第三单元 小数除法（知识梳理+典型例题+综合训练）五年级数学上册典例专项精讲（人教版 新教材）

该小学数学讲义通过框架图系统梳理小数除法知识体系，涵盖基础运算、商的规律等六大模块，用表格对比有限与无限小数分类，思维导图呈现运算定律适配技巧，清晰呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于14个考点分层设计，如分段计费问题结合生活场景培养应用意识，用计算器探索规律发展推理意识，估算模块通过进一法去尾法强化运算能力，支持不同学生提升，助力教师精准教学。

第三单元 小数除法（知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 2 一、基础运算模块 2 二、商的规律模块 2 三、运算定律适配模块 3 四、估算 3 五、循环小数 4 六、分段计费应用模块 5 典型例题 5 【考点一】小数除法口算 5 【考点二】小数除法竖式计算 6 【考点三】小数四则混合运算 10 【考点四】除数是整数的小数除法 14 【考点五】除数是小数的小数除法 16 【考点六】循环小数的认识 18 【考点七】循环小数的比较大小 21 【考点八】被除数和商的大小关系 23 【考点九】连续除法及乘除混合运算 26 【考点十】商的近似数 28 【考点十一】进一法和去尾法 30 【考点十二】小数四则混合运算的认识及应用 32 【考点十三】用计算器探索规律 34 【考点十四】小数除法分段计费问题 36 综合训练 39 一、基础运算模块 1、除数是整数的小数除法：按整数除法规则计算，商的小数点和被除数的小数点严格对齐；整数部分不够除先在商的个位补0占位，除到被除数末尾有余数就在余数后补0继续运算。 2、一个数除以小数：依据商不变性质，把除数转化为整数，被除数同步移动相同位数的小数点，位数不足时末尾补0，再按除数是整数的规则计算。 3、小数除法的本质是已知两个因数的积和其中一个非0因数，求另一个因数的运算，比如7.2÷0.9，既可以表示7.2里包含多少个0.9，也对应已知积7.2和因数0.9求另一个因数。 二、商的规律模块 1、核心规律：一个数（0除外）除以大于1的数，商比原数小；除以等于1的数，商和原数相等；除以小于1且不为0的数，商比原数大。 特殊说明：必须标注“0除外”，0不能作为除数，0除以任何非0数结果都为0，不受上述规律影响。 2、实用场景：可直接不计算快速比较商和被除数的大小，预判小数除法结果是否合理，比如直接判断“25.6÷0.8的商小于25.6”是错误结论。 三、运算定律适配模块 1、整数除法的运算性质在小数除法中完全适用，可大幅简化部分复杂小数除法的计算步骤。 2、连除交换性质：a÷b÷c = a÷c÷b，可调整连除中除数的计算顺序，优先把能凑整的组合先算。 3、连除变乘性质：a÷b÷c = a÷(b×c)，把两个除数相乘凑整后，再用被除数除以这个整数值简化运算。 4、简便运算实用技巧： 连除场景：优先用连除变乘性质，把两个除数凑成整数后再计算，比如1.2÷0.25÷4，转化为1.2÷(0.25×4)=1.2÷1=1.2。 5、拆分除数场景：把复杂除数拆成两个简单数的乘积，再用连除性质分步计算，降低运算难度。 四、估算 1、用四舍五入计算商的近似数。 2、估算解决问题 1、核心用途：无需精确计算，快速判断“钱够不够”“容器能不能装下所有物品”这类实际问题，大幅降低计算量。 2、两种解决问题的方法。 ‌进一法‌：小数除法算出商后，无论小数部分是多少，都向前一位进1取整数，最终结果比准确数大。用于求“至少需要几个”的场景，比如至少需要几辆车运完货物、至少需要几个箱子装下物品，剩余部分哪怕不足1个单位也必须多占用1个容器。 ‌去尾法‌：小数除法算出商后，无论小数部分是多少，直接舍去小数部分只保留整数，最终结果比准确数小。用于求“最多能做几个”的场景，比如最多能做多少套衣服、最多能买几本书，剩余材料或金额不足以完成1个完整物品时，必须直接舍去。 3、关键注意点：不能随意四舍五入，要结合问题场景选择估算方向，避免估算结果和实际情况偏差出错。 五、循环小数 1、循环小数的分类。 按小数部分的位数划分： 有限小数：小数部分的位数是有限的，如0.5、1.25。 无限小数：小数部分的位数是无限的，包括循环小数和无限不循环小数（如3.1415926....） 2、循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 例：0.333...、5.32727....都是循环小数。 3、循环节 循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。 例：0.333.....的循环节是3：5.32727.....的循环节是27。 4、简便写法 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 六、分段计费应用模块 1、核心逻辑：总用量按不同区间拆分，各区间计费标准不同，结合小数除法反向推导对应用量，常见场景有出租车计费反算里程、阶梯水费反算用水量等。 2、两类基础题型： 正求单位用量：已知总费用和分段规则，先扣除首段基础费用，用剩余费用除以高阶单价算出超出部分用量，两段相加得到总用量。 反算最大用量：结合“进一法”处理小数部分，用总费用反向推导可支持的最大使用量。 3、关键操作细节：遇到“不足1单位按1单位计算”规则，先对小数部分用进一法取整，再代入对应区间完成小数除法运算。 【考点一】小数除法口算 【典型例题1】直接写出得数。 1.5＋2.3＝    4.8－1.4＝    2.5×0.4＝    1.3×11＝ 40×0.5＝    2.9＋3.1＝    356×0.01＝    2.8÷0.1＝ 【答案】3.8；3.4；1；14.3 20；6；3.56；28 【典型例题2】直接写得数。 1.25×8＝           0.25×4＝             3.6÷0.36＝          0.3×0.04＝ 0÷23.56＝          7.1×1000＝           5.4÷0.1＝           0.63÷9＝ 【答案】10；1；10；0.012 0；7100；54；0.07 【典型例题3】直接写得数。 0.6×0.4＝        4.8÷0.6＝        8.5×0.6＝        72.9÷9＝        0.64÷0.8＝ 12.5×8＝        0.9÷0.1＝        0.01×100＝        1÷3＝        4.5÷2.5＝ 【答案】0.24；8；5.1；8.1；0.8 100；9；1；；1.8 【典型例题4】直接写得数。 2.3×0.3＝      1.8×0.5＝      0.6×0.8＝      3.1×0.3＝       0.12×6＝ 0.9÷3＝       0.45÷15＝      2.5÷0.5＝      5.1÷1.7＝      9.8÷0.7＝ 【答案】0.69；0.9；0.48；0.93；0.72； 0.3；0.03；5；3；14 【考点二】小数除法竖式计算 【典型例题1】用竖式计算，带★的要验算。 5.8×2.05＝    6.21÷0.27＝    ★10.8÷4.5＝ 【答案】11.89；23；2.4 【分析】小数乘小数‌列竖式，先按照整数乘法的法则计算出积，然后根据乘数中小数的位数，从积的右边数出相应位数，点上小数点。积的小数位数如果不够，前面用0补位再点小数点；点完小数点后，积的小数部分末尾的0要去掉。 小数除法列竖式和整数除法竖式一样，关键是要利用商不变的性质，即除数与被除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，把除数的小数点去掉后，再按整数除法计算，最后商的小数点与被除数的小数点对齐就行。验算时用商与除数相乘，看乘积是否等于被除数，据此解答。 【解答】5.8×2.05＝11.89  6.21÷0.27＝23  ★10.8÷4.5＝2.4             验算： 【典型例题2】竖式计算。 9.65×0.18＝    8.25÷2.5＝    25.5÷0.75＝ 【答案】1.737；3.3；34 【分析】小数乘法先按照整数乘法的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果小数的位数不够，需要在前面补0占位； 除数是小数的小数除法，先移动除数的小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用0补足）；然后按除数是整数的小数除法进行计算。 【解答】 【典型例题3】列竖式计算。（带★的要验算，除不尽的得数保留两位小数）             ★         【答案】0.30；26；1.06 【分析】除数是整数的小数除法，商的小数点要与被除数的小数点对齐；若除到被除数的末尾仍有余数，在余数末尾添0，继续除。 除数是小数的除法计算方法：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。除法采用“商×除数”看是否等于被除数来进行验算。保留两位小数，需要看第三位小数（即千分位上的数），若大于等于5则向百分位进1，若小于5则直接舍去。 【解答】0.396÷1.3≈0.30           ★5.98÷0.23＝26                       验算： 15.9÷15＝1.06 【典型例题4】竖式计算。         （结果用循环小数表示） 【答案】4.5；15； 【分析】除数是整数的小数除法：按照整数的法则去除，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果被除数比除数小，商的个位上写“0”；如果被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除； 除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算； 循环小数的简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 【解答】58.5÷13＝4.5        8.4÷0.56＝15         5÷11＝                         【考点三】小数四则混合运算 【典型例题1】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 0.78×98    1.6×7.5×1.25 2.07÷0.23÷0.45    1.08×0.8÷0.27 【答案】76.44；15 20；3.2 【分析】首先把98转化为（100－2），然后再利用乘法分配律进行简便运算； 把1.6转化为0.8×2，再利用乘法结合律进行简便运算； 按照从左往右的顺序计算； 先用1.08除以0.27，再乘0.8，即可求出结果。 【解答】0.78×98 ＝0.78×（100－2） ＝0.78×100－0.78×2 ＝78－1.56 ＝76.44 1.6×7.5×1.25 ＝2×0.8×7.5×1.25 ＝（2×7.5）×（0.8×1.25） ＝15×1 ＝15 2.07÷0.23÷0.45 ＝9÷0.45 ＝20 1.08×0.8÷0.27 ＝1.08÷0.27×0.8 ＝4×0.8 ＝3.2 【典型例题2】计算下面各题，能简算的要简算。 73.8÷1.25÷0.8         0.72×8.5＋0.28×8.5          （17.22－1.4×7.8）÷6 【答案】73.8；8.5；1.05 【分析】①根据除法的性质进行简便运算。 ②根据乘法分配律进行简便运算。 ③根据四则混合运算的顺序先算括号里的乘法，再算减法，最后算除法。 【解答】73.8÷1.25÷0.8 ＝73.8÷（1.25×0.8） ＝73.8÷1 ＝73.8 0.72×8.5＋0.28×8.5 ＝8.5×（0.72＋0.28） ＝8.5×1 ＝8.5 （17.22－1.4×7.8）÷6 ＝（17.22－10.92）÷6 ＝6.3÷6 ＝1.05 【典型例题3】脱式计算，能简算的要简算。 15.7×8＋157×0.2                            68÷0.25÷0.4 18.5＋11.5÷0.05                            2.4×[（10－6.2）÷7.6] 【答案】157；680； 248.5；1.2 【分析】（1）先把157×0.2转化为15.7×2，再逆用乘法分配律简便计算； （2）利用除法性质先计算0.25与0.4的积，简化计算； （3）先计算小数除法，再计算小数加法； （4）按照四则混合运算的顺序，先计算小括号里面的小数减法，再计算中括号里面的小数除法，最后计算括号外面的小数乘法。 【解答】（1）15.7×8＋157×0.2 ＝15.7×8＋（157÷10）×（0.2×10） ＝15.7×8＋15.7×2 ＝15.7×（8＋2） ＝15.7×10 ＝157 （2）68÷0.25÷0.4 ＝68÷（0.25×0.4） ＝68÷0.1 ＝680 （3）18.5＋11.5÷0.05 ＝18.5＋230 ＝248.5 （4）2.4×[（10－6.2）÷7.6] ＝2.4×[3.8÷7.6] ＝2.4×0.5 ＝1.2 【典型例题4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1.45×1.8÷4.5         3.65×0.84＋36.5×0.016 2.87÷1.25÷0.8       （35.56÷6.35－3.45）×3.46 【答案】0.58；3.65； 2.87；7.439 【分析】（1）按照从左往右的顺序依次计算； （2）先把36.5×0.016转化为3.65×0.16，再逆用乘法分配律简便计算； （3）利用除法性质简便计算； （4）按照四则混合运算的顺序，先计算括号里面的小数除法，再计算括号里面的小数减法，最后计算括号外面的小数乘法。 【解答】（1）1.45×1.8÷4.5 ＝2.61÷4.5 ＝0.58 （2）3.65×0.84＋36.5×0.016 ＝3.65×0.84＋（36.5÷10）×（0.016×10） ＝3.65×0.84＋3.65×0.16 ＝3.65×（0.84＋0.16） ＝3.65×1 ＝3.65 （3）2.87÷1.25÷0.8 ＝2.87÷（1.25×0.8） ＝2.87÷1 ＝2.87 （4）（35.56÷6.35－3.45）×3.46 ＝（5.6－3.45）×3.46 ＝2.15×3.46 ＝7.439 【考点四】除数是整数的小数除法 【典型例题1】下面四个算式中，结果大于1的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算四个选项的结果，再和1比较大小，选出结果大于1的选项即可。 【解答】A．，，不符合题意； B．，，不符合题意； C．，，符合题意； D．，，不符合题意； 【典型例题2】高速上有一种测速方式是区间测速，经过测量同一辆车经过同一路段两个测速点的时间差，来计算在此期间这辆车的平均速度。李叔叔开车经过某个区间测速路段，长度30千米，最高时速120千米/每小时，李叔叔所用时间至少（    ）才不会超速。 A．大于12分钟 B．大于15分钟 C．小于12分钟 D．小于15分钟 【答案】B 【分析】根据路程÷速度＝时间，用30除以120求出最高时速用多少小时，再根据1时＝60分，将结果换算成分钟，要想不超速，用时要大于最高时速用的时间。 【解答】30÷120＝0.25（小时） 0.25×60＝15（分钟） 所以李叔叔所用时间至少要大于15分钟才不会超速。 【典型例题3】根据法律规定，年满12周岁才可在道路上骑行自行车。小青今年13周岁，准备利用周末骑行去离家6千米的梅花山。他早上8：00从家出发，以12千米/时的速度骑行，需要（ ）分钟才能到达；如果中途休息10分钟，那么到达时是上午（ ）：（ ）。 【答案】30 8 40 【分析】根据时间＝路程÷速度，求出需要的时间，然后根据1小时＝60分钟转化为分钟即可；用8：00加上休息的时间，再加上骑行的时间得出到达的时间。 【解答】6÷12＝0.5（小时） 0.5小时＝0.5×60＝30（分钟） 8时＋10分钟＋30分钟＝8时40分钟，即8：40。 【典型例题4】妈妈去超市买牛奶，A品牌牛奶4盒装售价48.8元，B品牌牛奶6盒装售价70.2元。请你算一算，哪种品牌的牛奶单价更便宜？每盒便宜多少钱？ 【答案】B品牌；0.5元 【分析】首先根据“单价＝总价÷数量”的公式分别计算A、B品牌的单盒价格；得到两个单价后，对两个数值进行大小比较，判断出哪个单价更低；用较高的单价减去较低的单价，即可得到每盒便宜的金额。 【解答】（元） （元） 所以B品牌牛奶单价更便宜。 （元） 答：B品牌牛奶单价更便宜，每盒便宜0.5元。 【考点五】除数是小数的小数除法 【典型例题1】与得数相同的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用商不变的规律判断，被除数和除数同时乘同一个不为0的数，商不变。 【解答】A．75÷25：被除数0.75变为75，是乘了100；除数2.5变为25，是乘了10；被除数和除数乘的数不相同，不符合商不变规律，排除。 B．7.5÷25：被除数0.75变为7.5，是乘了10；除数2.5变为25，是乘了10；被除数和除数同时乘10，符合商不变规律，正确。 C．7.5÷2.5：被除数0.75变为7.5，是乘了10；除数2.5没有变化；被除数乘10、除数不变，商会扩大到原来的10倍，不符合商不变规律，排除。 D．7.5÷0.25：被除数0.75变为7.5，是乘了10；除数2.5变为0.25，是除以了10；被除数乘10、除数除以10，商会扩大到原来的100倍，不符合商不变规律，排除。 【典型例题2】近年来，“港人北上”消费热潮持续升温。某香港家庭用餐支付了452.4元人民币，按当日汇率1港元约兑换0.87元人民币进行折算，该家庭实际支付（    ）港元。 A．520 B．500 C．400 D．393.5 【答案】A 【分析】根据“港元的金额＝人民币金额÷汇率”即可计算。 【解答】452.4÷0.87＝520（港元） 即该家庭实际支付520港元。 【典型例题3】2025年春节联欢晚会上，宇树H1机器人“福兮”手臂转动一圈只需0.8秒，40秒能转动多少圈？ 【答案】50圈 【分析】根据等量关系：转动总圈数＝总时间÷转动一圈所需时间，代入数据计算即可。 【解答】40÷0.8＝50（圈） 答：40秒能转动50圈。 【典型例题4】在一场大型赛事中，主办方计划制作294个纸质号码牌，安排甲、乙两个团队同时开始制作。经过1.5时，完成全部号码牌制作。甲团队每时制作95个号码牌，乙团队每时制作多少个号码牌？ 【答案】101个 【分析】根据，用纸质号码牌总数除以时间可得两队工作效率再减甲团队的工作效率即可得解。 【解答】294÷1.5－95 ＝196－95 ＝101（个） 答：乙团队每时制作101个号码牌。 【考点六】循环小数的认识 【典型例题1】3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 【答案】C 【分析】先根据除数是小数的小数除法计算法则算出3.1÷0.74的商是循环小数，循环节是189，每3个数字一循环，求商的小数点后面第2024位上的数字，就是求2024里面有几个3，用除法计算；余数是几，就表示是一个循环里的第几个数，即可得解。 【解答】3.1÷0.74＝ 2024÷3＝674……2 余数是2，表示是一个循环里的第2个数，即8； 所以，3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是8。 故答案为：C 【典型例题2】（如图）乐乐正在计算一道除法竖式题，这道题的计算结果是（    ）。 A．4.45 B． C． D．4.454 【答案】B 【分析】若继续往下出，可以发现：从小数部分第一位起，4、5两个数字依次不断重复出现，所以它的商是循环小数，循环节是45，据此写出结果即可。 【解答】这道题的计算结果是。 故答案为：B 【典型例题3】0.2575757…的循环节是（ ），小数部分的第100位上的数是（ ），前100位的数字之和是（ ）。 【答案】57 5 595 【分析】先观察小数0.2575757…，找到重复出现的数字确定循环节；再去掉不循环的第一位数字，用剩余位数除以循环节的长度，通过余数判断第100位上的数；最后计算前100位数字和时，先加上不循环的数字，再计算完整循环节的数字和，加上余下部分的数字和即可。 【解答】0.2575757…的循环节是57 循环位数：100－1＝99 99÷2＝49……1，第100位是5 前100位的数字之和：2＋49×（5＋7）＋5 ＝2＋49×12＋5 ＝2＋588＋5 ＝595 【典型例题4】计算6.9÷3.3时，它的商用简便形式写成（ ），保留两位小数约是（ ），商的小数点后面第79位上的数字是（ ）。 【答案】 2.09 0 【分析】根据小数除法的计算法则计算出6.9÷3.3＝2.0909……写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位上面各记一个圆点，写出这个循环小数；保留两位小数，要看小数点后面第三位是几，根据四舍五入法取近似值即可；根据商的循环节是09，可知循环周期是2，用79除以2，求出商和余数，根据余数判断即可。 【解答】6.9÷3.3＝ ≈2.09 79÷2＝39……1 所以计算6.9÷3.3时，它的商用简便形式写成，保留两位小数约是2.09，商的小数点后面第79位上的数字是0。 【考点七】循环小数的比较大小 【典型例题1】下面各数中，循环小数是（    ）。 A．3.1415926… B．2.323232 C．1.333… D．0.182436 【答案】C 【分析】根据题意，要判断哪个数是循环小数，需依据循环小数的定义：一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，据此解答。 【解答】A．3.1415926⋯是无限不循环小数，无重复出现的数字序列，不符合循环小数定义。 B．2.323232是有限小数，小数位数有限，不符合循环小数定义。 C．1.333⋯是无限小数，且数字“3”依次重复出现，符合循环小数定义。 D．0.182436是有限小数，小数位数有限，不符合循环小数定义。 【典型例题2】下面各数中，最大的数是（    ）。 A．3.1415926 B．3.1415926… C．3.1415 【答案】B 【分析】比较小数的大小：（1）看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；（2）整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。 【解答】3.1415926…＞3.1415926＞3.1415 最大的数是3.1415926…。 故答案为：B 【典型例题3】在5.91，，，5.191212，5.18276…中有限小数有（ ），无限小数有（ ），循环小数有（ ），最大的数是（ ）。 【答案】5.91、5.191212 、、5.18276… 、 【分析】小数部分的位数是有限的小数；小数部分的位数是无限的小数。一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。把循环小数写成一般形式，再比较小数大小：先比较整数部分，整数部分相同再比较十分位，十分位相同再比较百分位……依次类推。 【解答】5.91和5.191212小数位数有限，是有限小数。 和有循环点，5.18276…有省略号，小数位数无限，是无限小数。 和有循环点，是循环小数。 ＝5.999… ＝5.912912… 5.18276…＜5.191212＜5.91＜5.912912…＜5.999…，即5.18276…＜5.191212＜5.91＜＜，最大的数是。 【典型例题4】在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有（ ）个，无限小数有（ ）个，循环小数有（ ）个。 【答案】2 5 4 【分析】有限小数：小数部分的数位是有限的小数。 无限小数：小数部分的数位是无限的小数。 一个小数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个小数叫做循环小数。一个循环小数的小数部分依次不断重复出现的数字就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 据此给数字分类，再填空。 【解答】有限小数有：0.3838、0.0007共2个。 无限小数有：7.237237…、3.77856…、、、8.36666…共5个。 循环小数有：7.237237…、、、8.36666…共4个。 在7.237237…，3.77856…，0.3838，2.732，5.3，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有2个，无限小数有5个，循环小数有4个。 【考点八】被除数和商的大小关系 【典型例题1】如果甲×1.5＝乙÷1.5（甲、乙均不为0），那么（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 【答案】B 【分析】通过假设等式的结果为固定值，分别求出甲、乙的数值后比较大小即可。 【解答】设 ， 因为，所以甲乙。 【典型例题2】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.82×1.2（ ）0.82                     24.5÷1.5（ ）24.5 0.24×100（ ）240×0.1                 6.29÷0.1（ ）6.29 【答案】＞ ＜ ＝ ＞ 【分析】0.82×1.2和0.82根据乘数和积的关系，一个乘数大于1，则积大于另一个乘数，由此即可比较； 24.5÷1.5根据被除数和商的关系，当除数大于1，则商小于被除数，由此即可比较； 0.24×100和240×0.1根据小数乘法的计算方法，算出两边的结果，再进行比较，即0.24×100＝24；240×0.1＝24； 6.29÷0.1和6.29根据被除数和商的关系，当除数小于1，则商大于被除数，由此即可比较。 【解答】0.82×1.2＞0.82 24.5÷1.5＜24.5 0.24×100＝240×0.1 6.29÷0.1＞6.29 【点睛】本题主要考查积和乘数的关系以及商和被除数的关系，熟练掌握它们之间的关系并灵活运用。 【典型例题3】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.06÷0.1（ ）3.06×0.1     0.05（ ）0.05÷0.5   1.7×1.25（ ）1.7÷0.8 【答案】＞ ＜ ＝ 【分析】（1）一个非0的数乘一个大于1的数，结果大于这个数，乘一个小于1的数，结果小于这个数； （2）一个非0的数除以一个小于1的数（0除外），结果大于这个数，除以一个大于1的数，结果小于这个数； （3）分别计算1.7×1.25和1.7÷0.8，再比较大小。 【解答】因为0.1＜1，所以3.06÷0.1＞3.06，3.06×0.1＜3.06，所以3.06÷0.1＞3.06×0.1； 因为0.5＜1，所以0.05＜0.05÷0.5； 因为1.7×1.25＝2.125，1.7÷0.8＝2.125，所以1.7×1.25＝1.7÷0.8。 【典型例题4】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.2×0.7（ ）0.7        4.6÷1.3（ ）4.6        7.6×0.1（ ）7.6÷0.1 【答案】＞ ＜ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数；一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）除以大于1的数，商小于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数。据此解答。 【解答】1.2×0.7＝0.7×1.2，因为1.2＞1，所以0.7×1.2＞0.7，即1.2×0.7＞0.7； 因为1.3＞1，所以4.6÷1.3＜4.6； 因为0.1＜1，7.6×0.1＜0.76，7.6÷0.1＞76，所以7.6×0.1＜7.6÷0.1。 1.2×0.7＞0.7，4.6÷1.3＜4.6，7.6×0.1＜7.6÷0.1。 【考点九】连续除法及乘除混合运算 【典型例题1】某公司的4台编织机8.5小时编织了9.52km彩绳，平均每台编织机每小时编织（ ）km彩绳。 【答案】0.28 【分析】用编织的彩绳总长度÷时间，求出4台编织机1小时编织的长度，再除以编织机台数，就是平均每台编织机每小时编织长度；也可以用编织彩绳总长度÷编织机台数，求出1台编织机8.5小时编织的长度，再除以时间，也可以算出平均每台编织机每小时编织的长度。 【解答】 （km） 或者： （km） 【典型例题2】古法酿酒依赖自然环境和手工经验，酒质纯净，是中国传统技艺的重要组成部分。李爷爷使用3.6千克糯米酿造了2.4升米酒，照这样计算，李爷爷酿造7升米酒需要（ ）千克糯米。 【答案】10.5 【分析】先用3.6÷2.4，求出每升米酒需要的糯米量，再用每升米酒需要糯米量×7，即可解答。 【解答】3.6÷2.4×7 ＝1.5×7 ＝10.5（千克） 【典型例题3】某农场引进了4台同型号的耕地机，经过测试，4台耕地机同时工作，2.5小时可以耕完5.25公顷土地。平均每台耕地机每小时耕地多少公顷？ 【答案】0.525公顷 【分析】根据题意，用这块地的总面积除以拖拉机的台数，求出1台拖拉机2.5小时可以耕地多少公顷，再用工作总量÷工作时间＝工作效率；或根据工作总量÷工作时间＝工作效率，先求出4台1小时耕地面积，再除以2.5求出一台每小时的耕地面积。据此解答即可。 【解答】5.25÷4÷2.5 ＝1.3125÷2.5 ＝0.525（公顷） 或5.25÷2.5÷4 ＝2.1÷4 ＝0.525（公顷） 答：平均每台耕地机每小时耕地0.525公顷。 【典型例题4】普洱茶，云南省特产，中国国家地理标志产品。普洱茶具有降低血脂、减肥、抑菌助消化等多种功效，深受大众喜爱。普洱茶叶200克售价42元，赵叔叔要买1.3千克普洱茶叶，应付多少元？ 【答案】273元 【分析】先根据“1千克＝1000克”将质量单位统一为千克；再根据“单价＝总价÷质量”求出每千克的价格；最后根据“总价＝单价×质量”计算。 【解答】200克＝0.2千克 42÷0.2×1.3 ＝210×1.3 ＝273（元） 答：应付273元。 【考点十】商的近似数 【典型例题1】同一种毛巾，甲超市卖13元2条，乙超市卖19元3条，丙超市卖35元6条，（    ）超市卖得最便宜。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据单价＝总价÷数量，计算每条毛巾的单价再进行比较。 【解答】甲：13÷2＝6.5（元） 乙：（元） 丙：（元） 因为，所以。 【典型例题2】篮球社团8名同学进行投篮训练，他们投中次数分别是：6、8、7、12、10、2、8、11，将这组数据去掉一个最大数与最小数后的平均数是（ ）。（得数保留一位小数） 【答案】8.3 【分析】先比较数据，按要求去掉最大和最小数；然后将剩余数据求和计算出总数；再根据“平均数＝总数÷数据个数”计算；最后根据“四舍五入”法保留一位小数。 【解答】因为12＞11＞10＞8＞7＞6＞2，所以去掉12和2； （6＋8＋7＋10＋8＋11）÷6 ＝50÷6 ≈8.3 【典型例题3】石家庄到唐山的高速公路大约长420千米，唐山到承德的高速公路大约长190千米。爸爸开车由石家庄出发到唐山，当行驶到唐山时用了5小时15分。照这样的速度，爸爸由唐山到承德大约需要多长时间？（得数保留一位小数） 【答案】2.4小时 【分析】先把5小时15分换算为以小时为单位的数，再求出汽车的平均速度，最后用唐山到承德的路程除以速度，就能得到所需时间。 【解答】15÷60＝0.25（小时） 5＋0.25＝5.25（小时） 420÷5.25＝80（千米/小时） 190÷80＝2.375（小时）≈2.4（小时） 答：爸爸由唐山到承德大约需要2.4小时。 【典型例题4】有一批货物，计划每小时运22.5吨，7小时可以运完，实际只用5.5小时就运完了。实际每小时运了多少吨？（得数保留两位小数。） 【答案】28.64吨 【分析】货物的总数量不变，要计算实际每小时运的吨数，需先求出货物总吨数，用计划每小时运输量乘计划运输时间得到总吨数，再除以实际运输时间，最后按要求保留两位小数。 【解答】22.5×7÷5.5 ＝157.5÷5.5 ≈28.64（吨） 答：实际每小时运了28.64吨。 【考点十一】进一法和去尾法 【典型例题1】果农们要将68.4kg的大泽甜橙装进纸箱，每个纸箱最多可以装4.5kg大泽甜橙。装这些大泽甜橙至少需要准备（    ）个这样的纸箱。 A．15 B．15.2 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据题意，总重量为68.4kg，每个纸箱最多装4.5kg，需要求至少需要的纸箱数量。计算68.4÷4.5得到15.2，但由于纸箱数量必须为整数，且需装完所有甜橙，因此需向上取整。 【解答】68.4÷4.5＝15.2（个） 15＋1＝16（个） 因此至少需要16个纸箱。 故答案为：C 【典型例题2】做一套衣服用布2.7m，50m布最多可以做（    ）套衣服。 A．19 B．18 C．17 D．20 【答案】B 【分析】用布的总长度除以做一套衣服的布料长度，即为可以做的衣服套数，衣服套数为整数，根据去尾法取整数。 【解答】50÷2.7≈18（套） 【典型例题3】张伯伯准备将已收割的8400千克稻谷拉到干净、干燥的场地上晾晒，已经用三辆小型货车拉走了7500千克稻谷，剩下的准备用袋装，一袋可以装42千克，张伯伯至少需要准备多少个这样的袋子？ 【答案】22个 【分析】用稻谷的总质量减去拉走的质量求出剩余的质量，再用剩余的质量除以一袋可以装的质量，结果用进一法保留整数。 【解答】8400－7500＝900（千克） 900÷42≈22（个） 答：张伯伯至少需要准备22个这样的袋子。 【典型例题4】李老师准备去体育用品商店购买单价为75.4元的某品牌篮球，他正好带了够买15个该品牌篮球的钱数。恰逢元旦优惠促销活动，该品牌篮球单价降为68.9元，李老师可以多买几个篮球？ 【答案】1个 【分析】用篮球的单价75.4元乘购买个数15个再除以降价后的单价68.9元，不够购买一个需要舍去，结果用“去尾法”取整，再减去原计划购买的个数15个即可求解。 【解答】75.4×15÷68.9 ＝1131÷68.9 ≈16（个） 16－15＝1（个） 答：李老师可以多买1个。 【考点十二】小数四则混合运算的认识及应用 【典型例题1】小明在文具店买了2个文具盒和4个笔记本，共花了31元，已知笔记本每本3.5元，文具盒每个多少元？列式正确的是（    ）。 A．31÷2÷4 B．31－3.5×4÷2 C．（31－3.5×4）÷2 D．（31－3.5）×4÷2 【答案】C 【分析】已知笔记本每本3.5元，买了4个笔记本，根据“总价＝单价×数量”求出买4个笔记本花的钱数；再用花的总钱数减去买4个笔记本花的钱数，即是买2个文具盒花的钱数，根据“单价＝总价÷数量”求出每个文具盒的钱数。 【解答】（31－3.5×4）÷2 ＝（31－14）÷2 ＝17÷2 ＝8.5（元） 文具盒每个8.5元。 列式正确的是：（31－3.5×4）÷2。 故答案为：C 【典型例题2】李老师给全班每名学生准备了3本练习本，每本练习本1.8元，总共花了205.2元。这个班共有多少名学生？ 【答案】名 【分析】先算出每名学生的练习本总费用，再用总花费除以每名学生的费用，即可求出学生人数。 【解答】 （名） 答：这个班共有名学生。 【典型例题3】2024年青岛肉蛋奶产量118.7万吨，粮食总产量比肉蛋奶产量的3倍少34.7万吨，粮食全年产量是多少万吨？ 【答案】321.4万吨 【分析】用2024年青岛肉蛋奶产量乘3，再减34.7万吨，即可得粮食全年产量是多少万吨。 【解答】118.7×3－34.7 ＝356.1－34.7 ＝321.4（万吨） 答：粮食全年产量是321.4万吨。 【典型例题4】王阿姨带100元去超市购物。她买了2箱牛奶，每箱35.8元；又买了3包纸巾，每包6.5元。剩下的钱还够买一桶15元的食用油吗？ 【答案】不够 【分析】先根据“总价＝单价×数量”分别求出2箱牛奶的钱数和3包纸巾的钱数，再用总钱数减去花去的钱数求出剩下的钱数，最后和一桶食用油的钱数相比较，据此解答。 【解答】100－（35.8×2＋6.5×3） ＝100－（71.6＋19.5） ＝100－91.1 ＝8.9（元） 因为8.9元＜15元，所以剩下的钱不够买一桶15元的食用油。 答：剩下的钱不够买一桶15元的食用油。 【考点十三】用计算器探索规律 【典型例题1】聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 【答案】C 【分析】聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，被除数是几，商的循环节就是这个数和0，据此解答即可。 【解答】根据规律可知：7÷9.9＝0.70707…… 故答案为：C 【典型例题2】仔细观察下面几个算式的规律，7÷11的得数应是（    ）。 1÷11＝0.0909…  2÷11＝0.1818…  3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 【答案】C 【分析】观察可知，除数都是11，被除数分别是1、2、3……，商的小数部分分别是两位数字循环，两位数字之和是9，且第一位数字开始依次是0、1、2、3、4…，由此即可接着往下写出得数。 【解答】根据分析，7÷11的得数应是0.6363…。 故答案为：C 【点睛】解答此题的关键是根据所给出的式子，找出规律，再根据规律解决问题。 【典型例题3】李洋用计算器计算了4道除法算式（如图）： …… 请你根据发现的规律完成填空。 （1）______。 （2）______ 【答案】（1）9.87654 （2）88.888887 【分析】根据给出的四个等式，可以找出如下规律。被除数整数部分不变，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。除数是9都不变。整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。 【解答】（1）商：整数部分是9，小数部分依次是8、87、876、8765（从8开始依次递减1）。根据规律，被除数小数最后一位是6，商是：9.87654。 （2）被除数：整数部分都是88，小数部分依次增加一个8，最后一位数字依次是2、3、4、5（依次增加1）。商的小数部分是876543，对应被除数的小数部分最后一位是7，且小数部分有5个8，被除数是88.888887。 【典型例题4】根据规律直接写出答案。 1.2÷3＝0.4        11.22÷33＝0.34           111.222÷333＝0.334 1111.2222÷3333＝（ ）            11111.22222÷33333＝（ ） 【答案】0.3334 0.33334 【分析】观察已知的三个算式发现：被除数是小数，整数部分是由1组成，小数部分是由2组成，1和2的个数依次递增1个；除数是由3组成，3的个数依次递增1个；所得的商是小数，整数部分是0，小数部分是由几个3和1个4组成，3的个数比除数3的个数少1；据此规律解答。 【解答】1.2÷3＝0.4 11.22÷33＝0.34 111.222÷333＝0.334 1111.2222÷3333＝0.3334 11111.22222÷33333＝0.33334 【考点十四】小数除法分段计费问题 【典型例题1】某市出租车行驶3千米以内（含3千米）的价格是8元，超出部分每千米付2.5元，付48元最多可以行驶多少千米？ 【答案】19千米 【分析】由题意可知，超出部分应付的车费＝总费用－3千米以内应付的车费，超出部分每千米付2.5元，根据“数量＝总价÷单价”求出超出3千米的路程，最后加上3千米求出最多可以行驶的路程。 【解答】（48－8）÷2.5＋3 ＝40÷2.5＋3 ＝16＋3 ＝19（千米） 答：付48元最多可以行驶19千米。 【典型例题2】水是生命之源。为引导居民节约用水，促进水资源可持续利用，自来水公司对居民用水采用“阶梯水价”分段计费。当用水量低于一定的阶梯标准时，按照较低的水价计费；当用水量达到或超过某个阶梯标准时，超过部分按照较高的水价计费。第一阶梯：0－15（含15）吨/月，水价为3元/吨；第二阶梯：15－23（含23）吨/月，水价为3.95元/吨；第三阶梯：23吨以上/月，水价为6.8元/吨。刘洋家上月交水费52.9元，他家上月用水多少吨？ 【答案】17吨 【分析】根据题意可知，先计算出第一阶梯的水费为15×3＝45元。刘洋家上月交水费52.9元，52.9＞45，说明水费进入第二阶梯，计算超出第一阶梯的水费和水量，即52.9－45＝7.9元，用超出的水费÷超出部分的水价＝超出的水量，最后用第一阶梯的水量＋超出的水量＝一共用水量。 【解答】根据分析可知， 第一阶梯的水费：15×3＝45（元） 超出第一阶梯的水费：52.9－45＝7.9（元） 超出的水量：7.9÷3.95＝2（吨） 一共用水量：15＋2＝17（吨） 答：他家上月用水17吨。 【典型例题3】小王妈妈去北京的旅游结束了，她想把买的特产和一些厚重的衣物寄回去。咨询快递公司收费标准如下： 收费项目 收费标准 1千克及以内收费 13元 超过1千克的部分（不足1千克按1千克计算） 6.5元/千克 小王的妈妈邮寄特产一共花253.5元，这些特产最重是多少千克？ 【答案】38千克 【分析】先根据“总费用－1千克内的收费”计算出超过1千克部分的费用，再用这部分费用除以“超过1千克后每千克的收费”，得到超出的重量，最后加上基础的1千克，就是总重量。 【解答】253.5－13＝240.5（元） 240.5÷6.5＝37（千克） 37＋1＝38（千克） 答：这些特产最重是38千克。 【典型例题4】小辰妈妈在中国移动营业厅办理了49元手机套餐，具体收费规则如下： ①套餐费49元/月，套餐内包含80分钟免费通话时长和20GB流量。 ②通话时长超出套餐的部分，按照0.19元/分钟收费（不足1分钟按1分钟算）；流量超出部分，按照0.02元/兆收费（不足1兆按1兆算）。 小辰的妈妈这个月手机总费用是52.04元，而且流量使用未超出套餐额度。你能帮小辰算出妈妈这个月的通话时长最多是多少分钟吗？ 【答案】96分钟 【分析】因为流量未超出套餐额度，所以总费用超出套餐费的部分仅来自通话时长超出套餐的收费，先计算出通话超出部分的费用，再用超出的费用除以每分钟收费标准，得到超出套餐的通话时长，再将套餐内免费时长与超出的时长相加即可。 【解答】（52.04－49）÷0.19＋16 ＝3.04÷0.19＋16 ＝80＋16 ＝96（分钟） 答：妈妈这个月的通话时长最多是96分钟。 一、选择题 1．淘气在计算1.25×1.6时，想到了多种方法，其中错误的是（    ）。 A．1.25×1.6＝1×1＋0.25×0.6 B．1.25×1.6＝（125×16）÷1000 C．1.25×1.6＝（1.25×8）×0.2 D．1.25×1.6＝1.25×（1＋0.6） 【答案】A 【分析】先计算1.25×1.6的正确结果，再分别验证各选项是否正确。 【解答】1.25×1.6＝2 A．1×1＋0.25×0.6＝1＋0.15＝1.15，和正确结果不相等，错误； B．（125×16）÷1000＝2000÷1000＝2，和正确结果相等，正确； C．（1.25×8）×0.2＝10×0.2＝2，和正确结果相等，正确； D．1.25×（1＋0.6）＝1.25×1.6，所以正确。 2．学校举办了“花儿朵朵”舞蹈比赛，七位评委给小敏的打分如下：8.9分、9.3分、9.3分、9.5分、9.0分、8.0分、9.7分，去掉一个最高分和一个最低分，小敏的最终平均得分是（    ）分。 A．9.2 B．9.1 C．9 D．8.9 【答案】A 【分析】先去掉打分中的最高分和最低分，再计算剩余分数的平均值即可。 【解答】最高分是9.7分，最低分是8.0分，去掉这两个分数后剩余5个有效分数。 有效分数总和：（分） 最终平均得分：（分） 3．0.29除以0.06的商是4，余数是（    ）。 A．5 B．0.5 C．0.05 D．0.005 【答案】C 【分析】在有余数的除法里，余数＝被除数－除数×商，代入数值计算即可。 【解答】 0.29除以0.06的商是4，余数是0.05。 4．19.8除以6.2商是3，余数是（    ）。 A．1.2 B．2 C．0.12 D．12 【答案】A 【分析】根据余数＝被除数－除数×商，用19.8减去6.2与3的积即可算出余数。 【解答】19.8－6.2×3 ＝19.8－18.6 ＝1.2 余数是1.2。 5．循环小数的小数点后第2025位是（    ）。 A．2 B．1 C．4 D．6 【答案】C 【分析】循环小数的小数部分中，不循环数字是“2”，占1位；循环节是“146”，占3位，据此用所求位数减去不循环部分的位数，再除以循环节的长度，根据余数来确定该位上的数字是循环节中的第几个数字，余数是几，就表示所求数字对应循环节中第几个数字。 【解答】2025−1＝2024 2024÷3＝674（组）……2 （个） 余数是2，对应循环节“146”中的第2个数字，即小数点后第2025位上的数字是4。 6．下列算式中结果最小的是（    ），结果最大的是（    ）。 A．11.2÷1.4；11.2×0.2 B．11.2÷0.2；11.2÷1.4 C．11.2×0.2；11.2÷0.2 D．1.12÷0.14；11.2÷1.4 【答案】C 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 小数乘法法则：（1）按整数乘法的法则先求出积；（2）看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 【解答】11.2÷1.4＝8；11.2×0.2＝2.24 11.2÷0.2＝56；1.12÷0.14＝8 56＞8＞2.24 算式中结果最小的是11.2×0.2＝2.24，结果最大的是11.2÷0.2＝56。 7．第138届广交会于2025年10月15日至11月4日在广州举行，期间机器狗成为展会的焦点之一，展示了其在服务、救援等领域的应用、一只机器狗0.4小时前进了0.8千米，算式0.4÷0.8表示的是（    ）。 A．前进1千米需要多少小时 B．0.1小时能前进多少千米 C．前进0.1千米需要多少小时 D．1小时能前进多少千米 【答案】A 【分析】在算式“0.4÷0.8”中，0.4表示时间，0.8千米表示0.4小时的路程，根据除法的意义可知，算式“0.4÷0.8”算的是机器狗前进1千米需要多少小时。 【解答】由分析可知，算式0.4÷0.8表示的是前进1千米需要多少小时。 8．光明停车场的收费标准如下表所示。一辆汽车的停车费是48元，那么它的停车时间可能是（    ）。 收费标准 2小时及以内12元； 超出2小时的部分，每小时9元 （不足1小时，按1小时计算）。 A．9：00～10：57 B．8：45－14：40 C．8：20～10：30 D．15：05－21：25 【答案】B 【分析】超过2小时的费用＝停车费－2小时及以内的费用；超过的时间＝超过2小时的费用÷超过部分的每小时收费；停车总时间＝超过的时间＋2；分别计算各选项的收费时长，判断是否与停车总时间相同。 【解答】 （小时） A．10：57－9：00＝1小时57分钟，按2小时收费，2≠6，该选项时间段不可能； B．14：40－8：45＝5小时55分钟，按6小时收费，6＝6，该选项时间段可能； C．10：30－8：20＝2小时10分钟，按3小时收费，3≠6，该选项时间段不可能； D．21：25－15：05＝6小时20分钟，按7小时收费，7≠6，该选项时间段不可能。 二、填空题 9．6.9×0.37的积是（ ）位小数；保留两位小数得（ ）；0.6÷11的商用循环小数表示是（ ）；精确到千分位是（ ）；23.5÷0.09的商的最高位是（ ）位。 【答案】3 2.55 0.055 百 【分析】积的小数位数是两个因数小数位数的和；计算6.9×0.37的积，保留两位小数，需看千分位上的数字；先计算0.6÷11的商，找出循环节，并用简便记法表示；精确到千分位，需看万分位上的数字；根据商不变的性质，将除数转化为整数，再判断被除数的前几位是否够除，从而确定商的最高位。 【解答】6.9是一位小数，0.37是两位小数，1＋2＝3，所以6.9×0.37的积是3位小数； 6.9×0.37＝2.553，千分位是 3，3＜5，舍去，所以保留两位小数得2.55； 0.6÷11＝0.05454……商的小数部分从百分位开始，“54”依次不断重复出现，循环节是 54， 用循环小数简便记法表示为；万分位是 5，向前一位进 1，千分位上的 4 变为 5，所以精确到千分位是 0.055； 23.5÷0.09，被除数和除数同时扩大 100 倍，转化为2350÷9， 被除数最高位千位上的 2 比除数 9 小，不够除； 看前两位 23，，够除，所以商的最高位写在被除数 2350 的百位上，即商的最高位是 百位。 因此，6.9×0.37的积是3位小数；保留两位小数得2.55；0.6÷11的商用循环小数表示是；精确到千分位是0.055；23.5÷0.09的商的最高位是百位。 10．如果将的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变成（ ），结果是（ ）。 【答案】 5.1 【分析】需要用小括号保证减法优先计算，再用中括号保证除法在乘法之前计算，即； 按指定顺序计算即可。 【解答】原式变成 算式变为，结果是5.1。 11．王阿姨用一卷长8米的丝带包装礼品，包1个大礼品盒需要1.2米丝带，包1个小礼品盒需要0.7米丝带。王阿姨包了1个大礼品盒后，剩下的丝带最多能包（ ）个小礼品盒，还剩（ ）米。 【答案】9 0.5 【分析】剩下的丝带长度＝丝带总长－包1个大礼品盒用去的丝带长度；用“去尾法”求剩下的丝带最多能包的小礼品盒个数：剩下的丝带长度÷包1个小礼品盒需要的丝带长度；剩下的丝带长度－包1个小礼品盒需要的丝带长度×包的小礼品盒个数＝包完小礼品盒还剩的丝带长度。 【解答】8－1.2＝6.8（米） 6.8÷0.7≈9（个） 6.8－0.7×9 ＝6.8－6.3 ＝0.5（米） 王阿姨包了1个大礼品盒后，剩下的丝带最多能包9个小礼品盒，还剩0.5米。 12．有一种纸杯蛋糕，做1个要用23g奶油，500g奶油最多可以做（ ）个这种蛋糕；五年级一班买了50个这样的纸杯蛋糕，每6个装一盒，至少要用（ ）个包装盒。 【答案】21 9 【分析】不管最后剩下多少g奶油，只要不够做1个纸杯蛋糕用奶油的重量，就不能做1个纸杯蛋糕，用奶油的重量÷1个纸杯蛋糕用奶油的重量，结果用“去尾法”解答。 不管最后剩下多少个纸杯蛋糕，只要不够装一盒，也要准备一个盒子，用纸杯蛋糕的数量÷一盒装纸杯蛋糕的数量，结果用“进一法”解答。 【解答】500÷23≈21（个） 50÷6≈9（个） 13．小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有（ ）千米。 【答案】7 【分析】起步价为10元（不超过3千米），小李一共付了18元，所以多出了8元，每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），用8÷2可求出多出的路程，加上起步的3千米可求出总路程。 【解答】（18－10）÷2 ＝8÷2 ＝4（千米） 4＋3＝7（千米） 所以小李学校到她家最多有7千米。 14．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 22.7×1.01（ ）22.7        32.9÷8.7（ ）32.9×8.7 13.4÷0.48（ ）13.4        26.8÷0.1÷12（ ）26.8÷1.2 【答案】＞ ＜ ＞ ＝ 【分析】①一个非零数乘一个大于1的数，乘积大于这个数本身； ②一个非零数除以一个大于1的数，商小于这个数本身； ③一个非零数除以一个小于1的数（0除外），商大于这个数本身； ④左边根据除法的性质添加小阔阿訇，先计算0.1与12的乘积，由此即可比较大小。 【解答】①1.01＞1，22.7×1.01＞22.7； ②8.7＞1，32.9÷8.7＜32.9，32.9×8.7＞32.9，即32.9÷8.7＜32.9×8.7； ③0.48＜1，即13.4÷0.48＞13.4； ④26.8÷0.1÷12＝26.8÷（0.1×12）＝26.8÷1.2，即26.8÷0.1÷12＝26.8÷1.2。 15．新能源汽车市场蓬勃发展，电池回收成为一项重要技术。某公司引入一项技术，每1千克废旧电池可提炼出0.25千克稀有金属。照这样计算，若要获得0.5千克稀有金属，至少需要处理（ ）千克废旧电池；现有4千克废旧电池，最多可提炼出（ ）千克稀有金属。 【答案】2 1 【分析】稀有金属质量÷每1千克废旧电池可提炼出的稀有金属质量＝获得相应稀有金属需要处理的废旧电池质量；废旧电池质量×每1千克废旧电池可提炼出的稀有金属质量＝提炼出的稀有金属质量。 【解答】0.5÷0.25＝2（千克） 4×0.25＝1（千克） 照这样计算，若要获得0.5千克稀有金属，至少需要处理2千克废旧电池；现有4千克废旧电池，最多可提炼出1千克稀有金属。 16．循环小数0.63535…的循环节是（ ），这个循环小数用“四舍五入”法保留两位小数约是（ ）。 【答案】35 0.64 【分析】（1）一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数就是循环小数，循环出现的数字就是循环节；找出0.63535…的小数部分重复出现的数字就是它的循环节； （2）保留两位小数：看千分位上的数字，这个数字如果小于5，则直接去掉百分位后面的数字，如果这个数字大于或等于5，则给百分位上的数字加1再去掉百分位后面的数字。 【解答】0.63535…≈0.64 循环小数0.63535…的循环节是35，这个循环小数用“四舍五入”法保留两位小数约是0.64。 三、计算题 17．直接写得数。 3.6÷0.6＝           12.5×0.8＝         0.4×50＝          0.35÷0.7＝          4.8÷4＝            0.2×0.13＝          87.5÷3.1≈          19.5×3.2≈         0.09×0.25×40＝ 【答案】6；10；20； 0.5；1.2；0.026； 29；60；0.9 18．用竖式计算。（带*要验算，带△的得数保留两位小数） 3.06×4.5＝        *8.1÷0.75＝        △16.65÷3.3≈ 【答案】13.77；10.8；5.05 【分析】（1）小数乘法先按整数乘法计算，计算时将末位数字对齐，再看两个因数一共有几位小数，从积的右边起数出几位，点上小数点，如果积的小数位数不够，前面补0；末尾有0的可以去掉。 （2）除数是小数的小数除法，要利用商不变的规律，先把除数变成整数（除数的小数点向右移几位，被除数的小数点也向右移几位，位数不够补0），接着按照整数除法的方法去计算，商的小数点和被除数的小数点对齐，被除数不够除补0继续除； 验算方法和整数除法一致，核心是利用“商×除数＝被除数”或“被除数÷商＝除数”，需注意小数点位置的对应。 （3）方法同上一步，结果保留两位小数，就要看小数点后第三位小数（千分位上的数），根据“四舍五入”法取舍。 【解答】3.06×4.5＝13.77    *8.1÷0.75＝10.8    △16.65÷3.3≈5.05    验算： 19．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.4×10.1                                  16.7÷0.25÷0.4 0.78×10.2－0.2×0.78              （4.5＋0.05）÷1.4 【答案】94.94；167 7.8；3.25 【分析】第一题将10.1改写（10＋0.1），再用乘法分配律进行简算，乘法分配律是， 第二题根据连续除以几个数等于除以这几个数的积的方法简算，第三题用乘法分配律进行简算，第四题先算加法，再算除法。 【解答】9.4×10.1 ＝9.4×（10＋0.1）            ＝9.4×10＋9.4×0.1          ＝94.94                  16.7÷0.25÷0.4 ＝16.7÷（0.25×0.4）         ＝16.7÷0.1               ＝167                   0.78×10.2－0.2×0.78 ＝0.78×（10.2－0.2）         ＝0.78×10               ＝7.8                   （4.5＋0.05）÷1.4 ＝4.55÷1.4              ＝3.25 四、解答题 20．鹏鹏一家到达喀什机场后，打车前往酒店。从机场到酒店路程约10千米，出租车的速度约为25千米/小时。请问鹏鹏一家多少分钟能到达酒店？ 【答案】24分钟 【分析】时间＝路程÷速度，用机场到酒店的路程除以出租车的速度求出需要的时间；1小时＝60分钟，再乘60将小时换算为分钟即可。 【解答】10÷25＝0.4（小时） 0.4×60＝24（分钟） 答：鹏鹏一家24分钟能到达酒店。 21．李老师带了200元去书店，计划为学校图书室购买单价为18元的字典。碰上书店的促销活动，他刚好可以买16本，促销后每本字典优惠多少钱？ 【答案】5.5元 【分析】先根据“总价÷数量＝单价”，用李老师带的200元除以促销后能购买的16本字典，求出促销后每本字典的单价，再用字典的原价18元减去促销后的单价，即可求出每本字典优惠的钱数。 【解答】200÷16＝12.5（元） 18－12.5＝5.5（元） 答：促销后每本字典优惠5.5元。 22．甲乙两站相距900千米，一列货车和一列客车分别从甲乙两站相对开出。货车每小时行80千米，经过4.5小时两车相遇，客车的速度是多少？ 【答案】120千米/时 【分析】根据相遇问题，先把总路程除以相遇时间，求出两车的速度和，再用速度和减去货车的速度，即可求出客车的速度。 【解答】900÷4.5＝200（千米/时） 200－80＝120（千米/时） 答：客车的速度是120千米/时。 23．漳江小学五（2）班同学参加桃花源研学活动，他们准备合影留念，洗印照片的收费标准如下： 洗印张数 收费标准 10张以内（含10张） 总价15元 超过10张的部分 每张1.2元 五（2）班洗印纪念照一共花了63元，他们一共洗印了多少张照片？ 【答案】 50张 【分析】超过10张部分的费用＝总费用－前10张的固定费用；超过10张的张数＝超过10张部分的费用÷超过部分的单价；洗印照片的总张数＝超过10张的张数＋10。 【解答】 （张） 答：他们一共洗印了50张照片。 24．近几年，新能源汽车倍受人们喜爱，核心源于“经济性、智能化、环保性与政策支持”四重驱动。阳阳家买了一辆新能源汽车并安装了充电桩，每小时充电量是7千瓦时，妈妈通常在谷时段充电（电价如下表所示），大约8小时可充满，最多可行驶400km。请你算一算，阳阳家的新能源汽车行驶1千米的费用约是多少元？（得数保留两位小数） 基础电价 峰谷电价 0.568元/千瓦时 峰时段8：00－22：00 谷时段22：00－次日8：00 0.63元/千瓦时 0.375元/千瓦时 【答案】 0.05元 【分析】根据每小时充电量和充电时间，计算充满电所需的总电量；根据题干信息“妈妈通常在谷时段充电”，从表格中查找对应的谷时段电价；利用总电量乘单价，计算充满电所需的总电费；利用总电费除以最大行驶里程，计算行驶1千米的费用；最后根据要求保留两位小数。 【解答】（千瓦时） 查表可知，谷时段电价为元/千瓦时。 （元） （元） （元） 答：阳阳家的新能源汽车行驶1千米的费用约是元。 25．计算42÷37，将结果用“四舍五入”法精确到小数点后第125位。 （1）第125位上的数字是多少？ （2）小数部分前125位各个数位上的数字和是多少？ 【答案】（1）4； （2）374 【分析】（1）先根据小数除法的计算方法计算可知：42÷37＝1.135135…，小数1.135135…从小数点后第一位开始每3个数字（135）为一个周期，据此用125÷3得到的余数是几，则原来第125位的数字就等于周期里的第几个数字，进而确定第125位的后一位上的数字是几，再根据“四舍五入”法确定“四舍五入”后第125位上的数字是几； （2）先用加法求出一组的3个数字之和是多少，再乘组数，最后加上多出的数即可求出小数部分前125位各个数位上的数字和。 【解答】（1）42÷37＝1.135135… 125÷3＝41（组）……2 因为余数是2，所以原来商的第125位上的数字是3，则第126位上的数字是5，所以“四舍五入”后第125位上的数字是3＋1＝4。 答：第125位上的数字是4。 （2）（1＋3＋5）×41＋1＋4 ＝9×41＋1＋4 ＝369＋1＋4 ＝374 答：小数部分前125位各个数位上的数字和是374。 26．五（1）班原有班费17.4元，卖掉废纸后又得到64.5元。他们能用这些钱买几盆绿植？ 【答案】9盆 【分析】原有班费17.4元，卖废纸后得到64.5元，所以总金额为17.4＋64.5＝81.9元。绿植原价13.2元，现价比原价每盆便宜4.2元，所以现价为13.2－4.2＝9元。根据“数量＝总价÷单价”，可得能购买的绿植数量为81.9÷9＝9.1盆。由于绿植盆数必须为整数，所以最多能买9盆。 【解答】（17.4＋64.5）÷（13.2－4.2） ＝81.9÷9 ＝9.1（盆） 因为绿植盆数必须为整数，所以向下取整为9盆。 答：他们能用这些钱买9盆绿植。 27．“智慧农场”的土豆试验田喜获丰收。第一块地收了620.5千克土豆，第二块地的产量是第一块的1.2倍。这两块地平均每平方米产土豆2.5千克，这两块地的总面积是多少平方米？ 【答案】546.04平方米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，第一块地收的质量×1.2＝第二块地收的质量，将两块地收的质量相加，求出这两块地收的总质量，这两块地收的总质量÷平均每平方米收的质量＝这两块地的总面积。 【解答】（620.5×1.2＋620.5）÷2.5 ＝（744.6＋620.5）÷2.5 ＝1365.1÷2.5 ＝546.04（平方米） 答：这两块地的总面积是546.04平方米。 28．下图是东东的妈妈在某超市购买的水果小票。小票部分位置有些涂改，信息不全了。 （1）仔细观察小票，算一算，哪种水果的单价最便宜？ （2）东东的妈妈要在这个超市买3千克花牛苹果和3.5千克砂糖橘，按照小票中的价格，带80元够吗？ （3）请你再提出一个数学问题并解答。 【答案】（1）红心蜜柚 （2）够 （3）东东妈买砂糖橘总共花了多少钱？；6.72元 【分析】（1）要判断哪种水果单价最便宜，需要先根据小票上的金额和重量，用公式，分别算出三种水果的单价，再把三个单价从小到大比较，数值最小的就是单价最便宜的水果。 （2）要判断带80元够不够，需要先根据三种水果的单价，用公式，分别算出3千克花牛苹果和3.5千克砂糖橘各自的总价，再把两个总价相加得到总花费，最后用总花费和80元比较：如果总花费小于等于80元，就够；如果大于80元，就不够。 （3）根据小票上的已知信息（重量、单价、金额、合计等），提出一个用乘法、除法或加减法就能解决的数学问题，再按照对应的数量关系列式计算并解答即可（示例问题围绕砂糖橘的总花费，用计算）。 【解答】（1）砂糖橘单价：12元/千克 红心蜜柚单价：15.92÷2＝7.96 （元/千克） 花牛苹果单价：49÷5＝9.8 （元/千克） 7.96＜9.8＜12 答：红心蜜柚单价最便宜。 （2）9.8×3＋12×3.5 ＝29.4＋42 ＝71.4 （元） 答：71.4＜80，带80元够。 （3）东东妈买砂糖橘总共花了多少钱？（答案不唯一） 0.56×12＝6.72（元） 答：东东妈买砂糖橘总共花了6.72元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 2 一、基础运算模块 2 二、商的规律模块 2 三、运算定律适配模块 3 四、估算 3 五、循环小数 4 六、分段计费应用模块 5 典型例题 5 【考点一】小数除法口算 5 【考点二】小数除法竖式计算 6 【考点三】小数四则混合运算 7 【考点四】除数是整数的小数除法 8 【考点五】除数是小数的小数除法 9 【考点六】循环小数的认识 10 【考点七】循环小数的比较大小 11 【考点八】被除数和商的大小关系 12 【考点九】连续除法及乘除混合运算 13 【考点十】商的近似数 14 【考点十一】进一法和去尾法 15 【考点十二】小数四则混合运算的认识及应用 16 【考点十三】用计算器探索规律 17 【考点十四】小数除法分段计费问题 19 综合训练 20 一、基础运算模块 1、除数是整数的小数除法：按整数除法规则计算，商的小数点和被除数的小数点严格对齐；整数部分不够除先在商的个位补0占位，除到被除数末尾有余数就在余数后补0继续运算。 2、一个数除以小数：依据商不变性质，把除数转化为整数，被除数同步移动相同位数的小数点，位数不足时末尾补0，再按除数是整数的规则计算。 3、小数除法的本质是已知两个因数的积和其中一个非0因数，求另一个因数的运算，比如7.2÷0.9，既可以表示7.2里包含多少个0.9，也对应已知积7.2和因数0.9求另一个因数。 二、商的规律模块 1、核心规律：一个数（0除外）除以大于1的数，商比原数小；除以等于1的数，商和原数相等；除以小于1且不为0的数，商比原数大。 特殊说明：必须标注“0除外”，0不能作为除数，0除以任何非0数结果都为0，不受上述规律影响。 2、实用场景：可直接不计算快速比较商和被除数的大小，预判小数除法结果是否合理，比如直接判断“25.6÷0.8的商小于25.6”是错误结论。 三、运算定律适配模块 1、整数除法的运算性质在小数除法中完全适用，可大幅简化部分复杂小数除法的计算步骤。 2、连除交换性质：a÷b÷c = a÷c÷b，可调整连除中除数的计算顺序，优先把能凑整的组合先算。 3、连除变乘性质：a÷b÷c = a÷(b×c)，把两个除数相乘凑整后，再用被除数除以这个整数值简化运算。 4、简便运算实用技巧： 连除场景：优先用连除变乘性质，把两个除数凑成整数后再计算，比如1.2÷0.25÷4，转化为1.2÷(0.25×4)=1.2÷1=1.2。 5、拆分除数场景：把复杂除数拆成两个简单数的乘积，再用连除性质分步计算，降低运算难度。 四、估算 1、用四舍五入计算商的近似数。 2、估算解决问题 1、核心用途：无需精确计算，快速判断“钱够不够”“容器能不能装下所有物品”这类实际问题，大幅降低计算量。 2、两种解决问题的方法。 ‌进一法‌：小数除法算出商后，无论小数部分是多少，都向前一位进1取整数，最终结果比准确数大。用于求“至少需要几个”的场景，比如至少需要几辆车运完货物、至少需要几个箱子装下物品，剩余部分哪怕不足1个单位也必须多占用1个容器。 ‌去尾法‌：小数除法算出商后，无论小数部分是多少，直接舍去小数部分只保留整数，最终结果比准确数小。用于求“最多能做几个”的场景，比如最多能做多少套衣服、最多能买几本书，剩余材料或金额不足以完成1个完整物品时，必须直接舍去。 3、关键注意点：不能随意四舍五入，要结合问题场景选择估算方向，避免估算结果和实际情况偏差出错。 五、循环小数 1、循环小数的分类。 按小数部分的位数划分： 有限小数：小数部分的位数是有限的，如0.5、1.25。 无限小数：小数部分的位数是无限的，包括循环小数和无限不循环小数（如3.1415926....） 2、循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。 例：0.333...、5.32727....都是循环小数。 3、循环节 循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。 例：0.333.....的循环节是3：5.32727.....的循环节是27。 4、简便写法 写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 六、分段计费应用模块 1、核心逻辑：总用量按不同区间拆分，各区间计费标准不同，结合小数除法反向推导对应用量，常见场景有出租车计费反算里程、阶梯水费反算用水量等。 2、两类基础题型： 正求单位用量：已知总费用和分段规则，先扣除首段基础费用，用剩余费用除以高阶单价算出超出部分用量，两段相加得到总用量。 反算最大用量：结合“进一法”处理小数部分，用总费用反向推导可支持的最大使用量。 3、关键操作细节：遇到“不足1单位按1单位计算”规则，先对小数部分用进一法取整，再代入对应区间完成小数除法运算。 【考点一】小数除法口算 【典型例题1】直接写出得数。 1.5＋2.3＝    4.8－1.4＝    2.5×0.4＝    1.3×11＝ 40×0.5＝    2.9＋3.1＝    356×0.01＝    2.8÷0.1＝ 【典型例题2】直接写得数。 1.25×8＝           0.25×4＝             3.6÷0.36＝          0.3×0.04＝ 0÷23.56＝          7.1×1000＝           5.4÷0.1＝           0.63÷9＝ 【典型例题3】直接写得数。 0.6×0.4＝        4.8÷0.6＝        8.5×0.6＝        72.9÷9＝        0.64÷0.8＝ 12.5×8＝        0.9÷0.1＝        0.01×100＝        1÷3＝        4.5÷2.5＝ 【典型例题4】直接写得数。 2.3×0.3＝      1.8×0.5＝      0.6×0.8＝      3.1×0.3＝       0.12×6＝ 0.9÷3＝       0.45÷15＝      2.5÷0.5＝      5.1÷1.7＝      9.8÷0.7＝ 【考点二】小数除法竖式计算 【典型例题1】用竖式计算，带★的要验算。 5.8×2.05＝    6.21÷0.27＝    ★10.8÷4.5＝ 【典型例题2】竖式计算。 9.65×0.18＝    8.25÷2.5＝    25.5÷0.75＝ 【典型例题3】列竖式计算。（带★的要验算，除不尽的得数保留两位小数）             ★         【典型例题4】竖式计算。         （结果用循环小数表示） 【考点三】小数四则混合运算 【典型例题1】计算下面各题，怎样简便就怎样计算。 0.78×98    1.6×7.5×1.25 2.07÷0.23÷0.45    1.08×0.8÷0.27 【典型例题2】计算下面各题，能简算的要简算。 73.8÷1.25÷0.8         0.72×8.5＋0.28×8.5          （17.22－1.4×7.8）÷6 【典型例题3】脱式计算，能简算的要简算。 15.7×8＋157×0.2                            68÷0.25÷0.4 18.5＋11.5÷0.05                            2.4×[（10－6.2）÷7.6] 【典型例题4】计算下面各题，怎样简便就怎样算。 1.45×1.8÷4.5         3.65×0.84＋36.5×0.016 2.87÷1.25÷0.8       （35.56÷6.35－3.45）×3.46 【考点四】除数是整数的小数除法 【典型例题1】下面四个算式中，结果大于1的是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】高速上有一种测速方式是区间测速，经过测量同一辆车经过同一路段两个测速点的时间差，来计算在此期间这辆车的平均速度。李叔叔开车经过某个区间测速路段，长度30千米，最高时速120千米/每小时，李叔叔所用时间至少（    ）才不会超速。 A．大于12分钟 B．大于15分钟 C．小于12分钟 D．小于15分钟 【典型例题3】根据法律规定，年满12周岁才可在道路上骑行自行车。小青今年13周岁，准备利用周末骑行去离家6千米的梅花山。他早上8：00从家出发，以12千米/时的速度骑行，需要（ ）分钟才能到达；如果中途休息10分钟，那么到达时是上午（ ）：（ ）。 【典型例题4】妈妈去超市买牛奶，A品牌牛奶4盒装售价48.8元，B品牌牛奶6盒装售价70.2元。请你算一算，哪种品牌的牛奶单价更便宜？每盒便宜多少钱？ 【考点五】除数是小数的小数除法 【典型例题1】与得数相同的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【典型例题2】近年来，“港人北上”消费热潮持续升温。某香港家庭用餐支付了452.4元人民币，按当日汇率1港元约兑换0.87元人民币进行折算，该家庭实际支付（    ）港元。 A．520 B．500 C．400 D．393.5 【典型例题3】2025年春节联欢晚会上，宇树H1机器人“福兮”手臂转动一圈只需0.8秒，40秒能转动多少圈？ 【典型例题4】在一场大型赛事中，主办方计划制作294个纸质号码牌，安排甲、乙两个团队同时开始制作。经过1.5时，完成全部号码牌制作。甲团队每时制作95个号码牌，乙团队每时制作多少个号码牌？ 【考点六】循环小数的认识 【典型例题1】3.1÷0.74的商的小数点后面第2024位上的数字是（    ）。 A．4 B．2 C．8 D．5 【典型例题2】（如图）乐乐正在计算一道除法竖式题，这道题的计算结果是（    ）。 A．4.45 B． C． D．4.454 【典型例题3】0.2575757…的循环节是（ ），小数部分的第100位上的数是（ ），前100位的数字之和是（ ）。 【典型例题4】计算6.9÷3.3时，它的商用简便形式写成（ ），保留两位小数约是（ ），商的小数点后面第79位上的数字是（ ）。 【考点七】循环小数的比较大小 【典型例题1】下面各数中，循环小数是（    ）。 A．3.1415926… B．2.323232 C．1.333… D．0.182436 【典型例题2】下面各数中，最大的数是（    ）。 A．3.1415926 B．3.1415926… C．3.1415 【典型例题3】在5.91，，，5.191212，5.18276…中有限小数有（ ），无限小数有（ ），循环小数有（ ），最大的数是（ ）。 【典型例题4】在7.237237…，3.77856…，0.3838，，，6，8.36666…，0.0007中，有限小数有（ ）个，无限小数有（ ）个，循环小数有（ ）个。 【考点八】被除数和商的大小关系 【典型例题1】如果甲×1.5＝乙÷1.5（甲、乙均不为0），那么（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 【典型例题2】在下面的括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 0.82×1.2（ ）0.82                     24.5÷1.5（ ）24.5 0.24×100（ ）240×0.1                 6.29÷0.1（ ）6.29 【典型例题3】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 3.06÷0.1（ ）3.06×0.1     0.05（ ）0.05÷0.5   1.7×1.25（ ）1.7÷0.8 【典型例题4】在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 1.2×0.7（ ）0.7        4.6÷1.3（ ）4.6        7.6×0.1（ ）7.6÷0.1 【考点九】连续除法及乘除混合运算 【典型例题1】某公司的4台编织机8.5小时编织了9.52km彩绳，平均每台编织机每小时编织（ ）km彩绳。 【典型例题2】古法酿酒依赖自然环境和手工经验，酒质纯净，是中国传统技艺的重要组成部分。李爷爷使用3.6千克糯米酿造了2.4升米酒，照这样计算，李爷爷酿造7升米酒需要（ ）千克糯米。 【典型例题3】某农场引进了4台同型号的耕地机，经过测试，4台耕地机同时工作，2.5小时可以耕完5.25公顷土地。平均每台耕地机每小时耕地多少公顷？ 【典型例题4】普洱茶，云南省特产，中国国家地理标志产品。普洱茶具有降低血脂、减肥、抑菌助消化等多种功效，深受大众喜爱。普洱茶叶200克售价42元，赵叔叔要买1.3千克普洱茶叶，应付多少元？ 【考点十】商的近似数 【典型例题1】同一种毛巾，甲超市卖13元2条，乙超市卖19元3条，丙超市卖35元6条，（    ）超市卖得最便宜。 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 【典型例题2】篮球社团8名同学进行投篮训练，他们投中次数分别是：6、8、7、12、10、2、8、11，将这组数据去掉一个最大数与最小数后的平均数是（ ）。（得数保留一位小数） 【典型例题3】石家庄到唐山的高速公路大约长420千米，唐山到承德的高速公路大约长190千米。爸爸开车由石家庄出发到唐山，当行驶到唐山时用了5小时15分。照这样的速度，爸爸由唐山到承德大约需要多长时间？（得数保留一位小数） 【典型例题4】有一批货物，计划每小时运22.5吨，7小时可以运完，实际只用5.5小时就运完了。实际每小时运了多少吨？（得数保留两位小数。） 【考点十一】进一法和去尾法 【典型例题1】果农们要将68.4kg的大泽甜橙装进纸箱，每个纸箱最多可以装4.5kg大泽甜橙。装这些大泽甜橙至少需要准备（    ）个这样的纸箱。 A．15 B．15.2 C．16 D．17 【典型例题2】做一套衣服用布2.7m，50m布最多可以做（    ）套衣服。 A．19 B．18 C．17 D．20 【典型例题3】张伯伯准备将已收割的8400千克稻谷拉到干净、干燥的场地上晾晒，已经用三辆小型货车拉走了7500千克稻谷，剩下的准备用袋装，一袋可以装42千克，张伯伯至少需要准备多少个这样的袋子？ 【典型例题4】李老师准备去体育用品商店购买单价为75.4元的某品牌篮球，他正好带了够买15个该品牌篮球的钱数。恰逢元旦优惠促销活动，该品牌篮球单价降为68.9元，李老师可以多买几个篮球？ 【考点十二】小数四则混合运算的认识及应用 【典型例题1】小明在文具店买了2个文具盒和4个笔记本，共花了31元，已知笔记本每本3.5元，文具盒每个多少元？列式正确的是（    ）。 A．31÷2÷4 B．31－3.5×4÷2 C．（31－3.5×4）÷2 D．（31－3.5）×4÷2 【典型例题2】李老师给全班每名学生准备了3本练习本，每本练习本1.8元，总共花了205.2元。这个班共有多少名学生？ 【典型例题3】2024年青岛肉蛋奶产量118.7万吨，粮食总产量比肉蛋奶产量的3倍少34.7万吨，粮食全年产量是多少万吨？ 【典型例题4】王阿姨带100元去超市购物。她买了2箱牛奶，每箱35.8元；又买了3包纸巾，每包6.5元。剩下的钱还够买一桶15元的食用油吗？ 【考点十三】用计算器探索规律 【典型例题1】聪聪用计算器计算下面的题：1÷9.9＝0.10101……，2÷9.9＝0.20202……，3÷9.9＝0.30303……，根据这个规律7÷9.9＝（    ）。 A．0.40404…… B．0.60606…… C．0.70707…… D．0.80808…… 【典型例题2】仔细观察下面几个算式的规律，7÷11的得数应是（    ）。 1÷11＝0.0909…  2÷11＝0.1818…  3÷11＝0.2727… 4÷11＝0.3636… A．0.4545… B．0.5454… C．0.6363… D．0.7272… 【典型例题3】李洋用计算器计算了4道除法算式（如图）： …… 请你根据发现的规律完成填空。 （1）______。 （2）______ 【典型例题4】根据规律直接写出答案。 1.2÷3＝0.4        11.22÷33＝0.34           111.222÷333＝0.334 1111.2222÷3333＝（ ）            11111.22222÷33333＝（ ） 【考点十四】小数除法分段计费问题 【典型例题1】某市出租车行驶3千米以内（含3千米）的价格是8元，超出部分每千米付2.5元，付48元最多可以行驶多少千米？ 【典型例题2】水是生命之源。为引导居民节约用水，促进水资源可持续利用，自来水公司对居民用水采用“阶梯水价”分段计费。当用水量低于一定的阶梯标准时，按照较低的水价计费；当用水量达到或超过某个阶梯标准时，超过部分按照较高的水价计费。第一阶梯：0－15（含15）吨/月，水价为3元/吨；第二阶梯：15－23（含23）吨/月，水价为3.95元/吨；第三阶梯：23吨以上/月，水价为6.8元/吨。刘洋家上月交水费52.9元，他家上月用水多少吨？ 【典型例题3】小王妈妈去北京的旅游结束了，她想把买的特产和一些厚重的衣物寄回去。咨询快递公司收费标准如下： 收费项目 收费标准 1千克及以内收费 13元 超过1千克的部分（不足1千克按1千克计算） 6.5元/千克 小王的妈妈邮寄特产一共花253.5元，这些特产最重是多少千克？ 【典型例题4】小辰妈妈在中国移动营业厅办理了49元手机套餐，具体收费规则如下： ①套餐费49元/月，套餐内包含80分钟免费通话时长和20GB流量。 ②通话时长超出套餐的部分，按照0.19元/分钟收费（不足1分钟按1分钟算）；流量超出部分，按照0.02元/兆收费（不足1兆按1兆算）。 小辰的妈妈这个月手机总费用是52.04元，而且流量使用未超出套餐额度。你能帮小辰算出妈妈这个月的通话时长最多是多少分钟吗？ 一、选择题 1．淘气在计算1.25×1.6时，想到了多种方法，其中错误的是（    ）。 A．1.25×1.6＝1×1＋0.25×0.6 B．1.25×1.6＝（125×16）÷1000 C．1.25×1.6＝（1.25×8）×0.2 D．1.25×1.6＝1.25×（1＋0.6） 2．学校举办了“花儿朵朵”舞蹈比赛，七位评委给小敏的打分如下：8.9分、9.3分、9.3分、9.5分、9.0分、8.0分、9.7分，去掉一个最高分和一个最低分，小敏的最终平均得分是（    ）分。 A．9.2 B．9.1 C．9 D．8.9 3．0.29除以0.06的商是4，余数是（    ）。 A．5 B．0.5 C．0.05 D．0.005 4．19.8除以6.2商是3，余数是（    ）。 A．1.2 B．2 C．0.12 D．12 5．循环小数的小数点后第2025位是（    ）。 A．2 B．1 C．4 D．6 6．下列算式中结果最小的是（    ），结果最大的是（    ）。 A．11.2÷1.4；11.2×0.2 B．11.2÷0.2；11.2÷1.4 C．11.2×0.2；11.2÷0.2 D．1.12÷0.14；11.2÷1.4 7．第138届广交会于2025年10月15日至11月4日在广州举行，期间机器狗成为展会的焦点之一，展示了其在服务、救援等领域的应用、一只机器狗0.4小时前进了0.8千米，算式0.4÷0.8表示的是（    ）。 A．前进1千米需要多少小时 B．0.1小时能前进多少千米 C．前进0.1千米需要多少小时 D．1小时能前进多少千米 8．光明停车场的收费标准如下表所示。一辆汽车的停车费是48元，那么它的停车时间可能是（    ）。 收费标准 2小时及以内12元； 超出2小时的部分，每小时9元 （不足1小时，按1小时计算）。 A．9：00～10：57 B．8：45－14：40 C．8：20～10：30 D．15：05－21：25 二、填空题 9．6.9×0.37的积是（ ）位小数；保留两位小数得（ ）；0.6÷11的商用循环小数表示是（ ）；精确到千分位是（ ）；23.5÷0.09的商的最高位是（ ）位。 10．如果将的运算顺序改为先算减法，再算除法，最后算乘法，则算式变成（ ），结果是（ ）。 11．王阿姨用一卷长8米的丝带包装礼品，包1个大礼品盒需要1.2米丝带，包1个小礼品盒需要0.7米丝带。王阿姨包了1个大礼品盒后，剩下的丝带最多能包（ ）个小礼品盒，还剩（ ）米。 12．有一种纸杯蛋糕，做1个要用23g奶油，500g奶油最多可以做（ ）个这种蛋糕；五年级一班买了50个这样的纸杯蛋糕，每6个装一盒，至少要用（ ）个包装盒。 13．小李同学从学校打出租车回家，起步价为10元（不超过3千米），之后每多1千米增加2元（不足1千米按1千米计算），小李一共付了18元，则小李学校到她家最多有（ ）千米。 14．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 22.7×1.01（ ）22.7        32.9÷8.7（ ）32.9×8.7 13.4÷0.48（ ）13.4        26.8÷0.1÷12（ ）26.8÷1.2 15．新能源汽车市场蓬勃发展，电池回收成为一项重要技术。某公司引入一项技术，每1千克废旧电池可提炼出0.25千克稀有金属。照这样计算，若要获得0.5千克稀有金属，至少需要处理（ ）千克废旧电池；现有4千克废旧电池，最多可提炼出（ ）千克稀有金属。 16．循环小数0.63535…的循环节是（ ），这个循环小数用“四舍五入”法保留两位小数约是（ ）。 三、计算题 17．直接写得数。 3.6÷0.6＝           12.5×0.8＝         0.4×50＝          0.35÷0.7＝          4.8÷4＝            0.2×0.13＝          87.5÷3.1≈          19.5×3.2≈         0.09×0.25×40＝ 18．用竖式计算。（带*要验算，带△的得数保留两位小数） 3.06×4.5＝        *8.1÷0.75＝        △16.65÷3.3≈ 19．计算下面各题，怎样简便就怎样算。 9.4×10.1                                  16.7÷0.25÷0.4 0.78×10.2－0.2×0.78              （4.5＋0.05）÷1.4 四、解答题 20．鹏鹏一家到达喀什机场后，打车前往酒店。从机场到酒店路程约10千米，出租车的速度约为25千米/小时。请问鹏鹏一家多少分钟能到达酒店？ 21．李老师带了200元去书店，计划为学校图书室购买单价为18元的字典。碰上书店的促销活动，他刚好可以买16本，促销后每本字典优惠多少钱？ 22．甲乙两站相距900千米，一列货车和一列客车分别从甲乙两站相对开出。货车每小时行80千米，经过4.5小时两车相遇，客车的速度是多少？ 23．漳江小学五（2）班同学参加桃花源研学活动，他们准备合影留念，洗印照片的收费标准如下： 洗印张数 收费标准 10张以内（含10张） 总价15元 超过10张的部分 每张1.2元 五（2）班洗印纪念照一共花了63元，他们一共洗印了多少张照片？ 24．近几年，新能源汽车倍受人们喜爱，核心源于“经济性、智能化、环保性与政策支持”四重驱动。阳阳家买了一辆新能源汽车并安装了充电桩，每小时充电量是7千瓦时，妈妈通常在谷时段充电（电价如下表所示），大约8小时可充满，最多可行驶400km。请你算一算，阳阳家的新能源汽车行驶1千米的费用约是多少元？（得数保留两位小数） 基础电价 峰谷电价 0.568元/千瓦时 峰时段8：00－22：00 谷时段22：00－次日8：00 0.63元/千瓦时 0.375元/千瓦时 25．计算42÷37，将结果用“四舍五入”法精确到小数点后第125位。 （1）第125位上的数字是多少？ （2）小数部分前125位各个数位上的数字和是多少？ 26．五（1）班原有班费17.4元，卖掉废纸后又得到64.5元。他们能用这些钱买几盆绿植？ 27．“智慧农场”的土豆试验田喜获丰收。第一块地收了620.5千克土豆，第二块地的产量是第一块的1.2倍。这两块地平均每平方米产土豆2.5千克，这两块地的总面积是多少平方米？ 28．下图是东东的妈妈在某超市购买的水果小票。小票部分位置有些涂改，信息不全了。 （1）仔细观察小票，算一算，哪种水果的单价最便宜？ （2）东东的妈妈要在这个超市买3千克花牛苹果和3.5千克砂糖橘，按照小票中的价格，带80元够吗？ （3）请你再提出一个数学问题并解答。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $