3.2 一元二次方程的解法教案 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该教案聚焦一元二次方程的解法，涵盖直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法。通过石头下落、矩形土地等现实情境导入，从基础的直接开平方法逐步过渡到配方法（分二次项系数为1与不为1）、公式法和因式分解法，构建递进式学习支架。 特色在于以情境导入培养数学眼光，通过合作探究中的问题链（如配方练习、根的判别式应用）发展数学思维，步骤化板书强化数学语言表达。例如用配方法推导求根公式，结合实例训练解法选择，提升学生抽象能力与运算能力，助力教师高效实施分层教学。

3.2 一元二次方程的解法 3.2.1 配方法 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 【教学目标】 1.理解并掌握一元二次方程的根的概念. 2.会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程.(重点，难点) 【教学过程】 一、情境导入 一块石头从20m高的塔上落下，石头离地面的高度h(m)和下落时间x(s)大致有如下关系：h＝5x2，问石头经过多长时间落到地面？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的解(根) 已知x＝1是一元二次方程x2－mx＋2m＝0的一个解，则m的值是( ) A.－1 B.1 C.0 D.0或1 解析：把x＝1代入x2－mx＋2m＝0得1－m＋2m＝0，∴m＝－1，故选A. 方法总结：已知一元二次方程的根，求方程中未知系数的值，通常把根代入原方程，得到关于所求未知系数的方程. 探究点二：直接开平方法解一元二次方程 用直接开平方法解下列方程 (1)x2－16＝0; (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9; (4)(2y－3)2＝16. 解：(1)移项，得x2＝16.根据平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4. (2)移项，得3x2＝27.两边同时除以3，得x2＝9.根据平方根的定义，得x＝±3，即x1＝3，x2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x－2＝±3，即x1＝5，x2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y－3＝±4，即y1＝，y2＝－. 方法总结：用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，再根据平方根的定义求解.注意开方后，等式的右边取“正、负两种情况” 【板书设计】 (1)一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根. (2)直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程. 第2课时 用配方法解一元二次方程（1） 【教学目标】 1.理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.(重点) 2.通过配方法体会“等价转化”的数学思想. 【教学过程】 一、情境导入 前面我们已经学习了直接开平方法解一元二次方程，你会解下列一元二次方程吗？ (1)x2＝5；(2)(x＋2)2＝5；(3)x2＋12x＋36＝5. 第(3)题的左边是个什么式子？ 二、合作探究 探究点一：配方 填上适当的数，使下列等式成立. (1)x2＋6x＋________＝(x＋________)2； (2)x2－6x＋________＝(x－________)2； (3)x2＋6x＋4＝x2＋6x＋________－________＋4＝(x＋________)2－________. 解：9 3 9 3 9 9 3 5 方法总结：当二次项系数为1时，配方的关键就是加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使含未知数的项在一个完全平方式里. 探究点二：利用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解方程：x2＋2x－1＝0. 解：移项，得x2＋2x＝1. 配方，得x2＋2x＋()2＝1＋()2， 即(x＋1)2＝2. 开平方，得x＋1＝±. 解得x1＝－1，x2＝－－1. 方法总结：用配方法解一元二次方程时，应按照步骤严格进行，以免出错.配方添加时，记住方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 【板书设计】 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤： (1)移项，把方程的常数项移到方程的右边，使方程的左边只含二次项和一次项； (2)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式； (3)用直接开平方法求出它的解. 第3课时 用配方法解一元二次方程（2） 【教学目标】 1.利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.(重点) 2.能熟练灵活地运用配方法解一元二次方程.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为5000m2，道路的宽为多少？ 二、合作探究 探究点一：利用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 用配方法解方程：－x2＋x－＝0. 解：方程两边同除以－，得x2－5x＋＝0. 移项，得x2－5x＝－. 配方，得x2－5x＋()2＝－＋()2， 即(x－)2＝. 所以x－＝或x－＝－. 所以x1＝，x2＝. 易错提醒：用配方法解一元二次方程时，易出现以下错误：(1)方程一边忘记加常数项：(2)忘记将二次项系数化为1；(3)在二次项系数化为1时，常数项忘记除以二次项系数；(4)配方时，只在一边加上一次项系数一半的平方. 探究点二：配方法的应用 【类型一】 利用配方法求代数式的值 已知a2－3a＋b2－＋＝0，求a－4的值. 解：原等式可以写成：(a－)2＋(b－)2＝0. ∴a－＝0，b－＝0，解得：a＝，b＝. ∴a－4＝－4×＝－. 方法总结：这类题目主要是配方法和非负数性质的综合应用，通过配方把等式转化为两个数的平方和等于0的形式是解题的关键. 【类型二】 利用配方法求代数式的最值或判定代数式的值与0的关系 请用配方法说明：不论x取何值，代数式x2－5x＋7的值恒为正. 解：∵x2－5x＋7＝x2－5x＋()2＋7－()2＝(x－)2＋， 而(x－)2≥0，∴(x－)2＋≥. ∴代数式x2－5x＋7的值恒为正. 方法总结：对于代数式是一个关于x的二次式且含有一次项，在求它的最值时，常常采用配方法，将原代数式变形为一个平方式加一个常数的形式，根据一个数的平方式是一个非负数，从而就可以求出原代数式的最值. 【板书设计】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： (1)把原方程化为一般形式； (2)二次项系数化为1，方程两边都除以二次项系数； (3)移项，把常数项移到右边，使方程左边只含二次项和一次项； (4)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方； (5)用直接开平方法解方程. 3.2.2 公式法 【教学目标】 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程； 2.会用公式法解一元二次方程；(重点) 3.会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题. 问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝. 二、合作探究 探究点一：求根公式 方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________. 解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝. 故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，. 方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根. 探究点二：用公式法解一元二次方程 用公式法解下列方程： (1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0； (3)x2－2x＋1＝0. 解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0. ∵a＝3，b＝5，c＝－2， ∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝－2. (2)∵a＝2，b＝3，c＝3， ∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0， ∴原方程没有实数根. (3)∵a＝1，b＝－2，c＝1， ∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝x2＝1. 方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根). 探究点三：根的判别式 【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况 已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B. 方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根. 【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围 若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A.k>－1 B.k>－1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B. 易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A. 【类型三】 利用根的判别式判断三角形的形状 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状. 解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0. ∵原方程有两个相等的实数根， ∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0， 即4m(a2＋b2－c2)＝0. 又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2. 根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形. 方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题. 【类型四】 利用根的判别式解存在性问题 是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：不存在，理由如下： 假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0. 而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾. ∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根. 易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了m2≠0这一隐含条件，因此解题过程中务必细心警惕. 【板书设计】 3.2.3 因式分解法 第1课时 因式分解法解一元二次方程 【教学目标】 1.理解并掌握用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程. 【教学过程】 一、情境导入 我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？ 二、合作探究 探究点：用因式分解法解一元二次方程 【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程 用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次多项式，可用因式分解法. 解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0， 所以x＝0或x＋5＝0， 所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5； (2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0； 所以(x－5)[(x－6)－1]＝0； 所以(x－5)(x－7)＝0； 所以x－5＝0或x－7＝0； 所以原方程的解为x1＝5，x2＝7. 方法总结：先将方程右边化为0，观察方程左边是否有公因式，若有公因式，就能利用提公因式法快速分解因式. 【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程 用公式法分解因式解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 解：(1)原方程可变形为：x2－6x＋9＝0， 则(x－3)2＝0， 所以x－3＝0， 因此原方程的解为：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0； [2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0； (7x－16)(－3x＋4)＝0； ∴7x－16＝0或－3x＋4＝0； ∴原方程的解为x1＝，x2＝. 方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【板书设计】 因式分解法 第2课时 选择合适的方法解一元二次方程 【教学目标】 1.理解解一元二次方程的基本思路. 2.能根据题目特点选用最恰当的方法求解.(重点) 【教学过程】 一、情境导入 王庄村在测量土地时，发现了一块正方形的土地和一块矩形的土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80m，工作人员说，正方形土地的面积是矩形土地面积的一半，你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？ 二、合作探究 探究点一：解一元二次方程的方法选择 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是( ) A.x＝0 B.x＝－3 C.x＝3或x＝－1 D.x＝3或x＝0 解析：方程两边有公因式(x－3)，可以利用因式分解法解方程，原方程变形，得(x－3)(x＋1)－(x－3)＝0，所以(x－3)(x＋1－1)＝0，即x－3＝0或x＝0，所以原方程的解为x1＝3，x2＝0.故答案为D. 易错提醒：解形如ax2＝bx的方程，千万不可以在方程的两边同时除以x，得到x＝，这样会产生丢根现象，只能提公因式，得到x1＝0，x2＝.如本题中易出现在方程两边同除以(x－3)，从而得到x＝0的错误. 探究点二：选择适当的方法解一元二次方程 用适当的方法解方程：(1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；(2)3x2＝4x＋1；(3)5x2＝4x－1. 解：(1)原方程可变形为3x(x＋5)－5(x＋5)＝0即(x＋5)(3x－5)＝0， ∴x＋5＝0，3x－5＝0， ∴x1＝－5，x2＝. (2)将方程化为一般形式，得3x2－4x－1＝0. 这里a＝3，b＝－4，c＝－1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝. (3)将方程化为一般形式，得5x2－4x＋1＝0. 这里a＝5，b＝－4，c＝1， ∴b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0， ∴原方程没有实数根. 方法总结：解一元二次方程时，若没有具体的要求，应尽量选择最简便的方法去解，能用因式分解或开平方法的选用因式分解或开平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解.在用公式法时，要先计算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，则判断原方程没有实数根.没有特殊要求时，一般不用配方法. 【板书设计】 0 1 学科网（北京）股份有限公司 $