21.1 一元二次方程课件 2026-2027学年华东师大版初中数学九年级上册

该初中数学课件围绕一元二次方程展开，涵盖概念、一般形式、解及实际应用。课堂导入通过回顾已学方程类型，对比一元一次方程定义，引出新问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以实际问题（如绿地设计、图书增长率）为载体，培养抽象能力和模型意识，通过典例辨析（如判断方程是否为一元二次方程）发展推理意识。结构包含问题导入、新知讲解、典例分析和针对练习，帮助学生逐步掌握知识，教师可直接用于教学，提升效率。

21.1 认识一元二次方程 32100 1.理解一元二次方程的相关概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式，能正确识别二次项系数、一次项系数和常数项、各项系数. 3.能够根据实际问题列出一元二次方程. 学习目标 32100 1.我们都学过哪些方程？请举例说明. 2- - 4=5 + =1 一元一次方程、二元一次方程组、分式方程 2.下列哪些方程是一元一次方程？ 一元一次方程： ①只含有一个未知数；②未知数的指数是一次的；③方程两边都是整式. 3.什么是一元二次方程？你还记得列方程的一般思路吗？ 审→设→找→列 问题导入 32100 问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？ 知识点1： 一元二次方程的定义 分析：设长方形绿地的宽为x米，可列出方程 x(x＋10)＝900 整理可得 x2＋10x－900=0.　　（1） 新知讲解 32100 （2）学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2万册．求这两年的年平均增长率． 分析：设这两年的年平均增长率为 x. 已知去年年底的图书数是 5 万册， 则今年年底的图书数是5(1+x)万册. 同样，明年年底的图书数又是今年年底图书数 的(1+x)倍，即 5(1+x)(1+x) = 5(1+x)² (万册). 可列得方程 5(1+x)² = 7.2 整理可得 5x²＋10x－2.2=0 （2） 32100 在上面的问题中，我们得到以下方程： 一元一次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程. （1）两个方程中含有几个未知数？ （2）未知数x的最高次数是几次？ （3）方程两边都是整式吗？ x2 + 10x - 900 = 0. (1) 5x2 + 10x - 2.2 = 0. (2) 32100 例1 判断下列方程是否为一元二次方程，说说理由. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) √ √ √ √ √ × × × × × (9) (10) 典例分析 32100 1.是整式方程； 2.只含有一个未知数； 3.整理后未知数的最高次数是2. 注意：要从原方程和整理后的方程两方面判断 一元二次方程的三要素： 归纳总结 32100 知识点2： 一元二次方程的一般形式： a x²+b x+ c =0 二次项系数 一次项系数 a≠0 二次项 一次项 常数项 为什么规定a≠0？ 因为a=0时，未知数的最高次数小于2 新知讲解 32100 例2 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 不要忘记每一项（系数）前面的符号. 注意：将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤． 典例分析 32100 10 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 知识点3： 一元二次方程的解 判一判： 下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？ －3，－2，－1，0，1，2，3 解： －1，2是方程x2－x－2＝0的根. 通过代入可判断方程的根，一元二次方程可能不止一个根. 新知讲解 32100 11 例3 已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个根是0，求m的值. 解：将x =0代入方程(m-2)x2+3x+m2-4=0中， 可得m2-4=0 ， 解得 m1=2 ， m2=-2 ∵m-2≠ 0， 即m≠2 ∴m=-2. 注意：ax2 + bx + c = 0 (a≠0). m的值需满足哪些条件？ 典例分析 32100 1.下列方程：①2x2＋3y＝0；②x2＋＝2；③-x2+2x－9＝0；④6x2－3x＝2(3x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 A 针对练习 32100 13 2.填空： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 -2 1 3 1 3 -5 4 0 -5 3 -2 针对练习 32100 3.构造一个满足以下条件的一元二次方程 ： （1）常数项为零； （2）有一根为 2. x2 - 2x = 0 （答案不唯一）. 针对练习 32100 4. 某小区准备在每两幢楼房之间开辟一块面积为300平方米的矩形绿地，且长比宽多7米.设矩形绿地的宽为x米，则可列方程为_______________. x(x＋7)＝300 5.关于x的一元二次方程(m－1)x2＋(m2－1)x＋3＝0的一次项系数为0，则m的值为 ( ) A．±1 B．1 C．－1 D．0 C 针对练习 32100 6.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200cm 150cm 针对练习 32100 1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程． 2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0). 3.一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根. 4.建立一元二次方程模型的一般步骤 本节课我们学到了哪些知识与方法？ 课堂总结 32100 18 一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达． 建立一元二次方程模型的一般步骤： （1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系； （2）设出合适的未知数，一般设为x； （3）确定等量关系； （4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式． 32100 19 $