27.2 反比例函数的性质 讲义-2026-2027学年人教版以九年级数学上册

本讲义聚焦反比例函数的性质这一核心知识点，系统梳理k的符号对图像位置和增减性的影响，k的几何意义（矩形面积|k|、三角形面积|k|/2），以及与一次函数的交点问题（交点个数、解不等式），承接反比例函数定义，构建从性质理解到综合应用的学习支架。 资料特色在于题型分类系统，7类题型含例题与变式，梯度分明。通过比较坐标大小培养数学眼光，结合图形面积问题发展几何直观，存在性和动点问题锻炼推理能力与创新意识。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

27.2 反比例函数的性质（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 3 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 3 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 4 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 4 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 5 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 6 【题型7 反比例函数中的动点问题】 8 【随堂检测】 10 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点3 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【变式1-1】若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 【变式1-2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【变式1-3】若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．（填“＞”或“＜”） 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 【变式2-1】若点 ，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【变式2-2】若点，，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为_____． 【变式2-3】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且B． C．或 D．或 【变式3-1】已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-1】如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．不能确定 【变式4-2】如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 【例5】如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【变式5-2】如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式5-3】如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 【例6】如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2．    (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由． 【题型7 反比例函数中的动点问题】 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 和点，与轴交于点，与 轴交于点． (1)求的值以及点坐标； (2)为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标． (3)为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标． 【变式7-1】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 【变式7-2】如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 随堂检测 【随堂检测】 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 2．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 33．如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 6．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 7．如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 8．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的性质（知识解读） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 3 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 4 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 6 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 8 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 12 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 15 【题型7 反比例函数中的动点问题】 23 【随堂检测】 30 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点3 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】已知反比例函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为__________．（用“>”连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，判断三个点所在的象限，结合每一象限内函数的增减性比较函数值的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 又， ， ， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大． ，，三点在函数图象上， ，在第二象限，点在第四象限， ， 即． 【变式1-1】若点，在反比例函数（a为常数）的图像上，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数的性质，根据两点横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数. 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 已知点，，可得， ∴点、都在第三象限的图象上， 因此可得． 【变式1-2】若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分别把点的横坐标代入解析式求出纵坐标，进而即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵点，，在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 故答案为． 【变式1-3】若点与点都在反比例函数的图象上，且，则，的大小关系是______．（填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，又，可得到与点是第四象限图象上的两点，可得． 【详解】解：∵反比例函数的， 在每个象限内，随的增大而增大， 又∵点与点都在反比例函数的图象上，且， 可得， 故答案为：． 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】若点，，都在反比例函数 的图象上，则的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】将各点坐标代入反比例函数解析式求出对应的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数 的图象上， ∴，，， ∵， ∴． 【变式2-1】若点 ，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数解析式分布求出的值，进而即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 同理可得，，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】若点，，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数的自变量的大小，可证明，则反比例函数的图像经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x增大而增大，再由即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比较反比例自变量的大小，反比例函数的增减性，先根据反比例函数解析式得到反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由即可得到答案 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵点，，在反比例函数的图象上，， ∴， 故答案为：． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】在反比例函数的图象上有两点和，若，则的取值范围是（     ） A．且B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据反比例函数系数的符号判断函数图象位置与增减性，再求出的值，分点在第三象限和第一象限两种情况讨论，即可得到的取值范围． 【详解】∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，. 将代入，得. 由得，分两种情况讨论： ① 当时，点在第三象限，，结合第三象限内随增大而减小，可得； ② 当时，点在第一象限，，由可知恒成立，即所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 【变式3-1】已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 【变式3-2】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象为双曲线，当>，图象分布在一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，图象分布在二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质解题关键．根据反比例函数的性质得到，然后解不等式即可． 【详解】反比例函数的图象在每个象限内都是自左向右下降， ， ， 故选：A． 【变式3-3】若点在反比例函数（）的图象上，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知当时，在第三象限内，y随x的增大而减小，由，可得，解得，由第三象限内的点坐标特点可知，即，，可求，进而可得a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，在第三象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，， ∴， ∴a的取值范围是． 故选：A. 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，点分别为反比例函数的图象上的点，且轴，已知的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，关键是通过设的纵坐标为，求出、两点的横坐标，从而得到的长度，再结合三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的纵坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为； ∴； ∵点在轴上， ∴中边上的高为； ∴的面积为； 故选：B． 【变式4-1】如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为（   ） A．3 B．6 C．8 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，连接，由题意得出轴，得出，再根据反比例函数的值的几何意义即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 轴于， 轴， ， ， ， 故选：A． 【变式4-2】如图，平行于x轴的直线与函数，的图象分别相交于A，B两点，点C在x轴的负半轴上．则的面积为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，的几何意义，连接，根据反比例函数的几何意义，得出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵轴， ∴， ，， 则， 故选：C． 【变式4-3】如图，点，分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点作的垂线交轴于点，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定；过点B作轴于E，设交x轴于点F，由反比例函数比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：过点B作轴于E，设交x轴于点F，如图， ∵点，分别是反比例函数与的图象上，且轴， ∴，四边形是矩形， ∴； 故选：A． 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 【例5】如图，A为函数图象上的一点，C为x轴上的点，过点A作x轴的平行线交y轴于点B，连接，若，四边形OABC的面积为4，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】因为平行于x轴，且，所以与平行且相等，四边形是平行四边形，设点A的坐标为，因为A在反比例函数上，所以满足，根据平行四边形面积公式，结合长度等于点A的横坐标，长度等于点A的纵坐标，可建立面积与k的关系． 【详解】∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， 设点坐标为， ∵在上， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， 且平行四边形的高等于的纵坐标， ∴， 解得． 【变式5-1】如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上的一点，连接，．若的面积为，则的值是（） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】连接，根据平行线间的距离相等可知，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出的值 【详解】解：连接，如图， ∵轴，轴轴， ∴轴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且的面积为8，若双曲线经过边的中点C，则k的值为（  　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】设、，则，根据的面积为8求出，再将C点坐标代入双曲线解析式，从而求出的值． 【详解】解：设、， ∵点C是边的中点， ， 点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上， 、， ， ， ， 将代入得：． 【变式5-3】如图，是等边三角形，点的坐标是，若反比例函数图象的一支经过点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质及k的几何意义．作轴于，根据等边三角形的性质求出的面积，即可得到k值． 【详解】解：作轴于， ∵点的坐标是， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴， 故选：A． 【题型6 反比例函数中的存在性问题】 【例6】如图，已知一次函数与反比函数的图象在第一、三象限分别交于、两点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)点P为y轴上的一个动点，连接，是否存在点P使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)8 (3)存在，或或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分割法求出的面积即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴，， 把、代入，得： ，解得：， ∴； （2）设直线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）存在； 设， ∵， ∴，，， 是以为腰的等腰三角形，分两种情况： ①，则：， ∴， ∴或； ②，则：， 解得：（舍去）或； ∴； 综上：存在或或，使是以为腰的等腰三角形． 【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内相交于点A，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度后，与反比例函数的图象在第一象限内相交于点，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)在x轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，一次函数的平移，轴对称最短路径问题，掌握以上知识是解题的关键． （1）首先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先联立表达式求出，作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求，然后求出直线的函数表达式为，令，进而求解即可． 【详解】（1）正比例函数的图象向下平移3个单位长度后的函数表达式为， 把点代入，得， ∴． 把点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）存在． 理由：联立正比例函数和反比例函数得， 解得或 ∵点A在第一象限， ∴． 作点关于x轴对称的点，连接交x轴于点P，即为所求， ∴． 设直线的函数表达式为 把，代入，得 解得 ∴直线的函数表达式为 令，则，解得， ∴． ∴在x轴上存在点，使得的周长最小． 【变式6-2】如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2．    (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）根据题意和待定系数法得出反比例函数的解析式即可； （2）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可． 【详解】（1）解：与的图象在第一象限交于点，且点的横坐标为2， 当时，， ， ， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 在中，当时，， ， ， 当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况： ①当为平行四边形的边时， 点在第一象限， ，， 点的坐标为，且， 点在点的下方， 点坐标为； ②当为平行四边形的对角线时，点在点的上方，可得点的坐标为， 或．    【点睛】此题是反比例函数的综合题，考查求反比例函数的解析式和反比例函数的性质以及平行四边形的性质，关键是根据待定系数法求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【题型7 反比例函数中的动点问题】 【例7】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 和点，与轴交于点，与 轴交于点． (1)求的值以及点坐标； (2)为轴上的一动点， 的面积时，求点坐标． (3)为轴上的一动点，连接和，当的值最小时， 求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，一元二次方程，直角坐标系中的面积，轴对称将军饮马问题，熟练掌握一次函数与反比例函数的交点问题是解题的关键． （1）将代入即可求出，联立反比例函数与直线解析式即可求出的坐标； （2）利用一次函数求出，，设，则，利用列式求解即可； （3）作点作轴的对称点，连接，则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值，此时与轴的交点即为点，求出直线的解析式，令，即可得． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 由， 解得：或， 故； （2）解：令， 解得：， 则，， 令，得， 则，， 设， 则， 则， 解得：或， ∴点的坐标为或； （3）解：作点作轴的对称点，连接， 则，当且仅当，，依次共线时，取得最小值， 此时与轴的交点即为点， 设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 则． 【变式7-1】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． (1)求k与m的值； (2)为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 【答案】(1)k的值为，的值为6 (2) 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ∴． 把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴k的值为，的值为6． （2）当时，． ∴． ∵为x轴正半轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴． ∴或（舍去）． ∴． 【变式7-2】如图1，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接，． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)若的面积为12，求点P的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点E、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函为，一次函数表达式为 (2) (3)存在，点E的坐标为或或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题， （1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式; （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E，设，根据三角形的面积，建立方程求解即可，得出答案; （3）利用待定系数法可直线PM的解析式为，设，分三种情况∶ 当、为平行四边形对角线时； 当、为平行四边形对角线时，当、为平行四边形对角线时；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵反比例函数 的图象经过、两点， ， 解得：， ， 由点M、N的坐标得，直线的表达式为：； 反比例函数表达式为，一次函数表达式为； （2）如图，设直线交x轴于H，过点M作轴于D，过点N作轴于E， 设， ，， ， 直线的表达式为：， 则， ， ， 解得：， ； （3）存在，点E的坐标为或或． 由点P、M的坐标得，直线PM的解析式为， 设， ，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， 则，解得：， ，； 综上所述，点E的坐标为或或． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，点． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一动点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3). 【分析】（1）把代入求出的值，然后把代入反比例函数表达式求出的值，最后把、的坐标代入求解即可； （2）根据函数图象直接求解即可； （3）利用对称性，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，根据待定系数法求出直线的表达式，然后令，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴； （2）解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集或； （3）解：作点关于轴的对称点，连接与轴交于点， 则， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴. 随堂检测 【随堂检测】 1．在反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，利用反比例函数的增减性得到系数的取值范围，对于反比例函数，当时，图象任意一支上都随的增大而减小，进行解答；即可． 【详解】∵ 反比例函数图象的任意一支上，都随的增大而减小， ∴ ， 解得 ， 上述四个选项中只有，符合条件． 2．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定反比例函数的比例系数符号，再根据x的取值范围判断两点所在象限，结合反比例函数的增减性即可比较与的大小． 【详解】解：将反比例函数整理为的形式，可得． ∵， ∴反比例函数图象在第二，四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． 又∵， ∴点，都位于第四象限，根据增减性可得． 3．如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 4．点P在反比例函数（）的图象上，轴于点A，的面积为2，则k的值为（     ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据三角形面积可得的值，题目未说明反比例函数图象所在象限，因此有两种可能． 【详解】解：∵ 过反比例函数图象上一点作x轴垂线，该点、垂足和原点围成的三角形面积为， 又∵ 的面积为， ∴ ， 解得，即， 本题未给出函数图象所在象限，因此的值为． 33．如图，是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为，点，均在轴上，且．若的面积为4，则的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出，再由建立方程求解即可． 【详解】解：∵是反比例函数在第一象限内的图象上的一点，其纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 5．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数中，比例系数， ∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ∵， ∴点，都在第三象限， ∴． 6．如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数（），且，点C，D在轴上，四边形面积为5，则 _____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，正确理解反比例函数的几何意义是解答本题的关键，连结，，，设与y轴相交于点E，由可得，再根据反比例函数的几何意义得到，进而得到，再根据即可求得答案． 【详解】解：连结，，，设与y轴相交于点E， ，四边形面积为5， ∵等底等高， ， ∵等底等高， ， ，， ， 解得， ∵， ， 故答案为：． 7．如图，O为坐标原点，点和点均在直线和反比例函数图象上． (1)求m，的值； (2)直接写出当x满足什么条件时，； (3)P为y轴上一点，若的面积是面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)P或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合、函数与不等式、坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由点在反比例函数图象上，可得，即；将点代入反比例函数即可求得m的值； （2）由（1）可知两函数的交点坐标为点和点，然后再结合函数图象即可解答； （3）利用待定系数法得出直线的解析式为，则直线交y轴于，设，然后根据坐标与图形列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵将点代入反比例函数． ∴，解得：． （2）解：∵点和点是直线和反比例函数的交点， 观察图象可知：当或时，． （3）解：∵点和点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∴直线交y轴于， 设， ∵的面积是面积的2倍， ∴，解得或， ∴P或． 8．如图，点A在反比例函数图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，连接，，． (1)求反比例函数解析式； (2)在y轴上是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或或或 【分析】题目主要考查反比例函数、解三角形，等腰三角形的性质，理解题意，作出辅助线进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法即可求解； （2）根据题意得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，分别作出图象，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，． ∴， ∵点A在第二象限， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）得，， ∴， ∵在y轴上存在点M，使得为等腰三角形， ∴设， ∴当时， ， ∴， ∴点M的坐标为或； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， ∴， ∴点M的坐标为； 当时，过点A作轴，如图所示： ∴四边形ABOG为矩形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上可得：点M的坐标为或或或 ． 9．如图，已知一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于第一象限内的点A（1，6）和B（6，m），与x轴交于点C． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）不等式k1x+b≥的解集是 　 　； （3）是否存在坐标平面内的点P，使得由点O，A，C，P组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝；y＝﹣x+7；（2）x＜0或1≤x≤6；（3）存在，点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6） 【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式； （2）利用函数图象结合其交点得出不等式k1x+b≥的解集； （3）利用平行四边形的性质结合当APOC且AP＝OC时，当A OC且A＝OC时，当AO C，且AO＝C时，分别得出答案． 【详解】解：（1）∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上， ∴6＝， 解得：k2＝6， ∴反比例函数的表达式是：y＝； ∵B（6，m）在反比例函数y＝的图象上， ∴m＝＝1， ∴B（6，1）， 将点A（1，6），B（6，1）代入y＝k1x+b，可得： ， 解得：， ∴一次函数表达式是：y＝﹣x+7； （2）∵点A（1，6），B（6，1）， ∴不等式k1x+b≥的解集是：x＜0或1≤x≤6； 故答案为：x＜0或1≤x≤6； （3）如图所示：当APOC且AP＝OC时， 则AP＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴P点坐标为：（8，6）； 当A OC且A＝OC时， 则A＝OC＝7， ∵A（1，6）， ∴点坐标为：（﹣6，6）； 当AO C，且AO＝C时， 则点A与到x轴距离相等，且点横坐标为7﹣1＝6， ∴点坐标为：（6，﹣6）； 综上所述：点P的坐标为：（8，6），（﹣6，6），（6，﹣6）． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $