第三十章 直线与圆的位置关系 单元复习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦“直线与圆的位置关系”复习，涵盖单选（7题）、填空（10题）、解答（4题），注重基础巩固与能力提升，适配初中数学单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|圆的性质、切线性质、正多边形中心角|基础辨析（如第1题圆的性质判断）| |填空题|10|直线与圆位置关系、切线长定理、内切圆半径|分类讨论（如第17题圆与线段交点）| |解答题|4|切线证明、尺规作图、综合应用|几何推理（如第18题切线性质证明）|

第三十章 直线与圆的位置关系 单元复习 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形的内心到三角形三条边的距离相等 D．相等的圆心角所对的弧相等 2．如图，是的切线，切点为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径等于4，点在直线，且，则直线与的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 4．如图，点O为正五边形的中心，连接，则的度数为（    ） A．72° B．54° C．60° D．36° 5．已知圆的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根，若圆与直线相离，圆的半径可取的值为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．如图，多边形是正六边形，边长为4，则该正六边形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．设的半径为，点在直线上，已知，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 二、填空题 8．的直径为，若圆心O与直线l的距离为，则l与的位置关系是________（填“相交”、“相切”或“相离”）． 9．如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为___________． 10．在中，，，，以为圆心，为半径作，则和的位置关系是_______． 11．如图，的内接正六边形为正六边形，的半径为6，则的长为________． 12．如图，，分别与相切于，两点，是优弧上的一个动点，若，则_____． 13．如图，，，是的切线，切点分别为C，E，D点，若，，则的长为________． 14．如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F，且， ，，则的半径是 ___________． 15．如图，已知的周长是20，点为三角形内心，连接、，于点，且，则的面积是______． 16．如图，在中，，，，以的中点O为圆心的半圆与相切，连接，与半圆相交于点D，则的长为______． 17．已知中，，，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段只有一个交点，则r的取值范围为_________． 三、解答题 18．如图，在中，以为直径的交边于点，过点作的切线，交边于点，且．求证：． 19．如图，点是平分线上一点，，垂足为，与以为圆心、长为半径的圆相切吗？请说明理由． 20．如图，已知，平分交于点D，请利用尺规作的内切圆．（保留作图痕迹，不写作法） 21．已知在矩形中，，，以点为圆心，为半径作， (1)当半径为何值时，与直线相切； (2)当半径为何值时，与直线相切； (3)当半径的取值范围为何值时，与直线相交且与直线相离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查的知识点是圆的性质、三角形内心的定义，解题关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的性质和三角形内心的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：选项，对称轴是直线，直径是线段，任何直径所在的直线是对称轴，但直径本身不是对称轴，说法错误，不符合题意； 选项，平分弦（非直径）的直径垂直于弦，但若弦是直径，则不一定垂直，说法错误，不符合题意； 选项，三角形的内心是角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径，说法正确，符合题意； 选项，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，否则不一定，说法错误，不符合题意． 故选：． 2．B 【分析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质，根据切线垂直于经过切点的半径，可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，又因为，可以求出的度数． 【详解】解：是的切线， ， ， ， ． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系先判断点在外，利用点到直线的距离的定义可得到点到直线的距离，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断直线与的位置关系． 【详解】的半径为，，，则点在外 点到直线的距离， 直线与相切或相交或相离． 故选D． 4．A 【分析】根据正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的度数为； 故选A． 5．A 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解一元二次方程，先解一元二次方程可得出，再根据直线与圆的位置关系可得出，即可得到答案，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：， ， 或， ，， 的圆心到直线的距离是一元二次方程的一个根， ， 与直线相离， 的半径，即， ∴A符合题意； 故选：A． 6．B 【分析】本题考查正多边形的性质，设正六边形对角线交于点O，作于点H，先证是等边三角形，正六边形的面积为面积的6倍，由此可解． 【详解】解：如图，设正六边形对角线交于点O，作于点H， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 正六边形的面积， 故选B． 7．D 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键． 设点O到直线l的距离为，根据垂线段最短，可得，，即可求解． 【详解】解：∵设点O到直线l的距离为， ∵， ∴， ∵的半径为， ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：D 8．相交 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，由的直径为，求得的半径为，而圆心O与直线l的距离为，则圆心O与直线l的距离小于的半径，所以l与相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵的直径为，， ∴的半径为， ∵圆心O与直线l的距离为， ∴圆心O与直线l的距离小于的半径， ∴l与相交， 故答案为：相交． 9．12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 10．相切 【分析】本题考查了直线和园的位置关系，过C作于D，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，和的半径比较即可． 【详解】解：过C作于D， 在中，由勾股定理得：，   由三角形面积公式得：， ∴， ∴C到的距离等于的半径长， ∴和的位置关系是相切， 故答案为：相切． 11． 【分析】本题考查的是正六边形和圆，勾股定理，等边三角形的判定与性质；连接，，证出是等边三角形，进而即可求得答案． 【详解】解：如图，连接 ，，，交于， ∵的内接正六边形为正六边形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中； 同理证得是等边三角形，，，， 在中； ； 故答案为． 12．/74度 【分析】本题考查了圆的切线的性质、四边形的内角和、圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据四边形的内角和可得的度数，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别与相切于两点， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故答案为：． 13．9 【分析】本题考查了切线长定理，解题关键是熟记切线长定理． 根据切线长定理得到，，然后求出，进而得到． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：9． 14．/ 【详解】设，利用切线长定理，构建方程，解方程即可解决问题． 本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上基本知识． 【解答】解：在中， ∵， ，， ∴， ∵为的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， 则圆O的半径为． 故答案为：． 15．30 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的内切圆与内心．连接，过点作于点，于点，可得，根据，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，于点， 点为三角形内心，， ， ． 故答案为：30． 16．4 【分析】本题主要考查了圆的切线性质、直角三角形斜边中线的性质、中位线性质、勾股定理等知识点，得到切点为边的中点是解决本题的关键． 首先利用勾股定理可求解边的长度，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用圆的切线的性质以及等腰三角形的性质可得，然后利用中位线的性质可得圆的半径，最后根据即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，点O为的中点， ∴， 如图，设切点为点E，连接， ∴， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴圆的半径为，即， ∴． 故答案为4． 17．或 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出，利用等面积法求出当圆与相切时，；然后得到当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是，进而求解即可． 【详解】解：过C作于D， 在中， ∵，，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴当圆与时相切时，； 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是， 综上所述：若此圆与线段只有一个交点，r的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 18． 证明：如图，连接， ∵为的切线， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，根据切线的性质得到，从而推出，进而推出，即可证得． 【详解】略 19． 解：相切，理由如下， 过点P作于点E，    ∵点是平分线上一点， ∴， 即为的半径， ∴与相切． 【分析】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了角平分线定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质定理得到，即可推出与相切，熟练掌握切线的判定方法：有交点连半径证垂直，无交点作垂直证半径是解题的关键． 【详解】略 20． 即为所求作的圆，如图所示． 【分析】本题主要考查了内切圆的作图，先作出的平分线，交于点O，过点O作的垂线，垂足为E，以点O为圆心为半径作圆即可． 【详解】略 21．(1)当半径为3时，与直线相切 (2)当半径为2.4时，与直线相切 (3)当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离 【分析】（1）根据圆心到直线的距离等于半径时，圆与直线相切，结合矩形的性质进行求解即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，即为所求； （3）根据圆心到直线的距离和圆的半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵圆心到边的距离为，与直线相切， ∴， 则当半径为3时，与直线相切； （2）连接，过作，交于点， ∵在中，，， ∴， 又∵， ∴圆心到边的距离， 又与直线相切， ∴，则当半径为2.4时，与直线相切； （3）∵与直线相交，圆心到边的距离为， ∴， 又与直线相离，圆心到的距离为， ∴， 则当半径的取值范围为时，与直线相交且与直线相离． 【点睛】本题考查直线与圆之间的位置关系．熟练掌握圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，小于半径时，直线与圆相交，大于半径时，直线与圆相离，是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $