考点03 确定二次函数的表达式（3考点+4题型+能力强化）（专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 以三种表达式形式为核心，构建“条件-方法-题型”三维训练体系，系统提炼待定系数法在不同场景的应用策略，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一：一般式|3题|三点代入构建三元方程组求a,b,c|从任意三点坐标抽象出一般式模型，体现方程思想| |考点二：顶点式|2题|代入顶点(h,k)后用一点求a|结合顶点坐标特征选择顶点式，培养几何直观| |考点三：交点式|3题|代入x轴交点后用第三点求a|依据与x轴交点数量限制选择交点式，发展推理能力| |题型四：变换求解析式|11题|转化顶点变化直接写顶点式|通过变换前后顶点关系迁移应用，提升运算能力|

考点03 确定二次函数的表达式 考点一：一般式 一般式： 待定系数：3个（a、b、c） 适用场景：已知抛物线上任意三个无规律的普通点坐标 核心性质：常数项c为抛物线与y轴交点的纵坐标，交点坐标为(0,c) 解题思路：三点坐标代入解析式，构建三元一次方程组，求解a、b、c的值即可。 考点二：顶点式 顶点式： 待定系数：1个（a），(h,k)为抛物线顶点坐标 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值（最高点/最低点） 解题思路：先代入顶点(h,k)固定解析式框架，再代入任意一个图像上的点，求解唯一未知系数a。 考点三：交点式（两根式） 交点式（两根式）： 待定系数：1个（a），为抛物线与x轴两个交点的横坐标 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标 限制条件：仅当抛物线与x轴有两个交点（判别式）时可用，无交点或唯一交点时不能使用 解题思路：代入两个交点横坐标固定框架，再代入第三个点坐标求a。 题型一：已知三点坐标，选用一般式 1. 设解析式：； 2. 代入三点坐标，列三元一次方程组； 3. 消元求解a、b、c； 4. 回代整理解析式。 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）若抛物线经过点、、， 则______________ 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，把点、、代入抛物线的解析式，解出，，即可． 【详解】解：∵抛物线经过点、、， 故代入得， 解得 故答案为：1． 2．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 【答案】（或或） 【详解】解：组合：过、、， ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为，设解析式为． 代入得， ∴， 代入得 解得， ∴解析式为． 组合：过、、 ∵、关于轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴设解析式为． 代入得， 代入得， 联立得， 解得，； ∴解析式为． 组合：过、、， 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得， 解得，， ∴解析式为． 组合：过、、 设解析式为， 代入：， 代入：，即， 代入：，即， 联立得 解得，， ∴解析式为一次函数，不符合二次函数要求，故此组合舍去． 故答案为：（或或）． 3．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点、和， ∴ 解得： ∴该函数解析式为：， ∵， ∴图像开口向下； ∵， ∴顶点为，对称轴为直线． 4．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点；；， ∴将点；；依次代入二次函数解析式， 可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：， 对称轴为直线，即对称轴为直线， ∵， ∴二次函数顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （2）解：∵该二次函数图象与x轴交于点A， ∴对于，令， 解得：，， ∵点A在抛物线的右侧， ∴， ∵该二次函数图象与y轴交于点B， ∴对于，令， 解得：， ∴， ∵顶点为C， ∴， 如图，过点C作轴，过点A作交延长线于点F， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ， ， ∴； 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∴的周长为：， ∴的面积为3，的周长为． 5．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：， 即抛物线的对称轴为：； （2）解：∵C点到x轴的距离为， ∴点的纵坐标， 当时，则，解得， 当时，则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：， 设直线的解析式为，把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为，的解析式为， 当时，，所以边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，，所以三角形内部格点为，，，边上的格点为； 当时，，，所以三角形内部格点为，； 当时，，所以三角形边上的格点为； ∴，， 即． 题型二：已知顶点+任意一点，选用顶点式 1. 设解析式：； 2. 代入顶点(h,k)； 3. 代入已知点求a； 4. 按需展开为一般式。 6．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数图像的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 二次函数的图像经过点， 把，代入得： ， 解得 ， 这个二次函数的解析式为． （2）解：点在二次函数的图像上， 把，代入得： ， 解得 ， 点坐标为， 二次函数的对称轴为直线，点和点关于这个二次函数的对称轴对称， 点的坐标是． 7．（2024九年级上·上海·专题练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)3个，， 【详解】（1）解：二次函数图象的顶点为， 设二次函数的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：令得：， 解得：，， 二次函数图象与轴的两个交点分别为和， 二次函数图象上的点向右平移3个单位后经过坐标原点， 平移后的二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为， 平移后的二次函数的解析式为． 题型三：已知x轴两交点+任意一点，选用交点式 1. 设解析式：； 2. 代入x轴两个交点横坐标； 3. 代入第三点坐标求a； 4. 整理化简解析式。 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，， 设二次函数的解析式为， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， 则， ∴图象的顶点坐标为，对称轴为直线． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 【详解】（1）抛物线过点、， 可设 ， 与轴交于点， 当时，， ， 抛物线表达式为； （2）抛物线过点、， 可设， 与轴交于点， ，其中， 过点作轴交抛物线于点， 则和纵坐标相同，均为， 代入抛物线方程：， ， ，即， ， 解得：或， 对应点， 对应点， ， ． （3）设原抛物线为 ， 则，顶点， 由（2）知， 抛物线顶点为，且过， 顶点在， 对称轴为轴，即 ，且， ， 代入，， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为，代入， ， ， 过点作轴平行线交于点， ， 直线为， 代入， ， ， ． 10．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点D的坐标为； （2）①证明：将抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 设抛物线的表达式为 ∵抛物线是的“子抛物线”， ∴抛物线经过点， 又∵抛物线经过原点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点E的坐标为，抛物线绕其顶点旋转后得到的抛物线的表达式为， 在中，当时，， ∴点E在抛物线上，即抛物线的顶点在抛物线上， 又∵抛物线向左平移5个单位长度，向下平移个单位长度可得到抛物线， ∴抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②∵四边形是平行四边形， ∴由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得， ∴， 解得． 11．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于、两点， 设抛物线解析式为， 代入得， 解得， ． （2）解：由（1）可知，， 令，则，即， ∴设直线的解析式为， ∵，则， 解得， ∴直线的解析式为． 设，则， ∴， ∴当时，最大，最大值为． （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为直线， ∵、关于对称轴对称， ， ∴的周长． 当B、M、C三点共线时，最小，此时的周长最小，直线与对称轴的交点为M， 把代入得， ∴． 题型四：平移、对称变换求解析式 所有变换均优先转化为顶点变化，固定a值，通过新旧顶点坐标直接写顶点式，无需重新列方程求解。 12．（2026·上海长宁·一模）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 【答案】 【详解】解：在抛物线中，顶点坐标为，对称轴为直线， 将，代入，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于直线对称， ∴点的坐标为， 设以点为顶点的二次函数的表达式为， 将，代入，得， 解得，， ∴以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【详解】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 14．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线经过点、、三点． (1)求，的值及二次函数的表达式； (2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线经过点、、三点，将点、、分别代入， ， 解得：， ； （2）解：将抛物线沿轴向左平移，设平移距离为， 则平移后的抛物线方程为：， 抛物线经过点， 则， ， ， 整理得到：， 解得：（舍去）或， ， 点平移后的对应点为点， 故平移后新抛物线的解析式和点． 15．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 (1)根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； (2)如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 【详解】（1）解：①由表格可知：点和点关于该抛物线的对称轴对称， ∴对称轴为直线， 根据对称性可知：当时，则该点关于对称轴对称的点的横坐标为， ∴根据表格可知：当时，则； ②根据表格及①可知：抛物线在对称轴左侧部分是下降； 故答案为，10；下降； （2）解：由表格可知函数过点， ∵将抛物线向下平移使它经过点， ∴该抛物线向下平移5个单位长度， 由表可把点，，代入得： ，解得：， ∴， ∴该函数向下平移5个单位长度后所得函数解析式为． 16．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 【详解】（1）解：直线与轴相交于点， 当时，，解得， ； （2）解：如图所示，过两点作轴的垂线，垂足分别为， 得到， 直线与轴相交于点，与的平分线相交于点， ． ， ， ， ， ． ，即， ． 又由（1）得，即， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 抛物线经过点，， ，解得， 抛物线的解析式为； （3）解：由（2）得抛物线的解析式为， 其顶点坐标为，且开口向上， 当时，随着的增大而增大． 把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，如图所示， 抛物线的顶点坐标为，且开口向下， 抛物线的解析式为． 图像的对称轴与轴交点坐标为， ，即抛物线的顶点坐标为． 当时，函数最大值为，最小值为， ，， ， ， 解得或（舍去）， 抛物线的顶点坐标为， ，解得， 抛物线的解析式为． 17．（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：对于直线，当； 当时，则，解得 ∴，． 将代入中，得． 由抛物线的对称轴为直线，得． ，． ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵，对称轴为直线 ∴抛物线与轴的另一个交点， ． 又， ． ， ． ， 边上的高为6． （i）当在轴上方时，把代入，则 解得， ∴． 将代入，得． ． （ii）当在轴下方时，把代入，则 解得， ∴． 把代入，得． ． 综上可得，． （3）解：抛物线，故顶点． ∵抛物线沿射线的方向平移， ∵ ∴， 将抛物线沿射线的方向平移， ∴抛物线向下平移的距离是向右平移的距离的2倍， ∴设平移后新抛物线的顶点， 则新抛物线的表达式为 ． 将代入，得， ∴． 过点作，垂足为，则． ， ，得， 解得（舍），． ∴新抛物线的表达式为． 1．（2026·上海·一模）某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意，抛物线顶点在x轴上，设其表达式为，其中顶点坐标为；与y轴正半轴有交点，即当时，； 由可知，则，因此； 取，，得表达式， 验证：顶点在x轴上，当时，，符合条件． 故答案为：（答案不唯一）． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是_____． 【答案】 【详解】解：直线与轴交于点，令， 得， 故 点是抛物线的顶点， ，， 抛物线解析式为 联立方程组， 得， 整理得， 解得或 对应值分别为和， 故交点为和， 两点间距离为， 即割距为， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 【详解】（1）解：将点、代入， 得解得 抛物线的表达式． （2）解：， 该抛物线的顶点为． 要使抛物线与x轴只有一个公共点，即要求顶点在x轴上， 顶点纵坐标应为0． 将该抛物线向上平移5个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点． 的值是5． 4．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的顶点移动到点，，； 故平移的方法是先向右平移个单位，再向上平移个单位． 5．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是原点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与抛物线关于x轴对称， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线的解析式为， ∵新拋物线恰好经过， ∴， 解得或． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：如图，延长交轴于点， 由（）得，二次函数解析式为， ∵将此抛物线向右平移个单位， ∴平移后解析式为， ∴， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 7．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为， ∴顶点坐标为， ∴与时的y值相等， ∴， 设， 将代入， ∴， ∴． （2）解：向下平移4个单位，； 向右移1个单位，再向下移个单位，； 向左移2个单位，． （3）解：向下平移4个单位： ， ∵抛物线过原点时常数项为0， ∴向下平移4个单位即可过． 8．（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． (1)该抛物线的表达式为______； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【详解】（1）解：直线与轴，轴分别相交于点、， ，， 又对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． 点的坐标为． 将，，代入， 得， 解得， 该抛物线的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：①， 设新抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点在线段：上点处， ， ， 抛物线经过点， ， 解得或（此时，点与点重合，抛物线与轴只有一个交点，舍去）， ， 新抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， ， ， 点的坐标为． ， 故答案为：； ②的面积不随点在线段上的位置变化而变化， ， 设抛物线顶点为， ， 过作直线的平行线交抛物线于点， 由平移得当点平移到点时平移到点，则，为定值， 的面积不随点在线段上的位置变化而变化， 根据①得点、， ． 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知开口向上抛物线过点，与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C． (1)如图，如果这条抛物线的对称轴是直线，求这条抛物线的解析式； (2)连接． ①设这条抛物线的对称轴与线段交于点D，用含a的式子表示； ②连接，点P是线段上一点且，如果点P关于直线的对称点Q恰好在这条抛物线上，求点的坐标． 【详解】（1）解：根据题意得，抛物线过点，对称轴是直线， 则 解得 因此，这条抛物线的解析式为； （2）①解：如图： 令得，则点， 设直线的解析式为， 将点、两点代入得， 解得 则直线的解析式为， 将代入抛物线得，，即， 由图像可知，抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C， 则对称轴在轴右侧，即， 根据抛物线开口向上可得，， 则，即， 解得， 将代入直线解析式得， ， 将代入和得， ，， 则点的坐标为， ， ， 由于，则、， 即、， 因此； ②解：如图： 根据题意可得，设点的坐标为，则抛物线解析式为， 由于抛物线的解析式为， 则，即， 因此，点、点，， 设直线的解析式为，则 解得 则直线的解析式为， 设点，那么， ， 则， 即， 解得， 由于，点在轴左侧， 则，， 则点的坐标为， 过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点、，连接、， 轴的平行线与轴的交点为，连接，交直线于点，如图： 由可知，， 由平行线的性质可知， 、，， 所以、， 由对称性可知，，即， 则，所以， 由于，则，所以， ，即， 所以， 因为 所以， ， ， 则、， 因此点的坐标为， 将点代入抛物线得， ， 解得， 由于，则， ， 因此点的坐标为． 10．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，， ，两点关于抛物线的对称轴对称，， ∴对称轴为直线， 根据对称轴公式可知：， ， ∴， 把代入得：， 解得， ∴该抛物线的表达式为； ②∵， ∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即， ∵新抛物线经过点， ∴， 解得； （2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0， ∴把代入二次函数解析式得：， ∴， ∴二次函数解析式， 当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：， ∵， ∴由图象可知：只有当时，成立， ∴， 解得：， 当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示： ∵点，，，在抛物线上， ∴由图象可知：只有满足题意， ∴， 解得：； 当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 11．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 【详解】（1）解：已知函数，可得，，二次函数对称轴为，对称轴与轴交点坐标为， 将向右平移1个单位得到， 的横坐标为， 根据定义，横坐标为1，纵坐标为.即， 设派生直线解析式为， 代入得． 因此该函数的派生直线解析式为． （2）解：由题意，是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得， 解得，因此， 根据定义，横坐标为，因此横坐标为， 将代入得. 因此， 将代入得 ，即， 将代入得，即， ∴，， ， 由定义，抛物线对称轴为， 纵坐标为，得 ， 设抛物线解析式为， ∵在抛物线上，代入得， 解得， ∵抛物线解析式为， ∴将代入抛物线解析式得，与的纵坐标相等， 因此点在抛物线上． 12．（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 【详解】（1）解：M的解析式是， 的解析式是 把点代入， 得， M的解析式是， 则顶点坐标为； （2）解：对称轴相同 ， 由题可得：与轴交于点，与轴交于点， 点是线段的一个三等分点（）， ， ， 即 ∴对称轴的表达式为 （3）解：∵M，N过， ， 则， （舍去），， ∴， 当，即时， 则M过A，B，D，开口朝下，与不符合，故舍去； 当，则则，两函数是同一函数，此时重合，无法组成菱形，故舍去； 当，即时， 把代入，可得， 解得（舍去）或， ∴ 为菱形， ，， ∴，， ∴，即， 解得（舍去）， ∴ ∴． 13．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， 把点和点代入得： ，解得 ∴直线的解析式为； （2）解：∵点G是的中点，点和点 ∴， ∵， ∴原抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设图象向右平移了h个单位， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵新函数图象经过点D， ∴，解得：（负值舍去） ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴顶点坐标，平移后的抛物线的对称轴为直线， 如图所示，分三种情况求解点Q的坐标，过点G作平移后的抛物线的对称轴的垂线，垂足为点R，则点， ①当时，点Q在图中的位置，此时点与点F关于x轴对称， ∴， ②当时，点Q在图中或的位置， ， ∴，， ③当时，点Q在图中的位置， 设， ∵，，， ∴在中，， ∴，解得， ∴， 综上：点Q坐标是或或或； （3）解：如图，过点P作x轴的垂线交于点Q， 设，则，则， ， 当时，最大，此时， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴N、K、M分别是的三等分点， 如图，连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 确定二次函数的表达式 考点一：一般式 一般式： 待定系数：3个（a、b、c） 适用场景：已知抛物线上任意三个无规律的普通点坐标 核心性质：常数项c为抛物线与y轴交点的纵坐标，交点坐标为(0,c) 解题思路：三点坐标代入解析式，构建三元一次方程组，求解a、b、c的值即可。 考点二：顶点式 顶点式： 待定系数：1个（a），(h,k)为抛物线顶点坐标 适用场景：已知顶点坐标、对称轴、函数最值（最高点/最低点） 解题思路：先代入顶点(h,k)固定解析式框架，再代入任意一个图像上的点，求解唯一未知系数a。 考点三：交点式（两根式） 交点式（两根式）： 待定系数：1个（a），为抛物线与x轴两个交点的横坐标 适用场景：已知抛物线与x轴的两个交点坐标 限制条件：仅当抛物线与x轴有两个交点（判别式）时可用，无交点或唯一交点时不能使用 解题思路：代入两个交点横坐标固定框架，再代入第三个点坐标求a。 题型一：已知三点坐标，选用一般式 1. 设解析式：； 2. 代入三点坐标，列三元一次方程组； 3. 消元求解a、b、c； 4. 回代整理解析式。 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）若抛物线经过点、、， 则______________ 2．（25-26九年级下·上海·阶段检测）已知，请设计一个二次函数，使得该函数的图像经过其中的三个点．那么该函数的解析式可以为：__________（写出一个答案即可） 3．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知二次函数的图像经过点、和，求这个二次函数的解析式，并写出它的图像的开口方向、顶点坐标和对称轴． 4．（2026·上海杨浦·二模）已知二次函数经过点；； (1)直接写出二次函数的解析式、对称轴、顶点坐标、变化趋势． (2)设该二次函数图象与x轴交于点A（点A在抛物线的右侧），与y轴交于点B，顶点为C，直接写出的面积和周长． 5．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，． (1)求过点A，B，C的抛物线及其对称轴； (2)新定义：如果点的坐标满足，那么称点P为“和谐点”，若某个“和谐点”P到x轴的距离与C点到x轴的距离相同，求P点的坐标； (3)我们称横坐标和纵坐标为整数的点为格点，求的面积，并直接写出该值与其内部格点数量a和边上格点数量b的等式． 题型二：已知顶点+任意一点，选用顶点式 1. 设解析式：； 2. 代入顶点(h,k)； 3. 代入已知点求a； 4. 按需展开为一般式。 6．（25-26九年级上·上海普陀·期中）已知二次函数的图像经过点，顶点坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)点在二次函数的图像上，且点和点关于这个二次函数图像的对称轴对称，求的值和点的坐标． 7．（2024九年级上·上海·专题练习）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后的二次函数的解析式及图象与轴的另一个交点的坐标． 题型三：已知x轴两交点+任意一点，选用交点式 1. 设解析式：； 2. 代入x轴两个交点横坐标； 3. 代入第三点坐标求a； 4. 整理化简解析式。 8．（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：二次函数的图象经过点，，，求这个二次函数的解析式，并写出它的图象的顶点坐标和对称轴． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知抛物线过点、，与轴交于点，顶点为，过点作直线轴交抛物线于点． (1)如果点，求抛物线的表达式； (2)求线段的长； (3)如果抛物线的顶点为点，且经过，分别过点、作轴的平行线交于点、，求的值． 10．（25-26九年级上·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线绕其顶点旋转后再适当平移得到抛物线，如果抛物线经过抛物线的顶点，那么称抛物线是抛物线的“子抛物线”．已知抛物线与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如果抛物线是的“子抛物线”，且经过原点，顶点为． ①求证：抛物线也是抛物线的“子抛物线”； ②设直线与抛物线分别交于点M、N，是否存在，使得四边形是平行四边形？如果存在，试求的值；如果不存在，试说明理由． 11．（25-26九年级上·上海浦东新·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是线段上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作轴，交抛物线于点D，求线段长度的最大值； (3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点M的坐标． 题型四：平移、对称变换求解析式 所有变换均优先转化为顶点变化，固定a值，通过新旧顶点坐标直接写顶点式，无需重新列方程求解。 12．（2026·上海长宁·一模）若抛物线的顶点在抛物线上，而抛物线的顶点又在抛物线上（两个顶点不重合），那么称抛物线和互为“和谐抛物线”．已知抛物线与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，那么以点为顶点的抛物线的“和谐抛物线”的表达式为___________． 13．（25-26九年级上·上海宝山·期末）新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 14．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）已知抛物线经过点、、三点． (1)求，的值及二次函数的表达式； (2)将抛物线沿轴向左平移，所得抛物线经过点，点平移后的对应点为点，求平移后新抛物线的解析式和点的坐标． 15．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： 0 2 3 4 5 2 2 5 10 (1)根据上表填空： ①这个抛物线的对称轴是__________，抛物线一定会经过点（，__________）； ②抛物线在对称轴左侧部分是__________（填“上升”或“下降”）； (2)如果将抛物线向下平移使它经过点，求平移后的抛物线的表达式． 16．（25-26九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，直线与轴相交于点，与的平分线相交于点，直线的解析式为，． (1)直接写出点坐标； (2)若点在此抛物线上，求抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，把抛物线的图像绕点旋转，得到相关抛物线图像，图像的对称轴与轴交点坐标为，当时，函数最大值为，最小值为，且，求的解析式并直接写出的值． 17．（2026·上海奉贤·三模）在平面直角坐标系中（如图），直线与轴、轴分别交于点、．抛物线经过点，对称轴为直线，它与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求点、的坐标和抛物线的表达式； (2)将抛物线向下平移个单位，使平移后的新抛物线与直线交于点，如果，求的值； (3)将抛物线沿射线的方向平移，设平移后新抛物线的顶点为，新抛物线的对称轴与原抛物线交于点，如果，求新抛物线的表达式． 1．（2026·上海·一模）某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 2．（25-26九年级上·上海·阶段检测）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是_____． 3．（25-26九年级上·上海崇明·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、 (1)求抛物线的表达式； (2)若将该抛物线向上平移个单位长度，使得平移后的抛物线与轴只有一个公共点，求的值． 4．（2025·上海杨浦·一模）已知抛物线经过 (1)求抛物线的解析式； (2)将上述抛物线平移，使它的顶点移动到点，那么平移的方法是_____． 5．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，抛物线与抛物线关于x轴对称． (1)求的值以及抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移n个单位后得到新抛物线，如果新拋物线恰好经过，求的值． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）已知二次函数的图像经过点， (1)求二次函数解析式； (2)将此抛物线向右平移个单位，顶点移到点位置，函数图像与轴交于点，连接，，求的面积． 7．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示． x … 0 1 2 … y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 … (1)求m的值和二次函数的解析式； (2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式； (3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的． 8．（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． (1)该抛物线的表达式为______； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 9．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知开口向上抛物线过点，与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C． (1)如图，如果这条抛物线的对称轴是直线，求这条抛物线的解析式； (2)连接． ①设这条抛物线的对称轴与线段交于点D，用含a的式子表示； ②连接，点P是线段上一点且，如果点P关于直线的对称点Q恰好在这条抛物线上，求点的坐标． 10．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上． (1)当，时， ①求该抛物线的表达式； ②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值； (2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围． 11．（2026·上海·中考真题）对于函数，对称轴与轴交于点，将点向右平移一个单位得到点，使点与点的横坐标相等，且点的纵坐标为，则称点为抛物线的“派生点”，并且将直线称为抛物线的“派生直线”． (1)已知函数，求该函数的“派生直线”解析式； (2)已知点为某抛物线的“派生点”，点和在其“派生直线”上，且点是该抛物线与其“派生直线”的交点，求的值，并判断点是否在抛物线上． 12．（2025·上海·模拟预测）我们称抛物线为的“轮换抛物线”．已知在平面直角坐标系中，抛物线N是抛物线M的“轮换抛物线”． (1)假设M的解析式是（p为常数），抛物线N过点，求抛物线M的顶点坐标． (2)假设M、N和y轴正半轴分别交于点P和，点是线段的一个三等分点（），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式． (3)假设M、N均过和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形是菱形，求点E的坐标． 13．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点D，点在抛物线上． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点G是线段的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线，经过点D，的顶点为F，点Q在新抛物线的对称轴上，当为等腰三角形时，求出点Q的坐标； (3)如图2，点P是直线下方抛物线上的一点，联结、、，当面积最大时，联结、，设K、M、N分别是线段、、上的点，且，求出点P的坐标，并直接写出四边形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $