第27章 二次函数（举一反三单元自测·拔尖卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 沪教版五四制第27章二次函数拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖抛物线变换、最值、图像性质等核心知识，适配单元复习，通过跨地区真题改编（如陕西西安三模、浙江宁波期中题），考查抽象能力、推理意识与模型观念，可量化学生综合应用水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|抛物线对称变换、最值讨论、图像翻折|结合几何直观（如第4题翻折图像），考查分类讨论能力| |填空题|6/18|交点坐标、动态几何（如第13题等腰直角三角形）|体现空间观念，需构建函数模型解决问题| |解答题|7/72|解析式求解、动态几何应用（如第20题校门截面）、综合探究|突出推理能力，设计分层任务（基础计算到创新应用），贴合中考命题趋势|

第27章 二次函数·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知二次函数（h为常数），且时，若函数的最大值为，则h的值为（　　） A．4或 B．4或2 C．或 D．4或或2或 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则 D．若时，则 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若 这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 5．（25-26九年级下·江西南昌·月考）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 7．（25-26九年级下·北京·月考）如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 9．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 12．（25-26九年级下·福建泉州·期中）若点在抛物线上，当时，则的取值范围为_____． 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 14．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 15．（25-26九年级下·河南濮阳·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 16．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级下·安徽宿州·期中）已知关于的二次函数． (1)当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； (2)若抛物线与直线交于点，求点到轴的最小值． 18．（8分）（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的解析式和对称轴； ②若将平面内一点向左平移个单位长度得到点，向右平移个单位长度得到点，且点恰好在二次函数的图象上，求出的值： (2)若点，是该二次函数图象上的两点，且满足，求证：． 19．（10分）（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 20．（10分）（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）如图1是正在施工中的校门门洞的截面，该截面为轴对称图形，它是由矩形和抛物线L构成，其中，，过抛物线上的最高点E向作垂线，垂足为F，交于点G，． 施工中需要有关数据，设计师给出以下三种建立平面直角坐标系的方案： ①如图2，以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ②如图3，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ③如图4，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 如果你是建筑的决策者，你会选择哪一个建立平面直角坐标系的方案，并根据你所选的方案完成以下问题： (1)直接写出点D，E的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据施工需要，在两侧各增加一根立柱，，K，N分别为，的中点，求这3根立柱的总长度． 21．（12分）（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 23．（14分）（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，，点F为抛物线上任意一点，点F的横坐标为m． (1)求b、c的值； (2)如图1，点F在第一象限且在对称轴右侧，过点F作y轴的垂线，交抛物线于另一点E，线段交于点Q，若时，求m的值； (3)连接并延长至点G，使，当点F不在坐标轴上时，过点F、G分别作x轴，y轴的垂线交于点H． ①如图2，当点G恰好落在抛物线上时，求m的值； ②当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 二次函数·拔尖卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】先求得原抛物线的顶点坐标为，再根据关于轴对称的特点可得新抛物线的顶点坐标为，然后利用新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12,列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线（为常数）关于轴对称得到的新抛物线， ∴新抛物线的顶点坐标为， ∵新抛物线与原抛物线顶点间的距离为12， ∴，解得：或，即选项D符合题意． 2．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）已知二次函数（h为常数），且时，若函数的最大值为，则h的值为（　　） A．4或 B．4或2 C．或 D．4或或2或 【答案】A 【分析】利用二次函数的增减性，根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，分别计算最大值，解方程后结合取值范围舍去不合理的解，即可得到h的值． 【详解】解：∵二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点处函数值为， 根据对称轴与的位置分三种情况讨论： 当时， ∵在对称轴右侧，开口向下的二次函数在对称轴右侧随增大而减小， ∴最大值在处取得，代入得， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去， 得； 当时， 函数最大值在顶点处取得，最大值为，故此情况无解； 当时， ∵在对称轴左侧，开口向下的二次函数在对称轴左侧随增大而增大， ∴最大值在处取得，代入得， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去，得； 综上，的值为或． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知二次函数的图象上有两个点，其中，则下列说法正确的是（    ） A．若时，则 B．若时，则 C．若时，则 D．若时，则 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴，再通过作差得到的表达式，结合的正负和与的大小关系，判断和的大小即可． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴二次函数经过点和， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ． ， ， ， ∵， ， 选项A：若，则， ，即，A正确． 选项B：若，则， ，即，B错误． 选项C：若，则， ，即，C错误． 选项D：若，则， ，即，D错误． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若 这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 5．（25-26九年级下·江西南昌·月考）已知二次函数的图象与轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】A 【分析】由题意可得要想求的最值，就要找到与的关系，由二次函数的图象与轴只有一个交点可得，由抛物线的对称性可得，进而可用含的代数式表示、，再代入，即可找到与的关系，最后利用二次函数的性质可求出的最值． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴只有一个交点， ∴，即， ∵图象过和两点且两点的函数值相同， ∴， ∴，， ∴， 代入得：， ∴， ∴当时，有最小值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数的图象与x轴交点，二次函数的最值． 6．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线与交于点，若经过点的直线与两抛物线交于点，，则的长为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】联立与，联立与，可得，，得，，得 ． 【详解】解：联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3（对应点P）和 ∴， ∴， 联立与， 得， ∴， 即， 其两根为3和， ∴， ∴， ∵点A、B在直线上， ∴ ∴ ， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，函数的交点性质，一元二次方程的根与系数的关系，两点之间的距离公式，是解题的关键． 7．（25-26九年级下·北京·月考）如图在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为A，点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q，以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形．当此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到二次函数图象的顶点坐标，运用待定系数法得到直线的解析式，结合图形分析即可求解． 【详解】解：抛物线经过点， ∴， ∴抛物线的解析式为，对称轴直线为， ∴顶点坐标， ∵点P在此抛物线上，其横坐标为m，过点P作x轴的平行线交直线于点Q， ∴，， ∴， ∵以点P为直角顶点，为腰在的上方作等腰直角三角形， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当直线过抛物线顶点时，此抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大，如图所示， ∴， 整理得，， 解得，（舍去）， ∴当时，抛物线在内部的图象对应的函数值y随x的增大而增大． 8．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 9．（25-26九年级上·山东东营·月考）如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵直线从点出发，以每秒1个单位的速度由点向点匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时，， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项． 10．（25-26九年级上·山东济南·期末）如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，且．以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为，则． 以上结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． ①根据函数图象进行分析二次函数的参数取值即可； ②根据对称轴得出，根据点的坐标得出参数之间的关系，即可求解； ③根据当时，，进行判断即可； ④根据抛物线的对称性进行判断即可； ⑤根据，确定一元二次方程的参数，然后求解即可． 【详解】解：①由抛物线图象可得， ∵抛物线开口向上， ∴； ∵对称轴位于轴左侧， ∴符号相同， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴， 故①正确； ②∵对称轴为直线， ∴， ∴， 将代入解析式得，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③由可得，当时，， 由②得， ∴， 故③错误； ④∵，且两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于直线对称， ∵点在该函数图象上， ∴点也在该函数图象上， 故④正确； ⑤∵， ∴当时，， ∴方程转化为， 解得； 当时，， ∴方程转化为， 解得或； ∵方程的两根为， ∴， 故⑤正确； 综上，正确的选项为①②④⑤， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 12．（25-26九年级下·福建泉州·期中）若点在抛物线上，当时，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据点在抛物线上的性质，将点的横坐标代入抛物线解析式表示出，再根据列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，，由得： ． 13．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，在的左侧，与轴交于，点为对称轴右侧的抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点正好落在对称轴上，则点的坐标______． 【答案】或 【分析】求得点B的坐标为，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，设点P的坐标为，证明，得到，，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， 对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为，则，． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴，即或， 解得：（舍去），，， ∴点P的坐标为或． 14．（25-26九年级下·四川南充·期中）如图，抛物线与x轴交于A，，与y轴交于，与抛物线交于D，点E在直线上．若，则点E的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的待定系数法、与坐标轴交点的求解．中垂线的定理，勾股定理和联立方程求交点的方法． 【详解】解： 已知抛物线过和， 将代入，得， 将代入， 得．则． ． 令，则， 解得，或． B点的坐标为， ． 直线过点，， 设直线：，将，代入， 得， 直线：． 设直线：， 直线过点和点D， ， 直线：， 设D点的坐标为： ， 在中，， ，， , ， ， 整理得：， 这说明D点的纵坐标为， 即直线：． 联立直线和抛物线方程 得，解得（即A点）或， ． 设直线CD：，将，代入 得， 直线CD：． ， ． ∴． 过点作线段的中垂线交于点H， 则点E在AC的中垂线上(根据中垂线定理)． 设直线：， 过点， ， 平分线上的点，横、纵坐标相等， 直线：（因为在第二象限）． 联立直线和直线 得．则． 15．（25-26九年级下·河南濮阳·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线的顶点，中，，线段把图形（上半部分以抛物线为边界）分为两部分，则这两部分面积之差的绝对值是____． 【答案】1 【分析】连接，先分别求出与的面积，再求出线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等，则可得两部分面积之差的绝对值是，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 将代入得：，解得或， ∴，， ∴， 抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，， 由题意，可设点的坐标为，则， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线，即其图象关于轴对称， ∴抛物线在轴上方的图象在轴的左右两侧部分的面积相等， ∴线段与其上方抛物线构成图形的面积与线段与其上方抛物线构成图形的面积相等， ∴两部分面积之差的绝对值是． 16．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C．点P在抛物线对称轴上，点Q在坐标平面内，若以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为______． 【答案】或或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，两点距离计算公式，先求出点A，点B和点C的坐标，进而可得对称轴为直线；设，分当为对角线时，则，当为对角线时，则，当为对角线时，则三种情况，讨论求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， 当时，则，解得或，则， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 当为对角线时，则， ∴， ∴， 解得或， ∴或 ∵菱形的两条对角线的中点坐标相同， ∴，或 ∴或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或或或或； 故答案为：或或或或． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级下·安徽宿州·期中）已知关于的二次函数． (1)当时，求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴； (2)若抛物线与直线交于点，求点到轴的最小值． 【答案】(1)顶点坐标为；对称轴为直线 (2)点到轴最小值为7 【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可； （2）求得点的纵坐标为，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 顶点坐标为， 对称轴为直线； （2）解：把代入中， 得， 所以点的纵坐标为， 因为， 所以点到轴最小值为7． 18．（8分）（25-26九年级上·广西南宁·月考）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，解决下列问题： ①求该二次函数的解析式和对称轴； ②若将平面内一点向左平移个单位长度得到点，向右平移个单位长度得到点，且点恰好在二次函数的图象上，求出的值： (2)若点，是该二次函数图象上的两点，且满足，求证：． 【答案】(1)①；对称轴为直线；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图象的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a的值，即可得到二次函数的解析式；将解析式化为顶点式即可得到二次函数的对称轴；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：①将代入可得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； ∵， ∴二次函数的对称轴为直线； ②∵将平面内一点向左平移个单位得到点，将点A向右平移个单位得到点， ∴， ∵点恰好在二次函数的图象上， ∴点关于二次函数图象的对称轴对称， ∴， 解得， 则， 把代入，得； （2）证明：∵设点，是该函数图象上的两点，， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 19．（10分）（25-26九年级下·北京·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知二次函数过点和， (1)求出，，的值 (2)将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值且不超过，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及二次函数解析式的求解、函数间的距离计算、分段讨论二次函数的最值以及不等式的求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质以及分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，将已知点的坐标代入函数表达式，通过待定系数法求解，，的值； （2）先表示出，两点的纵坐标，进而得到两点距离的表达式，将问题转化为求含绝对值的二次函数在指定区间上的最大值问题；再结合二次函数的对称轴、区间端点及顶点处的函数值，通过分段讨论确定最大值的约束条件，进而求解的取值范围． 【详解】（1）解：函数过点， ， 函数过点，， ， 解得：； （2）解：由（1）得， 设点，， 则，， 设点与点的距离为，则， 设，， ，则问题转化为：当时，存在最大值且最大值不超过， 的对称轴为， 时，时， 的最大值只能在或顶点处取得， 或， ①若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； ②若，即时， 最大值， 解得：， 的取值范围为； 综上所述，的取值范围为． 20．（10分）（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）如图1是正在施工中的校门门洞的截面，该截面为轴对称图形，它是由矩形和抛物线L构成，其中，，过抛物线上的最高点E向作垂线，垂足为F，交于点G，． 施工中需要有关数据，设计师给出以下三种建立平面直角坐标系的方案： ①如图2，以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ②如图3，以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴； ③如图4，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴． 如果你是建筑的决策者，你会选择哪一个建立平面直角坐标系的方案，并根据你所选的方案完成以下问题： (1)直接写出点D，E的坐标； (2)求该抛物线对应的函数表达式； (3)根据施工需要，在两侧各增加一根立柱，，K，N分别为，的中点，求这3根立柱的总长度． 【答案】(1)方案①：D点坐标为，E点坐标为；方案②：D点坐标为，E点坐标为；方案③：， (2)方案①：；方案②：；方案③： (3)方案①：17米；方案②：17米；方案③：17米 【分析】（1）根据原点的位置，，，，E是抛物线上的最高点，即可得点D，E的坐标； （2）设抛物线的顶点式，代入点D的坐标即可求解； （3）由点K，N分别为，的中点，可求出点K，N的横坐标，代入抛物线解析式即可得点H，M的纵坐标，则可得立柱，的长，再计算3根立柱的总长度即可． 【详解】（1）解：方案①： 以G为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案②： 以点A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴D点坐标为，E点坐标为． 方案③： 以点B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴， ∵四边形是矩形，，，，E是抛物线上的最高点， ∴，， ∴， ∴D点坐标为，E点坐标为． （2）解：方案①： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入表达式，可得， ∴抛物线的解析式为． 方案②： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式可得， ∴抛物线的解析式为． 方案③： ∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入顶点式，可得， ∴抛物线对应的函数表达为． （3）解：方案①： ∵，F是中点， ∴， ∵K是中点，N是中点， ∴， ∴K的横坐标为，则H的纵坐标为，即， N的横坐标为2，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案②： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 方案③： ∵，F是中点， ∴， ∵K，N分别为，的中点， ∴， ∴K点的横坐标为2，则H的纵坐标为，即， N点的横坐标为6，则M的纵坐标为，即， ∴3根立柱的总长度为． 21．（12分）（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 22．（12分）（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知抛物线与轴交于点，顶点在直线上． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与抛物线的交点为，如果四边形是平行四边形．求、之间的关系式（结果用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，若抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点，且． 求的值； 若抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为， 顶点的坐标为 (2) (3)； 【分析】（1）利用待定系数法可求得，的值，即可得到解析式，再求出顶点坐标即可； （2）根据平行四边形的性质可得点的坐标，再结合点在抛物线上， 即可得到、之间的关系式； （3）先求出直线的解析式，进而根据平移的性质得到点，的坐标，然后分别表示出，，根据面积比列式计算即可求出的值；先求出直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线的解析式，确定交点坐标即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，顶点在直线上， ，， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 顶点的坐标为； （2）解：由题意得：， 四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 点在抛物线上， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 由平移可得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线的对称轴与直线交于点，与抛物线交于点， 当时，，即， 当时，代入得， ，即， ，，， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得或（舍去）， 即的值为； 设直线的解析式为， 当时，， ，， ，， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得，， 直线与的交点为， ， 抛物线上落在平行四边形内部的点（不包括与平行四边形的交点）的横坐标记为， ． 23．（14分）（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中，，点F为抛物线上任意一点，点F的横坐标为m． (1)求b、c的值； (2)如图1，点F在第一象限且在对称轴右侧，过点F作y轴的垂线，交抛物线于另一点E，线段交于点Q，若时，求m的值； (3)连接并延长至点G，使，当点F不在坐标轴上时，过点F、G分别作x轴，y轴的垂线交于点H． ①如图2，当点G恰好落在抛物线上时，求m的值； ②当抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，由题意得出 ，则Q的纵坐标为，E、F关于直线对称，进而求出Q的横坐标为，E的横坐标为，然后结合，得出，解方程即可求解； （3）①先判断F、G关于原点对称，得出，然后代入抛物线解析式求解即可； ②分三种情况讨论：当点在第一象限，且G点刚好在抛物线的图象上时，当点在第二、四象限，当点在第三象限，且G 点刚好在抛物线的图象上时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得； （2）解：由（1）知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵F的横坐标为m，点F在第一象限且在对称轴右侧， ∴ ， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴Q的纵坐标为，E、F关于直线对称， ∴，E的横坐标为， 解得， ∴Q的横坐标为， ∵， ∴， 化简得， 解得，（舍去）； （3）解：①∵，F、O、G在同一条直线上， ∴F、G关于原点对称， ∵， ∴， ∵G在抛物线上， ∴， 解得； ②∵， ∴点F与点G关于原点对称， ∵点在抛物线上，且横坐标为， ∴点F的坐标为， ∴点G的坐标为， 当点在第一象限，且G点刚好在抛物线的图象上时，如图3， 把点代入抛物线得： ， 解得：，负值舍去； 故当时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当点在第二、四象限，都不符合题意， 当点在第三象限，且G 点刚好在抛物线的图象上时，如图4， 把点代入抛物线得： ， 解得：，正值舍去， 故时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 当直线正好过抛物线的顶点时，如图所示： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴此时点F的坐标为， ∴当时，在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大； 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大时， 的取值范围为或或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $