考点01 二次函数（5考点+6题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以“定义-系数-参数-应用”为逻辑主线，通过5考点+6题型构建“概念辨析-方法模板-变式应用”三阶训练体系，提炼万能模板与建模步骤，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点|5考点含定义/系数/参数/应用/解析式|定义判定三条件、系数求解步骤、参数方程组法、建模三步法|从标准定义到特殊形式，经判定条件过渡到系数运算，延伸至参数问题与实际建模，铺垫三大解析式| |题型|6题型覆盖选择/填空/解答|判断类化简核验法、系数类合并对照法、参数类方程组求解、分类讨论函数类型、实际应用建模、过定点求参数法|基础题型巩固概念（判断/系数），中档题型强化运算（参数/分类），拔高题型培养建模能力（实际应用/过定点）|

考点01 二次函数（5考点+6题型+能力强化） 考点一：二次函数定义（选择填空必考） 1. 标准定义 形如 （为常数，）的函数，叫做自变量的二次函数。 ：二次项系数，绝对不能为0，为0则降为一次函数/常数函数 ：一次项系数，可取任意实数（可为0） ：常数项，可取任意实数（可为0） ：自变量，：因变量 2. 三类特殊简化形式（教材重点） （1）：（最简二次函数） （2）：（缺一次项） （3）：（缺常数项） 3. 二次函数三大判定硬性条件（高频易错） （1）解析式化简后，等式右侧为整式（分母、根号内不能含自变量）； （2）自变量最高次数为2； （3）二次项系数。 易错反例：，化简得，最高次数为1，不属于二次函数，判定必须先化简！ 4. 自变量取值范围 纯代数解析式：自变量取值为全体实数； 实际应用题型：自变量取值符合现实意义（边长、销量、金额均大于0）。 考点二：二次函数各项系数求解 解题步骤：去括号→合并同类项→化为标准式，对应读取系数。 示例：，化简：，得。 注意：系数包含数字前面的正负号，不可遗漏负号。 考点三：根据定义求参数（期中高频填空） 通用题型：形如为二次函数，求参数值 双重限制方程组：，联立求解，舍去增根。 考点四：实际问题列二次函数解析式 建模三步法： 1.设自变量、因变量； 2.结合面积、利润、动点、周长等量关系列式； 3.整理为标准二次函数式，补充自变量取值范围。 常考模型：矩形面积模型、商品销售利润模型、直角三角形面积模型。 考点五：二次函数三大解析式（概念铺垫，后续必考） 1.一般式：（本节核心） 2.顶点式：（后续图像最值专用） 3.交点式：（后续x轴交点专用） 题型一：判断二次函数（基础选择题） 万能模板：化简整式→看最高次数→核验二次项系数 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型二：求解二次函数a、b、c（基础填空） 万能模板：展开合并同类项→对照标准式取值 6．把变成一般式，它的常数项为_____． 7．抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 8．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___． 9．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则________，________，________． 题型三：根据定义求参数（中档必考） 列方程组求解，舍去使二次项系数为0的解 10．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 12．若是关于x的二次函数，则______． 13．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 14．若是二次函数，则_______． 15．如果函数是关于x的二次函数，则________． 题型四：分类讨论函数类型（拔高填空） 16．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）． （1）当m_______时，该函数为二次函数； （2）当m_______时，该函数为一次函数． 17．已知函数． （1）当m的取值范围为__________________时，它是二次函数． （2）当m的值为_________时，它是一次函数． 18．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 19．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 20．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 题型五：实际应用列解析式（简答基础） 21．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 23．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 24．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 题型六：函数过定点求参数（衔接待定系数法） 25．二次函数的图象经过原点，则的值为______． 26．已知二次函数的图象经过原点，则的值为________． 27．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 28．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 _____． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海青浦·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 二、填空题 5．（2020·上海虹口·一模）如果函数是二次函数，那么m=____． 6．若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 7．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 9．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 三、解答题 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E. （1）当点D为AC边的中点时，求BE的长； （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围. 11．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的四个顶点坐标分别为，，，，直线l∶保持与四边形的边交于点M、N（M在折线上，N在折线上）设四边形在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S为的差（）． (1)求的大小； (2)当M、N重合时，求l的解析式； (3)当时，问线段上是否存在点N使得？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由； (4)求S与b的函数关系式． 12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上的一个动点。过点P作AB的垂线交AC边于点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边于点E。 （1）以点D为AC边的中点时，求BE的长 （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，求出y与x的函数解析式及自变量的取值范围。 13．已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．           (1)当点是中点时，求的长； (2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域； (3)，若是直角三角形，求的长． 14．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足（a，b为常数）． (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，，过点C作于点E，求证：； (3)如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接，过点B在x轴下方作，且，连接，在（2）的条件下，设，求的面积（用含p的式子表示）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 二次函数（5考点+6题型+能力强化） 考点一：二次函数定义（选择填空必考） 1. 标准定义 形如 （为常数，）的函数，叫做自变量的二次函数。 ：二次项系数，绝对不能为0，为0则降为一次函数/常数函数 ：一次项系数，可取任意实数（可为0） ：常数项，可取任意实数（可为0） ：自变量，：因变量 2. 三类特殊简化形式（教材重点） （1）：（最简二次函数） （2）：（缺一次项） （3）：（缺常数项） 3. 二次函数三大判定硬性条件（高频易错） （1）解析式化简后，等式右侧为整式（分母、根号内不能含自变量）； （2）自变量最高次数为2； （3）二次项系数。 易错反例：，化简得，最高次数为1，不属于二次函数，判定必须先化简！ 4. 自变量取值范围 纯代数解析式：自变量取值为全体实数； 实际应用题型：自变量取值符合现实意义（边长、销量、金额均大于0）。 考点二：二次函数各项系数求解 解题步骤：去括号→合并同类项→化为标准式，对应读取系数。 示例：，化简：，得。 注意：系数包含数字前面的正负号，不可遗漏负号。 考点三：根据定义求参数（期中高频填空） 通用题型：形如为二次函数，求参数值 双重限制方程组：，联立求解，舍去增根。 考点四：实际问题列二次函数解析式 建模三步法： 1.设自变量、因变量； 2.结合面积、利润、动点、周长等量关系列式； 3.整理为标准二次函数式，补充自变量取值范围。 常考模型：矩形面积模型、商品销售利润模型、直角三角形面积模型。 考点五：二次函数三大解析式（概念铺垫，后续必考） 1.一般式：（本节核心） 2.顶点式：（后续图像最值专用） 3.交点式：（后续x轴交点专用） 题型一：判断二次函数（基础选择题） 万能模板：化简整式→看最高次数→核验二次项系数 1．（2026·上海闵行·一模）下列函数中，二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不是二次函数，故该选项不符合题意； B、不是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025·上海嘉定·一模）下列关于的函数中二次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．符合二次函数定义，则A符合题意； B．不是二次函数，则B不符合题意； C．，最高次项系数不是2，故不是二次函数，则C不符合题意； D．最高次项系数不是2，故不是二次函数，则D不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列关于的函数中，属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，函数不是二次函数，故不符合题意； B、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； D、是二次函数，故符合题意， 故选：D． 4．（25-26九年级上·上海浦东新·阶段检测）下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； B、，是一次函数，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：、中，函数不是整式形式，而是分式形式，所以不是二次函数； 、可化为，符合二次函数的定义，所以是二次函数； 、是关于的一次函数，所以不是二次函数； 、可化为，不符合二次函数的定义，所以不是二次函数； 故选：． 题型二：求解二次函数a、b、c（基础填空） 万能模板：展开合并同类项→对照标准式取值 6．把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 7．抛物线的二次项系数是_________；一次项系数是_________． 【答案】 1 4 【详解】解：二次函数的二次项系数是1，一次项系数是4， 故答案为：1；4． 8．已知二次函数y＝1﹣5x＋3x2，则二次项系数a＝___，一次项系数b＝___，常数项c＝___． 【答案】 3 -5 1 【详解】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1， 故答案为：3，﹣5，1． 9．若二次函数的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则________，________，________． 【答案】 0 【详解】∵二次函数为， ∴二次项系数为，一次项系数为0，常数项为， ∴，，． 故答案为：，0，． 题型三：根据定义求参数（中档必考） 列方程组求解，舍去使二次项系数为0的解 10．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 11．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 12．若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．若函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 14．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 15．如果函数是关于x的二次函数，则________． 【答案】0 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解方程，解得或． 由得， 因此． 题型四：分类讨论函数类型（拔高填空） 16．已知函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3（m为常数）． （1）当m_______时，该函数为二次函数； （2）当m_______时，该函数为一次函数． 【答案】 ≠2 =2 【详解】解：（1）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为二次函数， ∴m﹣2≠0， ∴m≠2． （ 2 ）∵函数y=（m﹣2）x2+mx﹣3为一次函数， ∴m﹣2=0，m≠0， ∴m=2． 故答案为：（1）≠2；（2）=2 17．已知函数． （1）当m的取值范围为__________________时，它是二次函数． （2）当m的值为_________时，它是一次函数． 【答案】 且 【详解】解：（1）∵函数是二次函数， ∴，解得：且． （2）函数是一次函数， ∴且，解得：． 故答案为：且；． 18．已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【详解】解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 19．已知． （1）当的值为________时，是的正比例函数． （2）当的值为_________时，是的二次函数． （3）当的值为________时，是的反比例函数． 【答案】 1 【详解】解：（1）根据题意，得 由①，得且， 由②，得， ． 故当的值为1时，是的正比例函数． （2）根据题意，得 由①，得且． 由②，得． 故当的值为时，是的二次函数． （3）根据题意，得 由①，得且． 由②，得， ． 故当的值为时，是的反比例函数． 20．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 题型五：实际应用列解析式（简答基础） 21．（2026·上海闵行·一模）已知长方形的长是，宽是长的一半，面积是，那么关于的解析式是___________．（不要求写定义域）． 【答案】 【详解】解：∵长方形的长是 ，宽是长的一半， 因此宽为．长方形的面积等于长乘以宽， 即． 故答案为． 22．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知长方形的边长分别为、，如果将它的长和宽都缩短后，那么它减少的面积y关于x的函数解析式为_________． 【答案】 【详解】解：根据题意得：长和宽缩短后的长方形的长为：，宽为， 边长缩短后的长方形的面积为： ， 原长方形的面积为：， 它减少的面积为：， 它减少的面积关于的函数解析式为， 故答案为：． 23．（2025·上海奉贤·一模）一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 24．已知直角三角形两条直角边的长的和为． (1)当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； (2)设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】(1)(或)． (2) 【详解】（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 题型六：函数过定点求参数（衔接待定系数法） 25．二次函数的图象经过原点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意知，将代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 26．已知二次函数的图象经过原点，则的值为________． 【答案】3 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵二次函数的图象经过原点， ∴， 解得或（舍去）， 故答案为：3． 27．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 28．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 _____． 【答案】 【分析】把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：把代入函数解析式，得 ， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24九年级上·上海青浦·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4．如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 二、填空题 5．（2020·上海虹口·一模）如果函数是二次函数，那么m=____． 【答案】2． 【详解】∵函数是二次函数， ∴m2−m＝2，（m−2）（m＋1）＝0， 解得：m1＝2，m2＝−1， ∵m＋1≠0， ∴m≠−1， 故m＝2． 故答案为：2． 6．若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】10或11 【详解】解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 7．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 8．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 9．已知二次函数，定义新运算：对于任意，称满足等式的解为该函数的“特征值”（其中，，为函数的二次项、一次项、常数项系数），若该函数的“特征值”的取值范围是，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：二次函数中二次项系数，一次项系数，常数项系数， 将代入等式得：， 整理得， 解得， ∵特征值满足， ∴， ∴， ∴的最小值是． 三、解答题 10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E. （1）当点D为AC边的中点时，求BE的长； （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP 的长为，四边形CDPE的面积为，请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】 （1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∵点D为AC边的中点 , ∵∠DPE=60°，过点P作AB的垂线交AC边与点D， ∴∠EPB=30°，∴EB （2）设AP= ，则BP=4—，在两个含有30°的中得出： AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：， ∵PD=PE，∴解得 即有AP= （3）由（2）知：AP= ， 11．（2023八年级下·上海·专题练习）如图，四边形的四个顶点坐标分别为，，，，直线l∶保持与四边形的边交于点M、N（M在折线上，N在折线上）设四边形在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S为的差（）． (1)求的大小； (2)当M、N重合时，求l的解析式； (3)当时，问线段上是否存在点N使得？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由； (4)求S与b的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：过点B过轴，垂足为E．点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 答：． （2）解：当点M、N重合到点， 把代入得：， ∵直线l的解析式； 当点M、N重合到点时，把带入得， ∴直线l的解析式为． （3）解：四边形的面积为， 直线l：与x轴的交角为45°，为等腰直角三角形． 当时，的面积为四边形的面积的一半，即12． 过点N作x轴的垂线， 则， 设， ， 解得：， ∴， ∴点N的坐标为， 代入得：． 答：当时，线段上存在点N使得，b的值是． （4）解：分为三种情况：①如图在时，当时， ， 设直线的解析式是， 把代入得：， 解得：， ∴， 解方程组得：， ； ， ， ②当时，如图在点时，， ， ， ③时，如图，在时，； ， ． 综上可得，S=． 12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上的一个动点。过点P作AB的垂线交AC边于点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边于点E。 （1）以点D为AC边的中点时，求BE的长 （2）当PD=PE时，求AP的长； （3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，求出y与x的函数解析式及自变量的取值范围。 【答案】（1）；（2）；（3），. 【详解】（1）由题意可得，在中， 点D为AC的中点 在中可得， 又 在中，； （2）设 由题（1）可知，在中， 在中， 又，即 解得 ； （3）设，则 在中， 在中， 即 化简得 由题意得，即 又，即 联立解得 故出y与x的函数解析式为，自变量的取值范围为. 13．已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．           (1)当点是中点时，求的长； (2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域； (3)，若是直角三角形，求的长． 【详解】（1）解：延长交于点H， ∵D为的中点，， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴G为的中点， ∴， 在中， ； （2）解：过点E作于点M， 由（1）可知为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵点F在线段上， ∴，即 解得 即； （3）解：当点在线段上时， ∵是直角三角形， ∴， 由（1）知是等边三角形， ∴G为的中点， ∴， 又， ∴． 当点在延长线上时，如图， 设，则，， ∴， 则， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 综上，的长为5或8． 14．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足（a，b为常数）． (1)求点A，B的坐标； (2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，，过点C作于点E，求证：； (3)如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接，过点B在x轴下方作，且，连接，在（2）的条件下，设，求的面积（用含p的式子表示）． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图1， 作交的延长线于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，   ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，   ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当时， 延长交于D，与交于I， ∵， ∴， ∵， 由（2）知，，   ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，   ∴， 如图3， 当时， ， ， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $