数学活动 怎样摆放所需栅栏最少 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件围绕二次根式，结合“怎样摆放所需栅栏最少”的问题，通过复习正方形、长方形周长计算，递进设问引出三角形、圆形等图形的周长比较，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点是以真实问题驱动，发展几何直观，通过建立面积与周长的代数模型，运用二次根式化简培养推理意识，引导学生自主总结规律。实例如比较等面积正多边形与圆的周长，探究拼接时重合边界对栅栏长度的影响，采用“提出问题—建立模型—代数计算—归纳猜想”流程，帮助学生提升建模与探究能力，为教师提供结构化教学资源。

第二十章 二次根式 教学活动:怎样摆放所需栅栏最少 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 典例分析 05 课堂练习 06 课堂小结 07 作业布置 08 板书设计 01 02 03 04 01 教学目标 结合正多边形、圆的面积公式,用含a的代数式表示固定面积图形的周长,熟练运用二次根式化简周长表达式。 通过计算对比,感知面积一定时不同平面图形周长存在差异,初步认识面积定值下圆的周长最小。 探究全等图形拼接规律,理解重合公共边界可以缩短外围栅栏总长度。 经历 “提出问题—建立模型—代数计算—归纳猜想” 的探究流程,发展几何直观与代数建模意识。 02 新知导入 复习回顾 ①用绳子围一块面积 16 平方米的区域,如果围成正方形,边长与周长分别是多少？ 边长 4 米,周长 16 米。 ②同样面积 16 平方米,围成长 8m、宽 2m 的长方形,周长是多少？ 周长 20 米,周长大于同等面积的正方形。 02 新知导入 递进设问:面积保持不变,长方形长宽变化,周长随之改变；如果换成三角形、圆形,周长还会变化吗？能否找到一种形状,让外围围栏最短？ 03 新知讲解 活动一:单一图形摆放 为了庆祝国庆,华阳中学准备在校门口摆放总面积为的盆栽花圃,花圃周围用白色栅栏围起来.假设花圃是由一些盆栽均匀摆放而成的,栅栏紧挨花圃周边的盆栽. 03 新知讲解 活动一:单一图形摆放 思考:(1)如果将花圃的形状摆放为正三角形,所需栅栏的长度为多少米？如果摆放为等腰直角三角形、正方形、正六边形、圆呢? (1) 总面积为,各图形栅栏(周长)推导: ①正三角形:设边长,周长； ②等腰直角三角形:直角边,周长. 03 新知讲解 活动一:单一图形摆放 思考:(1)如果将花圃的形状摆放为正三角形,所需栅栏的长度为多少米？如果摆放为等腰直角三角形、正方形、正六边形、圆呢? ③正方形:边长,周长； ④正六边形:拆 6 个正三角形，边长，周长； ⑤圆:，周长. 对比化简后数值:同等面积下周长:正三角 > 正方形 > 正六边形 > 圆. 03 新知讲解 (2)如果将花圃的形状摆放为两个全等的正三角形,所需栅栏的长度为多少米?如果摆放为两个全等的正方形、正六边形、圆呢? 两个全等图形完全分开、无重叠摆放,总面积,无公共重合边,外围栅栏为两个图形周长之和. ①两个正三角形：单个周长，总栅栏. 活动一:单一图形摆放 03 新知讲解 (2)如果将花圃的形状摆放为两个全等的正三角形,所需栅栏的长度为多少米?如果摆放为两个全等的正方形、正六边形、圆呢? ②两个正方形：单个周长,总栅栏； ③两个正六边形：单个周长,总栅栏； ④两个圆形：单个周长,总栅栏. 规律:图形独立不拼接时,栅栏总长=单个图形周长×2,无节省栅栏的效果. 活动一:单一图形摆放 03 新知讲解 方法总结 1.已知面积求周长步骤:设→由面积公式列方程→用根式表示边长→代入周长公式并化简; 2.等面积单一图形规律:正多边形边数越多,周长越小;同等面积圆形周长最短; 3.根式比大小技巧:只比较根号内被开方数,无需开方求值. 03 新知讲解 活动二:组合图形摆放 思考:(3)如果将花圃按如图1和图2所示的形状摆放,所需栅栏的长度为多少米? 两个全等图形拼接、出现重合边界时，重合线段不再属于外围栅栏，计算时要减去2倍重合长度(两个图形各有一条边被遮挡). 03 新知讲解 活动二:组合图形摆放 ①图1两个相交圆：单个圆周长,两圆总周长;相交重合虚线弧长设为,外围栅栏总长;相交区域越大,重合弧长越长,外围栅栏越短. ②图2两个重叠正方形:单个正方形周长,两正方形总周长;内部重合小正方形四条边全部遮挡,重合边界总长,外围栅栏总长;重叠面积越大,重合边越长,外围栅栏越少. 核心原理:重合边界会被两个花圃内部共用,不需要外围栅栏,计算总栅栏时需扣除双倍重合线段. 03 新知讲解 活动二:组合图形摆放 思考:(4)你还有其他摆放方案吗?你认为怎样摆放所需栅栏最少? 一.其他摆放方案： 1.多个正方形一字拼接;2.多个正方形紧密田字拼接;3.多个正六边形蜂窝式拼接;4.多个圆形紧密相切拼接. 二.栅栏最少最优摆放方案： 单块花圃:面积固定,图形越接近圆形,栅栏周长越小,圆形最优; 多块全等花圃拼接:尽量让完整边长完全重合,重合公共边界越长,遮挡线段越多,节省栅栏越多; 大量花圃组合:优先选用正六边形蜂窝拼接(重合边最多);不限定图形时,整体拼成大圆,整体栅栏长度最短. 03 新知讲解 方法总结 1.拼接栅栏计算法:总周长=两个图形单独周长和−2×重合公共边长度; 2.拼接最优原则:全等图形拼接,最大化重合完整边长,重合边界越长,栅栏耗材越少; 3.综合最优策略:总面积固定,单块优先圆形;多块拼接优先完整边重合摆放. 05 课堂练习 1.面积固定的下列单一图形,周长最小的是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆 2.面积同为a的正方形与正六边形对比,下列说法正确的是( ) A.正方形周长更大 B.正六边形周长更大 C.周长相等 D.无法比较 3.两个全等正方形拼接,想要栅栏总长最短,摆放方式为( ) A.顶点重合 B.一条边完全重合 C.仅有部分边重合 D.互不相交 4.面积一定的矩形,长宽满足什么条件周长最小( ) A.长远大于宽 B.长等于宽 C.长小于宽 D.任意长宽 D A B B 05 5.两块相同圆形花圃相交摆放,相交区域越大,则外围栅栏总长( ) A.变大 B.变小 C.不变 D.无法判断 6.面积固定,正多边形边数越多,周长越 . 7.两个全等图形拼接,重合的公共边界越长,外围栅栏长度越 . 8.若正方形面积为a,正方形边长为 . 课堂练习 小 B 短 05 课堂练习 9.一块花圃面积,摆成正方形,求栅栏周长;若摆成圆形,写出周长表达式. 解:正方形边长,周长;设圆半径, 周长. 10.两个完全相同正方形,面积均为4,分别独立摆放、一条边重合拼接摆放,计算两种方式外围栅栏总长. 解:单个正方形边长2;独立摆放总周长;拼接重合一条边,外围总长12. 06 课堂小结 1.学生自主梳理设问: ①面积定值的单一封闭图形,从正三角形、正方形、正六边形到圆,周长呈现怎样变化趋势? 面积不变,正多边形边数越多,周长越小;同等面积条件下,圆的周长最小. ②两个全等图形拼接摆放,如何减少外围栅栏总长? 尽可能让两个图形拥有更长的重合公共边界,重合边界不再计入外围栅栏,重合线段越长,节省栅栏越多. 06 课堂小结 1.学生自主梳理设问: ③探究活动用到哪些数学知识? 平面图形面积与周长公式、二次根式化简与大小比较、代数建模. ④本节课两条核心猜想是什么? 单个封闭图形,形状越接近圆形,周长越小;多个图形组合摆放,最大化重合公共边,外围栅栏总长最短. 07 作业布置 课后作业 必做题:1.面积为a的花圃,分别求出正方形、圆形两种摆放方式对应的周长. 2.两个全等正方形,面积均为a,一条边完全重合拼接,求外围栅栏总长度. 解:(1)若图形为正方形,则边长为,周长为;若图形为圆形,则半径为,则周长为. (2)由题意知正方形的边长为,则图形的周长为. 07 作业布置 课后作业 选做题:1.面积固定为,对比正方形周长与圆形周长,判断哪种图形周长更小; 2.两个相同正六边形拼接,怎样摆放能让外围栅栏最短,请简要说明理由. 解:(1)只需比较与,圆形周长更小; (2)将一条完整边互相重合摆放;重合的边不再计入外围栅栏,重合边界最长,节省栅栏最多. 08 板书设计 $