专题15 一元二次方程应用题 分类训练02 【暑期培优】 2026年八升九数学暑假培优计划（人教版九年级数学上册，重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程实际应用，按比赛、道路、围栏、动点、新能源5类系统分类，40道题覆盖高频场景，强化模型意识与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比赛问题|8道|单/双循环赛制，场次计算|从n队比赛场次抽象n(n-1)/2或n(n-1)模型| |道路问题|8道|矩形场地修等宽道路，求宽度|通过平移法转化剩余面积等量关系| |围栏问题|8道|利用一面墙及隔断，求面积或边长|根据周长与墙长限制建立面积方程| |动点问题|8道|几何图形中运动时间与面积/边长关系|用含t代数式表示动点位置，列面积方程| |新能源问题|8道|销量增长率及利润计算|增长率公式与利润=销量×(售价-进价)模型|

专题15 一元二次方程应用题分类训练02 （比赛道路围栏动点新能源5类40道） 专题目录 【类型1 比赛问题】 1 【类型2 道路问题】 3 【类型3 围栏问题】 5 【类型4 动点问题】 8 【类型5 新能源相关问题】 10 【类型1 比赛问题】 1．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 2．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 3．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 4．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    5．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 6．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 7．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 8．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【类型2 道路问题】 9．如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 10．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 11．有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． (1)设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） (2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 12．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 13．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 14．如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 15．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 16．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【类型3 围栏问题】 17．某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 18．邹城某草莓种植园要用围栏围成矩形种植区域，现有一面长度为18米的温室墙体（图中灰色部分）可以利用，另外还有长32米的围栏可供搭建使用． (1)如图1，若要用长32米的围栏围成矩形种植区域的三面，和，当围成的矩形种植区域的面积为时，求与墙平行的边的长度； (2)如图2，若要用长32米的围栏，先围成矩形种植区域的三面，和，再将矩形种植区域隔成3个小矩形种植区域用来种植不同品种的草莓，此时矩形种植区域的面积最大能达到多少？（忽略围栏所占面积） 19．要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）. (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为的长方形围栏?如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 20．农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙(墙长)，另外三面用长的篱笆围起来．设围栏的长为． (1)围栏的宽为 　　；(用含的代数式表示) (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； (3)农厂主通过计算发现该围栏围成的矩形的面积不可能为，请你说明理由． 21．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 22．为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 23．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)． (1)两个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长； (2)两个生态园的面积能不能达到108平方米，并说明理由． 24．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【类型4 动点问题】 25．如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． (1)当为何值时，两个动点第一次相遇； (2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？ 26．如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动．    (1)两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ (2)连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 27．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 28．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 29．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 30．综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 31．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 32．如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：________，________；（用含t的代数式表示）． (2)t为何值时，的面积等于的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【类型5 新能源相关问题】 33．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 34．“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 35．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 36．在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 37．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 38．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 39．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 40．面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 一元二次方程应用题分类训练02 （比赛道路围栏动点新能源5类40道） 专题目录 【类型1 比赛问题】 1 【类型2 道路问题】 7 【类型3 围栏问题】 14 【类型4 动点问题】 22 【类型5 新能源相关问题】 33 【类型1 比赛问题】 1．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 2．2025年江西省举行赣超足球联赛，宜春和赣州最终联手进入决赛． 本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区6个队，北区n个队，每个区进行双循环小组积分赛（每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛），各区取前四晋级决赛． (1)宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，问：宜春队第一阶段共参与了____场比赛． (2)如果北区第一阶段比赛总场数为20场，求 n 的值． 【答案】(1)10 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键： （1）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出算式进行计算即可； （2）根据每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，宜春队要跟其他的5个队各踢2场， ∴宜春队第一阶段共参与（场）比赛； 故答案为：10； （2）由题意，， 整理，得：， 解得或（舍去）； 故． 3．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 【答案】共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 4．课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛．    【答案】（1） （2） 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 5．八年级乒乓球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6人，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 小江说的有道理，理由如下： 设有人报名参赛，由题意得，整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，故小江说的有道理； (3)4 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个人需比赛的局数为； （2）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得6个人需比赛的局数为， 答：参赛者有6人，按赛制共进行了15场比赛； （2）略 （3）设有一人比赛了场后退出比赛，由题意， 得，整理得， 解得， 当时，，是正整数，符合题意；不符合题意，舍去． ∴共有10名参赛者报名本次比赛，n的值为4． 故答案为：4． 6．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 7．组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛． (1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？ (2)写出比赛的总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式； (3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？ 【答案】(1)6； (2) (3)8 【分析】（1）采取单循环的形式，如果有四个队参赛，则需要打：场； （2）直接根据题意列出函数关系式即可； （3）根据参赛的每两个队之间都要比赛一场结合总共28场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）如果有四个队参赛，则需要打： 场； （2）总场数与参赛队伍数量之间的函数关系式：； （3）设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 这次比赛共有8个队参加． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 8．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 【类型2 道路问题】 9．如图，在一块长为，宽为的矩形地面上，修建两横两竖的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），横、竖道路的宽度相同，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，应如何设计道路的宽度？ 【答案】道路的宽度为 【分析】设道路的宽度为，然后根据要使草坪的面积是地面面积的二分之一，列出方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为，则 ， ， ， 解得（不合题意，舍去）， 答：道路的宽度为． 10．新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 11．有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． (1)设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） (2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 【答案】(1) (2)道路的宽为1米 【分析】（1）根据设道路的宽为米以及道路的宽为正方形边长的，进行列式计算，即可作答． （2）首先设道路的宽为米，根据道路的宽为正方形边长的，得出道路与正方形的面积进而得出答案； 此题主要考查了一元二次方程的应用，①根据已知表示出阴影部分的面积是解题关键；②读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设道路的宽为米． ∵道路的宽为正方形边长的 ∴正方形边长米 ∴则正方形的面积为 故答案为：． （2）解：设道路的宽为米． 列方程， 整理得， 解得，（舍去）． 答：道路的宽为1米； 12．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪． (1)如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：） (2)学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据种植园的面积是场地面积的，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度为； （2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：道路的宽度应设计为． 13．如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 【答案】(1)， (2)1米 【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解； （2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为m，宽为m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）解∶道路①的面积为平方米，道路②的面积为平方米 （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽度为1米． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 14．如图，有一个宽，长的长方形花园，其中有两横向道路、一纵向道路，横、纵道路的宽度比为．如果要使种花的所占面积是整个长方形花园的，求横向道路的宽度． 【答案】横向道路的宽为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为，根据种植花的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积建立方程求解即可． 【详解】解：设横向道路的宽为，则纵向道路的宽为， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：横向道路的宽为． 15．【教材变式】如图，在一块矩形花园基地上修建一横两纵三条等宽的道路，矩形的长为a米，宽为b米，其中两条道路与边平行，另一条道路与边平行，剩下的空白部分打造成休闲区． (1)若，，且6块空地的面积和为792平方米，求每条道路的宽x； (2)若，道路的宽为2米，且6块空地的面积和为208平方米，求矩形的长和宽各为多少米？ 【答案】(1)每条道路的宽为1米 (2)原矩形空地长为20米，宽为15米 【分析】本题考查了一元二次方程的运用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； （1）设每条道路的宽x米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为792列方程求解即可； （2）设长为米，宽为米，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，结合6块空地的面积和为208列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每条道路的宽x，可得出空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形，由题意得： ， 解得：（舍去）， ∴每条道路的宽为1米； （2）解：， ∴设长为米，宽为米， ∴空地的部分合成为一个长米，宽为米的长方形， 由题意得：， 解得：（舍）， ， ∴矩形长为20米，宽为15米． 16．项目化学习 素材：全面推进美丽中国建设，当前在各地积极开展．我市在城市园林绿化建设方面，从“园林城市”、“生态园林城市”到“公园城市”，城市人居生态环境已有很大提升．其中，某一新建公园想在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．现有两种小道设计方案，如下图： 其中：按图1的方案设计小道，测得草坪的面积是； 如图2所示，修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪后，草坪的面积是地面面积的二分之一． 请根据以上信息解决下列问题： 任务1：求图1中道路的宽度； 任务2：经过一致协商，最终选择如图2所示的第二种小道设计方案．从美观角度考虑，决定在横竖两条小道上铺设花砖，求小道重叠部分花砖的面积． 【答案】任务1：；任务2： 【分析】本题考查了平移的性质，一元二次方程的应用．熟练掌握平移的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设图1中道路的宽度为，由平移可确定合成草坪的长和宽，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； 任务2：设道路的宽度为，依题意得，，可求，（舍去），即道路宽为，由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形，然后求面积即可． 【详解】任务1：解：设图1中道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴图1中道路的宽度为； 任务2：解：设道路的宽度为， 依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴道路宽为， 由题意知，小道重叠部分花砖为4个相同的边长为的正方形， ∵， ∴小道重叠部分花砖的面积． 【类型3 围栏问题】 17．某物流公司需要利用一面长25米的旧围墙搭建一个双仓隔断的临时储物区矩形，预计用总长74米的钢管组装围栏．围栏结构需满足以下条件：①平行于围墙的围栏需留两个3米宽的装卸口，②垂直于围墙的两侧围栏中间需加装隔断钢管，③组装所有钢管必须首尾相连无剩余；设围栏BC长度为x米： (1)用含x的代数式表示储物区的宽度； (2)若储物区总占地面积为400平方米，求x． 【答案】(1) (2)x的值为20 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程． （1）根据题意列代数式即可求解； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故x的值为20． 18．邹城某草莓种植园要用围栏围成矩形种植区域，现有一面长度为18米的温室墙体（图中灰色部分）可以利用，另外还有长32米的围栏可供搭建使用． (1)如图1，若要用长32米的围栏围成矩形种植区域的三面，和，当围成的矩形种植区域的面积为时，求与墙平行的边的长度； (2)如图2，若要用长32米的围栏，先围成矩形种植区域的三面，和，再将矩形种植区域隔成3个小矩形种植区域用来种植不同品种的草莓，此时矩形种植区域的面积最大能达到多少？（忽略围栏所占面积） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设围栏的长为，则的长为，根据题意列出方程并求解； （2）设围栏的长为，则的长为，表示出矩形的面积，用配方法解题即可. 【详解】（1）解：设围栏的长为，则的长为， 则有， 解得：或， 或， ， ∴与墙平行的边的长度为； （2）解：设围栏的长为，则的长为， 由题意可得：且， 解得， ，其中， ∴当时，有最大值为. 19．要建一个如图所示的面积为的长方形围栏，围栏总长，一边靠墙（墙长）. (1)求围栏的长和宽； (2)能否围成面积为的长方形围栏?如果能，求出该长方形的长和宽，如果不能请说明理由． 【答案】(1)围栏的宽为米，长为：米 (2)围栏的宽为米，长为米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键； （1）设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，然后由墙的长度得到的取值范围，由此即可得出结论； （2）设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程求出的值，然后由墙的长度得到的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米， ， 解得：或 ∵当时， ，故舍去； ∴，即长为 ∴围栏的宽为 ∴围栏的宽为米，长为：米； （2）设与墙相垂直的一边长为米，则另一边的长为米， ， 解得： ∵当时，，故舍去； 则即长方形的长为 ∴长方形的宽为 围栏的宽为米，长为：米 20．农厂要建一个如图所示的矩形围栏，围栏的一面靠墙(墙长)，另外三面用长的篱笆围起来．设围栏的长为． (1)围栏的宽为 　　；(用含的代数式表示) (2)若该围栏围成矩形的面积为，求x的值； (3)农厂主通过计算发现该围栏围成的矩形的面积不可能为，请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 理由如下： 假设该围栏围成的矩形的面积能为，根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即该围栏围成的矩形的面积不可能为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）利用的长，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据该围栏围成矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合墙长，即可确定的值； （3）假设该围栏围成的矩形的面积能为，根据该围栏围成矩形的面积为，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该围栏围成的矩形的面积不可能为． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为，， ∴m． 故答案为：； （2）根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 又∵墙长， ∴． 答：的值为； （3）略 21．如图，利用一面墙（墙长米），用总长度49米的木栏围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米宽的小门，设木栏的长为x米． (1) 米（用含x的代数式表示）； (2)若矩形围栏的面积为210平方米，求木栏的长？ (3)矩形围栏的面积是否可能达到240平方米？请说明理由． 【答案】(1) (2)木栏的长为10米 (3)矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可； （2）根据矩形围栏的面积为210平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）根据矩形围栏的面积为240平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：的长为x米，则（米）， 故答案为：； （2）由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：木栏的长为10米； （3）矩形围栏的面积不可能达到240平方米，理由如下： 由（1）可知，米， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 矩形围栏的面积不可能达到240平方米． 22．为更好地开展劳动教育课程，我校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开（如图所示）．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏宽忽略不计）． (1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长； (2)生态园的面积能否达到153平方米？请说明理由． 【答案】(1)生态园垂直于墙的边长为6米； (2)生态园的面积不能达到153平方米，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，正确列出一元二次方程并灵活运用根的判别式成为解题的关键． （1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为144平方米，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （2）假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米，根据生态园的面积为153平方米，可列出关于y的一元二次方程，再根据根的判别式，可得出原方程没有实数根，即可完成判断． 【详解】（1）解：设生态园垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：生态园垂直于墙的边长为6米； （2）解：生态园的面积不能达到153平方米，理由如下： 假设生态园的面积能达到153平方米，设生态园垂直于墙的边长为y米，则平行于墙的边长为米， 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即生态园的面积不能达到153平方米． 23．如图，要利用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长33米的围栏建两个面积相同的生态园，为了出入方便，每个生态园在平行于墙的一边各留了一个宽1.5米的门能够建生态园的场地垂直于墙的一边长不超过6米(围栏宽忽略不计)． (1)两个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长； (2)两个生态园的面积能不能达到108平方米，并说明理由． 【答案】(1)垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米 (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——矩形面积问题．熟练掌握矩形面积公式列方程，是解决本题的关键． （1）设每个生态园垂直于墙的边长为x米，则宽为（米），根据两个矩形的面积和列出方程求解可得； （2）根据题意列出方程，由根的判别式即可作出判断． 【详解】（1）设每个生态园垂直于墙的边长为x米， 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时， ， ． 答：每个生态园的面积为48平方米时，每个生态园垂直于墙的边长为4米，平行于墙的边长为12米． （2）不能，理由 ： 根据题意，得：， 整理，得：， 由于， ∴方程无实数根， 故每个生态园的面积不能达到108平方米． 24．如图，要利用一面墙（墙长为）建羊圈（矩形，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，再根据矩形面积计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴羊圈的边长的长度为． 【类型4 动点问题】 25．如图，是边长为的等边三角形．动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为． (1)当为何值时，两个动点第一次相遇； (2)从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，以，，为顶点的三角形的面积为？ 【答案】(1)t=20 (2)t为6或2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程；等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点； （1）根据题意得方程即可求出答案； （2）有3种情况①如图，过作于，得到，求出的长，根据三角形的面积公式即可求出的值；②如图，与①类似即可求出的值；③如图：，，，得到方程的解不符合在上，综合上述得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：当为时，两个动点第一次相遇． （2）解：是边长为的等边三角形， ， 有种情况：①如图，过作于， ，，由勾股定理得： 由三角形面积公式得：， 解得：，舍去； ②如图2， ，，， 由三角形面积公式得：， 解得：或， 当时，在上，舍去， ； ③如图3： ，，， ， 此方程无解； 的值是，， 答：从出发到第一次相遇这一过程中，当为或时，点、、为顶点的三角形的面积为． 26．如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动．    (1)两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ (2)连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1)两动点经过秒时，使得四边形的面积是矩形面积的 (2)当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． （1）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和两种情况，再分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的， 由题意，得， ， 解得：， 两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； （2）解：设两动点经过秒时，使得是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 则， 整理得， 解得； ②当时，如图，过点作于点，   ， 则， 整理得，解得（与点重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形． 27．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．若点P移动的时间为t秒． (1)当点P在移动时，的长为 （用含t的式子表示），t的取值范围是 ． (2)当以A、P、Q为顶点的三角形的面积为时，求t的值． 【答案】(1)； (2)经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． ，，， ； 故答案为：；； （2）解：， 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 28．综合与探究 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点M、N是两个动点． (1)如果（）的长（单位：）是关于的一元二次方程的两个实数根，求的长． (2)若动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点，动点从出发，沿方向以的速度匀速直线运动到点D．（当点运动到C点时，点也随之停止运动）．若同时出发，设运动时间为秒，求为何值时，的面积为？ 【答案】(1) (2)M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【分析】（1）解一元二次方程得到，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解； （2）分三种情况，列出的表达式，解方程即可． 【详解】（1）解方程， 得， ， 在菱形中，， ， 在中，， ∴； （2）①当点M在上且点N在上时，，则， 解得（大于3，舍去）； ②当点M在上且点N在上时，，则， 此方程无解； ③当点M在上且点N在上时，，则， 解得（小于4，舍去）， 综上所述M、N出发2秒或5秒后，的面积为． 【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）． 29．如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． (1)经过几秒钟，点、之间的距离为？ (2)连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)经过秒钟，点、之间的距离为 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【详解】（1）解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； （2）解：假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 30．综合与探究 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以的速度移动，同时点从点出发，沿边向终点以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_____，_____；（用含的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)在动点，运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)当时， (3)当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的运用， （1）根据点的移动速度，行程问题的数量关系可得，，由此即可求解； （2）根据矩形的性质可得，结合（1）中的信息，可得，在中，运用勾股定理得，由此求解即可； （3）根据题意，由五边形的面积为矩形面积的，求得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：，，点从，速度为，点从，速度为，设运动时间为， ∴点从的时间为，点从的时间为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由（1）可知，，， ∴， 在中，，且， ∴，整理得，， 解得，（舍去），， ∴当时，； （3）解：存在，理由如下， 已知，， ∴， ∵五边形的面积为矩形面积的， ∴，则， ∴， 整理得，， 解得或， ∴当或时，使得五边形的面积为矩形面积的． 31．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度均为，当点到达点时，同时停止运动，设运动时间为． (1)当时，求的值； (2)当的面积为时，求的值． 【答案】(1) (2)9或12 【分析】本题主要考查了三角形中的动点问题，等角对等边，列方程解决几何问题，解题的关键是理解题意，掌握以上性质． （1）根据点的速度和时间，表示出相关线段的长度，根据等角对等边列出一元一次方程求解即可； （2）根据三角形的面积列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：； （2）解：∵ 解得：， ∴t的值为9或12． 32．如图，中，，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为． (1)根据题意知：________，________；（用含t的代数式表示）． (2)t为何值时，的面积等于的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】此题考查解一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式、列一元二次方程解应用题等知识与方法，解第（3）题时应注意根据一元二次方程根的判别式判定方程没有实数根． （1）根据动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从点C出发以的速度向点B移动，可以得出，； （2）根据的面积等于的面积的，列方程求出t的值； （3）假设可以，根据这一条件列方程并且整理出一元二次方程，再由一元二次方程根的判别式判定此方程没有实数根，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵动点D、E同时出发，动点E从点C出发以的速度向点B移动， ∴， ∵动点D从点A出发以速度向点C移动， ∴， 故答案为：；； （2）解：当的面积等于的面积的时， 根据题意得， 整理得， 解得， 答：，即运动1秒时，的面积等于的面积的； （3）解：不可以，理由如下： 如果可以，则由勾股定理得， 整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴的长不可以是． 【类型5 新能源相关问题】 33．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆车．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现；当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意易得，进而求解即可； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意易得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． （2）解：设下调后每辆汽车的售价为万元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵要尽量让利于顾客， ∴； 答：下调后每辆汽车的售价为万元． 34．“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 【答案】(1) (2)728万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出5月份销售新能源汽车数量，再列式求解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． （2）解：5月份销售新能源汽车（辆）， （万元）， 答：该经销商4月至6月份共盈利728万元． 35．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具． (1)某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到万辆车．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的关键． （1）设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x，根据10月份和12月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调m万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设汽车的售价下调m万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴， 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 36．在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 37．某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． (1)求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为96万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】(1) (2)21万元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程即可； （2）设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，用代数式表示出平均每周的销售利润，然后解方程即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 根据题意，得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆新能源汽车的售价为万元，则每辆新能源汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆， 根据题意，得：， 整理得：， 解得：， 又此次销售尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为21万元． 38．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 39．随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年一月份与三月份的新能源汽车销量分别为5000辆和7200辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率； (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务．若该公司现有25名负责交付的员工，能否完成今年四月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工？ 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； (2)不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务；至少需要增加4名员工． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出5月份的任务量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，列出方程求解即可； （2）首先求出4月份的销量，进而得出25名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x， 根据题意得 ， 解得：（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为； （2）∵每月新能源汽车销量的增长率相同， ∴四月份的新能源汽车销量为：， ∵每位员工每月最多可处理300辆汽车的交付任务，现有25名负责交付的员工， ∴， ∴不能完成今年四月份的新能源汽车交付任务； ∴需要增加员工（名）， 即至少需要增加4名员工． 40．面向日益严峻的气候变化形势，以发展新能源汽车推动道路交通领域零碳转型已成为全球共识．我国政府不断加大对新能源汽车的支持和推动，新能源汽车的市场需求正在不断增加．下表是一款某品牌新能源热门车型7月份和9月份的全国销量情况： 月份 7月 9月 销量/万辆 (1)求该款车销量的月平均增长率． (2)青岛一个该品牌店购进一批该款车型进行销售，已知进价为每辆6万元．经试销发现：当该款汽车售价为万元时，平均每月销量为150辆；而当售价每降低万元时，平均每月就能多售出15辆．为了扩大销量，该店决定降价促销，若该店想要维持利润不变，该款车的售价应为每辆多少万元？ 【答案】(1)该款车销量的月平均增长率为 (2)下调后每辆汽车的售价为7万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款车销量的月平均增长率为，可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，即可得出结论； （2）设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，利用该店销售该款汽车平均每周的销售利润每辆的销售利润每周的销售量，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该款车销量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该款车销量的月平均增长率为； （2）解：设下调后每辆车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵为了扩大销量， ， 答：下调后每辆汽车的售价为7万元． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 $