精品解析：内蒙古呼和浩特市第十八中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

呼市十八中2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高二数学 说明：1．总分150分，考试时间120分钟； 2．答题前填写好自己的姓名、班级、准考证号等信息； 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 33 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 5. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的极小值点是 C. 函数有三个单调区间 D. 函数有两个零点 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 13. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差为________． 14. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 四、解答题（本大题共小5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数在-2处取得极值-14. （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程. 17. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18. 已知 （1）求函数的解析式. （2）若，求关于的不等式的解集; （3）若，成立，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼市十八中2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高二数学 说明：1．总分150分，考试时间120分钟； 2．答题前填写好自己的姓名、班级、准考证号等信息； 3．请将答案正确填写在答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由集合，则集合 2. 命题“ ”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 3. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B. 4. 在等比数列中，，则（ ） A. 150 B. 125 C. 100 D. 75 【答案】C 【解析】 【分析】法一，利用等比数列通项公式求出，进而可求解，法二，由，成等比数列，即可求解. 【详解】方法一：设等比数列的公比为，由， 得，所以， 所以. 方法二：设等比数列的前项和为， 则， 且，成等比数列， 所以，解得. 5. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列前项和与通项的关系（），结合已知条件逐步推导求出. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 故选：B. 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，充分性成立； 若，当时，满足，而不成立，必要性不成立. 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】由题可得：,解得：， 所以函数的定义域是, 故选：B 8. 已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，利用导数求的取值范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 令，，则， 在上单调递增，又， 所以当时，的取值范围为， 所以的取值范围为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量的数学期望，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D. 从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10. 设，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，，且，所以，解得，当且仅当时取等号，故选项A不正确； 选项B：因为，，且，所以， 解得（舍去）或，故选项B正确； 选项C：因为，，且， 所以, 仅当即，，时取等号，故选项C正确； 选项D：由选项B知，，所以， 仅当时取等号，故选项D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的值域为 B. 函数的极小值点是 C. 函数有三个单调区间 D. 函数有两个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】对分段求解单调性来判断值域，极值等问题即可. 【详解】因为，所以. 当时，， 所以在单调递增，在单调递减，可得值域为. 当时，，在上递增，值域为. 综上所述，值域为，故A正确. 由上可知，极大值点为，极大值为，故B错误. 当时，存在两个单调区间，当时，存在一个单调区间，总共三个单调区间，故C正确. 而，可得只存在一个零点，故D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，若，则________ 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，若， 所以，. 所以. 13. 为了研究物理成绩与数学成绩之间的关系，随机抽取名学生的成绩，用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则样本中的样本点的残差为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线性回归方程及残差的定义计算可得. 【详解】由线性回归方程为，令，得， 所以时，，残差为. 因此样本点的残差为. 14. 已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为． 四、解答题（本大题共小5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可； （2）利用等差数列和等比数列前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由， 由 ， 故. 【小问2详解】 由（1）可知 ，所以 16. 已知函数在-2处取得极值-14. （1）求a，b的值； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)求得，根据题意得到，即可求解； （2）由（1）得到，，得出切点处点斜式方程 【小问1详解】 ,根据题意得到，解得：， 【小问2详解】 ，， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 17. 某调查小组为了了解人们是否喜欢喝啤酒与性别有关，随机调查了200名品尝者，得到以下不完善的列联表． （1）完成以下2×2列联表，能否有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关？ 喜欢 不喜欢 合计 男性 40 女性 100 合计 95 200 （2）根据是否喜欢喝啤酒利用分层抽样的方法从男性品尝者中随机抽取5人，再从这5人中随机选出3人进行深入交流，记这3人中喜欢喝啤酒的人数为X，求随机变量X的分布列、期望． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ；有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关， （2）X的分布列为 X 1 2 3 P ；期望为【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）计算出5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒，从而得到X的可能取值和对应的概率，得到分布列,计算出数学期望. 【小问1详解】 完成的列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男性 60 40 100 女性 35 65 100 合计 95 105 200 ． ∴有99％的把握认为人们是否喜欢喝啤酒与性别有关． 【小问2详解】 根据题意可知，男性品尝者中喜欢和不喜欢的比例为， 利用分层抽样随机抽取的5名品尝者中，有3人喜欢喝啤酒，有2人不喜欢喝啤酒． 随机变量，2，3． ；；． X的分布列为 X 1 2 3 P ． 18. 已知 （1）求函数的解析式. （2）若，求关于的不等式的解集; （3）若，成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①若；②；③ （3） 【解析】 【分析】（1）换元法即可求解； （2）因式分解，再讨论根的大小即可； （3）按照二次项系数是否为零，分情况讨论即可. 【小问1详解】 因为，令则，化简得，所以. 【小问2详解】 即，即，即，当时； 当； 当 综上：当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为； 当时原不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意得恒成立， 当时显然成立； 当，即，解得. 综上：的取值范围是 19. 已知函数． （1）若，求函数的最小值； （2）讨论的单调性； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，在 上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求导后判断单调性，确定极小值点，代入求最小值； （2）对参数 分类讨论，根据导数符号确定单调区间； （3）先由对数有意义得 ，化简不等式为含参数的分式函数恒正，分情况讨论参数范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得 . 当 时，. 当 时，，单调递减； 当时，，单调递增. 故在 处取最小值，代入得. 因此函数的最小值为. 【小问2详解】 对导数分类讨论： 若，则对任意都有，即，故在上单调递增； 若，时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，当时，在 上单调递增； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问3详解】 由题意，已知，则有意义需. 不等式 在 恒成立，化简不等式得， 消去同类项整理得，对任意恒成立. 令 . 若，则，故恒成立； 若，则，成立； 若，则 ，当时，，，不满足恒成立. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $