — 推导公式 — 几何验证” 流程，体会从特殊到一般思想。 2.借助面积图解建立数形结合思维，灵活运用整体思想，将多项式整体当作公式中的a或b运算。 素养提升 1.通过自主推导公式、简便计算，感受数学化简运算的独特魅力，提升学习主动性。 2.养成规范书写步骤、仔细检查符号的做题习惯，减少计算失误。 3.体会数形结合、整体代换等数学思想的实用价值，为后续整式、因式分解学习打好基础。 ✺题型归纳 题型1.运用平方差公式进行运算 题型2.平方差公式与几何图形 题型3.运用完全平方公式进行运算 题型4.通过对完全平方公式变形求值 题型5.完全平方公式在几何图形中的应用 题型6.求完全平方式中的字母系数 题型7.整式的混合运算 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平方差公式 1.平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 。 2.文字法则 ：即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.几何方法表示 4.常见平方差公式的变化形式 ●位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2−b2。 ●系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2。 ●指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4。 知识点二、完全平方公式 1.完全平方公式 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ；=-2ab+. 文字：两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 2. 几何方法表示： ∵=(a+b)(a+b)=+ab+ab+=+2ab+ ∵=(a-b)(a-b)=-ab-ab+=-2ab+ ​ （ 知识点三、添括号法则 1.法则：添括号时，括号前是正号，括号内各项符号不变； 括号前是负号，括号内所有项全部改变符号。 2.公式：a+b+c=a+(b+c)；a−b−c=a−(b+c) 。 3.作用：对多项式整体变形，构造平方差、完全平方标准形式简化计算。 例：(x+y−z)(x−y+z)=[x+(y−z)][x−(y−z)] 本节易错：括号前为负号时，不能只改变第一项符号，其余项同步变号。 知识点四、乘法公式混合运算规则 1.观察代数式结构，可运用乘法公式的优先化简； 2.再进行幂的乘方、积的乘方运算； 3.按顺序开展整式乘除； 4.运算末尾合并同类项，将式子整理为最简整式； 5.含有括号时先算括号内；同级乘除运算，从左向右依次计算。 ✺题型精讲 题型1.运用平方差公式进行运算 1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　　　　） A． B． C． D． 2．__________． 3．先化简，再求值，其中． 题型2.平方差公式与几何图形 1．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 2．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 3．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 题型3.运用完全平方公式进行运算 1．下列计算中，正确的是(     ) A． B． C． D． 2．计算：________ 3．化简：． 题型4.通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 2．已知，，则______． 3．如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ 题型5.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是____________． 3．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值； (2)已知a，b满足，，求与的值； (3)如图，已知正方形的边长分别为x，y若，，求图中阴影部分的面积？ 题型6.求完全平方式中的字母系数 1．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 2．若是一个完全平方式，则__________． 3．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 题型7.整式的混合运算 1．如图，四边形和都是正方形，它们的边长分别为、，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．计算：____________． 3．先化简，再求值：，其中，． ✺巩固测试 一、单选题 1．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 2．已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 4．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 二、填空题 5．若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 6．计算：__________． 7．若，则多项式的值为________________． 8．嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用张型、张型和张型卡片拼出一个新的图形（如图②）． 根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． 三、解答题 9．先化简再求值：，其中 ， 10．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： (1)________________________． 初步尝试： (2)已知，，求的值． 迁移应用： (3)已知，求的值． 11．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 12．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 13．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 乘法公式 暑假预习讲义 ✺知识框架 1.平方差公式：公式推导→文字与符号公式→结构判定→几何面积验证→公式变形、简算、整体代换 2.完全平方公式：完全平方公式推导→标准公式与记忆口诀→几何验证→恒等变形求值 3.添括号法则：符号变化规则→添括号构造乘法公式计算 ✺学习目标 知识与技能 1.借助多项式乘法推导平方差、完全平方公式，熟记文字与符号表达式。 2.准确识别两类公式结构，理解a、b可代表数字、单项式、多项式，掌握整体代换法。 3.能用面积图形解释公式，正向运用公式化简、简算，逆用公式完成代数式求值。 4.掌握添括号法则，能通过变形构造标准公式简化运算，区分两类公式展开形式，规避符号、漏项等计算错误。 思路方法 1.学习“特例计算 — 归纳规律 — 推导公式 — 几何验证” 流程，体会从特殊到一般思想。 2.借助面积图解建立数形结合思维，灵活运用整体思想，将多项式整体当作公式中的a或b运算。 素养提升 1.通过自主推导公式、简便计算，感受数学化简运算的独特魅力，提升学习主动性。 2.养成规范书写步骤、仔细检查符号的做题习惯，减少计算失误。 3.体会数形结合、整体代换等数学思想的实用价值，为后续整式、因式分解学习打好基础。 ✺题型归纳 题型1.运用平方差公式进行运算 题型2.平方差公式与几何图形 题型3.运用完全平方公式进行运算 题型4.通过对完全平方公式变形求值 题型5.完全平方公式在几何图形中的应用 题型6.求完全平方式中的字母系数 题型7.整式的混合运算 题型8.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、平方差公式 1.平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2 。 2.文字法则 ：即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 3.几何方法表示 4.常见平方差公式的变化形式 ●位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2−b2。 ●系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2。 ●指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4。 知识点二、完全平方公式 1.完全平方公式 公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 ；=-2ab+. 文字：两数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。 2. 几何方法表示： ∵=(a+b)(a+b)=+ab+ab+=+2ab+ ∵=(a-b)(a-b)=-ab-ab+=-2ab+ ​ （ 知识点三、添括号法则 1.法则：添括号时，括号前是正号，括号内各项符号不变； 括号前是负号，括号内所有项全部改变符号。 2.公式：a+b+c=a+(b+c)；a−b−c=a−(b+c) 。 3.作用：对多项式整体变形，构造平方差、完全平方标准形式简化计算。 例：(x+y−z)(x−y+z)=[x+(y−z)][x−(y−z)] 本节易错：括号前为负号时，不能只改变第一项符号，其余项同步变号。 知识点四、乘法公式混合运算规则 1.观察代数式结构，可运用乘法公式的优先化简； 2.再进行幂的乘方、积的乘方运算； 3.按顺序开展整式乘除； 4.运算末尾合并同类项，将式子整理为最简整式； 5.含有括号时先算括号内；同级乘除运算，从左向右依次计算。 ✺题型精讲 题型1.运用平方差公式进行运算 1．下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平方差公式为，适用条件是两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：中，相同项为，和互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算． 选项B：中，与互为相反数，与也互为相反数，没有完全相同的项，不能用平方差公式计算． 选项C：中，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算． 选项D：中，相同项为，与互为相反数，符合要求，可以用平方差公式计算． 2．__________． 【答案】/ 【详解】解：． 3．先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算即可得到结果。 【详解】解：原式 当时，原式 题型2.平方差公式与几何图形 1．从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形，上述操作能验证的等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 2．解答以下问题： （1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是_______， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积为_______． 【答案】 18 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 3．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形． (1)观察图形可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式________________； (2)运用（1）中得到的公式，计算：． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由图2、图1中的阴影部分面积相等，即可得出结果； （2）将转化为，再利用平方差计算即可． 【详解】（1）解：∵图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形， ∴图2、图1中的阴影部分面积相等， ∴． （2）解： ． 题型3.运用完全平方公式进行运算 1．下列计算中，正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断各项是否为同类项，同类项合并时只合并系数、字母及指数不变；完全平方公式，据此逐一验算选项． 【详解】解：A、2x与不是同类项，无法合并，，此选项不符合题意； B、，此选项不符合题意； C、，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意． 2．计算：________ 【答案】 【详解】解：. 3．化简：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式以及单项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可化简． 【详解】解： ． 题型4.通过对完全平方公式变形求值 1．若，，则的值为（     ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】B 【分析】将所求转化为含已知和的式子，代入数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴． 2．已知，，则______． 【答案】 【分析】将所求通过完全平方公式变形为含已知和的形式，代入数值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 3．如图是某学校综合楼的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形． (1)用含，的多项式表示报告厅的占地面积__________平方米；办公室的占地面积__________平方米． (2)若，，则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大多少平方米？ 【答案】(1)， (2)报告厅的占地面积S1比办公室的占地面积S2的5倍大164平方米 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）作差计算得，再代入计算即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， 又，， ， 则报告厅的占地面积比办公室的占地面积的5倍大平方米． 题型5.完全平方公式在几何图形中的应用 1．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积法求解即可． 【详解】解：大正方形的面积， 大正方形的面积两个小正方形面积两个相同的长方形面积， ∴满足的公式是． 2．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是____________． 【答案】 48 【分析】阴影部分的面积可以通过割补法求得，即用两个正方形的面积之和加上的面积减去空白部分和 的面积，将面积表示为关于、的代数式后，利用完全平方公式变形，最后整体代入和进行计算即可. 【详解】解： ； ∵，， ， ∴原式 . 3．完全平方公式通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)若，，求的值； (2)已知a，b满足，，求与的值； (3)如图，已知正方形的边长分别为x，y若，，求图中阴影部分的面积？ 【答案】(1)40 (2)9，1 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式进行计算即可； （3）根据题意得到，利用完全平方公式和梯形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ 两式相加得，故； 两式相减得，故； （3）解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积为. 题型6.求完全平方式中的字母系数 1．若是完全平方式，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据完全平方式的形式列方程求解即可． 【详解】解：∵完全平方式的一般形式为 给定多项式为，其中常数项 ∴一次项系数满足 当时，解得， 当时，解得， ∴的值为或． 2．若是一个完全平方式，则__________． 【答案】 【详解】解：是完全平方式， ， ． 3．阅读理解：对于任意四个有理数、、、，可以组成两个有理数对与，我们规定： □．例如：□． (1)若□是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且□，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)52 【分析】本题考查了完全平方式、完全平方公式、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）由题意可得□，再结合完全平方式的定义计算即可得出结果； （2）由题意可得□，再结合完全平方公式计算即可得出结果； （3）由（2）可知，，，由正方形的性质可得，，，，从而得出，，再结合阴影部分的面积为计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得： □ ， ∵□是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）解：根据题意可得： □ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 题型7.整式的混合运算 1．如图，四边形和都是正方形，它们的边长分别为、，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是阴影部分的面积的计算，同时考查去括号，整式的加减乘除的混合运算，掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，利用割补法，结合正方形的面积与三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：根据图形可得，阴影部分的面积为， 故选：A． 2．计算：____________． 【答案】 【详解】解： ． 3．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，15 【详解】解：原式 当，时，原式． ✺巩固测试 一、单选题 1．若，则的值为（     ） A．－5 B．0 C．5 D．7 【答案】C 【分析】用平方差公式把所求式子化简为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．已知多项式，，其中为正整数，下列说法： ①当时，一定成立； ②当的值为正数时，的最小值为1； ③当时，若为正整数，则整数的值仅有1个． 其中正确的个数为（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】①通过作差配方判断A与B的大小关系；②通过配方法求的最小值，结合k为正整数确定最小值；③将分式拆分，根据正整数条件枚举x的取值． 【详解】解：①当时，，， ∵ ， ∴， 即一定成立， 故①正确． ②， ∵， ∴的最小值为， 若的值恒为正数，则，解得， ∵为正整数， ∴的最小值为， 故②正确． ③当时，，（）， ∵为正整数，为整数， ∴是的约数，且，的整数约数为， 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 当时，，此时，符合条件； 当时，，此时，不符合； 综上，符合条件的整数有个，故③错误． 3．如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用含a、b的式子分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 4．如图1，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，再沿线段把纸片剪开，把剪成的两张纸片无缝隙不重叠地上下摆放在如图2的长方形内．若，图2中阴影部分的面积为27，则图2中空白部分的面积为（    ） A．20 B．21 C．27 D．30 【答案】B 【分析】根据图2中阴影部分的面积为27列式求出，然后利用完全平方公式的变形求出，然后列式求解图2中空白部分的面积即可． 【详解】解：∵图2中阴影部分的面积为27， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴图2中空白部分的面积为． 二、填空题 5．若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式的形式确定中间项系数，结合为正数的条件求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 又为正数， ． 6．计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式平方公式的应用，熟练掌握多项式平方公式计算是解题的关键．注意细心计算．使用多项式平方公式展开计算． 【详解】根据多项式平方公式，其中，，， 代入公式： ． 故答案为：． 7．若，则多项式的值为________________． 【答案】 【分析】首先将原式变形为，然后利用绝对值和平方的非负性得到，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 8．嘉嘉同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．他用张型、张型和张型卡片拼出一个新的图形（如图②）． 根据图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是________． 【答案】 【详解】解：由图可知． 三、解答题 9．先化简再求值：，其中 ， 【答案】 ， 【详解】解： ； 当，时，原式. 10．数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： (1)________________________． 初步尝试： (2)已知，，求的值． 迁移应用： (3)已知，求的值． 【答案】(1), (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方差公式直接展开变形，将单独放等式一侧即可得到恒等变形式； （2）利用（1）推导的恒等式，直接代入已知数值计算； （3）设,，先求的值，再套用恒等式求解． 【详解】（1）解：由完全平方差展开： ， 等式移项，把移到左边： ． （2）解：由变形公式： ， 把，代入： ， ． （3）解：令，, ， 已知，由完全平方变形，代入： ． 11．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2)如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， ． 12．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个数对与．我们规定：．例如：． (1)求的值； (2)若是一个完全平方式，求常数的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义计算即可； （2）根据所给定义可得，再根据完全平方式的特点即可得到答案； （3）根据定义得到，进一步可求出，再根据完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， ∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， ∴可以得到公式或； （2）解：①， ， ， ， ； ② ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $