26.3 二次函数与一元二次方程的关系 课件 2026-2027学年人教版九年级上册数学

这是一份初中数学二次函数与一元二次方程联系的同步教学课件，通过观察图像公共点、问题链引导建立两者联系，包含探究活动、例题解析、小球飞行实际应用及课堂检测，为学生搭建学习支架。 资料特色突出，以图像观察培养几何直观（数学眼光），通过问题链推理强化运算与推理意识（数学思维），结合小球飞行问题渗透模型意识（数学语言），表格总结关系清晰，助力学生理解联系提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。九年级学生面临升学考试，需重点掌握二次函数与方程综合应用，本资料通过实例与检测，帮助学生巩固考点，提升解题能力。

第2课时　 一元二次方程问题转化为二次函数问题 第二十六章　二次函数 26.3 探究与应用 (教材典题)利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 活动1　利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根 解:画出函数y=x2-2x-2的图象(如图所示),它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7. ∴方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7,x2≈2.7. 例 1 活动2　夹逼法求一元二次方程的近似根 观察抛物线y=x2-2x-2与x轴两个公共点的位置,说明公共点的横坐标分别位于哪两个相邻的整数之间,一元二次方程x2-2x-2=0的两个根x1,x2(x1<x2)分别介于哪两个相邻的整数之间? 解:公共点的横坐标分别位于-1,0之间和2,3之间,-1<x1<0,2<x2<3. 观察猜想 问题1　(1)取2,3的平均数2.5,将x=2.5代入y=x2-2x-2,得到的函数值是多少? (2)由于抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线,而点(2.5,-0.75)在x轴的下方,点(3,1)在x轴的上方,说明x2和2.5,3有怎样的大小关系? 引发思考 解:(1)将x=2.5代入y=x2-2x-2,得到的函数值是-0.75. (2)2.5<x2<3. 问题2　(1)取2.5,3的平均数2.75,将x=2.75代入y=x2-2x-2,得到的函数值是多少? (2)由于抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线,而点(2.5,-0.75)在x轴的下方,点(2.75,0.0625)在x轴的上方,说明x2和2.5,2.75有怎样的大小关系? 解:(1)将x=2.75代入y=x2-2x-2,得到的函数值是0.0625. (2)2.5<x2<2.75. 问题3　重复上述步骤,就可以得到方程x2-2x-2=0的近似根x2分别在哪两个数之间?继续呢? 解:在2.625和2.75之间,在2.6875和2.75之间…… 以上这种方法可以求得一元二次方程的近似根,也可以解更高次的一元方程. 概括新知 小颖利用计算机画出了函数y=x3-3x2-x+4的图象(如图26-3-3),根据图象,你能求得方程x3-3x2-x+4=0的近似根吗?请写出你的结果(结果保留小数点后一位),并说出你的理由. 拓展 解:根据函数和图象的关系可知:函数y=x3-3x2-x+4的图象与x轴的公共点的横坐标是相应的方程x3-3x2-x+4=0的根. ∵函数y=x3-3x2-x+4的图象与x轴的公共点的横坐标大约是-1.1,1.3和2.9, ∴方程x3-3x2-x+4=0的实数根是x1≈-1.1,x2≈1.3,x3≈2.9. 图26-3-3 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表: 则方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是 (　　) A.-0.02<x<0.03 B.3.23<x<3.24 C.3.24<x<3.25 D.3.25<x<3.26 | 课堂检测 | C x 3.23 3.24 3.25 3.26 y -0.06 -0.02 0.03 0.09 2.观察下表,一元二次方程x2-x-1.1=0的最精确的一个近似根是 (　　) A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7 D x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2-x-1.1 -0.99 -0.86 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 [课堂检测] 3.3.45　[解析] 由题意知,方程x2-2x-5=0的根可看成抛物线y=x2-2x-5与x轴公共点的横坐标. ∵该方程的一个近似根是-1.45,且抛物线y=x2-2x-5的对称轴为直线x=1, 则1-(-1.45)=2.45,1+2.45=3.45, ∴抛物线y=x2-2x-5与x轴另一个公共点的横坐标为3.45, ∴这个方程的另一个近似根是3.45. 3.已知方程x2-2x-5=0的一个近似根是-1.45,则这个方程的另一个近似根是　　　.(结果保留小数点后两位)  3.45 4.根据下表,估计一元二次方程ax2+bx+c=6的一个根x的取值范围是　　 　 .  1.645<x<1.65 x … 1.63 1.64 1.645 1.65 1.66 … ax2+bx+c … 5.9169 5.9696 5.996025 6.0225 6.0756 … $第1课时　 二次函数与一元二次方程的联系 第二十六章　二次函数 26.3 探究与应用 问题1　如图26-3-1所示,二次函数y=x2+x-2,y=x2-8x+16,y=x2-x+1的图象与x轴有公共点吗? 活动1　会用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况 观察猜想 图26-3-1 解:抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点,抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点,抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点. 问题2　如果有,公共点的横坐标是多少? 问题3　当x取公共点的横坐标时,函数值是 多少? 解:抛物线y=x2+x-2与x轴的两个公共点的横坐标分别是-2,1,抛物线y=x2-8x+16与x轴的公共点的横坐标是4. 解:当x取公共点的横坐标时,函数值都是0. 图26-3-1 问题4　由此,你能得出相应的一元二次方程 x2+x-2=0,x2-8x+16=0, x2-x+1=0的根吗? 问题5　反过来,由一元二次方程的根的情况,可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点情况吗? 解:方程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2,1,方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4,方程x2-x+1=0没有实数根. 解:由一元二次方程的根的情况,也可以确定相应二次函数的图象与x轴的公共点的情况. 图26-3-1 (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当 　　　时,函数值是　 ,因此x=　　是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.  (2)抛物线与x轴的公共点情况与对应的一元二次方程的根的情况之间的关系: 概括新知 抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点情况 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况 有两个公共点 有　　　　　　　实数根  有一个公共点 有　　　　　 实数根  没有公共点 　　　实数根  x=x0 0 x0 两个不相等的 两个相等的 没有 (教材补充例题)判断下列函数的图象与x轴的公共点情况,并说明理由. (1)y=2x2-3x; 理解应用 例 1 解:(1)函数y=2x2-3x的图象与x轴有两个公共点. 理由:令y=0,则2x2-3x=0.∵(-3)2-4×2×0=9>0, ∴该方程有两个不相等的实数根,故函数y=2x2-3x的图象与x轴有两个公共点. (2)y=-x2-4x-1;(3)y=x2+2x+5. 解:(2)函数y=-x2-4x-1的图象与x轴有两个公共点. 理由:令y=0,则-x2-4x-1=0.∵(-4)2-4×(-1)×(-1)=12>0, ∴该方程有两个不相等的实数根,故函数y=-x2-4x-1的图象与x轴有两个公共点. (3)函数y=x2+2x+5的图象与x轴没有公共点. 理由:令y=0,则x2+2x+5=0.∵22-4×1×5=-16<0, ∴该方程没有实数根,故函数y=x2+2x+5的图象与x轴没有公共点. 活动2　可以将二次函数问题转化为一元二次方程问题 (教材典题)如图26-3-2,以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)的关系近似为h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20 m?如果能,需要多长时间? 解:当h=20时,由函数关系h=20t-5t2,列得方程20=20t-5t2, 即t2-4t+4=0.解方程,得t1=t2=2. 这说明,当自变量t=2时,二次函数h=20t-5t2的函数值为20,即当小球飞行2 s时,它的飞行高度为20 m. 例 2 图26-3-2 二次函数与一元二次方程的关系 已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m.反过来,解方程ax2+bx+c=n,可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为n,求自变量x的值. 悟 联系 追问　(1)你能结合图26-3-2指出为什么只在一个时间小球的高度为20 m吗?     (2)小球的飞行高度能否达到20.5 m?为什么?     解:(1)∵小球在某一时间达到最大高度20 m, ∴只在一个时间小球的高度为20 m. 解:不能.理由:解方程20.5=20t-5t2,整理,得t2-4t+4.1=0. ∵(-4)2-4×1×4.1<0,∴方程没有实数根. 这就是说,小球的飞行高度不能达到20.5 m. (3)小球从飞出到落地,需要多长时间? 解:(3)由题意知小球飞出时和落地时的高度都为0 m. 解方程0=20t-5t2, 整理,得t2-4t=0, 解得t1=0,t2=4. ∴当小球飞行0 s和4 s时,它的高度为0 m. 这表明小球从飞出到落地,需要4 s. 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个公共点的坐标分别是(-2,0), (5,0),则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是(　　) A.x1=-2,x2=5 B.x1=2,x2=-5 C.x1=-2,x2=-5 D.x1=2,x2=5 | 课堂检测 | A 2.∵方程x2+3x+2=0的根是　 ,  ∴抛物线y=x2+3x+2与x轴的公共点坐标是　　　和　 　.  x1=-2,x2=-1 (-2,0) (-1,0) 3.若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有公共点,则c的取值范围是　　　　.  4.在标准大气压下,质量一定的水的体积V(cm3)与温度t(℃)之间的关系满足二次函数V=t2-t+104(t>0),则当水的体积为120 cm3时,温度为　　℃.  c> 16 5.已知抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数,a<0),求证:在平面直角坐标系中,该抛物线与x轴总有两个公共点. 证明:在y=ax2+bx+3中,当y=0时,ax2+bx+3=0, ∴Δ=b2-4ac=b2-12a. ∵a<0,∴b2-12a>0, ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0有两个不相等的实数根, ∴在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴总有两个公共点. $