5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）跟踪练习2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦工程问题，通过基础巩固、情境应用、综合拓展三层设计，实现从单一公式到复杂情境的知识进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一公式应用|单选1-5直接考查工作效率、总量关系，如甲单独做10小时完成的基本方程构建| |情境应用|情境化问题解决|填空7-12涉及合作分工（如工人分两地工作）、效率变化（如改良工艺），培养推理能力| |综合拓展|多变量综合应用|解答17-19含漏水问题、费用优化等复杂模型，需整合方程与实际决策，发展应用意识|

5.3实际问题与一元一次方程（工程问题） 一、单选题 1．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 2．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假． A．1 B．3 C．5 D．6 3．甲、乙两个工程队共有100人，且甲队的人数比乙队的人数的4倍少10人．如果设乙队的人数为x人，则所列的方程为（    ） A． B． C． D． 4．某项工作，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，已知甲先做天，然后甲、乙合作完成此项工作．若设甲一共做了天，则所列方程是（    ） A． B． C． D． 5．装订一批书，计划每天装订1800本，40天完成，实际每天装订2000本，实际几天可以完成？解答时设实际x天可以完成，正确的列式是（　　） A． B． C． D． 6．学校组织劳动实践活动，组织一组同学把两片草地的草割完，已知两片草地一大一小，大的比小的大一倍，大家先都在大片草地上割了半天，午后分成两组，一半人继续在大片草地上割，到下午收工时恰好割完，另一半人到小片草地割，到收工时还剩一小块，且这一小块草地恰好是一个人一天的工作量，由此可知，此次参加社会实践活动的人数为（    ）人 A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 7．一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 8．刺绣是中国民间传统手工艺之一，某刺绣工作室接到一个刺绣订单，林师傅单独完成这个订单需要天，比李师傅单独完成这个订单需要的天数少，如果两人合作___________天能完成这个订单． 9．一项工程，甲队独立完成需24天，乙队独立完成需30天，甲、乙两队合作若干天后，甲队继续做了6天完成，则乙队做了 _______ 天． 10．某个工程甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲乙两人先合作3天，剩下的由甲一个人完成，问甲单独做了几天？设甲与乙合作3天后，又单独做了天，则可以列出方程______． 11．工厂生产一批产品，原计划15天完成．实际生产时改良了生产工艺，每天生产产品的数比原计划每天生产产品数量的多10件，结果提前4天完成了生产任务，则这批产品有( )件． 12．整理一批图书，由一个人完成需要h．现计划由一部分人先整理4h，然后增加4人与他们一起整理2h，完成这项工作．若工作效率相同的前提下，则先安排了______人． 三、解答题 13．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 14．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 15．一件工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成，甲做2天后，乙来支援，问乙做多少天后工作任务完成了? 16．甲用3小时完成一项工程的后，乙加入一起工作，两人合作小时后完成了这项工程． (1)甲单独完成这项工作需要________小时； (2)乙单独完成这项工作需要多少小时？请列方程求解． 17．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水．那么5小时可同时注满，因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满． (1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果用进一法精确到个位） 18．加工某种工件，甲单独加工要天完成任务，乙只要天就能完成任务． (1)如果让甲、乙两人同时加工，需要多少天完成任务？ (2)现在要求甲、乙两人用天时间完成任务，应安排甲单独加工几天后乙单独再继续加工才可正好完成任务？ 19．某农场有一块面积为亩的耕地需要播种，现安排、两个播种队共同完成这项任务．已知播种队每天播种的亩数是播种队每天播种亩数的倍，、两个播种队合作天完成了总任务的． (1)求、两个播种队每天分别可播种多少亩； (2)若播种队先单独播种若干天后，剩下的任务再由播种队单独完成，总费用刚好为万元．已知播种队每天的播种费用为万元，播种队每天的播种费用为万元，求播种队单独播种的天数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B A C B B 1．A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 2．B 【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答． 【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知， 解得． 答∶甲请了3天假． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据题意，设乙队人数为，甲队人数为，总人数为100，建立方程即可． 【详解】解：设乙队人数为，则甲队人数为， 根据总人数关系，甲队和乙队人数之和为100， 因此方程为：，即， 故选：A 4．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键； 设甲一共做了天，则乙一共做了天，列方程即可求解； 【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天， 根据题意，可得； 故选：C 5．B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．根据工作总量一定，判断出工作效率与工作时间成反比例，由此列出方程解答即可． 【详解】解：设实际x天可以完成， 由题意得：． 故选：B． 6．B 【分析】设共有x人，每个工人一天的工作量为1，根据大的一片草地的工作量是小的一片的两倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设共有x人，一个人一天的工作量为1， 由题意可得：， 解得：， ∴此次参加社会实践活动的人数为8人， 故选：B． 7．36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 8． 【分析】先将李师傅单独完成订单的天数看作单位，根据林师傅的工作时间求出李师傅单独完成需要的天数，再将工作总量看作单位，列出方程，即可求解． 【详解】李师傅单独完成订单需要：（天） 设两人合作天能完成这个订单，则 ， 解得． 即如果两人合作天能完成这个订单． 9．10 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，把工作总量看做单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙队做了x天．分别求出甲、乙的工作总量，二者的工作总量之和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设乙队做了x天． 根据题意，得 解得， ∴乙队做了了10天． 故答案为：10． 10． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设甲与乙合作3天后，又单独做了天，把工作总量看做单位“1”，那么甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可知，甲一共工作天，乙一共工作3天，最后根据甲、乙的工作总量之和为1列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设原计划每天生产产品数量为件，则实际每天生产产品数量为件，根据这批产品的数量列方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产产品数量为件，则实际每天生产产品数量为件，则 解得，， 则 即这批产品有件， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意设先安排整理的人员有人，则，据此即可求解． 【详解】解：设先安排整理的人员有人， 根据题意，可得， 解得， 故答案为： 13．(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 14．该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 15． 天 【分析】设乙做天后工作任务完成了，根据工作总量等于各工作分量之和，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设乙做天后工作任务完成了，由题意，得： ， 解得； 答：乙做4天后工作任务完成了. 16．(1)6小时 (2)4小时 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）根据甲用3小时完成一项工程的，求出结果即可； （2）设乙单独完成这项工作需要小时，根据整个工程看作单位1，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（小时）， 即甲单独完成这项工作需要6小时； （2）解：设乙单独完成这项工作需要小时，根据题意： ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 答：乙单独完成这项工作需要4小时． 17．(1)144分钟 (2)258分钟 【分析】本题主要考查工程问题，读懂题意，正确列出算式和方程是做题的关键． （1）先设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份，再根据题意，列出算式和方程，进行计算即可； （2）先设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根，由题意得，，得出，最后根据分配给水池6根或7根，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每根进水管每小时进水1份，水池每小时漏水份， 则水池的容量：（份）， 水池的容量：（份）， 改为各用5根进水管给水池注水时， 注满水池用时：（小时）， 故根据题意得，， 解得，， 用10根进水管给漏水的水池注水，注满用时：（小时）（分钟）． 答：用10根进水管给漏水的水池注水，需要144分钟注满． （2）解：设14根进水管分配给水池根，则分配给水池根， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 又因为必须为整数， 所以分配给水池6根或7根时，把两个水池注满需要的时间最少， 当分配给水池6根，水池8根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟）； 当分配给水池7根，水池7根时， 注满水池用时：（分钟）， 注满水池用时：（分钟），故最少需要258分钟， 因为， 所以综上所述，把两个水池注满最少需要258分钟． 18．(1)甲、乙两人同时加工，需要天完成任务； (2)应安排甲单独加工天． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键． （）利用总工作量除以两人每天完成的工作量之和，即可求解； （）设甲单独加工天，则乙单独加工天，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：甲每天完成工作量，乙每天完成工作量，合作每天完成， ∴需要时间（天）， 答：甲、乙两人同时加工，需要天完成任务； （2）（2）解：设甲单独加工天，则乙单独加工天， 根据题意得：， 解得：， 答：应安排甲单独加工天． 19．(1)播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩 (2)播种队单独播种天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用（工程问题、费用问题）．根据题目的问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据“工作量＝工作效率×工作时间”的关系设未知数并建立等量关系，得到答案． （2）结合工作量关系与费用计算规则“总费用＝单日费用×工作天数”，设未知数并建立等量关系，得到答案． 【详解】（1）解：设播种队每天播种亩，播种队每天播种亩， 根据题意可列方程：， 解得， ∴播种队每天播种亩， ∴播种队每天可播种亩，播种队每天可播种亩； （2）解：设播种队单独播种天， ∴播种队播种亩，剩余亩由播种队完成， ∴播种队共播种天， ∴根据总费用可列方程：， 解得． ∴播种队单独播种天． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $