第二十六章 二次函数 暑假预习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数概念为起点，通过图像性质、系数关系、增减性、表达式确定到实际应用的递进训练，构建完整知识逻辑链，培养数学抽象与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念|4题|函数定义辨析、实际情境抽象|从代数定义到几何意义，建立二次函数概念认知| |图像与性质|10题|顶点、对称轴、图像辨析|通过解析式与图像互化，深化性质理解| |系数关系|6题|a,b,c符号判断、代数式求值|结合图像特征推导系数关系，培养逻辑推理| |增减性|8题|点坐标比较、区间单调性|利用对称轴分析增减规律，提升数学思维| |表达式确定|8题|平移、配方、待定系数法|掌握表达式求法，强化代数变形能力| |实际应用|8题|利润、几何面积、运动轨迹|建立函数模型解决实际问题，发展应用意识|

二次函数函数 ◆基础过关练 命题方向1 二次函数的概念 1．若y＝（a﹣4）x|a|﹣2+7x﹣5是二次函数，则a的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．±4 D．±2 2．下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A． B．y＝ax2+bx+c C． D． 3．边长为5的正方形ABCD，点F是BC上一动点，过对角线交点E作EG⊥EF，交CD于点G，设BF的长为x，△EFG的面积为y，则y与x满足的函数关系是（　　） A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上都不是 4．下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（　　） ①面积为10cm2的矩形中，矩形的长y（cm）与宽x（cm）的关系； ②底面圆的半径为5cm的圆柱中，侧面积y（cm2）与圆柱的高x（cm）的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出（200﹣x）件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 命题方向2 二次函数的图像与性质 5．二次函数y＝3（x+2）2﹣1的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1） 6.二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　） A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝2 D．直线x＝﹣2 7．二次函数y＝（x+3）2﹣2的顶点的横坐标为（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 8．二次函数y＝（x﹣1）2+2图象的对称轴是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2 9.已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，该抛物线示意图是（　　） A． B． C． D． 10．在同一坐标系内，二次函数y＝ax2+5x+b的图象与一次函数y＝ax+b可能是（　　） A． B． C． D． 11.二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表：下列说法错误的是（　　） x ﹣1 0 1 y 5 1 ﹣1 A．抛物线开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，y随x增大而增大 D．最小值为﹣1 12.直线y1＝kx﹣k+1与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（　　） A．当x＞1时，y2随x的增大而增大 B．当k＜0时，y1的图象一定不过第三象限 C．当k＞0时，y1与y2交点的横坐标m的范围是﹣1＜m＜1 D．y1与y2的图象一定有两个交点 13．已知二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣6，则下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　） A．图象的对称轴是直线x＝2 B．图象顶点坐标为（2，﹣18） C．当x＞﹣3时，y随x的增大而减小 D．图象只经过两个象限 四象限，故D正确，符合题意． 14．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+ax﹣2a（a≠0）的图象与y轴交于负半轴，则下列关于该函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．该函数有最大值 D．当1＜x＜2时，y＞0 命题方向3 二次函数与系数的关系 15.已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a+b+c＞0 B．a＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．c＜0 根据二次函数的图象与y轴交于负半轴知：c＜0，故此选项错误. 16.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），且2＜x1＜3，下列结论： ①abc＞0； ②2a+b＞0； ③4a﹣2b+c＜0； ④若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）（m＞0）在抛物线上，则y1＜y2． 其中包含所有正确结论的是（　　） A．①② B．①④ C．①②④ D．②③④ 17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①2a+b＝0；②abc＜0；③9a+3b+c＞0；④3a+c＞0；⑤若m≠1，则m（am+b）＜a+b．其中正确的序号是（　　） A．①② B．①②⑤ C．②④ D．①③④ 18.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，则下列结论中错误的是（　　） A．abc＜0 B．2a+b＝0 C．4a+2b+c＞0 D．c+8a＞0 19.已知点A（2，c），B（b，n），D（1，d）都在二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上，则下列结论正确的是（　　） A．a+d＞c B．a﹣b＜0 C．d﹣n＞0 D．n﹣c＞0 20.如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 命题方向4二次函数图像的增减性及点的大小比较 21.若点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 22.已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y2＞y1 23.设A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣2x+c上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y3＞y2＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3 24．已知点（﹣2，y1），（3，y2），（7，y3）都在二次函数y＝﹣（x+2）2+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y2＞y1 25.若A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y1＞y2＞y3 26.已知抛物线y＝x2﹣4mx+m，当﹣2＜x＜1时，y的值随x值的增大而增大，则此抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点A（x1，y1），B（2，y2），当﹣2＜x1＜﹣1时，若存在x1使y1＞y2，则下列结论一定成立的是（　　） A．y1＜c B．y1＞c C．y2＜c D．y2＞c 28.A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 命题方向5 二次函数表达式的确定 29.将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2+1 C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2﹣1 30.已知抛物线y1顶点坐标为（﹣1，2），且与的开口方向、形状大小完全相同，则抛物线y1的解析式为（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2+2 31.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 32.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），（1，2），且对称轴为直线x＝1，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 33.将二次函数化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A． B． C． D． 34．把二次函数y＝x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（　　） A．y＝（x﹣1）2 B．y＝（x﹣1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x+1）2﹣2 35.将一元二次方程x2﹣4x+2＝0配成（x+m）2＝n的形式，则m的值为（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 36．二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．， B．m＝﹣2，n＝﹣6 C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 命题方向6 二次函数的实际应用 37.参加会议的人两两彼此握手，一共握了y次手，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式是（　　） A．y＝x（x﹣1） B．y＝x（x﹣2） C． D． 38．如图，一块长方形ABCD绿地，AB＝8米，BC＝6米，中间铺设了两条互相垂直的路径（EF⊥AC），路径两边互相平行（EF∥GH，AC∥MN），重叠部分为四边形A1B1C1D1，已知EG＝CN＝x米，设四块绿地AA1ED，△MB1F，HBNC1，△CD1G的面积总和为y，则y与x的函数解析式是（　　） A．y＝（8﹣x）（6﹣x） B． C． D． 39.某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 40．新能源汽车在公路上行驶时，电池剩余电量y（单位：kW•h）是行驶里程x（单位：km）的函数．小明记录了一次出行时汽车的行驶里程与剩余电量，数据如表： 行驶里程x（km） 0 50 100 150 剩余电量y（单位：kW•h） 60 54 48 42 该函数的表达式是（　　） A．y＝0.48x B． C．y＝﹣0.12x+60 D．y＝﹣0.12x2+60 41．2026国足世预赛火热开战，赛前队内模拟射门训练中，前锋球员从球门原点O正前方9m的A处起脚射门，足球飞行路线近似抛物线，球水平向前飞行6m时到达最高点，此时离地高度3m． （1）求这条抛物线的函数表达式； （2）已知球门立柱OB上有一点C，OC＝2m．若球员向远离球门的正后方移动nm再射门（抛物线形状、最大高度不变），球轨迹恰好经过线段OC（含O、C两点），求n的取值范围． 42．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s），经过实验，发现h与t2成正比例关系，而且当h＝20时，t＝2． （1）求h关于t的函数解析式；（不用写出自变量的取值范围） （2）若小球落地所用的时间为4s，求其离地面的高度是多少？ 43．根据以下素材，探索完成任务 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝100米，BC＝160米．准备在它的四周铺设道路，上下两条纵向道路宽度都为2x米，左右两条纵向道路宽度都为x米，中间部分种植草莓．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过6米，且不小于2.5米． 素材2 该果园的草莓成熟后，某水果商向农户按市场价8元/千克，一次性收购了1000千克草莓，随即存入冷库待售．已知：①草莓市场价格每天上涨0.4元/千克；②每天损耗10千克草莓（损耗部分无法出售）；③冷库每天支出费用200元；④草莓最多保存16天． 问题解决 任务1：解决果园路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间部分种植面积是13552m2，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2：解决水果商收购草莓的预期利润问题．（总利润＝总销售额﹣收购总成本﹣冷库总费用） （2）该水果商存放草莓一段时间后，按当天市场价一次性出售，获得利润为800元，请问在第几天出售？ 44．打铁花（如图①）是流传于民间的一种烟火，表演者将高温铁水击向空中，铁水在重力作用下散开，形成绚丽的火花．某研究团队为分析其运动规律，将铁水溅射路径抽象为抛物线模型． 如图②，铁水从表演台中心O被击打后飞出，其运动路径的最高点N距地面16m，表演台中心O与铁水落地点A的水平距离为24m．以O为原点，地面OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求铁水运动路径所在抛物线的函数表达式； （2）为了实现最佳观赏效果，表演者将在距地面5m高的升降台（位于表演台中心正上方）上击打铁水．已知该铁水飞溅的运动路径形状保持不变．为保障观众安全，观赏区需设置在落地点4m以外的区域．请通过计算说明与表演台中心O的水平距离为28m的位置是否在观赏区安全范围内．（参考数据：） ◆能力提升练 45．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（1，1），（4，1）．若二次函数y＝（x﹣b）2+b﹣2的图象与线段AB有交点，则该抛物线与y轴交点的纵坐标n的取值范围是（　　） A．﹣2≤n≤6 B．﹣2≤n≤10 C． D． 46．如图1，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，AE＝BF＝CG＝DH＝xcm，四边形EFGH的面积为ycm2.y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（　　） A．AB的长为1cm B．四边形EFGH是正方形 C．四边形EFGH面积的最小值为0.5cm2 D．当0＜x≤1时，y与x之间的函数表达式为y＝2x2﹣x+1 47．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+0.5b+0.25c＝0；③当m＜﹣1时，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0无实根；④ac﹣b+1＝0；⑤．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 48．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上的两点，其中t﹣1＜x1＜t，t+1＜x2＜t+2．下列说法错误的是（　　） A．当t≤0时，都有y1＞y2 B．当t≥1时，都有y1＜y2 C．当0＜t≤1时，都有y1＝y2 D．当时，存在y1＝y2 49．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B．y＝x2+4x+4 C． D． 50．在平面直角坐标系中，过点T（0，t）作y轴的垂线与二次函数（h、k为常数）的图象交于点E、F（点E在点F的左侧），点P在直线EF上，当点P满足PE+PF＝6时，我们称点P是该二次函数图象的T～6生长点．二次函数（h、k为常数）的图象经过点（6，1），若P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，则该函数的表达式为　 　． 51．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，∠ABC＝90°，AB＝3米，BC＝6米，坡面AC上有一棵小树MN（小树粗细忽略不计，点M在斜坡上且与点C不重合，MN⊥BC），现在斜坡底C处安装一个喷水管CP，水流呈抛物线状，恰好落在A处．技术人员以B为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到B的水平距离x（米）与水流的高度y（米）的变化规律如表： x 0 1 2 3 4 … y 3 3 … （1）根据表格数据，求出水流的函数解析式． （2）若调试时，水流恰好经过树顶N点． ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树MN可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在MN右侧（靠近C的一侧）再放置一棵与MN等高的小树DE（D在坡面上，树干垂直BC），且水流也能刚好经过树顶E．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底M的横坐标m的取值范围． 52．综合与实践： 【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案 【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费． 【项目实施】 任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026年1月该款迷你无人机的销量为1100架，2026年3月该款迷你无人机的销量为1331架，若2026年1月至3月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求此月平均增长率． 任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80元且售价定为每架120元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架． ①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ ②要想获得利润最大，售价应定为多少元？ 【项目成果】请解答任务1，任务2． 53．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点O，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线OA上升，到达点A后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点B，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物CD，CD高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点E处．已知直线OA的表达式为，抛物线L1的表达式为y＝a（x﹣3）2+0.5． （1）点A的坐标为　 ，点B的坐标为　 ； （2）求抛物线L1的表达式； （3）如图，若无人机在点B发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行d千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求d的最大值． 54．项目化学习 项目背景：为推进中国足球职业联赛的数智化升级，中足联联合联想搭建全栈AI赛事总指挥中心，配套半自动越位识别系统（SAOT）．该系统内置甲、乙两款AI识别模型，需通过赛事样本数据训练测试，优化越位判定性能；其中核心评价指标为越位判定准确率，指标高低直接影响判罚效率与赛事公平性． 项目主题：探究两款AI模型的越位判定准确率与训练时长的关系． 研究步骤： ①选取相同的赛事数据样本，为甲、乙两款模型搭建一致的训练环境； ②从训练开始每两天记录一次两款模型的越位判定准确率数据； ③数据分析，为赛事技术部署提供决策依据． 模型训练时长x/天 0 2 4 6 8 10 … 甲模型准确率y1/% 46 50 54 58 62 66 … 乙模型准确率y2/% 60 62 64 66 68 70 … 初步分析：经数据分析可得，y1、y2均是关于x的一次函数，已知乙模型解析式：y2＝x+60． 问题解决：请根据上述材料完成下列问题． （1）平面直角坐标系中已画出y2与x的函数图象，请根据表格数据，在同一坐标系中画出y1与x的函数图象； （2）求y1关于x的函数解析式．训练至第15天时，请求出甲模型的越位判定准确率； （3）根据赛事技术要求，当模型越位判定准确率达到95%时，方可满足实时判罚需求．请判断甲、乙哪款模型先达到该标准，并说明理由． 55.项目式学习 【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜 【项目背景】寻找生活中的数学，九（7）班分三个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对蔬菜喷水管建立数学模型．菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒． 【项目素材】 素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱形状为抛物线，这些抛物线的开口方向和大小都与相同．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水流的最外落水点． 素材二：乙小组了解到需要给蔬菜大棚里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长． 素材三：丙小组了解到，农户大棚内分区域种植不同的蔬菜，需要利用喷灌机喷洒药剂．截面如图4，OE与ED区域种植不同蔬菜，测得OE＝2.5米． 【项目任务】 任务一：甲小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为5.5米．求出水柱所在抛物线的函数解析式． 任务二：乙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（结果精确到0.1米，参考数据：） 任务三：现需要对OE区域的蔬菜喷洒药剂，但不能洒落到ED区域的蔬菜上，丙小组准备在E处设立挡板EF，为了挡板使用材料最少，请直接写出EF的最小值． 56．综合与实践•校本研学探究——低空无人机物资空投的数学建模 【研学背景】 某校开展数学跨学科科创研学活动，探究低空无人机物资投放的运动规律．若忽略空气阻力、风力的影响，物资飞行轨迹为抛物线；无人机悬停投放口为抛物线轨迹的顶点． 【坐标系建构】 以投放口地面竖直投影为原点O，水平投放方向为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，单位：m． （1）【初战实测•个案建模】 如图，首次试飞无人机悬停投放高度为4.5m，物资水平飞行18m后在N（18，0）处落地，求本次物资飞行抛物线的函数解析式； （2）【校准实验•定点标定】 如图，无人机仅竖直升降，抛物线形状、开口不变（与①相同），轨迹经过标定靶点P（6，3.5），求此时无人机悬停投放口离地高度； （3）【全域探究•通用建模】 为探究不同投放参数影响，无人机调整水平初速度与机翼角度，建立全新通用投放轨迹：y（h＞0），场地中段6≤x≤10设有高1.2m实训障碍墙；地面物资接收区为线段MN，端点M（12，0）、N（18，0）；要求物资全程飞越障碍墙且不触碰，落地点落在接收区MN内（含端点M，N）．求投放口高度h的取值范围． 57．综合与实践 【实践背景】某游乐园计划新建一个小型过山车项目．过山车的轨道由多段抛物线组成，保证车厢在重力作用下平稳运行．如图1，某段轨道的起点站台A和终点站台C等高，均垂直于地面基座BD，以点B为坐标原点，BD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系．经设计，该段轨道的纵向截面轮廓符合抛物线（0≤x≤8），其中y表示轨道上某点离地面基座的高度（单位：米）．数学实践小组围绕过山车的设计参数测算、轨道改造与安全优化开展探究活动，请你参与并完成下列任务． 【实践任务一】轨道最低点安全高度测算 过山车轨道的最低点不能过低，否则会影响下方通道的安全．请你求出该段轨道最低点离地面的距离，并验证其是否满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求． 【实践任务二】轨道分段改造设计 为增加过山车的趣味性，工程师决定在与起点站台AB相距3米的位置增设一根垂直于地面的支撑杆EF（如图2），将原轨道截断并重新连接，形成左右两段独立的抛物线轨道G1和G2．设计规范要求：左边抛物线轨道G1的最低点与支撑杆EF相距1米，且离地面高度为2米．请求出支撑杆EF的高度． 【实践任务三】轨道位置的调整与优化 为提升过山车的刺激程度，现将支撑杆EF的高度提升为4米，并调整其在基座上的水平位置．已知调整后右边抛物线轨道G2的二次项系数始终为，设EF与AB的距离为n米，为保证运行安全，要求抛物线轨道G2上所有点离地面的高度都不低于2米．求n的最小值． 58．“放烟花”可追溯至先秦，成型于隋唐，兴盛于两宋，鼎盛于明清．如图①，烟花燃烧后产生五彩缤纷的视觉效果．数学研习小组对某款烟花燃放时相关问题展开研究，小组成员将烟花AM放在立柱OM上，其中AM＝0.56m，OM＝0.69m．点燃烟花，火星从点A处喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在如图②所示的直角坐标系中，y（m）表示火星离地面的高度，x（m）表示火星与喷射点A的水平距离，左侧火星下落路径C1可以用二次函数y＝﹣x2﹣2x+n刻画． （1）填空：n＝　　 ； （2）如图②，抛物线C2与C1关于y轴对称，求抛物线C2的表达式及其顶点坐标； （3）如图③，为了增强烟花的观赏效果，将另一个同款烟花放在地面点N处，利用下落火星将其点燃，使得点B处喷出火星，产生连续燃放的视觉效果．火星路径分别是抛物线C2，C3的一部分（C2，C3的形状相同）．为了确保安全，若火星落地点P与点O的距离超过4.5m，则需要设置安全挡板，请通过计算判断是否需要设置安全挡板． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/14 11:08:13；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：684214 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数 1.A【解析】由题意可得：|a|﹣2＝2，且a﹣4≠0．由|a|﹣2＝2，得|a|＝4，解得a＝4或a＝﹣4．又∵a﹣4≠0，即a≠4，∴a＝﹣4． 2.C【解析】A、不是整式，故此选项不符合题意；B、当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，故此选项不符合题意；C、y是二次函数，故此选项符合题意；D、不是整式，故此选项不符合题意． 3.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBF＝∠ECG＝45°，AC⊥BD，EB＝EC，∵EF⊥EG，∴∠BEC＝∠FEG＝90°，∴∠BEF＝∠CEG，∴△BEF≌△CEG（ASA），∴S四边形EGCF＝S△BECS正方形ABCD，∵S△EFG＝S四边形EGCF﹣S△CFG，∴y（5﹣x）•xx2x，∴y与x满足的函数关系是二次函数． 4.C【解析】①，y是x的反比例函数②y＝2π×5x＝10πx，y是x的正比例函数；③y＝（x﹣80）（100﹣2x）＝100x﹣2x2﹣8000+160x＝﹣2x2+260x﹣8000，y是x的二次函数；所以y与x满足的函数关系是二次函数的是③. 5.B【解析】由题意，∵二次函数为y＝3（x+2）2﹣1，∴其顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 6.A【解析】由题意可得：对称轴是直线x＝1， 7.D【解析】解：由题意，∵二次函数为y＝（x+3）2﹣2，∴其的顶点的横坐标为﹣3． 8.A【解析】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣1）2+2，∴其对称轴是直线x＝1． 9.A【解析】已知抛物线y＝（x﹣h）2，其中h＞0，所以对称轴为直线x＝h，并且顶点坐标为（h，0）在x轴的正半轴，故B、C、D错误，不符合题意. 10.【解析】x＝0时，两个函数的函数值y＝b，∴两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，∴a＞0， ∴一次函数y＝ax+b经过第一三象限，∴A选项错误，C选项正确． 11.D【解析】由条件可得：，解得， ∴抛物线解析式为．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，A正确，不符合题意；抛物线对称轴为直线，故B正确，不符合题意；抛物线开口向上，对称轴为直线，∴当时，y随x增大而增大，C正确，不符合题意；抛物线顶点坐标为，函数的最小值为，不是﹣1，D错误，符合题意；故选：D． 12.C【解析】∵的对称轴为直线x，且a＞0，∴当x＞1时，y2随x的增大而增大，故A正确；∵k＜0，∴﹣k+1＞1，∴y1的图象经过一、二、四象限，故B正确；当k＝1时，y1＝x，x＝x2﹣2x﹣2，x，∴不满足﹣1＜x＜1，故C错误；kx﹣k+1＝x2﹣2x﹣2，x2﹣（2+k）x+（k﹣3）＝0， Δ＝[﹣（2+k）]2﹣4（k﹣3）＝k2+16≥16，∴y1与y2的图象一定有两个交点，故D正确. 13.D【解析】二次函数y＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，∴图象的对称轴是直线x＝﹣2，故A错误，不符合题意；图象的顶点坐标为（﹣2，﹣2），故B错误，不符合题意；∵a＝﹣1＜0，∴函数图象开口向下，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小；∴C错误，不符合题意；∵函数顶点坐标为（﹣2，﹣2），函数图象开口向下，∴图象全部在x轴下方，只经过三、 14.D【解析】∵二次函数y＝ax2+ax﹣2a（a≠0）的图象与y轴交于负半轴，当x＝0时，y＝﹣2a，∴﹣2a＜0，解得a＞0，抛物线开口向上，故A错误，不符合题意．将二次函数配方得：，可得对称轴为直线，顶 点坐标为．∵a＞0，开口向上，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，故B错误，不符合题意．∵a＞0，开口向上，∴二次函数有最小值，没有最大值，故C错误，不符合题意．令y＝0，则ax2+ax﹣2a＝0，∵a≠0，等式两边同除以a得x2+x﹣2＝0，因式分解得（x+2）（x﹣1）＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1．∵抛物线开口向上，∴当x＞1时，y＞0，∵1＜x＜2满足x＞1，∴当1＜x＜2时，y＞0，故D正确，不符合题意． 15.A【解析】A、由图象可知当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0，故此选项正确；B、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故此选项错误；C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故此选项错误；D、 16.C【解析】根据图象开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置判断a，b，c的符号及相关代数式的符号，利用二次函数的对称性及增减性判断函数值的大小如下：由图象可知，抛物线开口向上，故a＞0；抛物线对称轴位于y轴右侧，且a＞0，故b＜0；抛物线与y轴交于负半轴，故c＜0；∴abc＞0，故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点（﹣1，0），（x1，0），∴对称轴，∵2＜x1＜3，∴，∵a＞0，∴b＞﹣2a， ∴2a+b＞0，故②正确；当x＝﹣2时，由图象可知y＞0，即4a﹣2b+c＞0，故③错误；∵对称轴x＜1，抛物线开口向上，∴离对称轴越远的点，函数值越大， ∵A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）（m＞0）关于直线x＝1对称，∴点B离对称轴的距离大于点A离对称轴的距离，∴y1＜y2，故④正确；综上，正确的结论是①②④． 17.【解析】①∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故①正确；②∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，∴a＜0，c＞0，∵b＝﹣2a， ∴b＜0，∴abc＜0，故②正确；③把x＝3代入解析式，y＝9a+3b+c，根据图象x＝3时，y＜0，∴9a+3b+c＜0，故③错误；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c，∵b＝﹣2a，∴y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故④错误；⑤当x＝1时，y＝a+b+c为最大值，∵m≠1，∴am2+bm+c＜a+b+c，故m（am+b）＜a+b，故⑤正确． 18.D【解析】观察图象可得c＞0，抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则b＞0，且，则abc＜0，b+2a＝0，故A、B选项正确；当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0，故C选项正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，代入b＝﹣2a，则4a+4a+c＝8a+c＜0，故D选项错误. 19.D【解析】∵点A（2，c）在二次函数y＝ax2+bx+c上，∴将x＝2，y＝c代入解析式得：c＝a•22+b•2+c，化简得4a+2b＝0，即b＝﹣2a，对选项A：将D（1，d）代入解析式得 d＝a+b+c，把b＝﹣2a代入得：d＝a﹣2a+c＝c﹣a，移项得a+d＝c，故A错误；对选项B：a﹣b＝a﹣（﹣2a）＝3a，∵a＞0，∴3a＞0，即a﹣b＞0，故B错误；对选项C：二次函数对称轴为直线，∵a＞0，开口向上，∴x＝1时y取最小值，即d是函数最小值，∴d≤n，即d﹣n≤0，故C错误；对选项D：∵b＝﹣2a，a＞0，∴b＜0，二次函数在x＜1时，y随x增大而减小，∵b＜0＜1，当x＝0时，y＝c，∴x＝b时的y＝n大于x＝0时的y＝c，即n＞c，得n﹣c＞0，故D正确. 20.C【解析】∵A、B、C的纵坐标相同，∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，分三种情况讨论，如图所示：抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大. 21.A【解析】∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0），∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的对称轴是x1，∴点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（4，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）的图象上，∴点A（﹣1，y1）的对称点的坐标是（3，y1）．∵抛物线开口向上，当x＞1时，y随着x的增大而增大，且2＜3＜4， ∴y2＜y1＜y3． 22.B【解析】把A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（3，y3）分别代入y＝﹣2（x+2）2得y1＝﹣2（x+2）2＝﹣8，y2＝﹣2（x+2）2＝﹣2，y3＝﹣2（x+2）2＝﹣50，所以y3＜y1＜y2． 23.D【解析】抛物线y＝﹣x2﹣2x+c图象，开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵A（﹣3，y1）距离对称轴2个单位长度，B（﹣2，y2）距离对称轴1个单位长度，C（2，y3）距离对称轴3个单位长度，∴y2＞y1＞y3． 24.A【解析】二次函数y＝﹣（x+2）2+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，∴离对称轴越近，函数值越大，点（﹣2，y1）距离对称轴有0个单位，（3，y2）距离对称轴有5个单位，（7，y3）距离对称轴有7个单位，∵1＜4＜5，∴y1＞y2＞y3. 25.A【解析】由题知，因为二次函数的解析式为y，所以抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝1，则抛物线上的点，离对称轴越近，其纵坐标越大．因为A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）均在该抛物线上，则1﹣（﹣2）＝3，1﹣1＝0，3﹣1＝2且0＜2＜3，所以y2＞y3＞y1. 26.C【解析】由题意知a＞0，∴开口向上，∵当﹣2＜x＜1 时，y的值随x值的增大而增大，∴对称轴为直线x＝﹣2或x＜﹣2，如图： ∵抛物线y＝x2﹣4mx+m的对称轴为直线x＝2m，∵2m≤﹣2，∴m≤﹣1，∴Δ＝16m2﹣4m＞0，∴抛物线与x轴有2个不同的交点，∴顶点在第三象限． 27.B【解析】a＞0抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，设对称轴为x＝h，由y1＞y2得|x1﹣h|＞|2﹣h|，﹣2＜x1＜﹣1，化简不等式可得对称轴h＞0（在y轴右侧），x1是负数，h＞0，则x1到对称轴的距离：h﹣x1；x＝0到对称轴距离：h，显然h﹣x1＞h，距离越大函数值越大，因此y1＞y（0）＝c，即y1＞c，y2和c的大小随对称轴左右变化，无法确定：A、C、D不一定成立． 28.A【解析】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远，∴y1最大，y3最小，∴y3＜y2＜y1， 29.B【解析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（﹣4，1）,所以平移后所得的抛物线的解析式y＝2（x+4）2+1. 30.B【解析】设抛物线y1为y＝a（x﹣h）2+k，由题意可得：a＝1，∴将（﹣1，2）代入可得y＝（x+1）2+2． 31.A【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a，由条件可得，解得 ，∴该二次函数的解析式为． 32.【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，∴由对称轴公式可得 ，即b＝﹣2a，由条件可得，解得 ，∴该二次函数的解析式为． 33.D【解析】yx2﹣6x+21（x2﹣12x+36）﹣18+21（x﹣6）2+3． 34.B【解析】y＝x2﹣2x﹣1＝x2﹣2x+1﹣1﹣1＝（x﹣1）2﹣2． 35.B【解析】x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝﹣2+4，x2﹣4x+4＝2， （x﹣2）2＝2，∵将一元二次方程x2﹣4x+2＝0配成（x+m）2＝n的形式，∴m＝﹣2，n＝2． 36.B【解析】∵y＝x2﹣4x﹣2，＝（x﹣2）2﹣6，∴将二次函数y＝x2﹣4x﹣2写成形如y＝a（x+m）2+n的形式后，m，n的值分别是﹣2、﹣6. 37.C【解析】∵共有x人参加会议，每个人需要和除自己以外的（x﹣1）个人握手，且每一次握手会被两人各重复计算一次，∴实际握手次数为，那么y与参加会议人数x之间的函数关系式为：． 38.【解析】过N作NL⊥AC于L，延长NM交DA的延长线于点K， ∵AB＝8米，BC＝6米，∴AC10（米）．∴sin∠ACB＝sin∠LCN．∴sin∠LCN．∴LNCNx（米）．∵AK＝CN＝x米，∴AMx米，∴S△AMKx2米2，∴通道的面积为：8x+6xx2x2＝14xx2．∵四块草地总面积为y米2，长方形的面积为48米2，∴y＝48﹣（14xx2）x2﹣14x+48． 39.D【解析】当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）． 40.C【解析】设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（0，60），（50，54）代入得， ，解得，∴函数表达式为y＝﹣0.12x+60． 41.解：（1）由题意，∵9﹣6＝3， ∴抛物线的顶点坐标为（3，3）． 设y＝a（x﹣3）2+3． 把点A（9，0）代入，得0＝36a+3．解得a． ∴y（x﹣3）2+3； （2）由题意得该球员带球向正后方移动nm后，球射向球门的抛物线的表达式为y＝ 把点（0，2）代入解析式得2，解得n＝﹣3﹣2（舍去）或n＝﹣3+2． 把点（0，0）代入，得0解得n＝﹣9（舍去）或n＝3． ∴n的取值范围是﹣3+2n≤3． 42.解：（1）设h＝kt2， 把h＝20，t＝2代入h＝kt2中得：20＝4k， 解得：k＝5， ∴h＝5t2， 即h关于t的函数解析式为h＝5t2； （2）把t＝4代入h＝5t2中得：h＝5×42＝5×16＝80， ∴小球离地面的高度是80m． 43.解：（1）依题意得：（100﹣4x）（160﹣2x）＝13552， 整理得：x2﹣105x+306＝0， 解得：x1＝3，x2＝102（2.5≤x≤6，不符合题意，舍去）， 答：小路的宽为3米符合要求； （2）设草莓存放了m天， 依题意得：（8+0.4m）（1000﹣10m）﹣8000﹣200m＝800， 整理得：m2﹣30m+200＝0， 解得，m1＝10，m2＝20（超出最大保存期限，不合题意，舍去）， 答：在第10天出售． 44.解：（1）铁水从表演台中心O被击打后飞出，其运动路径的最高点N距地面16m，表演台中心O与铁水落地点A的水平距离为24m．则： 根据题意可知，点A的坐标为（24，0）， 则抛物线的对称轴为，顶点N的坐标为（12，16）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣12）2+16， 将（0，0）代入可得a×122+16＝0， 解得， 故抛物线的函数表达式为． （2）据（1）可知抛物线的函数表达式为， 根据题意，在升降台上击打铁水形成的抛物线表达式为， 当y＝0，则，即（x﹣12）2＝189， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 故与表演台中心O的水平距离为28m的位置不在观赏区安全范围内． 45.D【解析】∵y＝（x﹣b）2+b﹣2，∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（b，b﹣2）；当x＝0时，y＝b2+b﹣2，∴抛物线与y轴的交点纵坐标n＝b2+b﹣2，由退款的：该抛物线的顶点的纵坐标b﹣2≤1，即b≤3，又∵当 x＝4时，，∴点B一定在抛物线的下方，∴①当点A在抛物线的上方时一定满足条件，即当x＝1时，y＝（1﹣b）2+b﹣2＝b2﹣b﹣1≤1，解得﹣1≤b≤2，∵n＝b2+b﹣2，是关于b的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为，∴在﹣1≤b≤2范围内，当时，n取得最小值，当b＝2时，n取得最大值4，∴；②当点 A在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴1＜b≤3，此时对于n＝b2+b﹣2，当b＝1时，n取得最小值0，当b＝3时，n取得最大值10，∴0＜n≤10，综上，n的取值范围是 ． 46.D【解析】由图2可知，设y＝a（x）2，将点（1，1）代入得，a（1）21，解得a＝2，所以y＝2（x）22x2﹣2x+1（0＜x≤1）．故D选项符合题意．因为四边形ABCD是正方形，所以AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，因为AE＝BF＝CG＝DH，所以BE＝CF＝DG＝AH，所以△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，所以HE＝EF＝FG＝GH，∠AHE＝∠GFH． 因为∠DGH+∠DHG＝90°，所以∠AHE+∠DHG＝90°，所以∠GHE＝90°， 所以四边形EFGH是正方形．故B选项不符合题意；当点E在AB中点处时，正方形EFGH的面积取得最小值，此时x，所以AB．故A选项不符合题意；当x时，y取得最小值0.5，所以四边形EFGH面积的最小值为0.5cm2． 故C选项不符合题意． 47.C【解析】抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵对称轴，∴b＝﹣2a＞0；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0；∴abc＜0，故①正确． ∵OA＝OC，C（0，c），∴A（﹣c，0）；∵A（﹣c，0）在抛物线上，∴a（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0；∵b＝﹣2a，∴ac2+2ac+c＝0；∵c≠0，∴ac+2a+1＝0；∴a+0.5b+0.25c＝a+0.5（﹣2a）+0.25c＝0.25c≠0，故②错误．∵顶点纵坐标为，b＝﹣2a，∴；∵a＜0，∴c﹣a＞c；当m＜﹣1时，﹣m可能小于顶点的纵坐标c﹣a，此时关于x的方程ax2+bx+c+m＝0有实根，故③错误． ∵ac+2a+1＝0，b＝﹣2a，∴ac﹣b+1＝0，故④正确．∵OA＝﹣xA，OB＝xB， ∴OA•OB＝﹣xAxB；∵，∴，故⑤正确． 48.C【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0），∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当t＝0时，﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，如图①， 此时y1＞y2，当t＜0时，两个区间同时向左移动，仍有y1＞y2，故A选项正确，不符合题意；当t＝1时，0＜x1＜1，2＜x2＜3，如图②， 此时y1＜y2，故C选项错误，符合题意；当t＞1时，两个区间同时向右移动，仍有y1＜y2，故B选项正确，不符合题意；当t时，，，如图③， 存在y1＝y2，故D选项正确，不符合题意. 49.A【解析】由条件可知4a﹣2b+c＝0．又∵对于任意x，有，当x＝2时，且x＝2，∴y＝2，即函数过点（2，2），∴4a+2b+c＝2，联立方程，相减得4b＝2，∴，把代入4a﹣2b+c＝0得4a﹣1+c＝0，即4a+c＝1．设恒成立， 要使g（x）≥0恒成立，须有a＞0，∴判别式，即， ∴，设，代入和c＝1﹣4a得，需h（x）≥0恒成立，要使h（x）≥0恒成立，须有二次项系数，即，判别式，即，化简得，∴64a2﹣16a+1≤0，即， ∴，代入4a+c＝1得，∴． 50.或【解析】由条件可知点T（0，t）、点E、点F、点P的纵坐标都相同，都为t，设E（x1，t），F（x2，t），x1＜x2，∴x1，x2是方程的两根，∵P（3，5）是该函数图象的T～6生长点，∴t＝5，PE＝|x1﹣3|，PF＝|x2﹣3|，即PE+PF＝6＝|x1﹣3|+|x2﹣3|，由条件可得，整理得，∴x1，x2是方程的两根，整理得x2﹣2hx﹣44+12h＝0，∴x1+x2＝2h，x1x2＝12h﹣44，情况一：当3≤x1＜x2时，6＝|x1﹣3|+|x2﹣3|＝x1﹣3+x2﹣3，即x1+x2＝12＝2h，解得h＝6，此时x2﹣2hx﹣44+12h＝0化为x2﹣12x+28＝0，解得，符合题意，∴，该函数的表达式为； 情况二：当x1＜3＜x2时，6＝|x1﹣3|+|x2﹣3|＝3﹣x1+x2﹣3，即，解得，代入x1x2＝12h﹣44得（h﹣3）（h+3）＝12h﹣44，解得h＝7或h＝5，当h＝7时，x2﹣2hx﹣44+12h＝0化为x2﹣14x+40＝0，解得x1＝4，x2＝10，不满足x1＜3＜x2；当h＝5时，x2﹣2hx﹣44+12h＝0化为x2﹣10x+16＝0，解得x1＝2，x2＝8，满足x1＜3＜x2，此时，该函数的表达式为；情况三：当x1＜x2＜3时，6＝|x1﹣3|+|x2﹣3|＝3﹣x1+3﹣x2，即x1+x2＝0＝2h，解得h＝0，x2﹣2hx﹣44+12h＝0化为x2﹣44＝0，解得，不满足x1＜x2＜3；综上所述，该函数的表达式为或． 51.解：（1）设水流的函数解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）， 由题意得， ∴， 水流的函数解析式为y＝﹣5x2+x+3（0≤x≤6）； （2）①∵AB＝3米，BC＝6米， ∴A（0，3），C（6，0）， 设直线AC的函数解析式为y＝k1x+b1（k1≠0） ∴， ∴， ∴直线AC的函数解析式为， 设，则， ∴MN＝﹣5m2+m+3（﹣m+3）＝m2+m＝5（m﹣4）2+2，， ∴当m＝4时，MN有最大值，最大值为2， 答：这棵小树MN可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为n， 同理可得， ∵两棵树等高，即MN＝DE， ∴， ∴m2﹣n2﹣8（m﹣n）＝0， ∴（m+n﹣8）（m﹣n）＝0， ∵n＞m，即m﹣n≠0， ∴m+n﹣8＝0， ∴m＝8﹣m， 又∵m＜n＜6， ∴m＜8﹣m＜6， ∴2＜m＜4． 52.解：（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得1100（1+x）2＝1331， ∴x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为10%； （2）①设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售（20+2y）架， 由题意得（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1200， 解得y1＝10，y2＝20． ∵需要尽量减少库存， ∴y＝20． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元； ②由题意，结合①得，利润＝（120﹣y﹣80）（20+2y） ＝﹣2y2+60y+800 ＝﹣2（y﹣15）2+1250， ∵﹣2＜0， ∴当y＝15时，利润取最大值． ∴售价＝120﹣15＝105（元）． 答：要想获得利润最大，售价应定为105元． 53.解：（1）∵直线OA的表达式为，A的高度为：y＝0.1千米， 则得， 解得：x＝0.2， ∴A（0.2，0.1） 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点B， 则水平距离为：20×0.04＝0.8（千米） 则点B的横坐标为：0.2+0.8＝1， 则点B（1，0.1）； 故答案为：A（0.2，0.1）；B（1，0.1）； （2）∵抛物线L1经过点B， 则将点B代入抛物线L1的表达式得：0.1＝a（1﹣3）2+0.5， 解得：， 则抛物线L1的表达式为：； （3）若无人机在点B发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行d千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．则： 由题可知点D（2，0.275）， 由（2）可知抛物线L1的顶点坐标为：（3，0.5）， 则平移后得顶点坐标为（3+d，0.5）， 点B平移后的坐标为：（1+d，0.1） 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点D的上方， 将点D的坐标代入可得， 解得：d≤0.5 则d的最大值为：0.5． 54.解：（1）由题意结合表格数据作图如下： ； （2）由题可得y1，y2与训练时长x均为一次函数关系． 设y1与x的函数关系式为y1＝k1x+b1， 将点（2，50），（0，46），分别代入得： ， ∴． ∴y与x的函数关系式为y1＝2x+46． 设y2与x的函数关系式为y2＝k2x+b2， 将点（2，62），（0，60），分别代入得： ， ∴． ∴y2与x的函数关系式为 y＝x+60． 当x＝15时，y1＝2×15+46＝76． 答：训练第15天时甲模型的越位判定准确率为76%； （3）甲模型准确率先达到该标准．理由如下：选择一个作答即可． ①甲模型准确率第十天为66%，乙模型准确率第十天为70%，甲模型准确率每两天增加4%， 乙模型准确率每两天增加2%，经过4天后甲、乙模型准确率都为74%， 由图可知，甲模型准确率增长速度更快，所以甲模型准确率先达到该标准． ②当 y＝y2时，2x+46＝x+60解得，x＝14．即当14天时，甲、乙模型准确率都为74%． 由图可知，甲模型准确率增长速度更快，所以甲模型准确率先达到该标准． ③当 y＝95 时，2x+46＝95，解得 x＝24.5， 当y＝95 时，x+60＝95，解得x＝35， ∵24.5＜35， ∴甲模型准确率先达到该标准等（答案不唯一，合理即可）． 55.解：任务一：∵抛物线开口大小和方向与相同， ∴设解析式为， 由题意得喷水口代入，得， 再将落水点代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为：； 任务二：设薄膜与x轴交点为B（m，0）， ∵薄膜与地面夹角为45°， ∴薄膜所在直线与y轴交点为C（0，m）， 设薄膜所在直线解析式为y＝kx+m，则0＝mk+m，解得k＝﹣1， ∴薄膜所在直线解析式为y＝﹣x+m ．设抛物线上一点到直线BC的距离为EF，要求水到薄膜的垂直距离至少为0．lm，即EF≥0.1m， 过点E作EG∥x轴，过点F作FG∥y轴，则∠BFG＝∠BCO＝45°， ∵EF⊥BC， ∴∠BFE＝90°， ∴∠EFG＝∠BFE﹣∠BFG＝45°， ∵EG⊥FG， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴当EF＝0.1时，， ∴， ∴，∴，， 化简得， ∵x值唯一， ∴， 解得，即薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约为7.6米时满足要求； 任务三：设抛物线上点F（x，y）， ∵E（2.5，0）， ∴， ∵抛物线解析式， ∴整理得，代入得：EF2＝9﹣2y+y2＝（y﹣1）2+8， ∵抛物线y的范围为0≤y≤4.5， ∴当y＝1时，EF2最小为8，得（米）． ∴EF最小值约米． 56.解：（1）由题意，设抛物线顶点式y＝ax2+4.5（a≠0）， 将落地点（18，0）代入顶点式，得324a＝﹣4.5， ∴， ∴所求解析式为． 答：本次物资飞行抛物线的函数解析式为； （2）由题意，设抛物线顶点式， 将P（6，3.5）代入顶点式，得， ∴h＝4． 答：此时悬停高度为4米； （3）①令y＝0，则，则， ∵落地区间12≤x≤18， ∴1.8≤h≤4.05； ②越障要求：当6≤x≤10时，y＞1.2，即， ∴， ∵， ∴当6≤x≤10时，随着x的增大而增大；当x＝10时，， ∴h＞2.45， 由①②得2.45＜h≤4.05． 答：投放高度h的取值范围是2.45＜h≤4.05米． 57.解：【实践任务一】由题意，∵二次函数为， ∴． ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝4时，y取最小值为2． ∵2＞1.8， ∴该段轨道满足“轨道下方最低安全高度不低于1.8米”的设计要求； 【实践任务二】由题意，得G1的顶点坐标为（2，2）， 设抛物线G1的表达式为y＝a（x﹣2）2+2， 易得点A（0，4），将（0，4）代入，得4＝a（0﹣2）2+2， ∴， ∴G1的表达式为． 当x＝3时，， ∴支撑杆EF的高度为2.5米； 【实践任务三】由题意，得点E（n，4），C（8，4）， ∵抛物线G2过点E，C， ∴G2的对称轴为直线． 设G2的表达式为， ∵抛物线开口向上， ∴要使G2上所有点离地面高度都不低于2米，只需k≥2． 将点C（8，4）代入，得， ∴． ∴4≤n≤12． ∵0＜n＜8， ∴4≤n＜8， ∴n的最小值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $