第3章 勾股定理 单元巩固测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册,

**基本信息** 勾股定理单元巩固卷，以基础应用与综合探究为核心，通过10道单选、6道填空、8道解答题（总分120分），覆盖定理应用、逆定理验证及实际问题解决，适配单元复习，培养几何直观与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|直角三角形判定、折叠问题|结合梯子靠墙（第3题）等生活情境，考查基础计算| |填空题|6/18|勾股数、最短路径|以旗杆绳（第13题）、两树距离（第14题）体现模型意识| |解答题|8/72|综合应用与证明|含赵爽弦图推导（第23题）、动点探究（第24题），发展推理能力与创新意识|

第3章 勾股定理 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 3．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 4．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 7．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 10．公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，，是勾股数，则的值是________． 12．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 13．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 14．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 15．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 16．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，．求的长． 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． (1)线段的长度为______________． (2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． (3)在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 19．如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 20．已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 22．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 23．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 24．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．4，6，10 C．6，8，15 D．5，12，14 【答案】A 【详解】解：A、∵，，∴，∴可以构成直角三角形，符合题意； B、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意； D、∵，，∴，∴不可以构成直角三角形，不符合题意. 2．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则AB2+BC2+AC2的值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据，利用勾股定理可得，据此求解即可． 【详解】解：如图示， ∴在中， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长，，满足是解题的关键． 3．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为，则梯子的顶端距地面为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知斜边与一条直角边，利用勾股定理求解另一条直角边长度即可． 【详解】解：由题意得，，， 在中，， ， 梯子的顶端距地面为． 4．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴ ∵点表示的数是，点在点的右侧， ∴点表示的数为． 5．如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点与点重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理得 ，利用折叠的性质得，设，则，再利用勾股定理求出的值即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 6．如图所示，三个大小不一的正方形拼合在一起，中间形成一个直角三角形．已知其中两个正方形的面积分别为144，225，那么正方形A的面积是（    ） A．225 B．144 C．81 D．369 【答案】C 【详解】解：正方形A的边是直角边，它的面积等于边长的平方，根据勾股定理，可知． 7．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海，两个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以6海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以5海里/时的速度出海， ∴， 两小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 8．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 9．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后利用进行计算即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 10．公园里一根长方体石柱如图所示，若一只蚂蚁以的速度从点爬到点，最快需要多长时间（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时，②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时，利用勾股定理求出最短路径，进而可求出最快爬行的时间． 【详解】解：①当把长方体沿正面和上面（或后面和下面）进行展开时： 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ②当沿长方体的正面和右面（或后面和左面）进行展开时： ， 蚂蚁以的速度从点爬到点需要； ∵， ∴最快需要． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．若，，是勾股数，则的值是________． 【答案】 【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为是最长边，是最长边，利用勾股定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为最长边时，由勾股定理得， 不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去； 当为最长边时，由勾股定理得 ， ，是正整数，符合勾股数定义． 12．如图，在正方形网格中有两条直线与，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，利用勾股定理及其逆定理得是直角三角形，，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得： ，，， ，， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 13．如图所示，小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面时还多了，当他把绳子拉直，端点刚好着地，下端距离点，则旗杆的高为________． 【答案】 【分析】设旗杆的高为，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高为， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴，即旗杆的高为． 14．有两棵树，一棵高6米，另一棵高1米，两树相距6米，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键． 设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接，则，，，在中，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作于E，则是长方形，连接， ∴，，， 在中，， ∴小鸟至少飞行． 故答案为：． 15．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面3米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部4米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有______米． 【答案】8 【分析】根据勾股定理，计算，再根据旗杆高度为计算即可． 【详解】如图： 由题意得：，，， ∴， ∴（米） 答：这根旗杆被吹断裂前至少有8米． 16．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为，，．已知A、B两村之间已修建了一条笔直的村级公路，为了实现村村通公路，现在要从村修一条笔直公路直达．已知公路的造价为10000元/，则修这条公路的最低造价为______元． 【答案】72000 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是知道在什么时候距离最短． 首先得出，然后利用其逆定理得到，根据垂线段最短确定最短距离，然后利用面积相等求得的长，最终求得最低造价． 【详解】解：∵， ， ， 要使公路的造价最低，则， ， ， 故这条公路的最低造价为：（元）， 故答案为：72000． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，．求的长． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是的边上的高，为垂足， ∴， ∴． 18．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点均为格点（网格线的交点），点在线段上，且． (1)线段的长度为______________． (2)将线段绕点逆时针旋转，得到线段． ①在图中画出线段（其中为的对应点）， ②四边形的面积是______________． (3)在图中的网格内存在______________个格点，到两边所在直线的距离相等． 【答案】(1) (2)①如图，为所求②22.5 (3)4 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）①确定点A、B的对应点，连接即可； ②运用分割法求解即可； （3）画出角平分线即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：①略 ②四边形的面积 （3）解：如图，在图中的网格内存在4个格点，到两边所在直线的距离相等． 19．如图是某公园的局部平面图，四边形为草坪，已知米，米，米，米，． (1)为了让市民去点看桃花更方便，公园管理处决定从正门点处修一条笔直小路通往点处，求小路的长度； (2)求四边形草坪的面积． 【答案】(1)20米； (2)246平方米． 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可； （2）先判断出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论． 【详解】（1）解：， 根据勾股定理可得（米）， 答：小路的长度为20米； （2）解：由（1）知，， ， ， 是直角三角形，且， （平方米）． 答：四边形草坪的面积是246平方米． 20．已知：在中，，于，，．求：    (1)求的面积； (2)求线段的长： (3)求高的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用直角三角形的面积公式计算即可求解； （）根据勾股定理计算即可求解； （）利用三角形面积即可求解； 本题考查了直角三角形的面积，勾股定理，掌握勾股定理及三角形面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）∵，，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 21．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 22．内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为、，公路总长，工程车周边120米范围为噪声影响区域． (1)求的度数； (2)学校C会受噪声影响吗？为什么？ (3)若压路工程车行驶速度为每分钟，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】(1)； (2)学校会受噪声影响 理由如下：过点作于点， 根据三角形面积公式可得， ； 压路工程车周围以内为受噪声影响区域，且， 学校会受噪声影响； (3)分钟． 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可解答； （2）根据三角形面积公式求得的值，即可解答； （3）在上取一点，使，连接，求得的长即可解答． 【详解】（1）解：点与直线上两点，的距离分别为和，， ，． 是直角三角形，且； （2）略 （3）解：在上取一点，使，连接， ， 当压路工程车在线段上时产生的噪声会影响学校． ， ， 在中， ，． ，（分钟）， 答：压路工程车产生的噪声影响该学校持续的时间为分钟． 23．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ 【延伸扩展】 (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)新路比原路少米； (3)． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）证明：由图可知，， ，， ， 又 ， ， ， ， ； （2）设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ； 答：新路比原路少米． （3）解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ， 解得：． 24．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 【答案】(1) (2)仍成立；理由见解析 (3) 【分析】（）利用，在中和等腰中分别用勾股定理，推导出结论； （）先通过证明，得到且，再在两个直角三角形中用勾股定理，验证结论仍成立； （）通过构造等腰直角，先利用证明，得到；再结合与的角度关系，判定为直角三角形，用勾股定理求出；最后利用等腰直角中的关系，计算得出的长度． 【详解】（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $