专题16 二次函数 拓展提升题分类训练 【暑期培优】 2026年八升九数学暑假培优计划（人教版九年级数学上册，重庆专用）

**基本信息** 以5类40道题系统整合二次函数代数操作、图像性质、几何综合及新定义运算，突出知识递进与综合应用 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数操作题|8道|结合整式、方程等考查代数变形与推理|从二次函数概念出发，强化抽象能力与运算能力| |图像与性质综合题|8道|通过图像分析系数关系及函数性质|衔接图像特征与代数表达式，培养几何直观| |图像与几何动点综合|8道|动态几何中构建函数关系解决问题|融合函数与几何运动，发展推理意识与空间观念| |几何最值问题|8道|利用二次函数性质求线段、面积最值|深化模型意识，体现数学思维的严谨性| |定义新运算|8道|结合新运算规则探究函数图像与性质|创新情境下应用函数知识，提升应用意识|

专题16 二次函数拓展提升题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 二次函数相关代数操作题】 1 【类型2 二次函数图像与性质综合题】 3 【类型3 二次函数图像与几何动点综合】 6 【类型4 利用二次函数解决几何最值问题】 9 【类型5 二次函数相关定义新运算】 11 【类型1 二次函数相关代数操作题】 1．已知整式，其中，为正整数，，，，，为自然数，若，且．下列说法中： ①当时，所有满足条件的整式的和为； ②满足关于的二次函数与轴无交点的共有4个； ③所有满足条件的整式中，多项式一共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（  ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 3．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　） ①方程的解为或； ②关于的方程有三个解，则； ③当时，随增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ） ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 7．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，的值为6或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【类型2 二次函数图像与性质综合题】 9．如图是二次函数图象的一部分，该图象过点，对称轴为直线，下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 11．已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，有下列结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③对于任意实数，都有；④．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 13．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 16．二次函数的图像如图所示，则下列命题中正确的个数（   ） ①；②一次函数的图像不经过第四象限；③（是任意实数）；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【类型3 二次函数图像与几何动点综合】 17．如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 18．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 19．如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ） A． B． C． D． 20．如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（    ） A． B． C． D． 21．如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 22．如图，在的正方形网格中，动点同时从两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点停止．动点的运动路线为：；动点的运动路线为：，连接．设动点运动时间为的面积为．则与之间的函数关系用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 23．如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ）． A．1 B． C． D．2 【类型4 利用二次函数解决几何最值问题】 25．如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是____． 26．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 27．如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 28．如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 29．已知等边边长为6，点D、E、F分别在、、上，且面积为y，则y的最小值为_______． 30．如图，正方形边长为4，E为边上一点，连接对角线，过点E作交于点F，连接，取的中点为G，则的最小值为___________． 31．如图，点在矩形的对角线上，，且，连接，若，，则的最小值为__________． 32．如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【类型5 二次函数相关定义新运算】 33．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如．若y关于x的函数图象与x轴有两个公共点，则实数k的范围是______． 34．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 35．若定义一种新运算：，例如：@，@．则： （1）@________； （2）@与直线（为常数）有个交点，则的取值范围是________． 36．定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： （1）若x☆3=1，则x的值为_________________． （2）抛物线的顶点坐标是________________． （3）若的值小于0，则方程有________________个根． 37．定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为____． 38．对于实数a，b，定义新运算“”：ab= ；若关于x的方程恰好有两个不相等的实根，则t的值为_________________． 39．新定义：对于给定的二次函数，我们把形如的函数称为二次函数的“友好关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数． （1）请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式____________； （2）若点和点在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了、两点）____________． 40．新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 二次函数拓展提升题分类训练 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 二次函数相关代数操作题】 1 【类型2 二次函数图像与性质综合题】 16 【类型3 二次函数图像与几何动点综合】 24 【类型4 利用二次函数解决几何最值问题】 39 【类型5 二次函数相关定义新运算】 51 【类型1 二次函数相关代数操作题】 1．已知整式，其中，为正整数，，，，，为自然数，若，且．下列说法中： ①当时，所有满足条件的整式的和为； ②满足关于的二次函数与轴无交点的共有4个； ③所有满足条件的整式中，多项式一共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 所有满足条件的整式的和为，故①正确； 当时， ，为正整数，，即（，，为自然数）． 、、的取值可能如下表： 3 1 0 3 0 1 2 2 0 2 0 2 2 1 1 1 3 0 1 0 3 1 2 1 1 1 2 根据上表可知，共9种可能，，，，，，，，，，均为多项式， 与轴无交点，即判别式， ，，，，符合题意，共5个，故②错误； 当时： ，为正整数，，即（，，，为自然数）． 、、、的取值可能如下表： 3 0 0 0 2 1 0 0 2 0 1 0 2 0 0 1 1 2 0 0 1 0 2 0 1 0 0 2 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 此时满足条件的共10个，其中多项式9个． 当时： ，为正整数，，即（，，，，为自然数）． 、、、、的取值可能如下表： 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 此时满足条件的共5个，其中多项式4个． 当时： ，为正整数，，即（，，，，，为自然数）． 只能是，，，，，，此时满足条件的共1个． 所有满足条件的共1个，为单项式． 所有满足条件的共个，其中多项式共个，故③错误； 综上，正确的有①共1个． 2．已知函数，函数，其中s为正整数，均为自然数，且满足，其中表示中最大的数，例如．则下列说法中，正确的个数为（  ） ①若函数的图象经过点，则函数的图象一定经过点； ②若且关于x的方程恰有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为或； ③若，则函数的图象上有4个整数点．（注：横纵坐标均是整数的点为整数点） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】D 【分析】本题考查了函数的综合问题． 先求出，则，①根据函数经过点，得到，即，，此时，当时，，则函数的图象一定经过点；②根据要求可知，，即，根据根的判别式计算即可；③由可知，得到，找出所有整数点即可． 【详解】解：∵s为正整数， ∴， ∵表示中最大的数， ∴， ①∵函数经过点， ∴． ∵， ∴，， 此时，则， ∴， 当时，，则函数的图象一定经过点，①正确； ②∵，均为自然数，， ∴，此时，则， 则，， ∴， 即， ∵关于x的方程恰有两个不相等的实数根， ∴， 解得：或，②正确； ③∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 即， ∴，， 即， 由可知，。因为均为整数， ∴和也为整数，则必须为整数， ∴是2的整数因数，即的可能取值为 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 即整数点：，共4个，③正确； 综上所述，正确的个数为3个． 故选：D． 3．对于实数，定义新运算，若函数，则下列结论正确的有（　　） ①方程的解为或； ②关于的方程有三个解，则； ③当时，随增大而增大； ④当时，函数有最大值0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据新定义运算法则，列出一元二次方程，解出即可得出符合题意的解，即可判断结论①；根据新定义运算法则，得出二次函数，然后根据函数解析式得出二次函数图象，即可判断结论②；根据新定义运算法则，结合二次函数的性质，即可判断结论③④，综合即可得出答案． 【详解】解：在方程中， 当时，即，则， 解得：或， 当时，即，则， 解得：或（都不符合题意，舍去）， ∴综上所述，方程的解为或，故结论①正确； 当时，即，则，即， 当时，即，则，即， 如图，当时，方程没有三个解，故结论②错误；    函数中， 当时，则，即，结合图象可知：随增大而增大，故结论③正确； 当时，函数，当时，函数有最小值，最小值为，故结论④错误， 综上所述，正确结论为①③，有2个正确结论． 故选：B 【点睛】本题考查了新定义运算、二次函数的图象与性质，解本题的关键在理解新定义运算法则，并熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．已知三个函数，下列说法正确的个数有（   ） ①时，的值为4或； ②对于任意的实数，若，则； ③若则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则的最大值为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，利用二次函数的性质解决最值问题，解题的关键是掌握各运算法则． 分别验证四个说法的正确性： ①解分式方程，检验根是否有效； ②利用完全平方公式变形，代入已知条件计算； ③解方程并代入表达式化简，判断结果； ④构造二次函数，利用顶点式求最大值． 【详解】①：由得，化简为，解得或，均满足，故①正确，符合题意； ②：，由，，得，故，故②正确，符合题意； ③：由得，解得，，则，，，，代入化简得，，与题目结果不符，故③错误，不符合题意； ④：令，当和时，，即，解得，其最大值为顶点处，故④正确，符合题意； 综上，正确的有①、②、④，共3个， 故选：B． 5．已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，x的值为5或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中x的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中不正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，通过平方差公式对进行变形得到，在通过完全平方公式的变形得到的值即可判断②，解可化为一元二次方程的分式方程求得，再代入化简，即可判断③，令，，，根据，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可判断④． 【详解】解；①当时，则， ∴， 解得或． 经检验，和都是原方程的解，故①说法正确； ② ， ，， ∴， ∴， ∴或 ，故②错误； ③∵， ∴， 整理得：， ∴， ∵时，， ∴， ，故③正确； ④，令， 当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴令，，则， ， 整理得：， ∵当式子中x的取值为与时，的值相等， ∴对于b的不同的很多值都可以满足的值相等， ∴（满足时，只有特定的两个值）， ∴， ， 的最大值为8，故④正确； ∴错误的有1个， 故选：C． 【点睛】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，完全平方公式的变形，因式分解，二次函数的最值，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 6．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：B． 7．现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（    ）个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，x的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④． 【详解】解：①当，时，则，， ∴， ∴若，则错误，故①错误； ②当，时， ∵， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； ∴方程的解为或，故 ③错误； ④∵， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键． 8．已知三个函数：，，，下列说法： ①当时，的值为6或； ②对于任意的实数m，n，若，，则； ③若时，则； ④若当式子中的取值为与时，的值相等，则a的最大值为8． 以上说法中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解可化为一元二次方程的分式方程即可判断①，通过完全平方公式对进行变形，即可判断②，解可化为一元二次方程的分式方程求得，，再代入化简，即可判断③，令，，，根据，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可判断④． 【详解】解：①即， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是原方程的解， 故①正确； ② ， ，， ， 故②正确； ③即， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， ， 故③错误； ④，令， 的取值为与时，的值相等，令，， ， ， 整理得：， ， 的最大值为8， 故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了解可化为一元二次方程的分式方程，完全平方公式的变形，因式分解，二次函数的最值，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． 【类型2 二次函数图像与性质综合题】 9．如图是二次函数图象的一部分，该图象过点，对称轴为直线，下列结论： ①； ②； ③； ④， 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项判断即可，由抛物线的开口判断a的符号，结合对称轴可判断b的符号及b与2a的关系；还可结合图象上点的坐标特征进行判断． 本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，熟练运用二次函数的性质，代入特殊点判断不等式的符号是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴；故①错误； 由图象知当时，， ∴， ∴；故②正确； ∵对称轴为， ∴， ∴；故③正确； ∵点关于对称轴的对称点是， ∴， ∴， 即；故④正确； 故选：C． 10．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 11．已知二次函数的图象如图所示，对于这个函数有下列四个结论：①；②；③；④．则结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向和对称轴可判断①和②，当时，，判断③，利用判断④，即可得出结论． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与x轴交点为， ∴抛物线对称轴为， ， ， ∴，故②正确， ， 故①正确； 由图象得，当时，， ，故③正确， ∵， ∴ 故④错误； 综上所述，正确的是①②③，有3个． 12．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，有下列结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③对于任意实数，都有；④．其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据图象判断系数的符号，判断①，增减性判断②，最值判断③，特殊点结合对称轴，判断④即可. 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，当时，的值随值的增大而增大；故②错误； ∴，故①错误， ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为， ∴对于任意实数，都有，即都有；故③正确； ∵， ∴， 由图象可知，当时，，故，故④正确； 综上，正确的个数有2个． 13．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】由抛物线的开口向下知，与轴的交点在正半轴上得到，由对称轴为，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图象可对③进行判断；当时，，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， ， ，故②正确； ③把代入解析式，，根据图象时，， ，故③错误； ④当时，， ， ，故④错误； ⑤当时，为最大值， ， ， 故，故⑤正确． 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：；；（的实数）；．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】抛物线的开口方向可以确定的符号，抛物线与轴的交点可以判断的符号，对称轴是．将取特殊值可得与题干中结论一样的代数式． 【详解】解：①当，， 由图象可知，此时， ∴，即，正确； ②当，， 由图象可知，该函数关于对称， ∴与时，值相等． ∵，， ∴，，即，正确； ③当，值最大，此时， 当时，， ∴，错误； ④∵二次函数的对称轴是， ∴，即，正确． 综上，①②④正确． 15．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由抛物线开口方向得到，对称轴在轴右侧，得到与异号，又抛物线与轴负半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③当时，，即， 当时，，即，即可判断选项③正确；④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴在轴右侧， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， ∵， ∴， 把代入中得，所以②正确； ③由图象可知，当时，，即， 当时，，即， ， 即，所以③正确 ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上所述，结论正确的有②③④，共3个． 16．二次函数的图像如图所示，则下列命题中正确的个数（   ） ①；②一次函数的图像不经过第四象限；③（是任意实数）；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：由二次函数图象知，抛物线开口向上，， 由抛物线与轴的交点于轴下方可得， 抛物线对称轴为直线，则， ， ①错误； ，， ∴一次函数的图象经一、三、四象限， 故②错误； 当时，最小， ， 故③错误； 由图象可知，当时，， 对称轴为直线， 当时， ， ， 故④正确． 【类型3 二次函数图像与几何动点综合】 17．如图，在中，，，．动点以的速度从点出发，沿折线向终点运动，同时动点也以的速度从点出发，沿边向终点运动．设点，的运动时间为，的面积为，则与的函数图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先，得到，然后，根据，，，分三种情况分别求出对应的S关于t的函数表达式，再分别判断在对应取值范围内对应的函数图象即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意知，， ①当时，， ∴当时，S随t的增大而增大； ②当时，， 如图1，过P作于D， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∵， ∴此时，抛物线开口向下； ③如图2，当时，， ∵， ∴S随t的增大而减小， 综上，选项A符合题意，故选A ． 18．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 19．如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一阶段在上、在上，由为直角三角形直接求出,令得，第二阶段，用割补法求出，由顶点式知该阶段恒成立；第三阶段都在上，令得，从而． 【详解】解：当时，在上，在上，， ， 由图知时，， ， 解得， ， 令， 解得，即， 当时，在上， 在上，， ， ， ， ， 当时取最大值4，当时, 当时，恒成立， 当时，在上， 在上，， ， ， ， 令， 解得，即， ． 20．如图①，四边形是菱形，，动点E从点A出发以的速度沿着边运动，到达点D停止运动，另一动点F同时从点A出发，以的速度沿着边向点D运动，到达点D停止运动，设点E运动时间为，的面积为，y关于x的函数图象大致如图②所示，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据拐点得到各个自变量范围内的函数解析式是解决本题的关键． 易得点E运动的路程为，点F运动的路程为．当点E在线段上，点F在线段上时，过点F作于点P，求得的长度，然后根据面积公式可得与关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点B作于点Q，则为中边上的高，求得的长度，根据面积公式可得与之间的关系式；当点E在线段上，点F在线段上时，过点E作于点，利用三角形的面积公式可得与的关系式，然后根据各个函数解析式结合函数图象判断可得各个自变量的范围，进而求解即可． 【详解】解：点E的速度是，点F的速度为，运动时间为， 点E运动的路程为，点F运动的路程为． 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点F作于点P， ． ， ． ． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向上的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时，点E在点B上， ∴， 当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点B作于点Q，则为中边上的高． ． ， ． ， ． ． ， 此段函数图象为随的增大而增大的正比例函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ③当点E在线段上，点F在线段上时， 如图，过点E作于点， ． 四边形是菱形， ． ， ． ． 由题意得：． ． ． ， ∴此段函数图象为开口向下的二次函数图象， 由题中的函数图象可得，当时符合， ∴当时， ， ∴a的值为． 故选：B． 21．如图1，在等腰中，，动点D从点A开始沿边以每秒1个单位长度的速度运动到点B，同时，动点E从点B开始沿边以相同速度运动到点C，连接，点F为中点．设时间为，为y，y关于t的函数图象如图2所示，下列结论不正确的是（   ） A． B．连接，有最小值为 C．若点M是边的中点，则的最小值为1 D．连接，则的最小值为 【答案】C 【详解】解：由题意得， ∴当时，，， 在中，， ∴，即， 解得（负值已舍）， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵中，是斜边上的中点， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴当时，取最小值，此时最小值为8，即的最小值为， ∴有最小值为，故选项B正确，不符合题意； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， ∵和分别为和的中点， ∴，， ， ， 时，取最小值，此时最小值为，故选项C错误，符合题意； ∵已知，，，设， ∴，， 消去得， ∴点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴的最小值为的长， ∴的最小值，故选项D正确，不符合题意． 22．如图，在的正方形网格中，动点同时从两点匀速出发，以每秒1个单位长度的速度沿网格线运动至格点停止．动点的运动路线为：；动点的运动路线为：，连接．设动点运动时间为的面积为．则与之间的函数关系用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤3三种情况，分别求出函数表达式即可求解． 【详解】①0≤t≤1时，如图， S=PQAP=t， 当t=1时，S=1， 该函数为一次函数； ②1＜t＜2时，如图，建立如图所示的坐标系， 则点P、Q的坐标分别为（t-1，1）、（2，t），设直线PQ交GE于点H， 设直线PQ的表达式为：，则， 解得， 故直线PQ的表达式为：， 当时，， ∴； 该函数为开口向下的抛物线； ③当2≤t≤3时，如图， PF=t-2，GQ = 3- t， ∴PE= t-2+1 =t-1， 同理可得：S=PEGQ=(t-1)( 3- t)=； 该函数为开口向下的抛物线； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点图象问题，涉及到一次函数和二次函数等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 23．如图1，在中，，，动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接，为中点．设时间为，为，关于的函数图象如图2所示，有下列结论： ①当时，； ②； ③连接，有最小值为； ④若点是边的中点，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】从图2可知，当时，，，即可判断①；不妨设，由时，，，根据，可得到此时的长度，从而算得，判断②；由，可知最小值，最小，根据，可得到，利用二次函数，可求得的最值，判断③；以点为原点，建立平面直角坐标系，表示出和的坐标，利用两点距离公式，表示出，利用二次函数，可求得的最值，判断④，最后得到答案． 【详解】解：从图2可知，当时，， 为 当时，，故①错误； 动点从点开始沿边以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点从点开始沿边以相同速度运动，设时间为， 当时，， 在中，， ，当时，， ，故②正确； 中，是斜边上的中点， 时，取最小值，此时最小值为2 的最小值为， 有最小值为，故③正确； 以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 那么，，，， 和分别为和的中点 ， 时，取最小值，此时最小值为，故④正确； 正确的有②③④，三个 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的图象与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，两点距离公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24．如图1，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至A点停止，动点以的速度自A点出发沿折线运动至点停止，若点P、Q同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，分类讨论，正确求出函数解析式是解答本题的关键．设正方形的边长为，当点Q在上时，求得．当时，有最大值，配合图象可得方程，即可求得；当点Q在上时，可求得，把代入即可得到答案． 【详解】设正方形的边长为，则，，， ， 当时，有最大值， 即 ， 解得， ， 当点Q在上时， 如图，， 当时，， 故选：B． 【类型4 利用二次函数解决几何最值问题】 25．如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是____． 【答案】 【分析】过点B作，，垂足分别为H、F，设，则，，利用勾股定理表示出，由此即可求出的最小值． 【详解】解：过点B作，，垂足分别为H、F， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 26．在边长为6的正方形 中，点、分别为对角线、边上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，证明是等腰直角三角形，四边形是矩形，设，求得，，在中，由勾股定理得，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形，边长为6， ∴，，， ∵， ∴是等腰直角三角形，四边形是矩形， ∴，，， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得 ， ∵，， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为． 27．如图，在中，，，，为的中点，在边上，在边上，且，连接，为的中点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，设，则，分别表示出的坐标，根据勾股定理得出的关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图，以点为原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系， 依题意，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，则 ∴，即 ∴ 设 ∵， ∴抛物线的开口向上，有最小值， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∴的最小值为 28．如图，点P和点Q分别是等边三角形的边和上的动点，且，若，则的最小值为_____． 【答案】1 【分析】在上取一点D，使得，连接，，证明，，从而得出，再过点P作交于点H，设，，利用勾股定理和解30度直角三角形求得的表达式，结合二次函数的最值问题即可得出的最小值． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 如图，在上取一点D，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，在上， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证得：， ∴， ∴，即是等边三角形， 过点P作交于点H， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴当时，有最小值为1， ∴的最小值也为1． 29．已知等边边长为6，点D、E、F分别在、、上，且面积为y，则y的最小值为_______． 【答案】 【分析】过点A作于点H，过E作于点G，利用勾股定理可求得，则，同理可求得，然后通过证明，，利用列出y关于x的函数解析式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点H，过E作于点G， ∴， ∵是等边三角形且边长为6， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， 即 ∴当时，y有最小值，为． 30．如图，正方形边长为4，E为边上一点，连接对角线，过点E作交于点F，连接，取的中点为G，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】延长，交于点，取的中点，连接，先证明．得到，，根据三角形中位线定理，可得到，，设，则，，，，，可得． 【详解】 如图所示，延长，交于点，取的中点，连接． 因为， 所以． 所以， 所以 所以． 所以． 因为的中点为点， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 因为的中点为点，的中点为点， 所以，． 所以． 因为正方形， 所以 所以为等腰直角三角形， 所以． 所以． 设，则，，，，， 所以． 所以． 当时，取得最小值，即的最小值为， 所以的最小值为． 故答案为： 31．如图，点在矩形的对角线上，，且，连接，若，，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，二次函数最值问题．设，利用勾股定理得出，求出最小值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值， ∴最小值为， 故答案为：． 32．如图，在中，，，，点D是的中点，点P、Q分别是、上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作于点，设，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，，进而求出点与点重合时，的长，当点在点左侧，得到，勾股定理得到，利用二次函数求最值，当点在点右侧得到的长比重合时要大，且，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，设， ∵，，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴，， 当点与点重合时，则：， 解得， ∴， 当点在点的左侧时，如图， 则：， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，当时， 有最小值为， ∴的最小值为； 当点在点的右侧时，如图， 此时的长比重合时要大，且， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【类型5 二次函数相关定义新运算】 33．定义新运算：对于任意实数a，b，都有，其中等式右边是通常的加法、乘法运算，例如．若y关于x的函数图象与x轴有两个公共点，则实数k的范围是______． 【答案】且 【详解】解：由新运算定义，得 ， ∵y关于x的函数图象与x轴有两个公共点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根． ∴，且． 解得且， 故答案为：且． 34．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定二次项、一次项、常数项系数，代入新运算等式求出特征值关于的表达式，再根据特征值的取值范围列出一元一次不等式组，求解得到的取值范围，即可得出的最小值． 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 35．若定义一种新运算：，例如：@，@．则： （1）@________； （2）@与直线（为常数）有个交点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， @， ②当时，即或， @， 或， 此时的图象为抛物线的位于轴的下方的部分，并且关于直线 的对称，故无论为何值，@与直线为常数不可能有个交点； 当时，即， @， ， 此时的图象如图所示： 当，时，，当时，， @与直线为常数有个交点， ． 综上，@与直线为常数有个交点，则． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，抛物线的性质，一元一次不等式的解法，分类讨论的思想方法，实数的运算，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 36．定义新运算：对于任意实数m，n都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题： （1）若x☆3=1，则x的值为_________________． （2）抛物线的顶点坐标是________________． （3）若的值小于0，则方程有________________个根． 【答案】 x1=1，x2=2 （，−） 2 【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x2-3x+3=1，然后解方程即可； （2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案； （3）由2☆a的值小于0知22-2a+a＜0，解之求得a＞4．再在方程-2x2-bx+a=0中由Δ=（-b）2+8a≥8a＞0可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得x2-3x+3=1， 移项、合并同类项，得x2-3x+2=0， 整理，得（x，-1）（x-2）=0， 解得x1=1，x2=2； 故答案为：x1=1，x2=2； （2）根据题意知，y=（2-x）2-（2-x）（-1）+（-1） =x2-5x+5=（x-）2-． 所以，顶点坐标（，−）； 故答案为：（，−）； （3）∵2☆a的值小于0， ∴22-2a+a＜0， 解得a＞4． 在方程-2x2-bx+a=0中， ∵Δ=（-b）2+8a≥8a＞0， ∴方程-2x2-bx+a=0有两个不相等的实数根． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大． 37．定义新运算：[a，b，c]＝a（c＜a＜b），即[a，b，c]的取值为a，b，c的中位数，例如，[1，2，3]＝2，[3，4，8]＝4，已知函数y＝[x+2，x2+1，﹣x+2]与直线y＝x+b有3个交点时，则b的值为____． 【答案】或b＝2 【分析】画出函数的数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]的图象，观察图象，利用图象法解决问题即可． 【详解】解：由题意：函数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]的图象如图所示（图中实线）． 由，解得或， ∴A（，）， 直线y＝x＋2交y轴于B（0，2）， 观察图象可知：当直线经过点A或点B时，函数y＝[x＋2，x2＋1，−x＋2]与直线有3个交点， ∴或b＝2， ∴b＝或b＝2， 故答案为：或b＝2． 【点睛】本题考查中位数，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 38．对于实数a，b，定义新运算“”：ab= ；若关于x的方程恰好有两个不相等的实根，则t的值为_________________． 【答案】2.25或0 【分析】令y=，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t与函数y的图象的位置关系，进而即可求解． 【详解】∵当时，即：时，， 当时，即：时，， ∴令y==， 画出函数图象，从图象上观察当关于x的方程恰好有两个不相等的实根时，函数y的图象与直线y=t有两个不同的交点，即直线y=t过抛物线y=的顶点或直线y=t与x轴重合． ∴t=2.25或t=0． 故答案是：2.25或0． 【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键． 39．新定义：对于给定的二次函数，我们把形如的函数称为二次函数的“友好关联函数”，运用此定义解决下列问题： 已知二次函数． （1）请写出这个二次函数的“友好关联函数”的表达式____________； （2）若点和点在这个二次函数的“友好关联函数”的图象上，请写出直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标（除了、两点）____________． 【答案】 【分析】（1）充分理解“友好关联函数”的定义，再结合二次函数，进行分析，即可作答； （2）理解题意，再进行分类讨论，确定；同理确定，再由待定系数法确定直线的函数解析式为，再分两种情况分析：当时，当时，联立两个函数求解即可． 【详解】解：（1）∵的函数称为二次函数的“友好关联函数”．且二次函数． ∴这个二次函数的“友好关联函数”的表达式； （2）∵， ∴点在函数上， ∴， ∴点； 当时，把代入，得， 解得或（舍去）； 当时，把代入，得， 整理得：， ， ∴方程无解； ∴； 设直线的函数解析式为， 代入得：，解得：， ∴， 当时，联立得： 解得：（与点B重合，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，联立得： 解得：（与点A重合，舍去）或， ∴直线与该“友好关联函数”图象的交点坐标为． 40．新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是根据新定义推导出“偶点”在直线上，将原问题转化为直线与给定区间上的抛物线存在交点，进而求解的取值范围． 【详解】解：根据“偶点”定义，点满足 ， ，且， 将两式相减得：， 变形得：， 整理得：， ， ，即， 因此所有“偶点”都在直线上， ∴，解得， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在范围内至少有一个交点， 联立方程得：， 整理得： ，其中， 是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值为，最大值为， ∵， 因此的取值范围为． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $