5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）跟踪练习 2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦工程问题，通过基础巩固、情境提升、综合应用三层设计，强化一元一次方程建模能力，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|工程问题基本等量关系|单选题1-6直接考查方程建立，如甲先做后合作的工作量计算| |提升|复杂情境应用|填空题7-12涉及人数变化、效率差异，如第8题先安排人再增加3人整理货物| |综合|多维度问题解决|解答题13-18结合费用优化、效率提升等，如第14题机器人分拣的效率与费用综合计算|

5.3实际问题与一元一次方程（工程问题）跟踪练习 一、单选题 1．一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 2．整理一批图书，由1人整理需要完成．现计划由一部分人先整理，然后再增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设每个人的工作效率相同，则计划先安排整理的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．一项工程甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程是（    ） A． B． C． D． 4．甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时．丙水管单独开，排一池水要10小时，若水池没水，同时打开甲乙两水管，5小时后，再打开排水管丙，水池注满还要（     ）个小时． A．15 B．20 C．35 D．40 5．2026年沙坪坝半程马拉松暨第二届校友半程马拉松激情开跑，赛前志愿者们对参赛物资进行打包，其中一处打包点，物资如果由一个人完成打包需16小时，现在由一部分人先做1小时，再增加1人和他们一起做2小时，可完成这项工作的．假设每个人的工作效率相同，设先安排人工作，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 6．一项工程，单独做甲需 10 小时完成，乙需 15 小时完成．现在两人合作，中途甲因事停工了一段时间，结果 7 小时才完成，甲停工了（     ）小时． A． B．3 C．18 D．3.5 二、填空题 7．甲、乙两个加工厂计划为某开发公司加工一批产品，已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件，且单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天，则加工的这批产品共有______件． 8．某仓库进了一批货物，整理这批货物，由1人整理要30h完成．现在计划由一部分人先整理2h，再增加3人和他们一起整理4h，完成这项工作．假设每人的工作效率相同，先安排人整理，则可列方程为________． 9．如果师傅做20天就能完成的任务，徒弟需要做30天才能完成，那么师傅做30天能够完成的任务，师傅先做12天后让徒弟来做，徒弟还需要做________天才能完成． 10．某校组织学生们展开了一场拔草活动．八年级1班和2班共同负责校园实践区域的拔草任务，1班单独拔完需，2班单独拔完需，由于各班时间安排不一致，先由1班单独拔一段时间后，接着由2班单独拔完该实践区域剩余任务，1班和2班拔完该区域共用，则1班单独拔草__________． 11．一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作．一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天．这批工人有( )人．（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 12．“6.18”大促期间，某快递站点现有待派送包裹件，另有新包裹持续从分拣中心匀速运入站点(每分钟新增包裹数量固定)．若同时安排名派送员，需要分钟才能全部派送完毕；若同时安排名派送员，需要分钟可全部派送完毕．如果同时安排名派送员，全部派送完需要的时间是____分钟． 三、解答题 13．一件工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要10天完成，甲做2天后，乙来支援，问乙做多少天后工作任务完成了? 14．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替工人分拣，甲、乙两种型号的机器人的单价分别为5万元/台和3万元/台．已知一台甲种型号的机器人比一台乙种型号的机器人每小时多分拣200件快递；一台甲种型号的机器人工作2小时，一台乙种型号的机器人工作3小时，共完成了4400件快递的分拣． (1)求甲、乙两种型号机器人每小时分拣快递的数量； (2)若该公司计划购买两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件．要使购买机器人的费用最低，应该购买甲、乙两种型号机器人各多少台？ 15．某地打造运河风光带，交由，两个工程队合作完成一段总长300米的河道清理工程．已知工程队每日清理15米，工程队每日清理8米，，两队施工天数均为正整数． (1)若，两队各自施工的天数之和为27天，求，两队分别施工多少天； (2)若完工时队施工天数少于队，求队至多施工多少天； (3)队施工天，队先按原有效率施工天，之后提升清理效率，改为每日清理10米，继续施工天．若两队合作完成全部清理任务，，，均为正整数且，求工程队的施工天数． 16．2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务；共用9小时至少完成66TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 17．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 18．一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D C B A 1．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，设剩下的部分还要完成，则甲的工作时间为，乙的工作时间为，根据甲、乙的工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：设剩下的部分还要完成， 由题意得，， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（工程问题），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键． 设计划先安排整理的人数为，由题意可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：设计划先安排整理的人数为， 由题意可得：， 解得：， 故选：． 3．D 【详解】解：把整个工程的工作总量看作单位1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，． 4．C 【分析】将一池水总水量看作单位，先求出各水管的工作效率，设水池注满还要小时，根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】解：把一池水总水量看作单位， 甲单独注满需小时，乙单独注满需小时，丙单独排完整池水需小时 甲进水效率为，乙进水效率为，丙排水效率为， 设水池注满还要小时， 根据题意可得，， 解得， 即水池注满还要小时． 5．B 【分析】将总工作量看作1，先得到单人工作效率，再分别计算两部分工作量，根据工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：∵1人完成全部工作需要16小时， ∴1人1小时的工作效率为. 设先安排人工作， 则人先做1小时的工作量为 ， 增加1人后，人做2小时的工作量为 ， ∵两次工作量之和为总工作量的， ∴可得方程 ． 6．A 【分析】将工作总量看作单位“1”，先根据工作总量和单独完成时间求出甲乙的工作效率，再根据总工作量等于甲乙工作量之和列方程，即可求出甲停工的时间． 【详解】解：设工作总量为单位“1”，甲停工了小时， ∵甲单独完成需小时，乙单独完成需小时， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲工作时间为小时，乙工作时间为小时， ∴， 整理得：，解得， 即甲停工了小时． 7．960 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 设单独加工这批产品乙需要天，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设单独加工这批产品乙需要天，则甲单独加工需要天， 依题意得：， ， ， ， ∴这批产品共有（件）． 故答案为：960 ． 8． 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程的知识点，此题是一个工作效率问题，理解一个人做需要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键． 由一个人做要小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，就是已知工作的速度．本题中存在的相等关系是：这部分人小时的工作+增加人后小时的工作=全部工作．设全部工作是，先安排人整理，就可以列出方程． 【详解】解：假设每个人的工作效率相同，先安排人工作， 则：一个人做要小时完成，现在计划由一部分人先做小时，工作量为， 再增加人和他们一起做小时的工作量为， 故可列式， 故答案为：． 9．27 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 把师傅做20天完成的任务量当作单位 1，由已知可得师傅一天做，徒弟一天做，根据时间×效率=工作总量列出关于题中未知数的方程，求解即可． 【详解】解：把工作总量当作单位来计算，设徒弟还需要天才能完成， 根据题意得：， 解得：． 即徒弟还需要天才能完成． 故答案为：． 10． 【分析】设1班单独拔草，则2班单独拔草，利用1班完成的工作量班完成的工作量总工作量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论 【详解】解∶设1班单独拔草，则2班单独拔草， 根据题意得∶ 解得∶ 1班单独拔草． 11．36 【分析】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人，根据甲工地的总工作量乙工地的总工作量，再结合工程问题基本公式“工作总量人数工作时间”(每人工作效率相同)推导而来． 【详解】解：假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1，设这批工人有人， 答：这批工人共有36人． 12． 【分析】设每分钟新增件，每名派送员每分钟派送件．根据题意列出二元一次方程组，进而根据题意，6名派送员时，设需分钟，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设每分钟新增件，每名派送员每分钟派送件． ， 化简得， 解得， 6名派送员时，设需分钟， ， 分钟． 13． 天 【分析】设乙做天后工作任务完成了，根据工作总量等于各工作分量之和，列出方程进行求解即可. 【详解】解：设乙做天后工作任务完成了，由题意，得： ， 解得； 答：乙做4天后工作任务完成了. 14．(1)甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； (2)应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 【分析】（1）设未知数表示甲、乙两种机器人每小时的分拣量，根据给定总分拣量的条件列一元一次方程，求解即可得到结果； （2）设购买甲种机器人的数量，根据总分拣量的要求得到自变量的取值范围，再写出总费用关于购买数量的一次函数，根据一次函数的增减性即可求出费用最低时的购买方案． 【详解】（1）解：设乙种型号机器人每小时分拣件快递，则甲种型号机器人每小时分拣件快递． 根据题意得， 解得． 则（件）． 答：甲种型号机器人每小时分拣件快递，乙种型号机器人每小时分拣件快递； （2）解：设购买台甲种型号机器人，则购买台乙种型号机器人，总费用为万元． 根据题意得， 解得． 总费用． ， 随的增大而增大． 又为非负整数，且， 取最小值时，最小． 此时（台）． 答：要使购买费用最低，应该购买甲种型号机器人台，乙种型号机器人台． 15．(1)A队施工12天，B队施工15天 (2)A队至多施工12天 (3)A工程队施工天数为16天 【分析】（1）设A队施工天，则B队施工天，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设队施工天，B队施工天，由题意得：，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：设A队施工天，则B队施工天，由题意得： ， 解得：； 答：A队施工12天，B队施工15天 （2）解：设队施工天，B队施工天，由题意得： ， ∴， ∵完工时队施工天数少于队， ∴， 解得：， ∵是正整数，且是的倍数， ∴的最大值为； 答：A队至多施工12天 （3）解：由题意得： ， 得：， ∴， ∵，即，， ∴， 解得：， ∵取正整数， ∴， 答：A工程队施工天数为16天． 16．(1)甲数据中心的数据迁移速度为小时，乙数据中心的数据迁移速度为小时． (2)甲数据中心至少需要工作小时． 【分析】（1）根据题意，先设定未知数，寻找等量关系，然后解方程，检验并得出结论． （2）先设定未知数，寻找不等关系，建立不等式，解不等式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时． 根据题意，得 得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：甲数据中心的数据迁移速度为小时， 乙数据中心的数据迁移速度为小时． （2）解：设甲数据中心需要工作小时， 则乙数据中心工作小时， 根据题意，得 得． 答：甲数据中心至少需要工作小时． 17．(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 18．该组工人一共有16人 【分析】设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1，先分别求得卸A、B两列火车的货物的总工作量，再根据题意得到卸完火车货物的工作量是火车的2倍，进而列方程求解即可． 【详解】解：设该组工人一共有x人，每人每小时的工作效率为1， 他们上午10点到，共2.5小时，全组人一起卸A火车的货物的工作量为， 从到14点，共1.5小时，一半人卸A火车的货物的工作量为， 则卸A火车的货物的总工作量为； 从到14点，共1.5小时，一半人卸火车的货物的工作量为， 火车的货物剩余工作量为， 故卸B火车的货物的总工作量为， 因为卸完火车所需时间是火车的2倍，每人每小时的工作效率相同， 所以卸完火车货物的工作量是火车的2倍． 所以， 解得， 答：该组工人一共有16人． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $