2.2.3《一元二次方程的解法(第3课时 公式法)》 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的公式法解法，前承已学的配方法（降次思想）和因式分解法，后接未学的根与系数关系，通过推导求根公式构建解法体系，明确四步流程（化一般式、算判别式、代公式、写结论）。 资料以核心素养为导向，通过分层训练（A层基础、B层提升、C层挑战）和六大拓展题型（含实际应用、含参讨论等），培养数学运算能力和逻辑推理意识。课中借助解题流程图和思维导图辅助教学，课后通过方法总结与自我检测帮助学生查漏补缺，提升自主学习能力。

配 套 讲 义（学生版） 2.2.3 一元二次方程的解法（第3课时·公式法） 配套教材：苏科版 九年级数学上册（2026-2027学年） 一、学习目标（核心素养） 数学运算：经历用配方法推导求根公式的过程，理解公式的来源（降次思想）. 数学运算：掌握公式法解一元二次方程的四个步骤，能正确识别一般式中的 a,b,c 并计算. 逻辑推理：理解根的判别式与根的个数之间的对应关系，能不解方程判别根的情况. 数学抽象：体会从特殊到一般的归纳，感悟算法化求解的思路. 二、知识回顾（已学/本课/未学） 类别 内容 说明 类别 内容 说明 已学 配方法（第1课时） 两边配成完全平方式，降次求解 已学 因式分解法（第2课时） 移项使右边为 0，左分解，各因式为 0 本课 公式法（第3课时） 用求根公式直接求解，含根的判别式 未学 根与系数关系、用方程解决问题 后续 2.3、2.4 再学 一元二次方程一般形式：.公式法适用于所有一元二次方程. 三、学习导航 ① 先读“方法梳理”，记住四步与流程图. ② 遮住例题解答，自己先算一遍. ③ 做“分层训练”，按 A/B/C 量力选择. ④ 挑战“附加拓展提高”的六大题型. ⑤ 最后看“方法总结”与“本讲要点回顾”自查. 四、方法梳理 步骤 做法 步骤 做法 ① 化为一般式 去括号、移项、合并同类项，写成 gen，确定 a,b,c ② 算判别式 计算 delta ③ 代入求根 若 delta≥0，代入 root；若 delta<0，方程无实根 ④ 写结论 写出两个根 x1,x2（或写“无实根”） 图 解题流程图 图 解法体系思维导图 ▶ 方法点拨 ① 先确认是不是一般式； ② 确定系数 a,b,c 时盯紧符号（尤其常数项为负）； ③ 先算判别式再代公式，避免白算. 五、典例精讲 ▶ 学习重点 ① 四步法； ② 求根公式与判别式的关系. 例1 解方程 . 【审题·思路】方程已是一般式，直接确定 a,b,c 后套公式. 【突破】注意 b=-5，公式中是 -b=5；根号内先算判别式. 【解答】解：这里 ，，. . ，方程有两个不相等的实数根. . 即 ，. ▶ 方法小结 直接套公式四步：定系数 → 算 Δ → 代公式 → 写根. 变式 解方程 . 例2 解方程 . 【审题·思路】先展开、移项化为一般式，再确定系数. 【突破】右边是 3 不是 0，不能直接用因式分解法，必须先化一般式. 【解答】解：化为一般式，得 ，即 . 其中 ，，. . . 即 ，. ▶ 方法小结 含括号、分式时，先化为一般式再套公式. 变式 解方程 . 例3 不解方程，判别根的情况 方程：. 【审题·思路】不求解，只算判别式看符号. 【突破】Δ>0 两不等实根；Δ=0 两相等实根；Δ<0 无实根. 【解答】解：，，. . 方程有两个不相等的实数根. ▶ 方法小结 判根情况三步：定系数 → 算 Δ → 按符号下结论. 变式 不解方程，判别根的情况 方程：. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 解方程：. ▶ 答题指导 先定 a=1,b=-3,c=-1，算 Δ=9+4=13，再代公式. 2. 解方程：. ▶ 答题指导 注意 c=-2；Δ=9+16=25 是完全平方数，根是有理数. ★★ B层 · 能力提升 1. 解方程：. ▶ 答题指导 展开、移项，化为一般式，再确定系数. 2. 不解方程，判别 根的情况. ▶ 答题指导 只算 Δ=16-12=4>0，下“两不等实根”结论. ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 解方程：. ▶ 答题指导 先两边乘 10 化整，再套公式. 2. 关于 x 的方程 有两个相等的实数根，求 m 的值. ▶ 答题指导“两相等实根”即 Δ=0，列方程 4-4m=0. 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（直接套公式） 例题 解方程 . 【分析】系数含负号，定系数后直接套公式. 变式 解方程 . 巩固 解方程 . 题型2 易错警示（符号与前提） 例题 解方程 . 【分析】首项系数为负，可先乘 -1 化为 再算. 变式 解方程 . 巩固 说一说：为什么 a≠0 是前提？若 a=0 会怎样？ 题型3 实际应用型（配图 + 审题） 实景：矩形菜园靠墙围合 示意图：宽 x，长 20-2x 例题 用长 20 m 的篱笆靠墙围成矩形菜园，面积为 48 平方米.求菜园的长和宽. 【审题】已知：篱笆长 20 m、靠墙、面积 48 平方米；所求：长宽；设元：垂直墙的边为 m；等量关系：面积 ；列方程：. 【分析】含实际背景，先由“面积=长×宽”列一般式，再用公式法求解最后检验合理性. 变式 某商品进价 40 元，售价 50 元时月销 500 件；每涨价 1 元月销减少 10 件.若月利润目标 8000 元，应涨价多少元？ 【分析】单件利润 元，月销量 件，总利润 . 实景：超市货架销售 巩固 上面菜园问题中，若面积改为 60 平方米，方程有实根吗？试用判别式说明. 题型4 含参讨论（判别式含字母） 例题 关于 x 的方程 有两个不相等实根，求 k 的范围. 【分析】“两不等实根”对应 Δ>0，列关于 k 的不等式. 变式 若上题改为“有实根”，k 的范围又如何？ 巩固 当 k=1 时，方程的根是什么？ 题型5 分类讨论（按 Δ 符号） 例题 解关于 x 的方程 （按 m 讨论）. 【分析】根的情况依赖 ，按 Δ 的正负零分类. 变式 当 m=0 时，方程的根是多少？ 巩固 用判别式验证 m=0 时结论与分类一致. 题型6 创新探究（开放与综合） 例题 写出一个判别式为 0 的一元二次方程，并求解. 【分析】令 Δ=0，构造如 即可. 变式 写出一个无实根的一元二次方程. 巩固 两根之和与 a,b 可能有什么关系？说说你的猜想（后续 2.3 会证明）. 八、方法总结与自我检测 1. 公式法 = 配方法的一般化结果，适合所有一元二次方程. 〔自测：我能说出求根公式，并解释每一步的来源.〕 2. 四步口诀：化一般式、算 、代公式、写根. 〔自测：我会用四步法解任意一元二次方程.〕 3. 判别式是“先判后算”的开关： 直接下“无实根”结论，不必代公式. 〔自测：我能用判别式不解方程判别根的情况.〕 4. 常见坑自查：① 漏 ；② 符号抄错；③ 硬代公式得虚数. 〔自测：我能指出 错在哪里（ 误代公式得虚数）.〕 — 讲义完（学生版）— 学科网（北京）股份有限公司 $ 配 套 讲 义（教师版） 2.2.3 一元二次方程的解法（第3课时·公式法） 配套教材：苏科版 九年级数学上册（2026-2027学年） 一、教学目标（核心素养） 数学运算：经历用配方法推导求根公式的过程，理解公式的来源（降次思想）. 数学运算：掌握公式法解一元二次方程的四个步骤，能正确识别一般式中的a,b,c并计算. 逻辑推理：理解根的判别式与根的个数之间的对应关系，能不解方程判别根的情况. 数学抽象：体会从特殊到一般的归纳，感悟算法化求解的思路. 二、知识回顾（已学/本课/未学） 类别 内容 说明 类别 内容 说明 已学 配方法（第1课时） 两边配成完全平方式，降次求解 已学 因式分解法（第2课时） 移项使右边为 0，左分解，各因式为 0 本课 公式法（第3课时） 用求根公式直接求解，含根的判别式 未学 根与系数关系、 后续 2.3、2.4 一元二次方程一般形式：.公式法适用于所有一元二次方程. 三、教学使用说明 本讲为第3课时，建议先过“方法梳理”再讲典例，把求根公式的推导过程完整板演. 判别式是本课难点：单列专题，用“不解方程判别根的情况”训练，配合三情况对比表. 分层训练按 A/B/C 分层：A 层必做达标，B/C 层作为提升与拓展；巡视重点抓 b,c 符号与 Δ<0 误代. 附加拓展提高的六大题型按学情选讲；实际应用题（题型3）配实景图与生活情境，便于导入与举例. 四、方法梳理 步骤 做法 步骤 做法 ① 化为一般式 去括号、移项、合并同类项， 写成 ，确定 a,b,c ② 算判别式 计算 ③ 代入求根 若 ≥0，代入 ；若 <0，方程无实根 ④ 写结论 写出两个根 x1,x2（或写“无实根”） 图 解题流程图 图 解法体系思维导图 ▶ 教师批注·分解策略 强调 a≠0 是前提；b,c 符号是高频错点；先算判别式判断有无实根再代公式. 五、典例精讲 ▶ 教师批注·重点·突破 核心：降次到一次；预设提问：为什么公式里出现正负号？ 例1 解方程 . 【分析】典型“直接套公式”题，重点示范四步规范与符号处理. 【解答】解：这里 ，，. . ，方程有两个不相等的实数根. . 即 ，. ▶ 教师批注·例1 讲解 板演四步；追问：若首项系数取负，符号会怎样变化？ 变式 解方程 . 【解答】解：，，. . . 即 ，. 例2 解方程 . 【分析】训练“化为一般式”的意识，避免直接套因式分解. 【解答】解：化为一般式，得 ，即 . 其中 ，，. . . 即 ，. ▶ 教师批注·例2 讲解 强调“右边为 0 才能分解”；此处右边是 3，必须先移项. 变式 解方程 . 【解答】解：展开，得 ，化为一般式 . ，，；. . 即 ，. 例3 不解方程，判别根的情况 方程：. 【分析】判别式专题：只算 Δ 判符号，不下求根结论. 【解答】解：，，. . 方程有两个不相等的实数根. ▶ 教师批注·例3 讲解 配合下表小结三种情况；追问：Δ=0 时两根有什么关系？ 变式 不解方程，判别根的情况 方程：. 【解答】解：，，；. 方程没有实数根. 六、分层训练 ★ A层 · 基础达标（必做） 1. 解方程：. ▶ 教师批注 预设答案：x=(3±√13)/2；常见错：把 c=-1 当 c=1. 【解答】解：，，；；. 2. 解方程：. ▶ 教师批注 预设答案：x1=0.5，x2=-2；可顺带提因式分解检验. 【解答】解：，，；；，即 ，. ★★ B层 · 能力提升 1. 解方程：. ▶ 教师批注 预设答案：x=2±√3；易错：忘记移项直接开平方. 【解答】解：化为一般式 ；；. 2. 不解方程，判别 根的情况. ▶ 教师批注 预设答案：两不等实根；可问：能否直接写出两根？ 【解答】解：，方程有两个不相等的实数根. ★★★ C层 · 拓展挑战 1. 解方程：. ▶ 教师批注 预设答案：x1=1.5，x2=-1；易错：小数直接代入算错. 【解答】解：两边乘 10得 ；；，即 ，. 2. 关于 x 的方程 有两个相等的实数根，求 m 的值. ▶ 教师批注 预设答案：m=1；逆向用判别式，链接后续根与系数关系. 【解答】解：由两相等实根得 ，解得 . 七、附加拓展提高（六大题型） 题型1 基础巩固（直接套公式） 例题 解方程 . 【分析】系数含负号，定系数后直接套公式. 【解答】解：；；，即 . 变式 解方程 . 【解答】解：；；，即 . 巩固 解方程 . 【解答】解：；；，即 . 题型2 易错警示（符号与前提） 例题 解方程 . 【分析】首项系数为负，可先乘 -1 化为 再算. 【解答】解：化为 ；；；，即 . 变式 解方程 . 【解答】解：，方程没有实数根（易错：硬代公式得虚数）. 巩固 说一说：为什么 a≠0 是前提？若 a=0 会怎样？ 【解答】解：若 a=0 则降为一次方程，不再是“一元二次”，公式不再适用. 题型3 实际应用型（配图 + 审题） 实景：矩形菜园靠墙围合 示意图：宽 x，长 20-2x 例题 用长 20 m 的篱笆靠墙围成矩形菜园，面积为 48 平方米.求菜园的长和宽. 【审题】已知：篱笆长 20 m、靠墙、面积 48 平方米；所求：长宽；设元：垂直墙的边为 m；等量关系：面积 ；列方程：. 【分析】含实际背景，先由“面积=长×宽”列一般式，再用公式法求解，最后检验合理性. 【解答】解：列方程 ，即 . ；；，即 . 当 时，长 ；当 时，长 . 两种都符合面积 48 平方米. 变式 某商品进价 40 元，售价 50 元时月销 500 件；每涨价 1 元月销减少 10 件.若月利润目标 8000 元，应涨价多少元？ 实景：超市货架销售 【分析】单件利润 元，月销量 件，总利润 . 【解答】解：列方程 ，展开化为 . ；，即 . 两种涨价均可（月销量均非负）. 巩固 上面菜园问题中，若面积改为 60 平方米，方程有实根吗？试用判别式说明. 【解答】解：方程为 ，即 ；，无实根，说明 60 平方米围不出. 题型4 含参讨论（判别式含字母） 例题 关于 x 的方程 有两个不相等实根，求 k 的范围. 【分析】“两不等实根”对应 Δ>0，列关于 k 的不等式. 【解答】解：，解得 . 变式 若上题改为“有实根”，k 的范围又如何？ 【解答】解：有实根即 ，得 ，即 . 巩固 当 k=1 时，方程的根是什么？ 【解答】解：方程为 ，即 ，两根 . 题型5 分类讨论（按 Δ 符号） 例题 解关于 x 的方程 （按 m 讨论）. 【分析】根的情况依赖 ，按 Δ 的正负零分类. 【解答】解：. 当 时两不等实根 ；当 时两相等实根 ；当 时无实根. 变式 当 m=0 时，方程的根是多少？ 【解答】解：方程为 ，即 ，得 . 巩固 用判别式验证 m=0 时结论与分类一致. 【解答】解：，应两不等实根； 的根确为 0 与 2，一致. 题型6 创新探究（开放与综合） 例题 写出一个判别式为 0 的一元二次方程，并求解. 【分析】令 Δ=0，构造如 即可. 【解答】解：取 ，则 ，两根 . 变式 写出一个无实根的一元二次方程. 【解答】解：如 ，，无实根. 巩固 两根之和与 a,b 可能有什么关系？说说你的猜想（后续 2.3 会证明）. 【解答】解：猜想两根之和等于 ；本课先用具体例子感受，2.3 再严格证明. 八、参考答案（备课与批改） 说明：以下为答案速查与批改预警，供备课与阅卷；学生版不含本部分（答案不下发）.例1：，.预警： 易误代成 ；先算 再代公式. 例1 变式：，. 例2：，.预警：右边是 3 不是 0，须先化一般式再定系数. 例2 变式：，. 例3：，两不等实根；变式 ，无实根.预警： 不得硬代公式得虚数. A层：1. ；2. ，.评分：定系数与 各占一半. B层：1. ；2. 两不等实根. C层：1. ，；2. （逆向用判别式）. 题型3 应用：菜园长宽 8 m 与 6 m 或 12 m 与 4 m；涨价 10 元或 30 元（均满足非负）. 九、教学小结（教法提炼） 降次思想渗透：由配方法引出求根公式，避免学生死记硬背；板演推导过程. 四步法板书顺序：定系数 → 算 → 代公式 → 写根；强调“先判后算”. 判别式专题突破：单列“不解方程判别根的情况”，用三情况对比表（//）强化. 高频错因归类与纠正话术：漏 、 符号错、 误代公式；当场出示反例 . 前后衔接：已学配方法、因式分解法；后续 2.3 根与系数关系（此处只感受，不证明）. 十、本讲要点回顾（教学目标达成与板书回顾） 教学目标达成检测：学生应能说出求根公式并解释来源、用四步法解题、用判别式判根. 板书核心回顾：主板书含求根公式推导、四步法、判别式三情况；板演区含例1完整过程. 课后分层任务建议：A 层巩固四步法必做；B 层加判别式专题；C 层加含参与分类讨论. 十一、教师教学参考 （一）学情分析细化 认知障碍点：① 易把求根公式当纯记忆，忽视“由配方法推导”的来源；② 确定 a,b,c 时常数项符号易错；③ 判别式与根的个数关系易混淆（尤其 Δ=0 与 Δ<0）.对策：板演推导、强化符号训练、用三情况表对比. （二）重难点突破策略 例1 示范四步规范与符号处理；例2 强化“先化为一般式”的意识；例3 配判别式三情况表（Δ>0 两不等、Δ=0 两相等、Δ<0 无实根）.提问设计：为什么公式里出现正负号？Δ=0 时两根有何关系？ （三）易错点预案 高频错因：① 忽略 a≠0 前提；② b,c 符号抄错；③ Δ<0 仍硬代公式得虚数.纠正话术：“先看 Δ 的符号，Δ<0 直接下无实根结论”；典型反例： 误得 . （四）教学时间分配（40分钟总控） 环节 时长 要点 环节 时长 要点 引入与知识回顾 约5分 复习配方法、因式分解法，点出本课公式法 典例精讲 约15分 例1-3，四步法+判别式三情况 分层训练 约15分 A/B/C 分层，巡视纠错 小结与作业 约5分 教学小结+本讲要点回顾 （五）板书设计（模拟黑板·详细完整） 主板书（左半） 板演区（右半·例1） 一、求根公式的推导 例1： 由 配方，得 ① 定系数：，， ② 算判别式： 二、四步法（解题顺序） ③ 代公式： ①化一般式 ②算 ③代公式 ④写根 ④ 写根：， 三、判别式三情况 （判别式专题·配合三情况对比表） ：两不等实根 ：两相等实根 ：无实根（停止代公式） （ 时两根 ） — 讲义完（教师版）— 学科网（北京）股份有限公司 $