专题1.1 线段的比（7大题型+高效培优讲义）数学新教材湘教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“线段的比”核心知识点，系统梳理从线段的比（强调单位统一）、成比例线段（两种判断方法）到比例的性质（基本、合比、等比性质）及黄金分割的知识脉络，构建层层递进的学习支架。 资料通过“即学即练”即时巩固概念，“典例+变式”分层突破题型，结合地图比例尺、汉字结构等实际案例，培养学生几何直观的数学眼光和推理意识的数学思维。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力。

专题1.1 线段的比 教学目标 1. 理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概念。 2. 熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 。 3. 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问题。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、合比性质、等比性质等。 （2）能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算线段长度、证明线段成比例。 2.难点 （1）理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生掌握从原理到应用的思维过程。 （2）培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化为数学模型，准确运用比例知识求解 。 知识点01 线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】已知，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】比例的性质、分式化简求值 【分析】本题主要考查比的性质，掌握比的性质计算是解题的关键． （1）将代入，结合分式的性质化简计算即可； （2）将代入，结合分式的性质化简计算即可． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∴． 知识点02 成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2.判断四条线段是否成比例的方法： （1）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断； （2）把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断. 【即学即练2】 1．在比例尺为的地图上，相当于实际_________ 【答案】20 【分析】本题考查了两条线段的比．设两地的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得x的值，注意单位统一． 【详解】解：设两地的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， ∴． 故答案为：20． 2．如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么_____． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义结合已知条件得，即可得出结论． 【详解】解：∵点P把线段分成两部分，且为与的比例中项， ∴， ∴根据黄金分割的定义可得出：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 知识点03 比例的性质 （1）基本性质：若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）合比性质：如果如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c ，则 =ac，b称为a、c的比例中项． 要点：通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 【即学即练3】3．如果，那么下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的基本性质，通过交叉相乘将原式变形，再对比各选项即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴根据比例的基本性质（交叉相乘，内项积等于外项积），得， A选项：与不符，故A错误； B选项：对交叉相乘，得，即，与原式变形结果一致，故B正确； C选项：由可知x、y的取值不唯一，的值也不唯一，故C错误； D选项：对交叉相乘，得，与不符，故D错误， 故选：B． 4．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质．根据已知比例，设参数表示a和b，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴设，（）， ∴， 故选：B 5．若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，利用设k法进行计算即可解答． 【详解】解：∵， 设，， ∴． 故答案为：． 知识点04 黄金分割 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【即学即练4】6．已知线段，点C、D都是线段AB的黄金分割点，则CD的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，黄金分割点将一条线段分为两部分，使得较长线段与全线段的比值为． 根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图，乐器板面上的一根弦，支撑点是的一个黄金分割点，则、之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比，掌握相关知识是解题的关键．根据黄金分割的概念和黄金比值直接求即可． 【详解】解：点是的一个黄金分割点，， ， 故选：A． 8．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为_______(结果保留根号)． 【答案】/ 【分析】先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 题型01 求线段的比 【典例1】若线段，，则（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段、比例的性质 【分析】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数．先统一单位，再根据线段的比的意义求解即可． 【详解】解：， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 【变式2】若线段，，则（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】B 【知识点】比例线段、比例的性质 【分析】本题考查的是线段比例问题，解题的关键是要统一单位再代入求值． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式3】若线段，，则（    ） A．2 B． C． D．50 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】先把转化为，然后根据线段的比的意义，把，直接代入，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的比的意义：在同一单位下，两条线段长度的比，叫做这两条线段的比．注意线段的比是一个没有单位的正数． 题型02 由比例尺求距离 【典例2】（24-25九年级上·浙江温州·阶段检测）在比例尺的地图上量得温州与杭州的距离约为，则温州与杭州的实际距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例线段的应用，解题关键是能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．比例尺图上距离实际距离．根据比例尺关系即可直接得出实际的距离． 【详解】解：根据比例尺图上距离实际距离， ∴温州与杭州的实际距离约为． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山西运城·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是___________千米． 【答案】17 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 【变式3】（25-26九年级上·上海奉贤·期末）小华在某游乐园的地图上看到，某游玩项目排队区域的图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是，那么排队区域的实际长度约_______米． 【答案】 25 【分析】本题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺是解题关键．设实际长度为厘米，根据比例列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设实际长度为厘米， ∴， ∴， 故实际长度为， 故答案为：． 题型03 判断四边是否成比例线段 【典例3】（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·广西钦州·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．1，2，3，4 B．2，4，6，8 C．1，2，5，10 D．2，3，5，8 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）下列各组线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的判断．判断一组线段是否成比例，可将其按长度从小到大排列，检验最小线段与最大线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积，若相等，则这四条线段成比例；反之，则不成比例，根据成比例线段的概念判断各选项即可． 【详解】解：A、选项中，，∴A选项的线段不成比例； B、，∴B选项的线段不成比例； C、，∴C选项的线段不成比例； D、，∴D选项的线段成比例； 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列四条线段不成比例的是（   ） A．3，6，2，4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，可通过计算最小与最大线段的乘积是否等于中间两线段的乘积，若相等，则成比例；否则不成比例，据此逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：线段排序为2，3，4，6，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项B：线段排序为，5，8，15，∵，∴四条线段成比例，不符合题意； 对于选项C：线段排序为，∵，，，∴四条线段不成比例，符合题意； 对于选项D：线段排序为，∵ ，∴四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 题型04 已知成比例线段求其中一边长 【典例4】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知线段，，则的比例中项线段c等于（   ） A．36 B．6 C． D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段的概念，解决本题的关键是熟练掌握成比例线段的概念． 根据比例中项线段满足，且线段长度为正值，由此求解即可． 【详解】∵是和的比例中项， ∴， 又∵线段的长度为正数， ∴． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期中）已知线段，，，且a，b，c，d成比例，则线段d的长是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例问题．根据比例线段的定义，由成比例，得，即，代入已知值求解． 【详解】解：∵ a，b，c，d成比例， ∴， ∴将，，，代入得：，   ∴，即，   ∴， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知线段、、、成比例，，，，则线段的长为____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了成比例线段，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即）． 由成比例线段的定义，列出比例式求解即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d成比例， ∴ ，即，解得：． 故答案为9． 题型05 利用比例的性质进行求解 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元复习）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的基本性质，关键是熟练应用比例的性质解题；利用“两内项之积等于两外项之积”将比例式转化为乘积式，即可求出的值 【详解】解：∵， ∴， 故答案选：A． 【变式2】（25-26九年级上·湖南常德·期末）已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，通过交叉相乘将比例方程转化为线性方程，再求解x与y的比值． 【详解】解：由已知， 交叉相乘得， 展开得， 移项得， 即， 所以， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）若，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 由已知比例关系，求出的值，然后代入目标表达式计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06 利用比例中的等比性质进行求解 【典例6】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，解题的关键是注意掌握比例变形． 根据比例的性质，设，，，，代入最后式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，，，， ∴， 故选：A． 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·期末）若，且，则的值为（  ） A．10 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据题意得到，，，再代入，即可求解． 【详解】解：， ，，， 又， ， ， 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山西临汾·期中）若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，分式的化简，掌握相关知识是解决问题的关键．由比例式设参数 ，用 表示 、、，代入所求分式化简即可． 【详解】解：设 ，则 ，，， ． 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·四川眉山·期中）已知线段满足，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的基本性质-等比性质．设比值为k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可． 【详解】解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴． 故答案为：． 题型07 黄金分割 【典例7】（25-26九年级上·江苏南京·期末）点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义及相关比例关系，根据黄金分割的概念逐一分析选项． 【详解】解：∵点P为线段的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割定义，得（选项A正确），且，即（选项D正确，选项C错误）. ∵ ∴（选项B正确）. 综上，错误的结论是C． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是的黄金分割点（），如果的长为，则的长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P大致是的黄金分割点（），， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知，点为线段的黄金分割点，则______（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割点的定义，较长线段与全长的比值为，结合图形判断出为较长线段，代入的长度进行计算即可． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且由图可知 为较长线段 ． 【变式3】（25-26八年级下·广西钦州·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开，则的长为_____________． 【答案】/ 【分析】根据题意可知，结合可求得；由折叠的性质可得四边形是正方形，即，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵黄金矩形纸片，， ∴，即，解得：． 根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 2．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，则下面结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例内项之积等于外项之积的性质是解题关键． 根据比例的性质，把等积式写成比例式即可得出结论． 【详解】解：A、由得，故选项符合题意； B、由得，故选项不符合题意； C、由得，故选项不符合题意； D、由得，故选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 4．（2026·山东济南·二模）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点为的黄金分割点，如果的长度为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．即，据此求解即可． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴，即， ∴， ∴．（负值不合题意已经舍去） 二、填空题 5．（2026九年级下·全国·专题练习）若线段a、b、c、d是成比例线段，且，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，列出比例式并求解即可． 【详解】解：由题意：， ∵， ∴； 故答案为：8 6．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 7．（2026·山东青岛·三模）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为的黄金分割点，且，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据黄金分割点的定义可知较长线段与原线段的比值为，代入数据计算即可求解． 【详解】解：点为的黄金分割点，且， ， ， ． 三、解答题 8．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 9．（23-24九年级上·江西鹰潭·期中）人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 10．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，再代入计算即可得； （2）根据比例中项的定义求解即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 则． （2）解：线段是线段、的比例中项， ，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则的值为． 【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键． 一、单选题 1．下列四组线段中，不是成比例线段的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，解题的关键是熟练掌握成比例线段的条件． 利用成比例线段的条件逐项进行判断即可． 【详解】解：A.， ∴该四条线段成比例，不符合题意； B. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； C.∵任意两线段之比都不相等， ∴该四条线段不成比例，符合题意； D. ， ∴该四条线段成比例，不符合题意； 故选：C． 2．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 3．已知线段，，线段是a，b的比例中项，则线段的长是（   ） A．10 B．9 C． D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例中项．根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：∵线段，，线段是a，b的比例中项， ∴， ∴（负值舍去）， ∴线段的长是3， 故选：D． 4．若，则k的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．2 【答案】C 【分析】本题考查比例的性质．分和，两种情况进行讨论，求解即可．掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 当时，， 当时，则， ， 综上所述，k的值为1或． 故选：C 5．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 6．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 二、填空题 7．已知，则 ． 【答案】 【分析】由，可知，根据比例的性质即可求出的值，从而得到的值． 本题考查了比例的性质，熟练运用比例的性质，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ． 8．在比例尺为的扬州旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 ． 【答案】 【分析】根据比例尺图上距离：实际距离，依题意列比例式直接求解即可．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换． 【详解】解：设这条道路的实际长度为， 则：， 解得． 故答案是：． 9．已知线段是线段的比例中项，①若，，则 ；②若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：①∵线段是线段的比例中项， ∴， 若，，则， ∵， ∴； ②∵线段是线段的比例中项， ∴， 若，则， ∴； 故答案为：，． 10．已知，且，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．根据比例的性质，设，代入已知等式求出的值，即可求出所求． 【详解】解：设，则， 故答案为：3． 11．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 12．若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，能够熟练掌握整体代入思想是解决本题的关键．根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为： 三、解答题 13．已知线段a、b满足，且． (1)求a、b的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）利用，可设，，则，然后解出k的值即可得到a、b的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】（1）解：设， 则，， 所以，， 解得， 所以，，； （2）∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴， ∴线段． 14．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． 15．已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为18，求各边的长． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识 （1）设，从而用k表示出a，b，c再代入化简即可得解； （2）根据的周长为18，即，从而求出k的值，进而可求出各边的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， ∴； （2）解：设， 则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴，，． 16．已知线段满足，且． (1)求 a 、b 、c 的值； (2)若线段 x 是线段 a 、b 的比例中项，求 x 的值； (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度； 【答案】(1)9，6，12 (2) (3) 【分析】（1）设比值为，然后用表示出再代入等式进行计算即可得； （2）根据比例中项的定义列式求解即可得 （3）根据黄金分割比的结论列式求解即可得 【详解】（1）解：设， 则， 解得：， 则：； （2）∵线段 x 是线段 a 、b 的比例中项， ∴， ∴， ∴； （3）∵线段b按黄金分割比例分为两条线段， ∴长边长度为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，黄金分割比，熟记比例中项的概念、黄金分割比的比值结论是解决问题的关键，同时利用“设法”用表示出可以使计算更加简便． 17．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 18．阅读下列材料，完成探究证明与运用． 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程，… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 由， 从而可得：，解得，经检验是原方程的解，… 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式得成立，同时也成立，由此发现规律． （1）请将他发现的规律补充完整：已知a，b，c，d均不为0，且，若，则______，______； 【证明】 （2）已知，且，求证：． 【运用】 （3）①请用上述规律，解分式方程． ②若，求k的值． 【答案】（1）k，k；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）设，，然后分别代入计算即可； （2）设，则，，，，然后分别代入等式左边计算即可得出结论； （3）①直接利用（2）中的规律解分式方程即可； ②直接利用（2）中的规律即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， 故答案为：k，k； （2）设， 则，，，， ∴ ； （3）①∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为； ②∵， ∴，即， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.1 线段的比 内容总览 1教学目标、教学重难点 知识点01线段的比 知识点02成比例线段 2.知识清单 知识点03比例的性质 知识点04黄金分割 题型01求线段的比 线段的比 题型02由比例尺求距离 题型03判断四边是否成比例 题型04已知成比例线段求其中一边长 3.题型精讲 题型05利用比例的性质进行求解 题型06利用比例中的等比性质进行求解 题型07黄金分割 基础自测 4.强化训练 能力提升 教学目标 教学重难点 1.理解比例线段的相关概念，如线段的比、比例内项与外项等，能准确区分不同概 念。 教学目标 2.熟练掌握比例的基本性质，包括性质内容及变形应用，能根据性质进行比值计算 通过实际案例，学会判断四条线段是否成比例，能运用比例线段解决简单几何问 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题。 1.重点 (1)清晰理解成比例线段的概念，掌握比例线段的基本性质，如比例的基本性质、 合比性质、等比性质等。 (2)能够熟练应用比例线段的性质，解决几何图形中线段比例关系的问题，如计算 线段长度、证明线段成比例。 教学重难点 2.难点 (1)理解比例线段性质的推导过程，尤其是涉及到数学推理和证明部分，引导学生 掌握从原理到应用的思维过程。 (2)培养学生运用成比例线段解决实际问题的能力，帮助学生学会将实际情境转化 为数学模型，准确运用比例知识求解。 知识清单 知识点01线段的比 线段的比：求线段的比时，首先要检查单位是否一致，不一致的应先统一单位，再求比. 【即学即练1】已知a=2b,求下列各式的值. 哈： a-b (2) a+b· 知识点02成比例线段 1.成比例线段概念：对于四条线段α、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 :bc:d,我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段. 2判断四条线段是否成比例的方法： (1)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前两条线段的比和后两条线段的比，看是否相等做出判断： (2)把四条线段按从小到大顺序排好，计算前后两个数的积与中间两个数的积，看是否相等作出判断。 1.在比例尺为l1:1000000的地图上，2cm相当于实际 km 2.如图，点P把线段AB分成两部分，且BP为AP与AB的比例中项.如果AB=2,那么AP=一 A P B 知识点03比例的性质 2/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)基本性质：若a:b-cd,则ad=bc: 9-S,那么a+b_c+d a=9,那么-b-cd (2)合比性质：如果bd bd如果bd 、bd a=Ck,那么c=a-ck (3)等比性质：如果bd b+d b d (4)比例中项：若a:b=b:c，则b=c,b称为a、c的比例中项. 要点：通常四条线段4b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，ab的单位一致，C,d的单位一致也 可以。 53 【即学即练3】3.如果x少，那么下列式子成立的是（) B. x-5 C.y=15 D y 5 A.5x=3y x 3 0=2 a+b 4.己知63，则6的值是() B.3 3 A.1 c.2 b 2 b 5.若。3，则a 知识点04黄金分割 如图，若线段AB上一点C,把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的 比例中项（即AC2=AB.BC),则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中 4C-5-1AB-0.61848 BC-3-5AB 2 2 0.382AB,AC与AB的比叫做黄金比.（注意：对于线段 AB而言，黄金分割点有两个.) 【即学即练4】6.已知线段AB=2,点C、D都是线段AB的黄金分割点，则CD的长是() A.5-1 B.3-V5 C.25-4 D.V5-2 7.如图，乐器板面上的一根弦AB=80Cm,支撑点C是AB的一个黄金分割点(AC>BC),则A、C之间 的距离是() C B 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(40V5-40)jcm B.(80W5-80)cm c.（120-40v5)cm D.(240-805)cm 8.黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边MN,P上，且 ABIINP: 的笔西“、”的位置在R的成金分点处，且S=5,若NP2 BC的长为 cm(结果保留根号). 题型精讲 题型01求线段的比 a 【典例1】若线段a=20mm,b=8cm,则b() A 2 c.5 D. 5 B.4 【变式1】如图，线段AB:BC=5:12,那么AC:BC等于() B A.5:7 B.12:17 C.7:12 D.17:12 h 【变式2】若线段a=8cm'6=4dnm,则。() 1 A.5 B.5 C. D.2 b 【变式3】若线段a=1m'b=50cm,则。（) 1 A.2 B.2 cm C. D.50 题型02由比例尺求距离 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(2425九年级上·浙江温州·阶段检测)在比例尺1：1000000的地图上量得温州与杭州的距离约 为2Cm,则温州与杭州的实际距离约为() A.0.2km B.2km C.20km D.200km 【变式1】(2425九年级上山西运城期中)地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例 尺，已知一张地图的比例尺为1：5500000，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离 为6cm,则实际距离为()km A.33 B.330 C.550 D.600 【变式2】(25-26九年级上·上海阶段检测)在比例尺为1：500000的地图上，如果小、B两地的距离是3.4 厘米，那么这两地的实际距离是 千米. 【变式3】(25-26九年级上·上海奉贤·期末)小华在某游乐园APP的地图上看到，某游玩项目排队区域的 图上长度约2.5厘米，已知该地图的比例尺是1：1000，那么排队区域的实际长度约 米 题型03判断四边是否成比例线段 【典例3】(2425九年级上·吉林长春·阶段检测)下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是( A.3cm、4cm、5cm、8cm B.0.1cm、0.3cm、3cm、9cm C.12cm、15cm、45cm、60cm D.1cm、3cm、4cm、6cm 【变式1】(25-26九年级上：广西钦州·期末)下列四组线段中，是成比例线段的一组是() A.1,2,3,4 B.2,4,6,8 C.1,2,5,10 D.2,3,5,8 【变式2】(2425八年级下·全国单元测试)下列各组线段成比例的是() A.20cm,30cm,40cm,50cm B.20cm,40cm,60cm,80cm C.30cm,60cm,80cm,120cm D.10cm,30cm,50cm,150cm 【变式3】(25-26九年级上广东深圳阶段检测)下列四条线段不成比例的是() 8,515 A.3,6,2,4B.3 C.√52,3v2 D.1,N2,5,√6 题型04已知成比例线段求其中一边长 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 【典例4】(25-26九年级上浙江金华期末)已知线段a=4,b=9,则a,b的比例中项线段c等于() A.36 B.6 C.±6 D.6.5 【变式1】(25-26八年级上山东聊城期中)已知线段a=2,b=3,c=4,且a,b,c,d成比例，则线 段d的长是() A.2 B.4 C.5 D.6 【变式2】(25-26九年级上：湖南衡阳期中)现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4,3,2，a, 若这四条线段是成比例线段，则α的值为 【变式3】(25-26九年级上：宁夏银川期中)已知线段a、b、c、d成比例，a=2cm,b=6cm, c=3cm,则线段d的长为一cm. 题型05利用比例的性质进行求解 【典例5】(25-26八年级下山东烟台期中)若y= 4,则下列等式正确的是() x+y 7 x+33 A B y+44 X=4 D.x-y a 3 【变式1】(25-26八年级下·全国单元复习)若2b,则b的值为() 3 2 A.6 B. 2 C.1 D.3 2x-y_3 【变式2】(25-26九年级上湖南常德期末)己知x+y5,则y 43 b- 【变式3】(25-26九年级上·安徽合肥期末)若6-4？则 一的值为 题型06利用比例中的等比性质进行求解 a c 7 a+c+7 【典例6】(24-25九年级上陕西榆林期中)若6日)6+d+9≠0)，则6++9的值为《) 14 7 A.9 B 27 C.18 D. 21 9 a ce =5 【变式1】(23-24九年级上四川达州期末)若bd∫，且a+c+e=20,则b+d+f的值为() A.10 B.4 C.-4 D.-5 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+5y 【变式2】(25-26九年级上山西临汾期中)若64-子则3v-2的值为 【变式2425九年级上四川眉山期中）已知线段h心清足}？-号耳。+2沙+c=26则 a-b+c= 题型07黄金分割 【典例7】(25-26九年级上·江苏南京期末)点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP,则下列结论中 错误的是() A AP-5-1B. BP3-5 C.APBP BP AP AB 2 AB 2 BP AB D AP AB 【变式1】(25-26九年级上·河南郑州期末)河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出 千年中原的别样风华，实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例，如图，点P大致是AB的黄金分割点 (AP>PB),如果AP的长为6cm,则AB的长约为() A.(35+3cmB.(35-3cmc.(35+1em D.(35-1cm 【变式2】(25-26八年级下·江苏苏州期末)中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子 展开时线条更加流畅、美观.如图，已知AB=20cm,点C为线段AB的黄金分割点，则BC= cm (结果保留根号). 变式3】(2526人年级下广产西钦州期中)宽与长的比是5-（约为068之的矩形叫做黄金每 2 如图，现有一张黄金矩形纸片ABCD,长AD=V5+1,折叠纸片ABCD,使点B落在AD上的点E处，折 痕为AF,连接EF,然后将纸片展开，则DE的长为 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D 9 强化训练 基础自测 一、单选题 -2 x+y 1,(25-26九年级下山东淄博期中)已知y3,那么x-y的值为（)· 1 1 A.5 B.5 c.5 D.5 2.(24-25八年级下·全国课后作业)已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是( D. 3.(25-26八年级下四川成都期中)下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是() A.a=4,b=5,c=6,d=10 B.a=2,b=3,c=4,d=6 C.a=2,b=5,c=25,d=10 D.a=0.8,b=3,c=1,d=10 4.(2026山东济南二模)大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，点P 为AB的黄金分割点(4P>BP),如果BP的长度为6Cm,则AP=() A.(35+3cmB.(35-3cmC.(35+9cmD.(9-3w5)cm 二、填空题 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ 5.(2026九年级下全国专题练习)若线段a、b、c、d是成比例线段，且a=l,b=2,c=4,则d= 6.(25-26九年级上四川广安·阶段检测)如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离 是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是千米 7.(2026山东青岛三模)黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字 “彩”端庄稳重、舒展美观.已知点C为AB的黄金分割点，且AC>BC,若AB=2Cm,则AC的长为 cm B 三、解答题 8.(25-26九年级上安徽滁州期末)已知234千 号名-0，a-b+2c=7求a+2b-3c的值. 9.(23-24九年级上江西鹰潭期中)人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618：1，这时人的身长比例看 上去更美观.某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘 米的高跟鞋.请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？ 上半身长64cm 下半身长102cm 10.(22-23九年级上浙江杭州期中)已知线段a、b满足 22=2,且a+2b=281 (I)求a、b的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值. 能力提升 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.下列四组线段中，不是成比例线段的是() A.a=3,b=6,c=2,d=4 B.a=l,b=√2，c=6,d=V5 C.a=4,b=5,c=6,d=7 D.a=2,b=4,c=1,d=2 2.已知5a=3b,则下列等式正确的是() -5 A.3b b_5 B.3 a C b-5 a 3 D. a+b=4 a-b 3.已知线段a=1+V10,b=V10-1,线段c是a,b的比例中项，则线段c的长是() A.10 B.9 C.10 D.3 2a=2b=2C=k,则k的值为（） 4.若b+ca+ca+b A.1 B.±1 C.1或-2 D.2 5.宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形.如图，AC是黄金矩形ABCD的对角线，△ABC与△ABC DE 关于直线AC成轴对称，4B交CD于点B,则AD的值是(）· A. 5 B.2 c D.4 5-1 6.宽与长的比是 2 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协 调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AB、CD的中点E、 F,连接EF;以点E为圆心，以ED为半径画弧，交BA的延长线于点G;作GH⊥CD,交CD的延长线 于点H,则下列矩形是黄金矩形的是() H A D B 10113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆ A.矩形ADEF B.矩形EFCB C.矩形ADHG D.矩形EFHG 二、填空题 a 2 7.已知a+b5,则a:b= 8.在比例尺为1：1000000的扬州旅游地图上，某条道路的长为8cm,则这条道路的实际长度为 km 9.已知线段c是线段ab的比例中项，①若a=4,b=2,则c=一；②若a:C=3:5,则b:c=_ a b c 10.已知2=3-4，且a+b+c=27则a+b-c= 11,达·芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比 例.图画中头顶到手的长度AB为0C心，下巴的位置点E是头顶点A到手部点B的黄金分割点，则蒙娜丽 V5-1. 莎的头顶到下巴的长度4B为—”（结果保留根号，黄金比为2)· 8若后号月6-0370则 a-2c+3e 三、解答题 a b 13.己知线段a、b满足2=3，且a+2b=16 (1)求a、b的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值. a_b_C≠0 14.已知234 (四求a+b的值： 11/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若a-b+c=9,求3a-2b+c的值， a b c 15.己知ab、c是AABC的三边长，且2=34，求： 3a+2b (①)3c的值： (2)若△ABC的周长为18，求各边的长。 16.已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:4,且a+2b+c=33. (1)求a、b、c的值： (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值： (3)将线段b按黄金分割比例分为两条线段，求黄金分割比例后的较长线段的长度： 17.综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动. D R H F H FG 图1 图2 图3 (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上的点E处，折痕为AF，,把纸 片展平，连接EF； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为GH,把纸片展平： 操作三：如图3，连接BG，,并把BG折到BC上的BG处，得到折痕BM,把纸片展平，连接MG, AG 根据以上操作，直接写出图3中GB的值： 、 (2)【问题解决】 请判断图3中四边形BG'MG的形状，并说明理由. (3)【拓展应用】 AP5-1 我们阳道：将一条线段AB分制成长、短两条线段PPB:若B2,则点P叫微线段AB的黄金分 割点 在以上探究过程中，已知矩形纸片ABCD的宽AB为lCm,当点M是线段ED的黄金分割点时，直接写出 CG的长度 18.阅读下列材料，完成探究证明与运用， 12/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【材料】工程队为推进修筑公路的进度，特引进新设备，引进后平均每天比原计划多修5米，现在修60米 与原计划修45米所需时间相同，问现在平均每天修多少米？ 6045 解：设现在平均每天修x米，则可列出分式方程xx-5,… 同学们在解答完成后，张老师介绍了另一种解法： 9紧05誓 60-3,解得x=20·经检验x=20是限方程的解，“ 从而可得： .13.131+3 【探究】小亮同学对老师的解法很感兴趣，于是再进行探究，由比例式2。得262+6成立，同时 131-3 262-6也成立，由此发现规律 ①)请将他发现的规律补充完整：已知a,b,c,d均不为0，且b+d≠0，b-d≠0，若方，=k,则 a+c a-c b+d -’b-d 【证明】 m=2=三，b-b6--b0,求证：6b-h--bb (2)已知bb,b 41-a2-a3-…-am=am 【运用】 -x2-3x2-3 (3)①请用上述规律，解分式方程x2-4x+5-x2+4x+1 a+b-c-a-b+c=-a+b+c=k,求k的值. ②若2c 2b 2a 13/13