第27章二次函数单元测试卷 2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

**基本信息** 第29章二次函数单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，全面覆盖二次函数解析式、图像性质、平移及实际应用，适配单元复习，培养数学抽象、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|函数关系判断、图像性质分析（如开口方向、对称轴）|结合矩形剪拼（题1）、商品利润（题2）等实际情境，考查数学抽象与建模| |填空题|6/18|二次函数定义、取值范围、图像结论判断|通过图像信息（题13）、坐标计算（题16），培养几何直观与推理意识| |解答题|8/72|平移变换、实际应用（拱桥问题）、动点最值|含抛物线拱桥（题20）、线段与抛物线交点（题24）等综合题，突出模型观念与应用意识，契合真题命题趋势|

第29章二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.长为20cm,宽为l0cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边 折起来，做成底面积为c 的无盖的长方体盒子，则'与之间的函数关系式为() A.y=(10-x20-x)0<x<5) B.y=200-4x2(0<x<5) c.y=(10-2x20-2x)0<x<5) D.y=200+4r2(0<x<5) 2.下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是() ①面积为10cm的矩形中，矩形的长(cm)与宽*(com 的关系： ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积(m)与圆柱的高(cm)的关系， ②某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出告，可实出(20-)件.利润y (元)与每件售价x(元)的关系. A.① B.② C.③ D.①③ 3.已知二次函数'=-r+bc+C 的图象如图.其中b,c的值可能是() A.b=-3,c=1B.b=1,c=-3 C.b=3,c=3 D.b=-3,c=-3 如喝，=数r++a-0的离安与交于右L ,对称轴为直线 x=1,则下列讨论中错误的是() 试卷第1页，共3页 y◆x=1 A.abc<0 B.2a+b=0 C.4a+2b+c>0 D.c+8a>0 5,将抛物线”=2(-3+k(k为带数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为 () A.k>3 B.k<1 C.1<k<3 D.k≥1 6。如图，抛物线'=+br+ 的部分图像，对称轴为直线=05，则4-b+C 的值 () x=0.5 A.-3 B.-2 c.-1 D.0 7.如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是() -1/0 23 A.y=x2-x-2 B.y=-ir_ 2 2*2 试卷第2页，共3页 C.y=- D.y=-x2+x+2 8.如图，二次函数'=r+r+C的图像与x轴相交于 A(-5,0 ,B两点，对称轴是直线 x=- 3 2，下列说法正确的是（) VA A O/B x A.a<0 3 B.当x>一2时，y的值随x值的增大而减小 C.点B的坐标为 2,0) D.4a-2b+c>0 9.如图1，一张边长为a、a+8(a为正整数)的长方形纸片的面积等于30+k,将它通 过割、拼，再补一个正方形，拼成个新的正方形（如图2），k可以取得的最小整数是() a+8 图1 图2 A.-28 B.-21 c.-10 D.3 10,如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x-4r+1与》轴交于点A,已知点 P(0,2) Q(a,1 ,若线段P吧与抛物线y=--4x+1只有一个公共点，则“的值可能是() 试卷第3页，共3页 A。-3 B.-4 C.-5 D.-6 二、填空题（每题3分，共18分） 1,如果函数=低-3列+4+1是关于x的二次函数，则k= 12.对于二次函数》=-2+5 ,当2<xs1 时，的取值范围是 13.已知二次函数'=ar+hr+c(a≠0 0的图象如图所示，有下列5个结论：①bc<0:② a-b+c>04a+2b+c>0 2c<3b +b<m(am+b),m≠1 ③ ；④1 ；⑤ 的实数)，其中正确 结论的序号有」 14,若点P是抛物线'=-r+3x+ 在第一象限上的点，过点P分别向轴和'轴作垂线， 垂足分别为A,B,则PA+PB的最大值为· 15.已知二次函数'=ar+br+c(a≠0 图象上的部分点的坐标 x,y) 对应值列表如下： x -1 1 3 y 4 -4 -4 试卷第4页，共3页 则关于x的方程ax2+bx+c=4的解为： l6.如图，在正方形ABCD中，点B,D的坐标分别是 -2,-1)(2,1) 点A在抛物线 y=ax2+x 的图象上，则a的值为_ 三、解答题（每题9分，共72分） 17.将抛物线'=a(x-矿+k先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到 抛物线少-2r2 (I)求a,h,k的值： 2)指出抛物线y=a(r-h)°+k 的开口方向、对称轴和项点坐标： (3)说明此二次函数的增减性和最大（小)值. 18.已知二次函数'=r+x+ (0,-3)(2,5) 的图象经过 (1)求这个二次函数的解析式： (2)当-2≤x<2时，直接写出y的取值范围. 19,已知广关于产的=次西数的图象的顶点坠标为一12)且图象过点1-) (1)求二次函数的表达式： (2)当该二次函数的函数值为-18时，求x的值. 4V6 20.如图所示的是抛物线拱桥，己知水位在AB位置时，水面宽4V6米，水面距离桥顶2 4v3 米，当水位上升达到警戒线CD时水面 .0.5 米，若洪水到来时，水位以每小时米的速 试卷第5页，共3页 度上升， (1)求该抛物线的解析式， (2)水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 21.在平面直角坐标系中，已知函数'=-(x-m(x-)+1 (m,n为常数)图象的顶点坐 标为伍) (1)当m=2,n=4时，求该函数图象的顶点坐标. ②四若4），B(4)为该函数图象上的点，当h=2时，比较”，户的大小 (3)若该函数的图象经过点 0,2）,当h21时，求k的取值范围。 y=-x+4 22.如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，直线I与抛物线交于A、C两点，其 中C的横坐标为1. (1)求直线1的表达式： (2)点P是线段AC上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物 线于点E,求PE的最大值 23.三次数=-(-+的图象与销交于点4(-30)，B(0)且m>3,h-k=-5 (I)求h,k的值， (2)当a-1≤x≤a+1时，函数值y都小于3，求a的取值范围. 试卷第6页，共3页 24.在平面直角坐标系中，二次函数y(红-m+m的顶点 (m,川在另一条抛物线 y=x2-x+2 上运动.该二次函数图像与'轴交于点A.过点P PB上y轴于点B. B y=x2-x+2 衣 (I)当m=1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； 2当m≥1时，求点A的纵坐标”的最小值. 试卷第7页，共3页 第29章二次函数单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 5．将抛物线（k为常数）先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到新的抛物线，若新抛物线上的点到x轴的距离为1的点有且只有2个，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用抛物线平移规律得到新抛物线解析式，再结合二次函数开口方向和顶点的性质，分析满足条件的顶点纵坐标范围，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵原抛物线为，向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴新抛物线解析式为，整理得， ∵， ∴抛物线开口向上，函数最小值为顶点纵坐标， ∵新抛物线上点到轴的距离为1，即， ∴或， ∵抛物线开口向上，且与这两条直线总共有2个交点， 所以抛物线的顶点纵坐标必须在和之间， ∴， 解得． 6．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 7．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 8．如图，二次函数的图像与轴相交于，两点，对称轴是直线，下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的值随值的增大而减小 C．点的坐标为 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，掌握“抛物线的对称性、开口方向与的关系、函数值的变化规律”是解题的关键． 【详解】A．二次函数图像开口向上，故，A错误； B．对称轴为，图像开口向上，当​时，随增大而增大，B错误； C．抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，设，则，解得，故，C正确； D．对应时的函数值，由图像可知在对称轴左侧，此时，故，D错误． 故选：C． 9．如图1，一张边长为、（为正整数）的长方形纸片的面积等于，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，可以取得的最小整数是(    ) A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用长方形的面积公式，可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ． ，且， 当时，随的增大而增大， 当时，可以取得最小整数，此时． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，根据各数量之间的关系，找出k关于a的函数关系式是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，已知点，，若线段与抛物线只有一个公共点，则的值可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及二次函数与线段交点问题，读懂题意，数形结合，作出图形，由线段与抛物线只有一个公共点即可得到，从而得到答案，根据题意作出图形、数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点， ， 作，如图所示：   在上，即，解得或， 点，，若线段与抛物线只有一个公共点， ，即四个选项中只有满足范围， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 12．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 13．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确结论的序号有___________． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象和系数关系，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据图象开口方向，与y轴交点及对称轴可判断①；由时的函数值正负性可判断②；由时的函数值正负性可判断③；由对称轴得到，代入时的函数值可判断④；由时，函数有最大值可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，，， ∴， ∴，故此选项正确； ②由图象可知：当时，函数值小于0，即，故此选项错误； ③由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值大于0，即，故此选项正确； ④由图象可知：， ∴， 由对称知，当时的函数值等于时的函数值， ∴当时，函数值小于0，即， ∴，故此选项正确； ⑤由图象可知：当时，y的值最大，此时， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故此选项错误； 故①③④正确． 故答案为：①③④． 14．若点是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别为A，B，则的最大值为_____． 【答案】6 【分析】此题考查二次函数的性质，求函数的最大值，设点 的坐标为 ，其中 ，由垂线性质可得 ，，则 ，代入抛物线解析式 ，得到 ，通过求二次函数的最大值即可求解 【详解】解：设点 的坐标为 ，其中 ， 由垂线性质可得 ，， 由题意，，代入 ， 得：， 此为二次函数，开口向下，最大值在顶点处取得，顶点横坐标 ， 代入得：， 即的最大值为6． 故答案为：6． 15．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 16．如图，在正方形中，点B，D的坐标分别是，，点A在抛物线的图象上，则a的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数与正方形的综合问题，涉及待定系数法求解函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确求出点坐标． 连接，过点作轴，轴，垂足分别为，先得到点为正方形的中心，然后证明，求出点坐标，再由待定系数法求解即可． 【详解】解：连接，过点作轴，轴，垂足分别为，则 ∵正方形，点B，D的坐标分别是，， ∴关于点对称， ∴点为正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 将点代入，则， 解得， 故答案为：． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 【答案】(1)； (2)开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； (3)当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 【分析】本题主要考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的平移规律：左加右减、上加下减是解题的关键． （1）由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，，进行计算即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案； （3）根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为， ∴，，， ∴； （2）解：由（1）知，抛物线为抛物线， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 18．已知二次函数的图象经过，． (1)求这个二次函数的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，代入已知两点坐标求解系数，即可得到二次函数解析式； （2）将解析式配方为顶点式，当时，y取得最小值；再计算当，时，分别对应的函数值，即可得到y的取值范围． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解得 ∴二次函数的解析式为； （2）解：将二次函数配方得， 函数的对称轴为直线 ∵ ∴二次函数开口向上， ∴当时，y取得最小值； 当时，， 当时，； 即在时，y的取值范围是． 19．已知关于的二次函数的图象的顶点坐标为，且图象过点． (1)求二次函数的表达式； (2)当该二次函数的函数值为时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或． 【分析】本题考查的是二次函数的表达式求解及函数值对应的自变量计算，解题关键是利用顶点式设出二次函数表达式，代入已知点求出参数，再代入函数值求解自变量． （1）设二次函数的顶点式，代入点求出，得到表达式． （2）将代入已求的二次函数表达式，解方程得的值． 【详解】（1）二次函数的图象的顶点坐标为， 设二次函数表达式为， 图象过点， ， 解得， 二次函数表达式为． （2）令，代入表达式得， 整理得 解得或 的值为或． 20．如图所示的是抛物线拱桥，已知水位在位置时，水面宽米，水面距离桥顶米，当水位上升达到警戒线时水面宽米，若洪水到来时，水位以每小时米的速度上升． (1)求该抛物线的解析式． (2)水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？ 【答案】(1)； (2)小时 【分析】本题考查二次函数的实际应用，核心是通过建立合适的平面直角坐标系，将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）以桥顶为原点、对称轴为轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用水面的宽度与到桥顶的距离确定抛物线上一点的坐标，代入解析式求出参数，进而得到抛物线解析式； （2）根据水面的宽度确定对应点的横坐标，代入已求的抛物线解析式求出纵坐标，得到水面到桥顶的距离，再除以水位上升速度，即可计算出所需时间． 【详解】（1）解：以拱桥的桥顶为原点，过桥顶的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为． ∵水位在位置时，水面宽米，水面距离桥顶米， ∴点的坐标为， 将点的坐标代入中，得，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：当水位达到警戒线时，水面宽米， ∴点的横坐标为， 将代入中，得， 即此时水面距离桥顶的高度为6米， ∵水位以每小时米的速度上升， ∴所需时间为(小时)， 答：水过警戒线后小时淹到拱桥顶． 21．在平面直角坐标系中，已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为． (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标． (2)若，为该函数图象上的点，当时，比较，的大小． (3)若该函数的图象经过点，当时，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入函数解析式整理并化成顶点式即可求解． （2）根据对称轴为直线得出，把和分别代入二次函数求出对应的和，然后相减即可得出答案． （3）根据二次函数顶点坐标得出把点代入，得出，根据顶点坐标得出，，根据h的取值范围即可求出k的取值范围． 【详解】（1）解：当，时， 函数可化为． 整理得：． ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：已知函数， 其对称轴为， ∵，即对称轴为， ∴， ∴， 将代入函数中，可得， 将代入函数中，可得， ∴， ∴． （3）解：把点代入， 得， ∴， 已知函数（m，n为常数）图象的顶点坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 22．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 23．二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 24．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $