专题3.2 一元二次方程的解法（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的解法，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的原理与步骤，构建从解法原理到灵活应用的学习支架，涵盖知识点解析、即学即练及多题型分类。 资料以“原理推导-方法对比-综合应用”为主线，通过配方法推导求根公式培养推理意识，不同解法适用特征辨析提升运算能力，新定义问题设计发展创新意识。课中助力教师系统授课，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题3.2一元二次方程的解法 内容总览 1.教学目标、教学重难点 知识点01配方法 知识点02公式法 2知识清单 知识点03因式分解法 题型01直接开平方法解一元二次方程 题型02配方法解一元二次方程 元二次方程的解法 题型03配方法的应用 题型04公式法解一元二次方程 3.题型精讲 题型05因式分解法解一元二次方程 题型06换元法解一元二次方程 题型07解一元二次方程中的新定义型问题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的原理，掌握各类解法基本步 骤，能够规范求解数字系数一元二次方程。 2. 经历配方法推导求根公式的过程，体会“降次”转化思想，能利用根的判别式判 教学目标 断一元二次方程实数根的情况。 3.对比四种解法的适用特征，能根据方程形式灵活选择简便解法，提升运算能力， 养成细致验算、规范书写的解题习惯。 1.重点 教学重难点 (1)熟练运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，牢记各类解法解题流 程，准确运用求根公式，规范书写解题步骤。 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)学会辨析方程结构特点，合理选择最优解法：掌握根的判别式的运用，能借助 判别式判断方程有无实数根，夯实方程运算基础。 2.难点 (1)理解配方法的转化思想，熟练处理二次项系数不为1时的配方变形，容易出现配 方漏加常数、忽略正负平方根等典型错误。 (2)综合辨析不同解法的适用条件，灵活选用方法解题；运用判别式解决含参数问 题，准确区分各类解法优劣，克服思维定式。 知识清单 知识点01配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成(x+)=2(220)的形式，再利用直接开平方法求 解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 (2配方法解一元二次方程的理论依据是公式：a2±2ab+b2=(a士b)2. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为ax+bx+c=0(a≠0)的形式： ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方： ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数： ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解：若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 要点：(1)配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方： (2)配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. (3)配方法的理论依据是完全平方公式a土2b+b'=(a±b) 【即学即练】1.用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应变形为() A.(x-12=7B.(x+12=9 C.(x-2)2=9 D.(x-2}=6 2.把方程x2-4r+1=0化成(c-2}=m的形式，则m的值是 3.解方程： 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2-2x-1=0(用配方法) (②)(x+5)(x+1)=12(用配方法) 知识点02公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 元三次方程2+x+c=0(a≠0），当A=b2-4c20时，x=6±vB2-4a 2a 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式：②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出2-4c的值： ④若62-4ac≥0' 则利用公式x=b±B-4a 2a 求出原方程的解：若62-4c<0'则原方程无实 根。 【即学即练】4.下列一元二次方程的根可以根据x=3±V-4×2x灯 计算得出的是() 2×2 A.2x2+3x+1=0 B.2x2+3x-1=0 C.3x2+x-2=0 D.-2x2-x+3=0 5.已知y=(x-5)(x+2) (1)当x为 值时，y的值为0： (2)当x为 值时，y的值为5. 6.求方程x2-2x-4=0的正数根. 知识点03用因式分解法解一元二次方程的步骤 (1)将方程右边化为0： (2)将方程左边分解为两个一次式的积： (3)令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程： (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练】7.下列一元二次方程的两个根互为相反数的是() 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.x2-9=0 B.(x-1)2=4 C.x(x-2)=0 D.x2-6x+9=0 8.一元二次方程x2-2x=0的解为 9.甲同学在解方程x(x-4)+4=x时的解答过程如下： 解：移项，得x(x-4)=x-4,…① 两边同除以(x-4),得x=1.…② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答. 题型精讲 题型01直接开平方法解一元二次方程 【典例1】(25-26八年级下·浙江温州期中)一元二次方程x2-4=0的根是() A.x=2,x2=0 B.x=-2,x2=4 C.x=0,x2=4 D.x=2,x2=-2 【变式1】(25-26八年级下福建厦门期末)若x-1)=4,该方程的解为 【变式2】(25-26八年级全国暑假作业)方程8x2-72=0解为 【变式3】(25-26八年级下·安徽准南阶段检测)若关于x的一元二次方程mx2+n=0的一个根为1，则方 程m(c+3犷+n=0的根是() A.-1或1 B.-1或-2 C.-2或-4 D.1或4 题型02配方法解一元二次方程 【典例1】(25-26八年级下·浙江宁波期末)方程x2+6x-7=0经过配方可变形为() A.(x+3)2=16B.(x-3)2=16 C.(x+6)2=16 D.(x-6)2=16 【变式1】(25-26八年级下广西贺州期末)若一元二次方程x2-6x+n=0配方得到(x-m)=2,则m, n的值分别为() A.m=3,n=7 B.m=3,n=11 C.m=-3,n=10 D.m=2,n=11 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(25-26八年级下·浙江杭州期末)用配方法解方程x2-4x-3=0时，若将方程变形为 (x-2}=m,则m= 【变式3】(25-26八年级下·全国暑假作业)(1)x2+10x+=(x+)2: 22-+ 题型03 配方法的应用 【典例1】(2026江苏宿迁二模)已知m为实数，P=2m-3,Q=m2-1,则P与2的大小关系为 () A.P>O B P<O C.P≥g D.P≤Q 【变式1】(2024江苏泰州二模)若M=x2-4y+4y+2x-4y+3,则M的最小值为 【变式2】(25-26八年级下·江西抚州期末)【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不 仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题 例如：分解因式x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).又如，求代 数式2x2+4x-6的最小值，我们可以通过配方得到： 2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2[(x+2x+1)-4]=2(x+1-8.因为(x+1)≥0，所以2(x+1≥0，则 2(x+1)°-8≥-8，当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8. 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：x2-8x+7: (②)当x为何值时，多项式-2x2-4x+5有最大值？并求出这个最大值. (3)若多项式x2+4与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式. 【变式3】(25-26八年级下·浙江宁波·期末)配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的 某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中， 并结合非负数的意义来解决一些问题.先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题 例：求代数式y+4y+6的最小值 解：y2+4y+6=y2+4y+4+2=(y+2)+2. 因为(y+2)≥0，所以(0y+2)+2≥2，所以y2+4y+6的最小值是2. 5/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)代数式x2-4x+3的最小值为_ (2)关于x的二次多项式x2-4ax+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. 7 3)记知实数x,y满足-r+2x+y-3=0,求x-2y的最大值. 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】(25-26八年级全国暑假作业)方程x-3x+2)=1的解为() A.x=3 B.x=-2 Cx=3,x2=-2D.以上结论都不对 变式1】25.26八年级下河北张家期末)用公式法解方程上2时，得x-生Y4-4×） 2 则“口”处应填() A.1 B.-1 C.2 D.-2 【变式2】(22-23九年级上山东临沂开学考试)用公式法解方程5x+2=3x2. 方程化为一般形式，得一， 所以a=,b=,c=， 所以△=b2-4ac=一， 所以x=-b±VB2-4ac 2a 所以=，2= 【变式3】(25-26九年级上·安徽芜湖阶段检测)用公式法解一元二次方程：3x2-4v5x+2=0. 题型05因式分解法解一元二次方程 【典例1】(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知一个一元二次方程的二次项系数为1，两个根分别为-1， 2,则这个方程为()· A.(x+I(x-2)=0 B.(x-1)(x-2)=0 C.(x+1)(x+2)=0 D.(x-I)(x+2)=0 【变式1】(25-26八年级下·山东烟台期末)已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程 x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周长是() 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.26 B.16 C.28 D.16或26 【变式2】(25-26八年级下·浙江杭州期末)已知关于x的一元二次方程(x-5)(x-)=0的两个根分别是 5和1，则a的值为 【变式3】(25-26八年级下浙江台州期末)某同学解一元二次方程c-2)}-3-2)=0的步骤如下： 解：(x-2)2=3(x-2)…① x-2=3…② x=5…③ (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程. 题型06换元法解一元二次方程 【典例1】(25-26八年级下安徽滁州期末)已知实数a,b满足(a2+2b)(a+2b-3)=10,则a2+2b 的值为() A.5或-2 B.-5或2 c.5 D.2 【变式1】(25-26八年级下·安徽阜阳阶段检测)已知方程a2+bx+c=0的解是￥=-2，，=3，现给出 另一个方程a(x2+2x)+b(x2+2x)+c=0,则它的实数解是() A.x=-3,x2=1 B.=-1,x2=3 C.x=-2,x2=3 D.=-3,x3=2 【变式2】(25-26八年级下·浙江杭州阶段检测)已知关于x的方程a(x+m)+b=0(a、b、m为常数， a≠0)的解是5=2，为=-1，那么方程a(2x+m+2)}+b=0的解为。 【变式3】(25-26八年级下·山东济南期末)解方程(x-1-5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成一个 整体，设x-1=y,则原方程可化为y-5y+4=0,解得乃=1，乃=4.当y=1,即x-1=1,解得x=2: 当y=4,即x-1=4,解得x=5.所以原方程的解，=2,2=5. (1)请你利用这种方法解方程：(2x-1)-4(2x-1)+3=0： (②)已知A4BC三条边的长度分别为a,b,c,若满足(a2+b-3a2+b2）4=0,且c=2,请判断 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC的形状，并说明理由. 题型07解一元二次方程中的新定义型问题 【典例1】(2425九年级上：广东广州期中)设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”， a△b=a2+b2+ab,则方程(x+2)△r=1的实数根是() A.X=x2=1 B.x=0,x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=1,x2=-2 【变式1】(25-26九年级上：江苏宿迁·期中)对于实数a、b,定义运算“⊙如下： aob=(a+b)2-(a-b).例如：1o2=(1+2°-(1-2=8.若(m+2)@m-3)=24,则m的值为() A.-3 B.4 C.-3或4 D.无法计算 【变式2】(2026黑龙江哈尔滨·一模)对任意有理数a、b,定义关于“⊕”的一种运算如下： a⊕b=2a-b2,例如：5⊕2=2x5-22=6,（-3)04=2×(-3)-4=-22.若(13)⊕x=-126,则1x的 值为一 【变式3】(25-26八年级下·福建厦门期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+br+c=0(a≠0) 满足b=a+C,那么我们称这个方程为“关联方程”. (若关于x的一元二次方程r+br+c=0(a≠0)为“关联方程”，证明：x=-1为“关联方程”的根； (2)已知4x2-x+n=0是关于x的“关联方程”，若m是该“关联方程”的一个根，求m的值， 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下·浙江杭州期末)用配方法解方程x2+6x-2=0时，配方结果正确的是（) A.(x+3)2=11B.(x+3)2=7 C.(x+3)}=5 D.(x+6)2=2 2.(25-26八年级下山东济南期末)关于x的一元二次方程x(x+)=x的解为() 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.x=-1,x2=0 B.x=x2=0 C.x=x3=-1 D x=-1,x2=1 3.(25-26八年级下·安徽蚌埠期末)若将一元二次方程x2-6x-1=0转化为(x+a=b的形式，则b的值 为() A.1 B.8 C.9 D.10 4.(25-26八年级下·北京·期末)用配方法解方程x2-6x+2=0,下列变形正确的是() A.(x-3)2=11B.(x-3)2=7 C.(x+3)/=11 D.(x+3)2=-7 5.(25-26八年级下安徽池州期末)若方程(m-1)x1+4x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的值 是() A.-1 B.1 C.±1 D.-2 二、填空题 6.(2026陕西西安·模拟预测)方程x2-6x+9=0的根是 7.(25-26九年级下山东烟台期中)若关于x的方程x2-6x+a=0可以配方成(c+b)=7,那么 (a+b)26= 8.(2026山东济宁·二模)已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解，则这 个三角形的周长是一 9（2026广东茂名二模)对于非零的两个实数a6:规定a®b-名} 6a·若x⑧(3x-1)=2,则x的值 为， 10.(23-24八年级下·安徽安庆期中)定义：若，、为2是方程ax+br+c=0(a≠0)的两个整数根，且满 足-=1，则称此类方程为“自然方程”，例如：（x-2x-3)=0是“自然方程”. (1)下列方程是“自然方程”的是一：（填序号） ①2+r=1:②r+3x+2=0:@2-}0 4 (2)若方程x-(m+)x+m=0是“自然方程”，m的值为 三、解答题 11.(25-26八年级下·陕西西安·期末)解下列一元二次方程： 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)x2-2x-8=0 (2)2x2-6x-1=0 12.(25-26八年级下山东淄博期末)解方程： (1)x2+12x+27=0 (2)(2x-1)=2(2x-1) 13.(25-26八年级下·浙江绍兴期末)小明与小强两位同学解方程2(x-)=(x-)的过程如下： 小强： 小明： 解：移项，得2(x-1)-(x-1)2=0. 解：两边同除以(x-1), 提取公因式，得(x-1)2-x-1)=0」 得2=x-1, 则x-1=0或2-x-1=0, 则x=3. 解得=x=1 (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明 ,小强 (2)写出你的解答过程. 14.(25-26八年级下·安徽滁州期末)阅读材料： 为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设x2-1=y,则2-1)=y2, 原方程可化为y-5y+4=0,① 解得=4,2=1. 当y=4时，x2-1=4,x2=5,x=±5 当y=1时，x2-1=1,x2=2,x=±2 :原方程的解为x=V2,x2=-√2，=V5,x,=-5」 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想. 请仿照材料解决问题： (1)解方程：(x2-2x)2-5x2+10x-6=0 (2)若四个连续正整数的积为120，求出这四个连续的正整数. 能力提升 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(25-26八年级下北京顺义·期末)方程x2=2x的解为（) A.x=x2=2 B.x=0,x2=2 C.x1=0.x2=-2 D.x=2,x2=-2 2.(25-26八年级下·安徽池州期末)用配方法解一元二次方程x2-10x-3=0,下列变形正确的是 () A.(x-5)2=28 B.(x-5)}2=22 C.(x+5)=28 D.(x-10)2=103 3.(25-26八年级下山东淄博期末)已知一元二次方程2x(x+7)-10(x+7)=0的两根为a、b,且a>b, 则a+2b=() A.-13 B.-9 C.4 D.-3 4.(25-26八年级下山东泰安期末)若实数、n分别满足方程m2-5m+6=0,n2-5n+6=0,且m≠n, 则m2+n2的值为() A.12 B.13 C.14 D.15 5.(25-26八年级下浙江台州期末)若关于x的一元二次方程(x-m)(x-n)=0的解也是(x-3)=b( a≠0)的解，则m与n满足的数量关系为() A.m+n=3 B.1m+n=6 C.m+n=6a D.m+n=6b 二、填空题 6.(22-23九年级下·湖南永州单元复习)用配方法将一元二次方程x2-6x+5=0化为(x-a)=b的形式 为一 7.(2026山东济宁三模)关于x的方程mx2+(m-1)x-2=0如果是一元二次方程，则其解为 8.(25-26八年级下全国·课后作业)方程x-6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三 角形周长是 9.(25-26八年级下山东烟台期末)若x=1是关于x的一元二次方程(m-)x-x+m=0的一个根，则 m的值是 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级下安徽滁州期末)把关于x的一元二次方程a(x-m+n=0与a,(-m+n=0称为 “同构二次方程”.比如2(x-2)}'-4=0与3(x-2)-4=0就是“同构二次方程”.已知两个关于x的一 元二次方程2(x--1=0与(a+1)x2+(b-2)x-2=0是“同构二次方程”，则a-b= 三、解答题 11.(26-27八年级上海暑假作业)解方程： (1)x2-2x-1=0(用配方法) (2(c+5)(x+)=12(用配方法) 12.(25-26九年级下·山东烟台期末)解方程： 1)3(x-5=2(5-x); (②)2r-52x+1=0 13.(25-26九年级上：辽宁丹东期末)定义：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0有两个实数根，且 其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”， (1)请判断关于x的方程x2-9x+18=0“倍根方程”.（填“是”或“不是”） (②)若关于x的方程(x-a+(x-)=0有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值. 14.(25-26八年级下山东烟台~期末)小明与小颖两位同学解方程5(x-2)=(x-2的过程如图： 小颖： 小明： 移项，得5(x-2)-(x-2)}=0, 两边同除以(x-2), 提取公因式，得(x-2)5-x-2)=0 得5=x-2, ∴x-2=0或5-x-2=0」 解得x=7 解得=2，x2=3 ()他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程： (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如mx2=x的一元二次方程的一般解法。 15.(25-26八年级下·山东济南期末)配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公 式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们规定：一个整数能表示成2+b2 (,b是整数)的形式，则称这个数为“和谐数”.例如，10是“和谐数”，理由：因为10=32+1？， 所以10是“和谐数”. 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解决问题】 (1)判断40是否为“和谐数” (填“是”或“否”) 【探究问题】 (2)若a2-8a+25可配方成(a-m)+n2(m,n为常数)，则mn的值 (3)已知M=a2+4ab+5b2-6b+k(a,b是整数，k是常数)，要使M为“和谐数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由， 【拓展应用】 (④)已知实数x,y满足y=x-5x+10,当x为多少时，y-x能取得最小值，并求出最小值. 13113 专题3.2 一元二次方程的解法 教学目标 1. 理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法的原理，掌握各类解法基本步骤，能够规范求解数字系数一元二次方程。 2. 经历配方法推导求根公式的过程，体会“降次”转化思想，能利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况。 3. 对比四种解法的适用特征，能根据方程形式灵活选择简便解法，提升运算能力，养成细致验算、规范书写的解题习惯。 教学重难点 1.重点 （1）熟练运用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，牢记各类解法解题流程，准确运用求根公式，规范书写解题步骤。 （2）学会辨析方程结构特点，合理选择最优解法；掌握根的判别式的运用，能借助判别式判断方程有无实数根，夯实方程运算基础。 2.难点 （1）理解配方法的转化思想，熟练处理二次项系数不为1时的配方变形，容易出现配方漏加常数、忽略正负平方根等典型错误。 （2）综合辨析不同解法的适用条件，灵活选用方法解题；运用判别式解决含参数问题，准确区分各类解法优劣，克服思维定式。 知识点01 配方法解一元二次方程 (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 【即学即练】1．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 2．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 3．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 知识点02 公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，. 2.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根. 【即学即练】4．下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 5．已知． （1）当x为__________值时，y的值为0； （2）当x为__________值时，y的值为5． 【答案】 或 【详解】解：（1）当时， 或， 解得：或； （2）当时，整理，得， ， ∴， ∴. 6．求方程的正数根． 【答案】 【分析】本题先确定一元二次方程的各项系数，利用求根公式求出方程所有根，再从中筛选出正数根即可求解． 【详解】解：对于方程，可得，，． ∴． ∴． 因为，， 所以方程的正数根为． 知识点03 用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【即学即练】7．下列一元二次方程的两个根互为相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：A：， ， ∴，；故该选项符合题意； B：， ， ∴，；故该选项不合题意； C：， ∴，；故该选项不合题意； D：， ， ∴；故该选项不合题意． 8．一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 9．甲同学在解方程时的解答过程如下： 解：移项，得，……① 两边同除以，得．……② 请说明甲同学的解法错误的原因，并给出正确解答． 【答案】甲同学的解法错误的原因：甲同学未考虑的情况，等式两边不能同时除以， 正确解答： ， ， 或 解得，． 【详解】略 题型01 直接开平方法解一元二次方程 【典例1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期末）若，该方程的解为______． 【答案】 ， 【详解】解： 或 ∴，． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于的一元二次方程的一个根为，则方程的根是（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】先将已知根代入原方程得到与的关系，再代入所求方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，即， ∴，且， 将代入方程，得， ∵，两边同除以得， 即， 开方得或， 解得或， 即方程的根为或． 题型02 配方法解一元二次方程 【典例1】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）方程经过配方可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 【变式1】（25-26八年级下·广西贺州·期末）若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·全国·暑假作业）（1）____________； （2）____________． 【答案】 25 5 【详解】解：（1）， （2）． 题型03 配方法的应用 【典例1】（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 【变式1】（2024·江苏泰州·二模）若，则M的最小值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 题型04 公式法解一元二次方程 【典例1】（25-26八年级·全国·暑假作业）方程的解为（  ） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】D 【分析】先将原方程整理为标准一元二次方程，求解后判断选项，注意不要误将方程右边当成0直接求解． 【详解】解：∵原方程为， 展开左边得， 整理为标准形式得， 计算判别式得， 由求根公式得方程的解为，该解不等于或， ∴选项A，B，C都错误，故选D． 【变式1】（25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【变式2】（22-23九年级上·山东临沂·开学考试）用公式法解方程． 方程化为一般形式，得 　　， 所以　　，　　，　　， 所以　　， 所以　　， 所以　　，　　． 【答案】 ；；；；；；； 【分析】利用公式法解方程即可. 【详解】略 【变式3】（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）用公式法解一元二次方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：一元二次方程为． 其中，，， 则， ∴， 解得， ． 题型05 因式分解法解一元二次方程 【典例1】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知一个一元二次方程的二次项系数为，两个根分别为，，则这个方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出每个选项一元二次方程的根，再一一辨别即可． 【详解】A：，两个根分别为，符合题意； B：，两个根分别为，不符合题意， C：，两个根分别为，不符合题意， D：，两个根分别为，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·山东烟台·期末）已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·浙江台州·期末）某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 题型06 换元法解一元二次方程 【典例1】（25-26八年级下·安徽滁州·期末）已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 【变式2】（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 题型07 解一元二次方程中的新定义型问题 【典例1】（24-25九年级上·广东广州·期中）设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“⊙如下：．例如：．若，则m的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 或， 所以． 故选：C． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）对任意有理数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：，．若，则的值为______． 【答案】10 【分析】根据新定义运算规则列出关于的方程，解方程后计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴根据定义可得， 整理可得：， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·福建厦门·期末）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“关联方程”． (1)若关于的一元二次方程为“关联方程”，证明：为“关联方程”的根； (2)已知是关于的“关联方程”，若是该“关联方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)证明：∵ 一元二次方程为“关联方程” ， ∴，即， 把代入方程左边，得左边， ∴ 左边右边， ∴为“关联方程”的根； (2)或 【分析】由定义得，再把代入方程左边可得左边右边，即可求证； 由定义得，由是该“关联方程”的一个根得，进而得到，再解方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵是关于的“关联方程”， ∴， ∴， ∵是该方程的一个根， ∴， 整理得， 把代入，得， 因式分解，得， 解得或． 一、单选题 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期末）若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（     ） A．1 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：， ， ， ，即b的值为10． 4．（25-26八年级下·北京·期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 5．（25-26八年级下·安徽池州·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 二、填空题 6．（2026·陕西西安·模拟预测）方程的根是______． 【答案】 【分析】将方程左边利用完全平方公式变形，再通过直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 直接开平方得， 解得． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若关于的方程可以配方成，那么______． 【答案】1 【分析】先将方程配方得，再结合题意求出的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解： ， 又∵关于的方程可以配方成， ∴，， ∴， ∴． 8．（2026·山东济宁·二模）已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】18 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，得到第三边的可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当时，满足三角形三边关系， 因此三角形的周长为：； 当时，不满足三角形三边关系，应舍去； 综上，这个三角形的周长是18． 9．（2026·广东茂名·二模）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”，例如：是“自然方程”． （1）下列方程是“自然方程”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）若方程是“自然方程”，m的值为________． 【答案】 ② 2或0/0或2 【分析】本题考查解一元二次方程，含绝对值的方程，有理数的运算： （1）利用“自然方程”定义判断即可； （2）利用因式分解法表示出方程的解，根据“自然方程”定义确定出m的值即可． 【详解】解：① ， ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该方程是“自然方程”； ③ ∴， ∴， 则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意； 故答案为：② （2）， ∴， ∴， ∴， ∵方程是“自然方程”， ∴， ∴或0． 故答案为：2或0 三、解答题 11．（25-26八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 分解因式得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 其中，，， ， 解得：，． 12．（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 13．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）小明与小强两位同学解方程的过程如下： 小明： 解：两边同除以， 得， 则． 小强： 解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得． (1)你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”； 小明________，小强________； (2)写出你的解答过程． 【答案】(1)， (2)解：移项，得， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 【分析】（1）小明：没有考虑的情况；小强：提取公因式时出现了错误；所以他们的解法都不正确； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：小明：没有考虑的情况，所以解法不正确； 小强：提取公因式时出现了错误，所以解法不正确． （2）略 14．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·北京顺义·期末）方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 2．（25-26八年级下·安徽池州·期末）用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 4．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期末）若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 二、填空题 6．（22-23九年级下·湖南永州·单元复习）用配方法将一元二次方程化为的形式为______． 【答案】 【分析】先把方程的常数项移到等号右边，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形，即可得到要求形式的结果． 【详解】解：， ， ， 即． 7．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，2为底，三角形三边长为，因为，满足三角形三边关系，此时周长为， 若为底，2为腰，三角形三边长为，，不满足三角形三边关系，故舍去. 综上：这个等腰三角形周长是10. 9．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是________ ． 【答案】 【分析】把代入方程中，求出的值，结合即可得解． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 10．（25-26八年级下·安徽滁州·期末）把关于的一元二次方程与称为“同构二次方程”．比如与就是“同构二次方程”．已知两个关于的一元二次方程与是“同构二次方程”，则___________． 【答案】 【分析】根据“同构二次方程”的定义，两个方程除完全平方式前的系数不同外其他对应部分相同，由第一个方程可得，因此第二个方程可整理为，通过比较两个方程展开式的对应系数相等建立方程组求解，再计算的值. 【详解】解：∵与是“同构二次方程”， 故方程可化为方程， ， ， ， 解得：， ． 三、解答题 11．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 12．（25-26九年级下·山东烟台·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用求根公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项得： 提公因式得：， 整理得：， 可得：或， 解得：； （2）解：。 整理得：， 其中，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，． 13．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程_____“倍根方程”．（填“是”或“不是”） (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)是 (2)a的值为3或 【分析】本题是阅读理解类题目，主要考查了解一元二次方程，解题的关键是读懂题意． （1）通过解方程得到根，判断是否满足倍根关系． （2）根据因式分解形式直接得到根，结合有两个不等根和倍根条件求a的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ， 该方程是“倍根方程”， 故答案为：是． （2）解：方程的根为， 原方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 又 ∵该方程是“倍根方程”， ∴有两种情况：情况一：， ∴， ∴， 情况二：， ， ， ， 经检验，和均满足， a的值为3或． 14．（25-26八年级下·山东烟台·期末）小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 15．（25-26八年级下·山东济南·期末）配方法是数学中重要的一种思想方法，这种方法是根据完全平方公式的特征进行代数式的变形，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们规定：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，是“和谐数”，理由：因为，所以是“和谐数”． 【解决问题】 (1)判断是否为“和谐数”________．（填“是”或“否”） 【探究问题】 (2)若可配方成（，为常数），则的值________． (3)已知（，是整数，是常数），要使为“和谐数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展应用】 (4)已知实数，满足，当为多少时，能取得最小值，并求出最小值． 【答案】(1)是 (2) (3)符合条件的一个k值为9，理由如下： 对M配方： ， 当时，， ∴， ∵，是整数， ∴和都是整数， ∴M是两个整数的平方和，即M为“和谐数”； (4)当时，的最小值为 【分析】（1）根据“和谐数”的定义，判断40能否写成两个整数的平方和即可； （2）利用配方法对代数式变形，对比得到，的值，即可计算； （3）对M进行配方，将其整理为两个平方和的形式，即可得到符合条件的k值； （4）先写出的表达式，再利用配方法结合非负数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵，且6，2都是整数， ∴40是“和谐数”； （2）解：， 对比得，， ∴； （3）解： 略 （4）解：， ∵对于任意实数x，都有， ∴当，即时，取得最小值，最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $