专题1.2 平行线分线段成比例（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本讲义聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，系统梳理从基本事实（两条直线被一组平行线所截对应线段成比例）到推论（平行于三角形一边截两边得对应线段成比例）的脉络，构建基础原理到A型、X型等图形应用的学习支架。 资料特色在于题型分类系统，含典例及变式题并融入中考真题，通过图形分析培养几何直观（数学眼光），逻辑推导强化推理意识（数学思维），结合花架等实际情境提升模型观念（数学语言）。课中助力分层教学，课后学生可借练习查漏补缺，强化知识应用。

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.2 平行线分线段成比例 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01平行线截线段成比例 2.知识清单 题型01A型平行线分线段成比例 题型02X型平行线分线段成比例 题型03A字三角形 平行线分线段成比例 题型04X字三角形 3.题型精讲 题型05类A字三角形 题型06类X字三角形 题型07由平行截线求相关线段的长或比值之解 答题 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能够准确阐述其内容，清晰区分 定理与推论的适用条件。 2.借助图形分析，熟练运用该定理及推论进行线段长度的计算，如在三角形、梯形 教学目标 等几何图形中求解未知线段长。 3. 通过对实际问题的探究，学会将实际情境转化为数学模型，运用平行线分线段成 比例知识解决生活中的几何问题，提升数学应用能力。 1.重点 (1)掌握平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得对应线段 成比例，理解定理中对应线段的含义及比例关系。 教学重难点 (2)学会运用定理的推论，特别是平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延 长线)，所得对应线段成比例，并能在复杂几何图形中准确识别并应用。 2.难点 1/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)理解平行线分线段成比例定理的证明过程，尤其是运用相似三角形等知识进行 逻辑推导，帮助学生建立严谨的证明思维。 (2)引导学生在复杂多变的几何图形中，准确判断哪些线段符合平行线分线段成比 例的条件，克服图形干扰，正确运用定理解决问题。 知识清单 知识点01平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例 己知如图，直线、2、是一组等距离的平行线，4、5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一 AB DE AB DE BC EF BC EF 下相交于点A,B,C,D,B,F,则比例式BC=F'Ac=F'AB=E'AC=F'成立. 要点：().对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 上-上上上左上左全 示=下，全全'右上右全等等 (2)有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 A型基本图形 X型基本图形 【即学即练】1.如图，AB∥CD∥EF,若AC=10,CE=20,DF=16,则BD的长为() B D A.14 B.12 C.10 D.8 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，已知AB∥CD∥EF,它们依次交直线、2于点A、D、F和点B、C、E,如果AD:DF=3:1, BE=12,那么CE等于 AE 3.如图，在AABC中，DE∥BC,AD=3?DB=5:则AC的值为 题型精讲 题型01A型平行线分线段成比例 【典例1】(2025四川雅安中考真题)如图，直线分别交直线，于点A,B,C,D,E, F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是() B E A.3 B.4 c.4.5 D.6 【变式1】(25-26八年级下四川成都期中)如图，AD∥BE∥CF,若AB=3,BC=4,EF=5,则DE的 长度是() B 3/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-4 c 15 12 A.6 B. D.5 【变式2】 (25-26九年级上湖南株洲期末)如图，己知AB∥CD/EF,BD:DF=1:2,AC=5,那么AE= 【变式3】(25-26九年级上：江西南昌·阶段检测)如图，直线a‖b‖c,直线，12与这三条平行线分别交 于点A,B,C和点D,E,F.若AB:BC=1:2,DE=3,则EF的长为 题型02X型平行线分线段成比例 【典例2】(2425九年级上辽宁锦州期中)如图，直线4，直线a、b与4、飞、1分别交于点A、 B、C和点D、E、F,若AB:BC=1:2,DF=12,则EF的长为() D B A.4 B.6 C.8 D.10 【变式1】(2425九年级下浙江杭州阶段检测)如图，直线马，直线AC分别交4，h,于点A, B,C;直线DF分别交，2，于点D,E,F.若DE=2,EF=4,AB=3,则AC的长为(). 4/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.9 B.7 C.5 D.6 【变式2】(2026福建漳州模拟预测)如图，若I,,AB=6,BC=4,DF=15,则EF的长为 【变式3】(25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测)如图，直线AE,BF交于点O,AB∥CD∥EF.若 OB 0A=lAC=2,CE=3,则OF的值为一· B 题型03A字三角形 【典例3】(25-26九年级上·全国课后作业)如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE∥BC, 则下列结论不成立的是() D B AD AE AD AE AD DB A.ABAC B.DB EC C. D.AE EC 【变式1】(2425九年级上上海虹口期中)如图：在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，根据下 列给定的条件，不能判断DE与BC平行的是() 5/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A. AD AE AD AE DB EC B. AB AC C.4DdB AE AC D. DEAE BC AC 【变式2】(2425九年级上广西梧州阶段练习)如图，在△ABC中，DE∥BC,且DE分别交AB, AC于点D、E,若AD:DB=2:1,AE=4,则EC=_ E B 【变式3】(2425九年级下广东深圳开学考试)如图，若DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=25,则 EC= 一；若AD=3,DB=7,AC=8,则EC=一；若AD:DB=2:3,EC-AE=2,则 AE=_,EC=_ D B 题型04X字三角形 A0 1 【典例4】(2425九年级上福建泉州期末)如图，已知AC∥BD,AB交CD于O,AB3,OD=6, 则CD的长为一 6/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式1】(2025上海徐汇·一模)如图，在△ODC中，点A,B分别在边CO,DO延长线上，AB∥CD, 如果D0=6,A0:C0=2:3,那么B0的长是 A B O 【变式2】(2425九年级上上海阶段练习)如图，点E、F分别在线段AB、CD上，AD∥EF∥BC, AE=2,BE=4,CF=6,那么DF= A D B 【变式3】(2425九年级上四川巴中阶段练习)如图，AD、BC相交于点O,点E、F分别在BC、 AD上，AB∥CD∥EF.若CE=4,EO=2,BO=3,AF=10,则AD=一. B E 题型05类A字三角形 【典例5】(24-25八年级下山东淄博期末)如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上， 己知DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式错误的是() 7/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D R AE BF CE AE CF AE AD AB A.ECFC B. CF BF C.BC AC D. BF BC 【变式1】(2025黑龙江哈尔滨模拟预测)如图，DE∥BC,DF∥AC,AB=3BD,DE=12,则BF的 长为() D B A.4 B.5 C.6 D.8 【变式2】(2025.上海松江一模)如图，△ABC中，∠C=90,正方形CDEF的顶点D、E、F分别在边 AC、AB、BC上，如果AE=2BE,且S△MBc=36.那么正方形CDEF的面积为一. C B 【变式3】(23-24九年级上福建泉州阶段练习)如图，已知，AD是△ABC的中线，E是AD的中点， 则AF:FC= 题型06类X字三角形 【典例6】例题：(2425八年级下·江苏苏州阶段练习)等腰△ABC中，AB=AC,E、F分别是AB、 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CP 3 AE AC上的点，且BE=AF,连接CEBr交于点p若PE4,则F的值为. 【变式1】(23-24九年级上·全国课后作业)如图，AB∥EF∥CD,BE=DF,若 BF=1.5,CE=2,DE=3,则AE的长为一 B E D 【变式2】(2024安徽宣城三模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=9,AC=6,点D为AC的 中点，AF⊥BD于点E D (1)AE的长为一： CF (2)1 F的值为 题型07由平行截线求相关线段的长或比值之解答题 【典例7】例题：(2425九年级上陕西榆林期中)如图，在△ABC中，DE∥AC,点F在BC上，且 AD HF 1 AF=CF=3,AF交DE于点H'且BD=AH=2, A D H E (1)CE= 9/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求BF的长， 【变式1】(2425九年级上·浙江绍兴期末)如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC 上取一点F,连接DF交AB于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,已知AC=DE=3,EF=2. B (1)求DB:BH的值； (2)求AF的长， 【变式2】(2425七年级下河北沧州阶段练习)如图，已知△ABC,点D在BC上，点E在AC上，连 接AD,BE,AD与BE相交于点F. BD (1问题1：若BE是A4BC的中线，BF=3FE,则DC- AF 1AE (2)问题2：若D是△4BC的中线，AD=4,则AC的值是_· (3)向题3：若AD是△ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是I:3,且AE=2,则EC=-· 4)问题4：若AD是△ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF, 【变式3】(2425九年级上山西长治阶段练习)综合与探究 【问题呈现】 AD 1 (1)如图1，当AE=CE,BD2时，求证：BC=CF 【拓展延伸】 4D_2,BC=3时，求CE的值. AE (2)如图2，当BD3,CF 【深入探究】 AD 1 (3)如图3，在△ABC中，直线MN分别与AB,AC,BC的延长线交于点D,E,F，BDm, 10120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CF 1 AE BC,直接写出CE的值（用含m'n的式子表示）， A M D M D M D _FP F一P C 图1 图2 图3 .BC=CF. 【变式1】 强化训练 基础自测 一、单选题 1.(25-26八年级下吉林期中)如图，直线，吗分别交直线4，于点A,B,C,D,E,F,已知 AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是() F A.3 B.4 C.6 D.9 2.(2026江苏泰州二模)如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知AB∥CD∥EF, AC 4 CE5,DF=40cm,则BF的长为(） 11/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E F G H 图1 图2 A.32cm B.40cm C.50cm D.72cm 3.(25-26八年级下·上海期中)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，已知 DE‖BC,AB=2AD,下列结论正确的是(）· E B AC 1 AE 1 AE 2 A. c D. EC-3 4.(2026河南平顶山三模)如图，在口ABCD中，AB=3,AD=8,对角线AC,BD相交于点O,E是 ABCD内一点，且OE∥BC,∠AEB=90°，则OE的长为() A.1 B.2 C.2 5 D.2 5.(25-26八年级下·上海·阶段检测)在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，下列条件能判断 DE与BC平行的是() D B A.AD=3cm,AB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm B.AD=2BD,AC=3CE 12120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.AD=6cm,DE=9cm,AE=4cm,AC=10cm D.AB=2BD,BC=2DE 二、填空题 6.(2026:吉林中考真题)如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2,BD=1.以点 C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE∥BC,则AE= A B 7.(25-26九年级下·北京顺义·阶段检测)如图，已知AC∥EF∥DB,AF:BF=2:3,CD=15,CE= E B DE 2 8.(2026:广东深圳二模)如图，4∥1，∥4，EF=3,且AB=3,则AC的长为— A B E12 9.(2026广东广州二模)如图，点D,E,F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC,DF∥AB, AE 4 AF EB3,则FC的值为 B 10.(2026湖南邵阳三模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,分别以点B和点C 为圆心、大于2BC的长为半径作弧，两弧相交于E'F两点，作直线EF交AB于点D:连接CD:则CD 的长是 13120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B VF 三、解答题 11.(25-26八年级上·上海期中)已知，如图，ADI‖EF BC,BE=3,AE=9,DC=8. A E B C (I)求DF的长： (2)如果AD=3,EF=5,试求BC的长， 12.(25-26八年级下·上海阶段检测)己知：如图，在△ABC中，DE∥BC,点F为AD上的一点，且 AD2=AB·AF 求证：EF∥CD D E B 13. (24-25九年级上上海期中)如图，△ABC中，点D在边BC上，DE‖AB,DF∥AC,求证： AF CE FBAE· E D AD BC EF 14. (2025贵州遵义：模拟预测)定义：如图①满足DB CE FA =1的几何图为“梅氏三角”· 14120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D D B E 图① 图② AD BC EF (1)如图①. 证明21的几何图为牌氏三角、 (2)如图②. AD BE.CG=1 证明DB EC GA 能力提升 一、单选题 1.(25-26九年级下河南南阳期中)如图，己知AB‖CD,AD与BC相交于点E,若CE=2BE, AD=6,则AE的长为() A.1 B.2 c D.3 2(2526九年级上安微合肥期中)已知线段a,6c,求作线段x,使-g, =b,下列作图中均作出一组平 行线，其中正确的是()· A b 3.(24-25九年级上山东聊城期中)如图，是某商店售卖的花架简图，其中AD∥BE∥CF,DE=24cm, EF=40cm,BC=50cm,则AC长为()cm 15120 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 80 100 A. 3 B. 3 C.80 D.30 4. (2026辽宁沈阳·一模)如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点 E,连接OE交BC于点F,若AB=6,BC=8,CE=3,则CF的长为() D B A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2026广东清远三模)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E,连接BE、CD 相交于点F,则下列等式中不成立的是() B C AD AE DE DF A.DB EC B.BCFC DE AD EF AE C.BCBD D.BF AC 二、填空题 6.(25-26九年级下黑龙江大庆期中)如图，在△ABC中，DE∥BC,若AD=3,BD=5,AE=2,则 AC的值为， 16120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B 7.(25-26九年级下河南周口阶段检测)如图1是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图2，已 知最上层与中间层的垂直距离BD=40cm,中间层与最下层的垂直距离DF=55cm,BC∥DE∥FG,若 CE=56cm,则EG的长为. cm D 图1 图2 8.(25-26九年级上·全国课后作业)如图，D是△ABC的边BC上一点，连接AD,过AD上的点E作 E=3 EFIBD,交AB于点F,过点F作FG∥AC交BC于点G:已知ED2BG=4,则CG的长为 9.(24-25七年级下四川成都阶段检测)如图，在△ABC中，D为BC边上一点，E为线段AD上一点， BD 2 AE 1 AF 延长BE交AC于点卫.若BCAD2,则AC一· B 10.(25-26九年级上：陕西西安期中)如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延 长交BC于点E,若BF:FD=3:L,BC=16,则CE的长为 17120 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 CD 1 13.如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且AD2:过点D作DEBC交AB于点E'连接CE,过 点D作DF//CE交AB于点F.若BE=5. B (I)求AE的长. (2)求EF的长. 14.如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC,在AC上取一点F,连接DF交AB于点E,过F 点作FHAB交cD于点：已知4C-号，DE-3EF-2 D B (I)求DB:BH的值： (2)求AF的长 15.如图，1∥1/4，AD=2,DE=4. 18120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)AB=3,求BC: (2)EF=7.5,求BE的长. I6.如图，在平行四边形ABCD中，连接BD,E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点 DF3 M,交BD于点G,过点G作GF∥BC交DC于点F,FC-: G B E M (1)若BD=20,求BG的长； DM DG CM (②)己知AB=BG,求CD的值. 17.如图所示，AD是△ABC的中线 D AF (①)若E为AD的中点，射线CE交AB于P,求BF; AE Y AF (②)若B为AD上的一点，且ED,射线CE交AB于卫求BF. 18.综合与探究 (1)【问题呈现】 AD 1 如图1，当AE=CE,BD2时，求证：BC=CF C E-N 图1 (2)【拓展延伸】 4D_2.BC=3时，求CE的值. AE 如图2，当BD3’CF 19120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ M 、D B P 图2 O【入探元】如图3，在6BC中，直线分别与、4G,BC的延长线交于点D.反，片品日 CF 1 AE ,BCn,直接写出CE的值（用含心，n的式子表示）. M、D/ F C 图3 20120 专题1.2 平行线分线段成比例 教学目标 1. 理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能够准确阐述其内容，清晰区分定理与推论的适用条件。 2. 借助图形分析，熟练运用该定理及推论进行线段长度的计算，如在三角形、梯形等几何图形中求解未知线段长。 3. 通过对实际问题的探究，学会将实际情境转化为数学模型，运用平行线分线段成比例知识解决生活中的几何问题，提升数学应用能力 。 教学重难点 1.重点 （1）掌握平行线分线段成比例定理，即两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，理解定理中对应线段的含义及比例关系 。 （2）学会运用定理的推论，特别是平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例，并能在复杂几何图形中准确识别并应用。 2.难点 （1）理解平行线分线段成比例定理的证明过程，尤其是运用相似三角形等知识进行逻辑推导，帮助学生建立严谨的证明思维。 （2）引导学生在复杂多变的几何图形中，准确判断哪些线段符合平行线分线段成比例的条件，克服图形干扰，正确运用定理解决问题 。 知识点01 平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等. （2）有推论可以得出以下结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 【即学即练】1．如图，，若，，则的长为（） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例定理即可求出未知线段的长度． 【详解】解：∵， ∴， 将已知条件，，代入上式，得： 化简，得： ∴ 2．如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 3．如图，在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质定理， 根据，可得，再代入数值即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型01 A型平行线分线段成比例 【典例1】（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，，若，则的长度是（） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）如图，已知，那么________． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点，，和点，，．若，，则的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，结合已知线段比例与长度，计算未知线段长度． 【详解】解：∵ 直线， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， 故答案为：． 题型02 X型平行线分线段成比例 【典例2】（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 【变式1】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．若，，，则的长为（   ）． A．9 B．7 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， ∴． 【变式2】（2026·福建漳州·模拟预测）如图，若，，则的长为_____． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）如图，直线交于点.若，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合已知数据即可求出结论． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 题型03 A字三角形 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点分别在上，，则下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理对选项进行判断． 【详解】解：， ，，，. C选项结论不成立. 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·广西梧州·阶段练习）如图，在中，，且分别交，于点D、E，若，，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，若，，，，则 ；若，，，则 ；若，，则 ， ． 【答案】 / 4 6 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵，，，， ∴，即， 解得：； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； 故答案为：；；4，6． 题型04 X字三角形 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，已知，交于，，，则的长为 ． 【答案】9 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由得到，则代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：9． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）如图，在中，点分别在边延长线上，，如果，，那么的长是 ．    【答案】4 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据可得，根据，求出即可． 【详解】解：， ， ； 故答案为：4． 【变式2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，点E、F分别在线段、上，，，，，那么 ． 【答案】3 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 故答案为3． 【变式3】（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ． 【答案】18 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：由平行截线求相关线段的长或比值；由，得出，结合线段和差关系，即，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：18． 题型05 类A字三角形 【典例5】（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断A不符合题意；由变形得，可判断B不符合题意；可证明，由，假设成立，可推导出，与已知条件不符，可判断C符合题意；由，，证明四边形BDEF是平行四边形，则，再证明，得，推导出，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识，证明，及四边形BDEF是平行四边形是解题的关键 【详解】解：A、， ， 故此选项不符合题意； B、， ， 故此选项不符合题意； C、∵， ， 假设成立，则， ，与已知条件不符， 不成立， 故此选项符合题意； D、，， 四边形BDEF是平行四边形， ， ∵， ， ， ， 故此选项不符合题意， 故选：C． 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例． 根据平行四边形的判定和性质得到，再平行线分线段成比例解答即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 即， ∴． 故选：C 【变式2】（2025·上海松江·一模）如图，中，，正方形的顶点D、E、F分别在边、、上，如果，且．那么正方形的面积为 ． 【答案】16 【知识点】根据正方形的性质求线段长、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 设正方形的边长为，得到根据平行线分线段成比例定理得到，求得，，根据三角形的面积公式列方程得到，于是得到正方形的面积． 【详解】设正方形的边长为x， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， ， 正方形的面积． 故答案为：16． 【变式3】（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、根据三角形中线求长度 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 题型06 类X字三角形 【典例6】例题：（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）等腰中，，、分别是、上的点，且，连接、交于点，若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，熟悉定理内容并应用是解题的关键．过点E作，交于点D，则由平行线分线段成比例得；设，则，易得；设，利用得，即可求得，然后计算即可． 【详解】解：如图，过点E作，交于点D， 则； 设，则， ∵， ∴； 设； ∵， ∴， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，即，解得，或（舍去）． ∵， ∴，即，解得， 故答案为：． 【变式2】（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 题型07 由平行截线求相关线段的长或比值之解答题 【典例7】例题：（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 【变式1】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）综合与探究 【问题呈现】 （1）如图1，当，时，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，当，时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在中，直线分别与，，的延长线交于点，，，，，直接写出的值（用含，的式子表示）．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作交于点H．   ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H．   ∴  ， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H．   ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式1】 一、单选题 1．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 2．（2026·江苏泰州·二模）如图1是花架实物图，图2是其对应的侧面示意图，已知，，，则的长为(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例可求出，再由线段的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，点、分别在、的反向延长线上，已知，，下列结论正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例可得，再根据比例的性质进行变形即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，故C正确，A、D错误； 对于B，由已知条件，无法判断与的关系，故B错误． 4．（2026·河南平顶山·三模）如图，在中，，，对角线相交于点，是内一点，且，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，由平行四边形的性质得，，由平行线等分线段定理得，即得是的中位线，得到，又由直角三角形的性质得，再根据线段的和差关系解答即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）在中，点、分别是、边上的点，下列条件能判断与平行的是（     ） A．，，， B．， C．，，， D．， 【答案】B 【分析】利用时，或，逐一判断即可． 【详解】解：当时，或，由此可得： A：∵，， ∴， ∴，， ∴，故A错误； B：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴，故B正确； C：缺少或的长度，无法计算与的比值关系，无法判断，故C错误； D：由可知为中点，但仅凭无法确定点位置及比例关系，无法判断，故D错误； 二、填空题 6．（2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 7．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）如图，已知，，，______． 【答案】6 【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴． 8．（2026·广东深圳·二模）如图，，，且，则AC的长为_______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：，， ， ∵ ∴， 解得：． 9．（2026·广东广州·二模）如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·湖南邵阳·三模）如图，在中，，，，分别以点和点为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，则的长是________． 【答案】5 【分析】由作图痕迹可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直于同一直线的两直线平行可得，根据平行线分线段成比例可判定为的中点，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ，， ，即， ， ∴， 为的中点， 在中，， ，为的中点， ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·上海·期中）已知，如图，，，，． (1)求的长； (2)如果，，试求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． （1）根据，可得：，因为，，，所以可得：，从而求出的长度； （2）过点作交于点，交于点，可知四边形和四边形都是平行四边形，所以可得：，根据可证，根据相似三角形的性质可得：，求出的长度，根据得到结果． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ， 解得：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，交于点， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 12．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知：如图，在中，，点为上的一点，且． 求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【分析】利用平行线分线段成比例可得，由已知条件变形可得，进而可得，即可证明，推出，即得结论. 【详解】解：略. 13．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【答案】证明：， ， ， ， ． 【分析】由平行线分线段成比例即可证明． 【详解】略 14．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义：如图①满足的几何图为“梅氏三角”． (1)如图①．证明的几何图为梅氏三角． (2)如图②．证明． 【答案】(1) 证明：过点作交于点， ∴ ∴， ∴； (2) 作， 同（1）法可得：① 由（1）知：② ，得：． 【分析】本题考查平行线分线段成比例，是解题的关键： （1）过点作交于点，根据平行线分线段成比例，得到，两式相乘，得到，即可得证； （2）作，同（1）法可得：，结合，两式相乘即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 一、单选题 1．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知线段，求作线段，使，下列作图中均作出一组平行线，其中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知等式变形为比例式，根据平行线分线段成比例定理，分析各选项中线段的比例关系即可． 【详解】解：∵， ∴， A．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误； B．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   C．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项错误；   D．根据平行线分线段成比例定理可得，即，故本选项正确． 3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（     ） A． B． C．80 D．30 【答案】C 【分析】根据，得，继而得到求解即可； 【详解】解：， ， ， ，，， 解得； 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过点作的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， ∴， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．（2026·广东清远·三模）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴，， 故选项B正确； ∵，， ∴， 故选项D正确； ∵，， ∴， ∴， 故选项C错误． 二、填空题 6．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】根据，可得，代入数值求出的长，再根据计算即可． 【详解】， ， ，，， ， ， ． 7．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图是一个三层实木阶梯花架，它的侧面可以抽象为图，已知最上层与中间层的垂直距离，中间层与最下层的垂直距离，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列比例式，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 8．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，是的边上一点，连接，过上的点作，交于点，过点作交于点．已知，则的长为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理先得到，进而得到，据此代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·四川成都·阶段检测）如图，在中，D为边上一点，E为线段上一点，延长交于点F．若，则_____．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，掌握作出辅助线是解题的关键．过点C作交的延长线于点G，根据平行线分线段成比例得到，根据得出，等量代换即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点G，    则 ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例、全等三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 设，作，交的延长线于点，由，得，由，，，可证明，得，则，由得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设，作，交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 三、解答题 13．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点．若． (1)求的长． (2)求的长． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理内容并熟练运用是关键； （1）由得，即可求得； （2）由得，再结合即可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； ∵ ∴， ∴． 14．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 15．如图，，，． (1)，求； (2)，求的长． 【答案】(1)6 (2)5 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，然后代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴的长为5． 16．如图，在平行四边形中，连接，E为边上一点，连接并延长交的延长线于点M，交于点G，过点G作交于点F，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，线段的比，平行四边形的性质，掌握平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例是解题关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，结合，即可求出的长； （2）根据平行四边形的性质得出，结合（1）可得出，从而即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴． 17．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 18．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理： （1）过点C作交于点H．根据可得，根据可得，再次利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （2）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解； （3）过点C作交于点H．利用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】（1）解：证明：如图1，过点C作交于点H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $