暑期预习讲义（第9讲）——乘法公式（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第9讲）——乘法公式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】平方差公式（必考） 1 【知识点二】完全平方公式（重难点、易错重灾区） 2 【知识点三】高频万能变形公式（考试压轴常用） 2 【知识点四】本章终极易错清单 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】平方差公式直接正用（基础） 2 【题型 2】完全平方公式直接正用（高频） 3 【题型 3】公式简便运算（计算题必考） 3 【题型 4】整式混合运算（公式综合运用） 4 【题型 5】整体代入求值（期中期末压轴） 5 【题型 6】公式参数问题（提升难点） 6 三.经典题型精析（综合提升） 6 【题型 7】乘法公式与图形面积问题 6 【题型 8】乘法公式与规律问题探究 7 四.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 预习方法：读概念→记公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】平方差公式（必考） 标准公式： 结构口诀：同方减异方 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 结果规律：相同项平方 减去 相反项平方。 常用变形：（因式分解逆用） 【知识点二】完全平方公式（重难点、易错重灾区） 完全平方和公式： 完全平方差公式： 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方。 核心易错：，绝对不能漏掉中间交叉项！ 【知识点三】高频万能变形公式（考试压轴常用） （1） （2） （3） 【知识点四】本章终极易错清单 1. 混淆平方差与完全平方：平方差是两项，完全平方是三项； 2. 完全平方漏写中间，是全班最高频扣分点； 3. 符号错误：，平方后恒正； 4. 公式中a、b可以是单项式、多项式，不局限于单个字母。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】平方差公式直接正用（基础） 【例题1】（2026·广东揭阳·模拟预测）小明在化简时，解答过程如下： 解：原式 ① ② ③ （1）小明的解答过程是从第___________步（填写序号）开始出错，其错误原因是___________； （2）请你写出正确的解答过程． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）下列各式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，，则值为_______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【题型 2】完全平方公式直接正用（高频） 【例题2】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算： 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，，则_____． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 【题型 3】公式简便运算（计算题必考） 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． （1）在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； （2）用简便方法求的值． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）用简便方法计算，变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用简便方法计算： ____． 【变式3】（25-26六年级下·山东东营·期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． （1）例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； （2）用简便方法计算； （3）用简便方法计算． 【题型 4】整式混合运算（公式综合运用） 【例题4】（25-26七年级下·山西晋中·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级下·广西北海·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）一道习题及其错误的解答过程如下 计算：     第一步     第二步         第三步         第四步 请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【题型 5】整体代入求值（期中期末压轴） 【例题5】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： （1），求； （2）已知，求． 【变式1】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若，则_________． 【变式3】（25-26九年级上·云南·阶段检测）阅读材料：小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：即．．．．．．③ 把方程①代入③得：， 代入①得 ∴方程组的解为 请你解决以下问题： （1）参考小明的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组： （i）求的值； （ii）求的值． 【题型 6】公式参数问题（提升难点） 【例题6】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）已知代数式． （1）化简代数式． （2）若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．或3 【变式2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若是一个完全平方式，则常数m的值为__________． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若是完全平方式，且，则的值是多少？ 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】乘法公式与图形面积问题 【例题7】（25-26七年级下·北京房山·期末）小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为____________； （2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 【变式1】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）刘徽割补法验证整式乘法，图1大正方形裁去一角阴影，拼接成图2小正方形，直观验证的乘法公式：_______． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． （1）图1，阴影面积______； （2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； （3）由上图可以得到乘法公式______； （4）运用得到的公式，计算：． 【题型 8】乘法公式与规律问题探究 【例题8】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）观察下列等式： ； ； ；…… （1）请写出第④个等式：__________ （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； （3）证明你发现的规律． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： （1）请根据上述规律计算：_________；_________． （2）设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）若，则值为（） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知，，则的值为（     ） A．5 B．9 C．4 D．13 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）一个正方形的边长是a，若边长增加3，则这个正方形的面积增加了（     ） A．9 B． C． D． 5．（25-26六年级下·山东淄博·期末）若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 8．（25-26七年级下·河北保定·期中）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26七年级下·河南开封·期末）以下是小明同学化简的解题过程： 原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 小明同学开始出错的步骤是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 10．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·广西北海·期末）计算：________． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为______． 13．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若，则的值为________． 14．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为____________． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 16．（2026·山东威海·模拟预测）如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 17．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式_____． 18．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·浙江杭州·一模）计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山东枣庄·期中）先化简，再求值：，其中，． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． （1）求的值； （2）求的值． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北保定·期末）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： （1）________________________． 初步尝试： （2）已知，，求的值． 迁移应用： （3）已知，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； （2）观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第9讲）——乘法公式（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】平方差公式（必考） 1 【知识点二】完全平方公式（重难点、易错重灾区） 2 【知识点三】高频万能变形公式（考试压轴常用） 2 【知识点四】本章终极易错清单 2 二.经典题型精析（基础夯实） 2 【题型 1】平方差公式直接正用（基础） 2 【题型 2】完全平方公式直接正用（高频） 4 【题型 3】公式简便运算（计算题必考） 6 【题型 4】整式混合运算（公式综合运用） 8 【题型 5】整体代入求值（期中期末压轴） 9 【题型 6】公式参数问题（提升难点） 12 三.经典题型精析（综合提升） 14 【题型 7】乘法公式与图形面积问题 14 【题型 8】乘法公式与规律问题探究 17 四.同步自测 20 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 20 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 23 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 27 预习方法：读概念→记公式→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 【知识点一】平方差公式（必考） 标准公式： 结构口诀：同方减异方 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 结果规律：相同项平方 减去 相反项平方。 常用变形：（因式分解逆用） 【知识点二】完全平方公式（重难点、易错重灾区） 完全平方和公式： 完全平方差公式： 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号看前方。 核心易错：，绝对不能漏掉中间交叉项！ 【知识点三】高频万能变形公式（考试压轴常用） （1） （2） （3） 【知识点四】本章终极易错清单 1. 混淆平方差与完全平方：平方差是两项，完全平方是三项； 2. 完全平方漏写中间，是全班最高频扣分点； 3. 符号错误：，平方后恒正； 4. 公式中a、b可以是单项式、多项式，不局限于单个字母。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】平方差公式直接正用（基础） 【例题1】（2026·广东揭阳·模拟预测）小明在化简时，解答过程如下： 解：原式 ① ② ③ （1）小明的解答过程是从第___________步（填写序号）开始出错，其错误原因是___________； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）②，去括号时，括号里面的各项没有完全变号 （2）解：原式= 【分析】（1）利用运算法则运算排查即可； （2）利用平方差公式和乘法分配率进行化简，再合并同类项即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）下列各式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：A．中，没有相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合要求； B．可变形为，相同项是，相反项是和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算，符合要求； C．可变形为，两项都互为相反数，不能用平方差公式计算，不符合要求； D．中，没有相同项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合要求． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，，则值为_______． 【答案】 解：∵，， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平方差公式即可求解， （2）需要连续两次运用平方差公式计算． 解：（1）解： （2）解： ． 【题型 2】完全平方公式直接正用（高频） 【例题2】（24-25七年级上·上海黄浦·阶段检测）计算： 【答案】 【分析】此题考查完全平方公式，合并同类项，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先运用完全平方公式化简，然后合并即可． 解： ． 【变式1】（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查“完全平方式的定义”，熟练掌握完全平方式的形式是解题关键． 根据完全平方式的定义，两个因式需完全一致或其中一个式子是另一个式子的因式，才能应用完全平方式，根据定义判断即可． 解： A选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； B选项：，两项都相等，符合完全平方公式； C选项： 中，不满足定义，不能用完全平方公式； D选项： 中，两项无共同点，不满足定义，不能用完全平方公式； 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）已知，，则_____． 【答案】3 解：∵，， ∴ ∴ ∴． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃武威·期末）下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解： ． 小丽的化简过程是否正确，如果正确，请算出当，时原整式的值．如果不正确，请对原整式进行正确化简，并求当，时原整式的值． 【答案】不正确，正确结果为 ，当， 时，值为 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，求代数式的值． 小丽的化简过程中，展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确．由单项式乘多项式法则、完全平方公式展开，再去括号、合并同类项即可，最后代值计算． 解：展开 时错误地写成了 ，正确应为 ，因此化简结果不正确； ； 当时，原式． 【题型 3】公式简便运算（计算题必考） 【例题3】（24-25七年级下·全国·课后作业）先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． （1）在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； （2）用简便方法求的值． 【答案】（1）平方差公式；（2） 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用． （1）根据平方差公式的构成分析即可； （2）先化，再依次运用平方差公式计算即可． 解：（1）解：根据题意，第②步变形的依据是平方差公式； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）用简便方法计算，变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，则可利用平方差公式进行简便运算，据此可得答案． 解：． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）用简便方法计算： ____． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行计算，解题的关键是掌握完全平方公式． 将表示为500与的差，利用完全平方公式进行简便计算． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级下·山东东营·期末）阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． （1）例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； （2）用简便方法计算； （3）用简便方法计算． 【答案】（1）平方差公式；（2）；（3）1 【分析】（1）根据平方差公式即可解答； （2）运用两次平方差公式的逆用即可求得答案； （3）根据平方差公式的逆用即可求得答案． 解：（1）解：   ①   ② 第②步变形的依据是：平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解： ；、 （3）解： ． 【点拨】本题考查了平方差公式及其逆用，有理数的混合运算，熟练掌握和运用平方差公式及其逆用是解决本题的关键． 【题型 4】整式混合运算（公式综合运用） 【例题4】（25-26七年级下·山西晋中·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先计算积的乘方，单项式乘以单项式，再合并同类项即可； （2）利用平方差公式与完全平方公式计算乘法运算，再合并同类项即可. 解：（1）解：原式； （2）解：原式 . 【变式1】（25-26七年级下·广西北海·期末）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：选项A：，A运算错误； 选项B：，符合平方差公式，B运算正确； 选项C：，C运算错误； 选项D：，D运算错误． 【变式2】（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式求解即可． 解：． 【变式3】（25-26七年级下·河北邢台·期末）一道习题及其错误的解答过程如下 计算：     第一步     第二步         第三步         第四步 请指出在第几步开始出现错误，并写出正确的解答过程． 【答案】解：在第一步开始出现错误， = = =． 解：略． 【题型 5】整体代入求值（期中期末压轴） 【例题5】（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： （1），求； （2）已知，求． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整体思想结合平方差公式运算求解即可； （2）利用整体思想结合完全平方公式运算求解即可； 解：（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．已知，则的值为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的应用．原式利用平方差公式求得，再整体代入求解即可． 解：∵， ∴ ． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）若，则_________． 【答案】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26九年级上·云南·阶段检测）阅读材料：小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”解法： 解：将方程②变形：即．．．．．．③ 把方程①代入③得：， 代入①得 ∴方程组的解为 请你解决以下问题： （1）参考小明的“整体代换”法解方程组 （2）已知x，y满足方程组： （i）求的值； （ii）求的值． 【答案】（1）；（2）（i）17；（ii） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键． （1）模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可； （2）（i）由可求出，即可求解； （ii）由可求出，根据完全平方公式变形求出或，即可求解． 解：（1）解：把方程②变形：③ 把①代入③得：，即 把化入①得：， 解得， 则方程组的解为： ； （2）解：（i），得， ∴， ∴； （ii），得， ∴， ∵， ∴ ∴或， ∴当时，； 当时，， 综上，的值为． 【题型 6】公式参数问题（提升难点） 【例题6】（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）已知代数式． （1）化简代数式． （2）若（a为常数）是完全平方式，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了完全平方公式、平方差公式的应用及整式的化简求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与完全平方式的结构特征是解题的关键． （1）通过完全平方公式、平方差公式展开代数式，再合并同类项化简； （2）根据完全平方式的结构特征求出的值，代入化简后的代数式计算． 解：（1）解： ； （2）解：∵是完全平方式，， ∴， 将代入得 ． 【变式1】（25-26七年级下·重庆綦江·期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（    ） A． B．5 C．5或 D．或3 【答案】C 【分析】根据完全平方式的结构，对比题目式子对应系数，列方程求解即可． 解：∵关于的二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，解得； 当时，解得； ∴常数的值是或． 【变式2】（25-26七年级下·江苏淮安·期末）若是一个完全平方式，则常数m的值为__________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，分两种情况对比对应项系数，即可求出常数的值. 解：是一个完全平方式， 根据完全平方公式， 本题中，，可得， ， 即， ． 【变式3】（24-25七年级下·四川成都·期中）若是完全平方式，且，则的值是多少？ 【答案】27或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 根据完全平方公式的特征判断即可得到b的值，即可解答． 解：∵是完全平方式， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 故答案为：27或． 三.经典题型精析（综合提升） 【题型 7】乘法公式与图形面积问题 【例题7】（25-26七年级下·北京房山·期末）小明和小亮玩纸片拼图游戏，发现利用图1中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如，图2可以解释的等式为． （1）图3可以解释的等式为____________； （2）请你利用图1中的三种材料各若干拼出一个正方形来解释，画出你拼出的正方形示意图． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用不同的方法表示图3的面积，即可得出等式； （2）将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可． 解：（1）解：图3的面积可表示为：，也可以表示为：， 则 （2）解：，将边长为a的正方形1张，长为b，宽为a的长方形纸片2张，和边长为b的正方形纸片1张，拼成边长为的正方形即可， 【变式1】（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用含a、b的式子分别表示出两个图形中阴影部分的面积即可得到答案． 解：左边图形中阴影部分的面积为， 右边图形中阴影部分的面积为， ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ∴． 【变式2】（2026·甘肃平凉·模拟预测）刘徽割补法验证整式乘法，图1大正方形裁去一角阴影，拼接成图2小正方形，直观验证的乘法公式：_______． 【答案】 【分析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可求解． 解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴这个过程可以直观验证的公式是． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． （1）图1，阴影面积______； （2）图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； （3）由上图可以得到乘法公式______； （4）运用得到的公式，计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由图1，阴影部分由大正方形面积减去小正方形面积即可． （2）由图2，代入梯形面积公式化简得． （3）图1与图2面积相等，可得到平方差公式． （4）利用平方差公式，化简计算即可． 解：（1）解：由题意可得，图1的阴影面积为． （2）解：由题意可得，图2梯形的面积为 ． （3）解：由题意，图1和图2的阴影面积相等， 因此可得平方差公式． （4）解： ． 【题型 8】乘法公式与规律问题探究 【例题8】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）观察下列等式： ； ； ；…… （1）请写出第④个等式：__________ （2）从上述等式中，你发现了什么规律，用适当的等式表示你发现的规律：__________； （3）证明你发现的规律． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】（1）模仿题干过程，进行分析作答即可； （2）设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和，两个连续奇数的平方差等于； （3）利用乘法公式展开，证明左边等于右边即可； 解：（1）解：依题意，第④个等式：； （2）解：设是自然数，且，则相邻的两个奇数为和， 规律可以表示为：（为正整数）； （3）证明：由（2）得（为正整数）， 则左边右边， 故结论得证． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，为杨辉三角的一部分，下图给出了的展开式的系数规律． 根据数表规律得的展开式中第二项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是杨辉三角与二项式展开式，灵活运用杨辉三角的系数规律及代入法展开是解题的关键．根据杨辉三角给出的的展开式系数规律，得到的展开式，再将，代入，进而求出展开式的第二项． 解：由图可得，， 将，代入得：， 化简得，， 的展开式中第二项是． 故选：． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，，，，…．若按此规律继续排列下去，则第个数可以表示为_________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】解题思路为将数据对应其序号，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，从而得到第个数的表达式． 解：设第个数对应序号为，为正整数， 将已知数据按序号整理： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此可得第个数的表达式为，即为． 【变式3】（25-26七年级下·山东青岛·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． 速算与代数推理 “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； ； … 我们发现如下速算规律：个位数字是的两位数平方的结果是最后两位一定是，前面的部分等于十位数字与十位数字加后的乘积．我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理． 请根据上述材料完成下列任务： （1）请根据上述规律计算：_________；_________． （2）设十位数字是（是至的整数），用字母表示上述材料中的速算规律，并证明该速算规律． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】（1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）根据规律写出结论，验证结论左右是否相等，只要把上面的结论的两边去掉括号化简看看是否相等即可判断； 解：（1）解：， ； （2）规律为：， 证明：∵左边， ∴右边， ∵左边右边， ∴. 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期末）若，则值为（） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】本题可利用平方差公式分解原式，再结合已知条件化简求值，用到整式乘法的平方差公式知识点． 解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：选项A，，A计算错误； 选项B，，B计算错误； 选项C，，C计算错误； 选项D，，D计算正确. 3．（25-26七年级下·江西抚州·期末）已知，，则的值为（     ） A．5 B．9 C．4 D．13 【答案】A 解：∵， ∴， 将，代入得． 4．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）一个正方形的边长是a，若边长增加3，则这个正方形的面积增加了（     ） A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出原正方形和边长增加后新正方形的面积，再作差计算面积增加量，利用完全平方公式展开化简即可． 解：∵原正方形边长为， ∴原正方形面积为 ，边长增加后，新正方形边长为，新正方形面积为， ∴增加的面积为：． 5．（25-26六年级下·山东淄博·期末）若是一个完全平方式，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的形式即可求出的值． 解：∵是完全平方式， 对应公式可得，， 即， ∴中间项， 对比系数可得． 6．（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，在一个长为、宽为的长方形内部剪掉一个长为b、宽为的小长方形，则余下的部分（图中阴影部分）的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大长方形面积减去小长方形面积可得阴影部分面积解答即可． 解：根据题意得：图中阴影部分的面积 ． 7．（25-26七年级下·广东梅州·期中）已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 【答案】D 解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 8．（25-26七年级下·河北保定·期中）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的应用，平方差公式结构为，解题思路是将原式中两个括号的相同项、相反项重新分组，凑出平方差公式要求的形式即可． 解：观察原式， 两个因式中相同项是，相反项是， 分组变形得：符合平方差公式的变形要求，故选B． 9．（25-26七年级下·河南开封·期末）以下是小明同学化简的解题过程： 原式（第一步） （第二步） ．（第三步） 小明同学开始出错的步骤是（     ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式，去括号法则，合并同类项法则逐步骤检查小明的计算，找出最先出错的步骤． 解：正确的解题过程为 原式 ， ∴小明同学开始出错的步骤是第一步． 10．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图和图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 解：由图可得，阴影部分的面积为：； 由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，， ∴阴影部分的面积为：， ∴验证成立的公式为：． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·广西北海·期末）计算：________． 【答案】 解：． 12．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为______． 【答案】 【分析】将等式右边利用完全平方公式展开，根据多项式相等时对应项系数相等，推出，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）若，则的值为________． 【答案】2027 【分析】先根据得出，然后将变形求出结果即可． 解：∵， ∴ ∴ ． 14．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）若，则代数式的值为____________． 【答案】6 【分析】先将所求代数式配方变形，再将已知条件整体代入计算即可． 解： ， ∴． 15．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）当__________时，关于的二次三项式是完全平方式． 【答案】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，对比对应项系数即可求出的值． 解：， 设该完全平方式为， 展开得， 将其与对比系数，得 ， 解得， ． 16．（2026·山东威海·模拟预测）如图所示图象表示的个位数字随m（m为正整数）变化的规律，则的个位数字是_________． 【答案】5 【分析】先在原式前乘，原式的值不变，再反复利用平方差公式化简原式，最后根据的正整数次幂的个位数字的循环规律求解． 解： ， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ，个位为， ……， 以此类推，可知的正整数次幂的个位数字按每个一循环， ， 的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为，即的个位数字是． 17．（24-25七年级下·山东济南·阶段检测）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．左边一幅图中阴影部分面积等于边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积， 右边一幅图中阴影部分面积等于长为，宽为的长方形面积，据此分别求出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案． 解：左边一幅图中，阴影部分面积为， 右边一幅图中，阴影部分面积为， ∵两幅图中阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 18．（25-26七年级下·广西贵港·期中）阅读下面的计算过程，然后化简： ． 化简_____． 【答案】 【分析】仿照题目示例，构造平方差公式即可求解． 解：原式=   = （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·浙江杭州·一模）计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据零指数幂，有理数的乘方和绝对值的运算，分别计算各部分再进行加减运算即可得到结果； （2）考查整式的乘法运算与平方差公式，展开原式后合并同类项即可得到化简结果． 解：（1）解：原式 （2）解：原式 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山东枣庄·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 解：原式 ． 当，时，原式． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知．，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据完全平方公式变形，即可求解． （2）根据，进而根据平方根的定义，即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河北保定·期末）数学探究小组在学习完全平方公式时，发现可以利用恒等变形改变式子的结构，比如：． 类比推导： （1）________________________． 初步尝试： （2）已知，，求的值． 迁移应用： （3）已知，求的值． 【答案】（1）,；（2）；（3） 【分析】（1）根据完全平方差公式直接展开变形，将单独放等式一侧即可得到恒等变形式； （2）利用（1）推导的恒等式，直接代入已知数值计算； （3）设,，先求的值，再套用恒等式求解． 解：（1）解：由完全平方差展开： ， 等式移项，把移到左边： ． （2）解：由变形公式： ， 把，代入： ， ． （3）解：令，, ， 已知，由完全平方变形，代入： ． 23．（本小题满分10分）（25-26九年级下·河北沧州·阶段检测）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2所示的大正方形的面积． 方法1：______； 方法2：______； （2）观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系：______； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3） 【分析】（1）方法1：根据正方形的面积边长的平方进行计算，即可解答；方法2：根据正方形的面积两个正方形的面积两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算即可． 解：（1）解：根据题意可知：方法1：；方法2；． （2）解：根据（1）问可知：； （3）解：∵，，， ∴． 24．（本小题满分12分）（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读理解 逆向思维法是一种寻找问题解决方案的思维方式，通过逆向思维，能够突破传统思维模式的限制，挖掘出新的解决方案．比如我们已经学习过乘法公式，把它反过来应用，能更便利的解决一些问题． 解决问题 请你认真观察下面这些算式，并结合你发现的规律，完成下列问题： 算式①， 算式②， 算式③， 算式④，…． （1）请写出：算式⑥______；算式⑦______； （2）上述算式的规律可以用文字概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．如果设两个连续奇数分别为和（n为整数），请说明这个规律是成立的． 拓展探究 （3）探究完上述问题后，阳阳认为两个连续偶数的平方差也一定也能被8整除，你认为阳阳的说法成立吗？如果成立，请通过运算推理说明：如果不成立，请举反例说明． 【答案】（1），；（2）见分析；（3）不成立；见分析 【分析】本题考查了平方差公式的应用、数字类规律探索，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据题干中所给式子规律写出算式⑤、算式⑥即可； （2）利用平方差公式可得，即可得解； （3）举反例说明即可． 解：（1）算式⑥：， 算式⑦：； 故答案为：，； （2）， ∵n为整数， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除 即“两个连续奇数的平方差能被8整除”是成立的； （3）不成立； 举反例，如， ∵12不是8的倍数， ∴这个说法不成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $