第三章实勾股定理单元测试卷 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 勾股定理单元测试卷，适用于初中数学单元复习，通过选择、填空、解答题覆盖定理应用、实际问题与证明，融合数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识），提升综合素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|直角三角形判定、网格距离、最短路径等|基础巩固，如第1题判定勾股数，第10题长方体表面路径| |填空题|6|数轴应用、动态问题、折叠旋转|能力提升，如12题竹竿移动，13题矩形折叠| |解答题|8|实际应用（梯子、收绳）、定理证明、跨学科（光反射）|创新应用，如22题勾股定理证明，24题收绳问题结合方程思想|

第三章实勾股定理单元测试卷 一、单选题 1.以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是() A.1,3,0B.4.4,4 c.335 D.2.4.5 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，若AC=2,BC=4,则CD 的长为() B V5 C.25 D.25 3.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为 () B D. √26 A.5 B.6 C.2 4.如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离B0为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外 移动0.8m,那么梯子顶端沿墙40下滑() 试卷第1页，共3页 B D A.0.8m B.0.7m c.0.5m D.0.4m 5.《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低.长竿横进使归室， 争奈门狭四尺.随即竖竿过去，亦长二尺无疑.两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思 是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门， 长竿比门的高度多2尺.将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门.请问门的宽、高和竿长各 是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为x尺，则下列方程不正确的是() 2尺 竹 竹竿 门 竹竿 A.(x+2y+x2=(x+4 B.(（x-4)+x2=(x+2} C.x2+(-2}2=(x+2) D.（-4}°+(x-2}=x 6.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB=24,BD=25, 点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是() A.25 B.24 C.11 D.7 7.如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.分别以直角三角形ABC的边AB, BC,AC为直径画半圆，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=4,则阴影部分的面积为 () 试卷第2页，共3页 A45 B 8V3 C.123 D16V3 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D为BC上一点，且AC=AD,E, F分别是CD,AB的中点，连接EF,若AC=2,则EF的长为(). 25 B V3 c1 0.5 A D 9.下列命题： ①如果直角三角形的两边是5,12，那么斜边必是13： ②如果a、b、c为一组勾股数，那么3a、3b、3c仍是勾股数： ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形： ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c,(a>b=C),那么a2:b2:c2=2:1:1. 其中正确的是() A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 10.如图，长方体的长BE=20cm,宽AB=10cm,高AD=15cm,点M在CH上，且 CM=5cm.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点M,那么它爬行的最短路程 是() G H D F B A.15v2cm B.105cm C.30cm D (5+5v13)cm 试卷第3页，共3页 二、填空题 11.如图，在RtAOBC中，OC=2,BC=1,以点O为圆心，以OB的长为半径画弧交数 轴于点A,则点A表示的数为 B -101CT3 12.如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动5分米，测得顶端从 点A沿墙下滑1分米到点B,那么竹竿长度为分米. 13.如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处，若AB=8, DF 2 BC5,则BF= A 14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,将△ABC绕点C逆时针旋 转，AB的对应边AB'正好过点B,此时A'C与AB交于点O,则OC的长为 B 15.如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，AC为对角线，△ABC沿直线AC翻折得 到△AB'C,AB交CD于点E,连接BB分别交CD,AC于点F,G.已知AB=I3, 试卷第4页，共3页 AG=2CG=12,则线段BG= B 16.如图△ABC中，AB=AC=6,∠BAC=120°，O为BC的中点，连接A0.点E为BA 延长线上的一点，连接OE,将线段OE绕点O顺时针旋转60°，点E的对应点F恰好落在 AC边上.若FC= 34C,则ABOE的面积为 三、解答题 17.综合与实践 物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角 如图，直线EF为水平平面镜，AC⊥EF,BD⊥EF,垂足分别为C、D,入射点O是线 段CD的中点，OM为法线，已知AC=6cm,CD=8cm 法线 M B-niirginF (1)求入射光线AO的长度： (2)求反射光线OB的长度. 18.如图，小聪在数轴上表示一个无理数.他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一 样的小正方形，再依次连接其中四个顶点A,B，C,D(其中点D与原点重合)，又得 到一个正方形（阴影部分），最后以原点为圆心，以正方形ABCD的边长为半径画弧，与 数轴正半轴交于点E. 试卷第5页，共3页 E -6-5-4-3-2-1D0123456 (I)正方形ABCD的面积是，点E表示的数是_： (②)请在数轴上维铁找出表示V5。 F 的点；（保留作图痕迹） (3)在(2)的基础上，若数轴正半轴上的点G表示的数为m,且EF=EG,求m的值. l9.如图，在△ABC中，AC=BC,点D在AC延长线上，点F在线段AB上，连接BD, CF,使∠DBC+LDCF=I8O°.过点A作AE∥BC交CF延长线于点E. D B (I)求证：△ACE≌△CBD: (2)若LBCE=90°，BC=13,AE=5,求△ACE的面积. 20.如图，△ABC中，AB=3,AC=5,BC边上的中线AD=2,延长AD到点E,使得 DE=AD,连接CE. A E (I)求证：△DEC≌aDAB, (2)求BC的长： (3)求△ABC的面积. 21.如图1，有两棵树，一棵高10米(AB=10米)，另一棵高2米(CD=2米)，两树 相距6米(BD=6米) 试卷第6页，共3页 10米 M 2米 2米 BK D BK 6米 6米D(4) (图1) (图2) (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树AB折 断处M距离地面多少米？ 22.小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路 和证明过程，具体如下， 制作学具：两张直角三角形纸片ABC和DEF,其中∠ACB=∠DFE=9O°，BC=EF=a, AC=DF=b(a<b)AB=DE=c 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片DEF的边EF落在纸片ABC的 边AC上，点E与点C重合，连接AD、DB得到四边形ACBD,利用四边形ACBD的面积 的两种不同表示方法证明a2+b2=c2 请根据小高同学的思路写出证明过程。 D C(E) 23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC,点D在AB边上，连接CD,在CD 的右侧作CE⊥CD,CD=CE,连接DE,BE. 试卷第7页，共3页 (I)猜想线段AD,BD,DE之间的数量关系，并说明理由： a若AC=BC=4,BD=v5.求DE的长. 24.如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船.河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳 端从C移动到E,同时小船从A移动到B,且绳长始终保持不变，其中CF=5米，AF=12 米.回答下列问题： C E BL--F (1)若AB=8米，求小亮需向右移动的距离：（结果保留根号） (2)若小亮以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到 岸边点F的位置； (3)在(2)的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值. 试卷第8页，共3页 第三章实勾股定理单元测试卷 一、单选题 1．以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】解：对选项A，三边长为，最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合要求； 对选项B，三边长为，最长边为，∵，∴不能构成直角三角形，不符合； 对选项C，三边长为，最长边为，∵，∴不能构成直角三角形，不符合； 对选项D，三边长为，最长边为，∵，∴不能构成直角三角形，不符合． 2．如图，在中，，D是边的中点，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理可得， 是边的中点， 是斜边上的中线， ． 3．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 4．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 5．《增删算法统宗》中有一个问题：“今有门厅一座，不知门框高低．长竿横进使归室，争奈门狭四尺．随即竖竿过去，亦长二尺无疑．两隅斜去恰方齐，请问三色有几？”意思是：今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比长竿小4尺；将长竿竖着进门，长竿比门的高度多2尺．将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门．请问门的宽、高和竿长各是多少尺？如果设门的宽、高和竿长其中一个为尺，则下列方程不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分类讨论：当设门宽为时，竹竿长为，则门高为；当设竿长为时，门宽为，门高为；当设门高为时，竹竿长为，则门宽为；运用勾股定理的知识列式即可求解． 【详解】解：设门的宽、高和竿长其中一个为尺， 当设门宽为时，竹竿长为，则门高为， ∵将长竿斜着穿过门的对角，恰好进门，且门的四个角均为直角， ∴，故A选项正确，不符合题意； 当设竿长为时，门宽为，则门高为， ∴，故D选项正确，不符合题意； 当设门高为时，竹竿长为，则门宽为， ∴，故C选项正确，不符合题意； 根据B选项，结合图示得到，表示竹竿长为，表示门的高为， ∴B选项错误，符合题意 ． 6．如图，在中，，平分交于点，，，点是线段上的一动点，则的最小值是（     ） A．25 B．24 C．11 D．7 【答案】D 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据垂线段最短可知当时最小，最后利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，，，， ， 点是线段上的一动点， 当时，的值最小， 平分，，， ， 即的最小值是7． 7．如图是来自希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．分别以直角三角形的边，，为直径画半圆，，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由直角三角形的性质得出，由勾股定理得，然后通过阴影部分的面积为，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴阴影部分的面积为 ． 8．如图，在中，，，为上一点，且，，分别是，的中点，连接，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理求出的长，推导出是等边三角形，，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ，， 由勾股定理得：， ，， 是等边三角形， 是的中点， ，即， 在中，是的中点， ． 9．下列命题： ①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13； ②如果a、b、c为一组勾股数，那么、、仍是勾股数； ③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形； ④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（），那么． 其中正确的是（     ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案． 【详解】解：对四个命题逐一判断： ①∵题目未说明5和12都是直角边，当12是斜边时，斜边不是13，∴①错误； ②∵，，是一组勾股数，不妨设， ∴， ∴，，仍是勾股数，故②正确； ③∵，，，不满足直角三角形的条件， ∴该三角形不是直角三角形，故③错误； ④∵等腰直角三角形中，a为斜边， ∴由勾股定理得，代入得， ∴，故④正确； 综上，正确的命题是②④． 10．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 二、填空题 11．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出线段长度，然后结合数轴进行求解． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点A表示的数为． 12．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 13．如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 14．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，的对应边正好过点，此时与交于点，则的长为______． 【答案】 【分析】根据含的直角三角形的性质求出和的长，利用旋转的性质得到，，从而判定是等边三角形，求出旋转角的度数，最后在中利用的直角三角形的性质求出的长． 【详解】解：在中，，，， ，， ， 由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， 旋转角， 在中，，， ， 是直角三角形， ∴． 15．如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________． 【答案】5 【分析】由翻折得：，，由勾股定理得． 【详解】解：由翻折得：，，， 平行四边形， ， ，， ． 16．如图中，，，O为的中点，连接．点E为延长线上的一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转，点E的对应点F恰好落在边上．若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过 作 于 ，过 作 于 ，先利用三线合一和勾股定理求出，进而求出即，再在 中求出，进而求出，再设 ，则 ，再在 中，由勾股定理解出，进而得到，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过 作 于 ，过 作 于 ， ∵ ，， 是 中点， ∴ ，平分 ， ∴，， 在 中，， ∴ ，， ， ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 在 中，由勾股定理： ， 故 ， 在 中： ，， ∴， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理 ，代入得： 展开化简得：，解得 （负的舍去）， 即 ， ∴ ， ∴的面积为：． 三、解答题 17．综合与实践 物理知识：光的反射定律：反射角等于入射角． 如图，直线为水平平面镜，，，垂足分别为C、D，入射点O是线段的中点，为法线，已知，． (1)求入射光线的长度； (2)求反射光线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用中点的性质求出直角三角形的直角边长，再根据勾股定理求出的长度； （2）根据光的反射定律推导出，从而得到，最后根据勾股定理求出的长度． 【详解】（1）点O是线段的中点，， ， ， ， 在中，， 所以入射光线的长度为． （2）反射角等于入射角， ， 为法线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， 在中，， 所以反射光线的长度为． 【详解】略 18．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）解：以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 19．如图，在中，，点D在延长线上，点F在线段上，连接，，使．过点A作交延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)30 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）先利用角度和差关系以及全等三角形性质得到，，然后再根据勾股定理求出，进而可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 20．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 21．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 22．小高同学在学习“勾股定理”时，向全班展示了他通过查阅相关资料学到的证明思路和证明过程，具体如下． 制作学具：两张直角三角形纸片和，其中，，，． 证明思路：将两张纸片按如图所示方式摆放并固定，使纸片的边落在纸片的边上，点与点重合，连接得到四边形，利用四边形的面积的两种不同表示方法证明． 请根据小高同学的思路写出证明过程． 【答案】证明：如图，作，垂足为点， 设与的交点为， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为长方形， ， ， . 【分析】作，垂足为点，设与的交点为，证明，推出，分割法求出四边形的面积，即可得证. 23．如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 24．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 【答案】(1)米 (2)能 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）求出20秒小亮收绳的长度，再加上的长度后与的长度比较即可得到结论； （3）根据题意可得米，米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $