第六章 课时作业5 递推数列-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 递推数列专项训练聚焦通项公式与性质，通过构造法、累加法等系统方法，结合精选典例构建从递推关系到数列应用的逻辑链条，培养推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选6题、填空3题|构造法（等比/等差数列）、累加法、周期数列识别|从递推关系式（如aₙ₊₁=paₙ+q）出发，变形转化为等差/等比数列，结合Sₙ定义推导通项| |综合判断|多选3题|递推关系变形、数列性质分析|通过递推式变形判断新数列类型（如等比、等差），深化对数列内在联系的理解| |深化拓展|解答2题|等比数列证明、递推公式推导与求和|综合应用构造法证明数列类型，结合错位相减等方法实现从递推到求和的完整逻辑链|

课时5 递推数列 一、单选题 1．在数列中，，，，那么 A．-3 B．3 C．2 D．1 2．（2026·天津模拟）在数列中，若（），则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．27 3、设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an，则a7＝(　 　) A．65 B．127 C．129 D．255 4．已知数列{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＝Sn＋，则S4的值为(　 　) A．9 B．21 C．45 D．93 5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a34＝(　 　) A． B． C． D．100 6、已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，则{an}中最小的一项是(　 　) A．a2 B．a3 C．a4 D．a5 二、多选题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋2＝an＋1＋2an，若a1＝a2≠0，则有(　 　) A．{an＋1－2an}是等比数列 B．{an＋2－an}是等比数列 C．{Sn＋1－2Sn}是等差数列 D．{a2n＋1－S2n}是等差数列 8．已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的有(　 　) A．若a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则a3＝7 B．若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则a4＝53 C．若Sn＝3n＋，则数列{an}是等比数列 D．若a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则a5＝ 9. （2026秋·江苏无锡市高三期中）设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数，都有，，称是“数列”．下列结论正确的有（ ） A. 若是首项为1、公差为2的等差数列，则是“3－数列” B. 若是“2－数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是4 D. 任给，若，且，则是“数列” 三、填空题 10．若数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式为an＝_ __． 11、(2026·山东淄博市期中)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1，则数列{an}的通项公式为__ __． 12、(2026·安徽阜阳市统考)记数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2,2an＋1－3an＝2n，则＝__ _． 四、解答题 13．（2026·河北衡水中学期末）已知数列和满足，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 14．(2026·广东韶关市模拟节选)观察下面的图形及相应的点数. (1)写出图中点数构成的数列的一个递推公式；并根据这个递推公式，求数列的通项公式； (2)若是数列的前项和，证明：. 课时5 递推数列参考答案 1．C【解析】由题意，得，，，，，…由此发现数列是以6为周期的数列，又，所以.故选C. 2．D【解析】当时，；当时，，所以；当时，，所以.故选D. 3、B【解析】 当n＝1时，a1＋1＝2a1，则a1＝1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以an＋1＝2(an－1＋1).又a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a7＋1＝2×26＝27＝128，所以a7＝127．故选B. 4．C【解析】由an＝Sn＋，得Sn－Sn－1＝Sn＋(n≥2)，整理得Sn＋3＝2(Sn－1＋3)．又a1＝S1＋，所以S1＝a1＝3，故数列{Sn＋3}是以6为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＋3＝6×2n－1，即Sn＝3×2n－3，所以S4＝3×24－3＝45．故选C. 5．C【解析】因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝3＋，即－＝3，所以是以1为首项，3为公差的等差数列，所以＝1＋3(n－1)＝3n－2，则an＝，所以a34＝＝．故选C. 6、B【解析】由an＋1＝an＋2n－1，得－＝1，所以数列是以＝－3为首项，1为公差的等差数列，即＝－3＋(n－1)·1，从而an＝(2n－3)(n－4)，所以a2＝－2，a3＝－3，显然当n≥4，n∈N*时，an≥0，因此{an}中最小的一项是a3．故选B. 7．ABD【解析】对于选项A，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋2－2an＋1＝an＋1＋2an－2an＋1＝－(an＋1－2an)，且a2－2a1＝－a1，所以{an＋1－2an}是以－a1为首项，－1为公比的等比数列，所以A正确； 对于选项B，由an＋2＝an＋1＋2an，得an＋3－an＋1＝an＋2＋an＋1＝2(an＋2－an)，且a3－a1＝a2＋a1＝2a1，所以数列{an＋2－an}是首项为2a1，公比为2的等比数列，所以B正确； 对于选项C，由an＋2＝an＋1＋2an，可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn＋1－Sn＋2(Sn－Sn－1)(n≥2)，即n≥2时，Sn＋2－2Sn＋1＝Sn－2Sn－1，又S2－2S1＝0，S3－2S2＝a1，所以{Sn＋1－2Sn}的奇数项均为0，偶数项均为a1，又S3－2S2≠(S2－2S1)＋(S4－2S3)，所以{Sn＋1－2Sn}不是等差数列，所以C错误； 对于选项D，由an＋2＝an＋1＋2an，可得an＋2－an＝an＋1＋an，即a1＋a2＝a3－a1，a3＋a4＝a5－a3，a5＋a6＝a7－a5，…，a2n－1＋a2n＝a2n＋1－a2n－1，累加得S2n＝a2n＋1－a1，即a2n＋1－S2n＝a1为常数，则{a2n＋1－S2n}是等差数列，所以D正确．故选ABD. 8． AB【解析】对于选项A，由a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，得a2＝a1＋2＝4，a3＝a2＋3＝7，故A正确； 对于选项B，由a1＝1，an＋1＝3an＋2，得an＋1＋1＝3(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列，则an＋1＝2×3n－1，即an＝2×3n－1－1，所以a4＝2×33－1＝53，故B正确； 对于选项C，由Sn＝3n＋，得a1＝S1＝，a2＝S2－S1＝6，a3＝S3－S2＝18，显然a≠a1a3，所以数列{an}不是等比数列，故C错误； 对于选项D，由an＋1＝，可得－＝，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝，则＝＝3，即a5＝，故D错误．故选AB. 9、ABC【解析】对于选项A，若是首项为1公差为2的等差数列，则，所以，，，所以，所以是“3－数列”，正确. 对于选项B，若是“2－数列”，则，所以，，所以，假设时，有，则时，，所以，综上，，正确. 对于选项C，因为，所以，，若是“数列”，则，即，所以，时，，不合题意； ，时，，不合题意；，时，，不合题意；时，恒成立，所以的最小值是4，正确. 对于选项D，，，，取， 时，，不满足恒成立，错误.故选ABC. 10．2n－1【解析】因为an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，即an＝2n－1． 11、an＝n·2n【解析】由an＋1－2an＝2n＋1，得－＝1，故为等差数列，公差为1，首项为1，所以＝1＋(n－1)＝n，所以an＝n·2n． 12、【解析】由2an＋1－3an＝2n，得＝×＋1，则－4＝.又－4＝0，所以＝4，则an＝2n，a8＝28，S8＝＝29－2，故＝＝． 13．(1)【证明】由，，两式相减，得 ，，则，所以是等比数列. (2)【解】由，，两式相加，得， 即.因为，所以，由（1）知 ，所以，所以的前项和 . 14．（1）【解】由题可得，，，，可得，，，…所以数列的递推公式为，，； ，所以数列的通项公式为，. （2）【证明】由（1）知，， .，，所以. . 学科网（北京）股份有限公司 $