第27章 二次函数（5考点+7易错+易错训练）（知识清单）数学新教材沪教版九年级上册

该初中数学二次函数单元知识清单全面涵盖二次函数的定义、图象与性质、表达式确定、与一元二次方程关系及实际应用，通过挖空自填的知识框架和分点梳理，构建从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识点-易错点-训练题”三级架构呈现知识体系，突出定义中a≠0的关键条件，用“左加右减，上加下减”口诀强化平移规律，培养学生的抽象能力和推理意识。易错点设错因辨析与对点训练，如强调自变量取值范围对最值的影响，助力学生精准突破难点，教师可直接用于复习课设计，提升教学效率。

第27章 二次函数 知识点一 二次函数的定义 一般地，如果__________（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 注意： 如果__________（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当__________时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．__________的绝对值越大，抛物线的开口越小． 知识点二 二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤__________．（a≠0） 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点． （1）_____的符号决定抛物线的开口方向：当__________时，开口向上；当__________时，开口向下；__________相等，抛物线的开口大小、形状相同． （2）平行于y轴（或重合）的直线记作__________．特别地，y轴记作直线__________． 3.抛物线中，的作用： （1）__________决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样． （2）__________共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴__________；③（即 a、b异号）时，对称轴在y轴__________． （3）__________的大小决定抛物线与y轴交点的位置． 当时，，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①，抛物线经过原点； ②，与y轴交于__________；③，与y轴交于__________． 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在轴右侧，则 ． 知识点三 确定二次函数的表达式 1.用待定系数法求二次函数的解析式： （1）一般式：__________（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式． （2）顶点式：__________（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．（可以看成的图象平移后所对应的函数．） （3）“交点式”：已知图象与轴的交点坐标x1、，通常选用交点式：__________（a≠0）．（由此得根与系数的关系：）． 2.二次函数的平移： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“__________”． 知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时__________，则方程有两个不相等实数根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时__________，则方程有两个相等实数根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时__________，则方程没有实数根． 知识点五 利用二次函数解决简单的实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意__________应具有实际意义． 利用二次函数解决简单的实际问题的一般步骤是： （1） 认真审题，找出题目中的两个变量之间的关系 （2） 根据两个变量之间的关系列出相应的函数关系式 （3）根据关系式结合实际问题对所求出的关系式进行筛选； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 易错点1 二次函数的定义 易错提醒 忽略二次项系数 a≠0。在含参函数 y=(m−1)x2+mx中，若题目未明确是二次函数，需分类讨论 m−1=0（一次函数）和 m−1≠0）两种情况；若明确为二次函数，务必先由 a≠0求参。 【对点训练】1．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 易错点2 二次函数的图像与性质 易错提醒 混淆开口方向与增减性。开口向上（a>0）时，在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下反之。切记“增减性”是分对称轴两侧而言的，不能笼统说“y随x增大而增大”。 【对点训练】2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 易错点3 二次函数的平移 易错提醒 平移方向搞反（“左加右减”针对x，“上加下减”针对整体）。例如 y=2x2向左平移1个单位，再向上平移3个单位，应为 y=2(x+1)2+3，而非 y=2(x−1)2+3。建议：将函数化为顶点式再平移最稳妥。 【对点训练】3．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 易错点4二次函数最值 易错提醒 求二次函数的最值时没有注意到自变量的取值范围,解决区间内二次函数最值主要有三个方面： 1. 求对称轴 2. 判位置：判断是否在区间 [m, n] 内；3. 算最值：根据“开口方向+对称轴位置”，计算顶点或端点的函数值，确定最值 【对点训练】4．已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 易错点5 二次函数的交点 易错提醒 根据抛物线y=ax²十bx十c与x轴交点的个数，可以确定b²一4ac的符号，同时满足二次项系数不为0，以此列方程或不等式即可求得字母的值（取值范围）. 【对点训练】5．若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 易错点6 二次函数不等式关系 易错提醒 不等号方向与取等条件。利用图像解不等式时，若不等号为“>”，取图像在x轴上方的部分；若为“≥”，别忘了取交点（根）本身。 【对点训练】6．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 易错点7 二次函数与实际应用 易错提醒 单位不统一与实际意义忽略。例如抛物线拱桥问题中，单位如果是米，坐标计算时需统一；利润问题中，注意“总利润 = (售价 - 进价) × 销量 - 其他费用”，且 x（售价）不能低于进价、销量不能为负。 【对点训练】7．因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 一、单选题 1．（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 2．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 5．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 7．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 10．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 11．（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为__________． 12．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 13．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 14．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 15．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 三、解答题 16．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 17．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 18．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2026·广西玉林·模拟预测）【问题背景】综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 【外形参数】如图2，装置图案整体为轴对称图形，由上方抛物线、中间矩形 和下方抛物线组成： 【数学建模】抛物线的高度为，矩形的边长、，抛物线的高度为； 【解决问题】以矩形 的对称轴为y轴，矩形下底边 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)装置内部安装矩形电子显示屏，点E、F在上，点H、G在上．设点F的横坐标为，用含m的代数式表示矩形的面积； (3)若矩形的高为，求此时点F的坐标． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 二次函数 知识点一 二次函数的定义 一般地，如果是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数． 注意： 如果是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数．这里，当a＝0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小． 知识点二 二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤．（a≠0） 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点． （1）a的符号决定抛物线的开口方向：当____时，开口向上；当____时，开口向下；__相等，抛物线的开口大小、形状相同． （2）平行于y轴（或重合）的直线记作__．特别地，y轴记作直线_x=0__． 3.抛物线中，的作用： （1）__a__决定开口方向及开口大小，这与中的a完全一样． （2）_a,b__共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为y轴；②（即a、b同号）时，对称轴在y轴__左侧__；③（即 a、b异号）时，对称轴在y轴__右侧__． （3__c__的大小决定抛物线与y轴交点的位置． 当时，，∴抛物线与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①，抛物线经过原点； ②，与y轴交于__正半轴__；③，与y轴交于__负半轴__． 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立．如抛物线的对称轴在轴右侧，则 ． 知识点三 确定二次函数的表达式 1.用待定系数法求二次函数的解析式： （1）一般式：____（a≠0）．已知图象上三点或三对x、y的值，通常选择一般式． （2）顶点式：___（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．（可以看成的图象平移后所对应的函数．） （3）“交点式”：已知图象与轴的交点坐标x1、，通常选用交点式：____（a≠0）．（由此得根与系数的关系：）． 2.二次函数的平移： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“__左加右减，上加下减___”． 知识点四 二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况． （1）当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时___，则方程有两个不相等实数根； （2）当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时___，则方程有两个相等实数根； （3）当二次函数的图象与x轴没有交点，这时____，则方程没有实数根． 知识点五 利用二次函数解决简单的实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题．在研究实际问题时要注意__自变量的取值范围__应具有实际意义． 利用二次函数解决简单的实际问题的一般步骤是： （1） 认真审题，找出题目中的两个变量之间的关系 （2） 根据两个变量之间的关系列出相应的函数关系式 （3）根据关系式结合实际问题对所求出的关系式进行筛选； （4）利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题． 易错点1 二次函数的定义 易错提醒 忽略二次项系数 a≠0。在含参函数 y=(m−1)x2+mx中，若题目未明确是二次函数，需分类讨论 m−1=0（一次函数）和 m−1≠0）两种情况；若明确为二次函数，务必先由 a≠0求参。 避坑：注意 x2 的系数不能为0，且最高次数必须为2。 【对点训练】1．如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 易错点2 二次函数的图像与性质 易错提醒 混淆开口方向与增减性。开口向上（a>0）时，在对称轴左侧递减、右侧递增；开口向下反之。切记“增减性”是分对称轴两侧而言的，不能笼统说“y随x增大而增大”。 【对点训练】2．二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 易错点3 二次函数的平移 易错提醒 抛物线y=ax²十bx十c在平移过程中，抛物线的开口方向和大小都不会变化，因而找准平移后的顶点就是解决问题的关键或者化成顶点式，然后根据平移的规律“左加右减，上加下减”确定平移后抛物线对应的函数解析式 【对点训练】3．将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，则平移后的抛物线的解析式是________． 【答案】 【分析】根据“自变量加减左右移，函数值加减上下移”的平移规律求解即可． 【详解】据题意可得： 易错点4二次函数最值 易错提醒 求二次函数的最值时没有注意到自变量的取值范围,解决区间内二次函数最值主要有三个方面： 1. 求对称轴 2. 判位置：判断是否在区间 [m, n] 内；3. 算最值：根据“开口方向+对称轴位置”，计算顶点或端点的函数值，确定最值 【对点训练】4．已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（   ） A． B． C．4 D．或4 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 易错点5 二次函数的交点 易错提醒 根据抛物线y=ax²十bx十c与x轴交点的个数，可以确定b²一4ac的符号，同时满足二次项系数不为0，以此列方程或不等式即可求得字母的值（取值范围）. 【对点训练】5．若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 解得且， 故答案为：且． 易错点6 二次函数不等式关系 易错提醒 不等号方向与取等条件。利用图像解不等式时，若不等号为“>”，取图像在x轴上方的部分；若为“≥”，别忘了取交点（根）本身。 【对点训练】6．若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 易错点7 二次函数与实际应用 易错提醒 单位不统一与实际意义忽略。例如抛物线拱桥问题中，单位如果是米，坐标计算时需统一；利润问题中，注意“总利润 = (售价 - 进价) × 销量 - 其他费用”，且 x（售价）不能低于进价、销量不能为负。 【对点训练】7．因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵鲜花礼品每天的销售数量不低于100束， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值为， 即销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元． 1．（21-22九年级上·江苏连云港·期末）已知是关于x的二次函数，那么m的值为（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】二次函数要求的最高次数为2，且二次项系数不能为0，据此列出关于的条件即可求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得， 解得， ∴． 2．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期末）关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 5．（25-26九年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 6．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 7．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 8．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 二、填空题 9．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）抛物线化成顶点式是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查将抛物线化为顶点式，熟练掌握顶点式是解题的关键．根据顶点式进行配方即可得到答案． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是__________．（按从小到大表示） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式判断开口方向，求出对称轴，再根据开口向上的二次函数的性质，即点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离，即可比较的大小. 【详解】解：， 抛物线开口向上；对称轴为直线. 分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离： 点： 点： 点： 开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，且， . 11．（2026·江苏南京·三模）二次函数过点，，则m的取值范围为____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入二次函数解析式，联立得到方程组，用表示出二次项系数，再根据的条件解一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】解：将点，代入得， 整理得， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 13．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 14．（2023九年级·山东枣庄·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 【答案】 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 15．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴交于，，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论： ①； ②； ③； ④当点C坐标为时，抛物线顶点； ⑤若点是抛物线上第一象限上的动点，当最大时，． 其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 根据已知点的特点可求对称轴为直线，则；根据函数图象可得时，；由函数的图象可知，，再由可知；求得函数解析式即可解答；由铅锤法求的面积，从而确定当时，三角形面积有最大值． 【详解】解：①由条件可知：对称轴为直线，即，得到，故①正确，符合题意； ②当时，， 由图象可得，故②正确，符合题意； ③抛物线开口向下，交轴的正半轴于点， ，，， 故，③错误，不符合题意； ④根据题意可设二次函数解析式为， 把代入可得， 解得， ， 当时，， 即抛物线顶点，故④错误，不符合题意； ⑤根据，可设函数解析式为， 将点代入， 可得 ， ， 如图，过点作轴交于点， 设直线，过点，， 则 解得：， 直线 ， 直线． 由条件可知：， ， ， 当时，的面积最大， 故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 三、解答题 16．（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 17．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)，；，；，． 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； （2）解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； （3）解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况，；，；，． 18．（2022·四川绵阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且．直线轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图①，点是轴下方抛物线上一动点，连接，，，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． (3)如图②，点是点右侧抛物线上一动点，过点作直线轴，交直线于点，是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系得，结合题意求出，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）连接，过点作轴，交于点，求出，则，求出，当的面积取最大值时，四边形的面积最大，设，且，求出直线的解析式为，则点的坐标为，从而可得，再结合，计算即可得出结果； （3）设，则，分以下两种情况讨论：①点在直线下方时；②点在直线上方时，分别利用相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，是方程的两根， ， 由， 解得， ，， ， 解得， 抛物线解析式为． （2）解：如图③，连接，过点作轴，交于点， 抛物线的对称轴为直线， ∴由（1）可得， ， 的面积为定值，， 当的面积取最大值时，四边形的面积最大， 设，且， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， 直线的解析式为， 点的坐标为， ， ， ， 当时，面积最大为， 四边形面积的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： ①如图④，点在直线下方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），（舍去）， ②如图⑤，点在直线上方时． 当，则， ， 解得（舍去），； 当，则， ， 解得（舍去），． 综合①②可得点的坐标为或或． 【点睛】相似三角形的对应边成比例；采用分类讨论的思想是解此题的关键． 19．（2026·广西玉林·模拟预测）【问题背景】综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 【外形参数】如图2，装置图案整体为轴对称图形，由上方抛物线、中间矩形 和下方抛物线组成： 【数学建模】抛物线的高度为，矩形的边长、，抛物线的高度为； 【解决问题】以矩形 的对称轴为y轴，矩形下底边 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线和的函数表达式； (2)装置内部安装矩形电子显示屏，点E、F在上，点H、G在上．设点F的横坐标为，用含m的代数式表示矩形的面积； (3)若矩形的高为，求此时点F的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为 (2)矩形的面积为 (3) 【分析】（1）由条件可得，，由题意设抛物线和的函数表达式的顶点式，分别代入点，的坐标，即可求解； （2）由条件可得点的坐标，则可得矩形的长与宽，即可求解； （3）由（2）可知，，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的边长、， ∴， ∵以矩形的对称轴为y轴，矩形下底边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， ∴，， 由题意设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 由题意设抛物线的函数表达式为， 把代入 ，得， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：由题意可知，矩形关于y轴对称， ∴轴，轴， ∵点F的横坐标为， ∴点E的横坐标为， ∵点E、F在上，点H、G在上， ∴，，，， ∴，， ∴矩形的面积为． （3）解：由（2）可知，， ∴， 解得， ∵， ∴， 此时， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $