圆周运动 - 水平转盘、旋转木马类 提升训练 -2026-2027学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 以向心力来源为主线，系统整合水平转盘、倾斜轨道、车辆转弯等模型，通过受力分析与几何关系建构解题方法，强化运动和相互作用观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |水平转盘类|3题|静摩擦力/绳拉力提供向心力，临界条件分析|从基础圆周运动概念到多体关联模型| |倾斜转盘类|3题|重力分力与弹力合力提供向心力，正交分解法|拓展至非水平面圆周运动| |圆斜面类|2题|圆锥摆模型，拉力/支持力分解|几何关系与向心力公式结合| |旋转木马类|3题|绳拉力水平分量提供向心力，轨迹半径计算|生活情境向物理模型转化| |汽车火车转弯类|4题|摩擦力/重力支持力合力提供向心力，限速分析|实际问题中的科学推理与论证|

水平方向圆周运动 综合训练 一．水平转盘类 1．（2026春•庐江县校级期末）如图所示，两个质量均为m的木块a和b（均可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为r，b与转轴OO′的距离为2r。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，试求： （1）当时（a、b均未滑动），a、b所受摩擦力大小fa和fb； （2）若在a、b之间用一根轻质细绳连接，初始时细绳刚好伸直，现缓慢加速转动，为使a、b不与圆盘之间发生相对滑动，转动的最大角速度ωm和此时细绳张力T大小。 2．（2026春•哈尔滨期末）如图所示，水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴转动，质量m＝0.1kg的小物块放在圆盘上，一根长l＝0.5m的轻杆，一端连接物块，一端通过铰链固定在转轴上的P点，初始时轻杆与转轴的夹角θ＝37°且恰好无弹力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10m/s2，圆盘由静止开始缓慢增大转速。 （1）若圆盘光滑，求物块刚要离开圆盘时圆盘的角速度ω1的大小； （2）若物块与圆盘之间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 ①求轻杆中刚要产生弹力时圆盘的角速度ω2的大小； ②求圆盘的角速度ω3＝2rad/s时，轻杆中弹力的大小。 3．（2026春•温州期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调、半径R＝5m的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接质量m＝50kg的转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。已知转椅与雪地间的动摩擦因数μ＝0.6，不计空气阻力。 （1）在图甲中，圆盘在水平雪地上以角速度ω1＝2rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径r1＝6m的匀速圆周运动。求转椅所需向心力的大小Fn，及AB与OB之间夹角α的正切值； （2）将圆盘升高，如图乙所示。已知边缘A到雪地的竖直高度H＝5m，绳长，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做匀速圆周运动，轻绳在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角β＝37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求： ①转椅做匀速圆周运动的半径r2； ②转椅做匀速圆周运动的角速度ω2； ③缓慢增大圆盘的角速度，转椅恰好离开雪地时的临界角速度ω3。 二、倾斜转盘类 4．（2026春•宝安区校级月考）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。 （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； （2）若ω＝2，求小物块受到的摩擦力大小和方向； （3）若ω＝2，且小物块恰好不滑动，求动摩擦因数μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 5．（2026春•荔湾区校级月考）如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2。 （1）求小球通过最高点A时的最小速度。 （2）如果细绳能承受的最大拉力为9N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？ 6．（2024春•安徽期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离rm处有一质量m＝1kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ＝37°，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）当圆盘角速度ωrad/s时，求物体受到的向心力大小，以及物体在P点受到的摩擦力大小； （2）当圆盘角速度ω＝2rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 三、圆斜面类 7．（2026春•青秀区校级期中）图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： （1）细线对小球的拉力的大小T； （2）图甲中小球角速度的大小ω1； （3）图乙中小球角速度的大小ω2。 8．（2026春•兰州期中）如图，用一根长l＝1m的细线，一端系一质量m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，O点距地面高度h＝1.5m。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）求： （1）小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； （2）小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； （3）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω0为多大。 四、旋转木马类 9．（2026春•南山区期末）游乐场的游乐项目如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。人和座椅的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为θ＝37°，该同学与座椅的总质量m＝50kg，转盘的半径为R＝3m，绳长，重力加速度g取10m/s2，计算结果可保留根号。（sin37°＝0.6） （1）求座椅受到绳子的拉力T的大小； （2）求人和座椅转动的角速度大小； （3）若转动过程中，乘客携带的物品不慎脱落，求脱落瞬间的速度大小并分析该物品从脱落到落地前的做何种机械运动。 10．（2026春•沙坪坝区校级期末）如图所示，一根长L＝0.50m且不可伸长的轻绳一端固定在天花板上O点，另一端系一质量m＝0.20kg的小球（可视为质点），小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角始终为37°。重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）小球对轻绳的拉力大小； （2）小球做圆周运动的线速度大小。 11．（2026•麦盖提县校级模拟）如图所示，质量均为m的A、B、C三个小球分别套在光滑的“T”型离心装置的水平杆两侧和竖直杆上，O为水平杆的中点，两球与O之间用原长为0.8L的两个完全相同的轻质弹簧连接，A、B两球用长为L的轻绳与C球连接。最初系统处于静止，轻绳与竖直杆间的夹角为θ＝37°。该装置绕竖直杆所在轴缓慢加速，直至弹簧恢复到原长。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。求： （1）系统静止时，绳上弹力T的大小和弹簧的劲度系数k； （2）当弹簧恢复原长时，水平杆转动的角速度ω。 五、汽车、火车转弯类 12．（2026春•衢州期末）2026年3月，中国自主研发的张雪机车在世界超级摩托车锦标赛（WSBK）葡萄牙站连续夺冠。如图所示，某段测试赛道由水平直道AB和水平弯道BC组成，两段赛道平滑连接。机车由A点驶入，沿赛道中间虚线行驶至C点。已知机车和车手的总质量M＝240kg，平直赛道AB的长度L＝320m，虚线处弯道半径R＝50m，弯道圆心角θ＝90°，机车在直道上加速和减速的最大加速度均为am＝10m/s2，最高限速为216km/h，在弯道上车轮与赛道的最大静摩擦力约为总重力的0.8倍。 （1）若机车从A点由静止出发在直道AB上以最大加速度am做匀加速直线运动，求机车到达B点时的速度大小，并判断机车是否达到最高限速； （2）要使机车在BC段安全过弯，求机车过弯的最大速度； （3）若机车从A点以40m/s的速度驶入赛道，求机车在AB段行驶的最短时间。 13．（2026春•红桥区期末）在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计速度是108km/h，汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，试求： （1）如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，其弯道的最小半径是多少？ （2）如果弯道的路面设计为倾斜，弯道半径为200m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度的正切值tanθ是多少？ 14．（2024秋•上海校级期末）火车转弯时可以看成是做水平面内的匀速圆周运动，火车转弯时，火车车轮对内、外轨的侧向力为零时的速度为规定速度。 （1）当火车以规定速度转弯时，悬吊在车厢内的玩具毛毛熊与车厢相对静止时的状态应是（　 　 ） A．B．C．D． （2）修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示。弯道的半径为R，此弯道的设计速度为v，轨道的外轨略高于内轨，轨道平面倾角为θ（θ很小）。当火车以规定速度行驶时，铁轨对火车的支持力等于　 　 （火车质量为m，用m、g、θ表示），该弯道的半径R与设计速度v的关系是R＝　 　 （用v、g、θ表示） （3） 火车提速后在该弯道运行时，　 　 （选填“外轨”“内轨”“内外双轨”）对车轮的轮缘有侧压力。 15．（2023春•南海区校级期中）火车转弯时的运动可看成圆周运动的一部分，为了减轻轮缘与外轨间的挤压，弯道处铁轨的内踏面与外轨道不一样高，火车的车轮与铁轨的位置情况如图所示。请回答以下问题。 （1）转弯处的内、外轨道哪个高一些？火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的圆面b还是倾斜的圆面a？ （2）为防止铁轨与车轮轮缘间的挤压，使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。已知重力加速度g，轨道平面与水平面的倾角为θ。请推导倾角θ的正切值tanθ与轨道的半径R、规定速度v0的关系式； （3）为了适应我国经济快速发展的需要，我国铁路部门已多次对火车提速，最高时速已经超过350km/h。火车提速需要对原来铁路的弯道进行改造，请你提出一种可行性的改造方案。 16．（2026春•浙江期中）新疆果子沟大桥是新疆伊犁河谷著名的交通枢纽工程，路线设计包含连续弯道与平直路段，其建设充分考虑了车辆行驶的安全性与舒适性。某段大桥简化如图所示，第一段水平圆弧弯道A′A、平直路段AB和第二段水平圆弧弯道BB′的组合模型，弯道半径均为R＝630m，AB段平直路段长度L＝200m，汽车（含车内乘客、饰品）总质量M＝1500kg，车内悬挂饰品质量m＝0.1kg。重力加速度g＝10m/s2，汽车行驶时所受阻力恒为车重的k倍，k＝0.06，取tan4°＝0.07，忽略汽车尺寸的影响。 （1）汽车经过第一段弯道A′A时，以半径R做匀速圆周运动，车内悬挂的饰品偏离竖直方向的夹角θ＝4°。求此时汽车的加速度a1大小及行驶速度v1大小； （2）汽车沿平直路段AB做直线运动前，车内乘客为欣赏果子沟风光，汽车从A点开始以恒定加速度从v1匀减速至57.6km/h，再以57.6km/h匀速行驶至终点B，求汽车在平直路段上减速时所受的牵引力F大小及在AB段运动的总时间t。 参考答案与试题解析 1．（2026春•庐江县校级期末）如图所示，两个质量均为m的木块a和b（均可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为r，b与转轴OO′的距离为2r。木块与圆盘间的最大静摩擦力为木块重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，试求： （1）当时（a、b均未滑动），a、b所受摩擦力大小fa和fb； （2）若在a、b之间用一根轻质细绳连接，初始时细绳刚好伸直，现缓慢加速转动，为使a、b不与圆盘之间发生相对滑动，转动的最大角速度ωm和此时细绳张力T大小。 【分析】（1）静摩擦力提供向心力，根据向心力公式，求出a、b所受摩擦力大小fa和fb； （2）b半径大，所需向心力更大，先达到最大静摩擦；角速度继续增大时细线产生拉力，A的摩擦力逐渐减小并反向，当A、B的摩擦力均达最大值时与圆盘之间发生相对滑动，列方程求解临界角速度和此时细绳张力T大小。 【解答】解：（1）物体在转盘上随转盘转动，所需的向心力由静摩擦力提供，根据向心力公式F＝mω2r， 对于物体a，其转动半径r，所需向心力 对于物体b，其转动半径为2r，所需向心力 （2）当角速度继续增大，物体b的静摩擦力达到最大值μmg后，若角速度再增加，物体b有向外滑动的趋势，此时细线开始产生拉力T。当两物体即将相对转盘滑动时，意味着物体a和物体b的静摩擦力都达到了最大值，且方向均指向圆心，此时对物体a和b组成的整体进行受力分析，整体受到的总向心力为 对a，其受到的合力提供向心力，则 解得ωm，T 答：（1）当时（a、b均未滑动），a、b所受摩擦力大小分别为和； （2）为使a、b不与圆盘之间发生相对滑动，转动的最大角速度为，此时细绳张力T大小为。 2．（2026春•哈尔滨期末）如图所示，水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴转动，质量m＝0.1kg的小物块放在圆盘上，一根长l＝0.5m的轻杆，一端连接物块，一端通过铰链固定在转轴上的P点，初始时轻杆与转轴的夹角θ＝37°且恰好无弹力。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度大小取g＝10m/s2，圆盘由静止开始缓慢增大转速。 （1）若圆盘光滑，求物块刚要离开圆盘时圆盘的角速度ω1的大小； （2）若物块与圆盘之间的动摩擦因数μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 ①求轻杆中刚要产生弹力时圆盘的角速度ω2的大小； ②求圆盘的角速度ω3＝2rad/s时，轻杆中弹力的大小。 【分析】（1）当物块刚要离开圆盘时，圆盘对物块支持力恰好为零，只有细杆的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律计算； （2）①当最大静摩擦力不足以提供所需向心力时，细杆上刚要产生弹力，由牛顿第二定律求出角速度； ②分析物块是否离开圆盘，然后结合竖直方向受力平衡与水平方向合力提供向心力，根据受力平衡和牛顿第二定律求出轻杆中弹力的大小。 【解答】解：（1）物块恰好脱离圆盘时滑块与圆盘作用力为0，轻杆的拉力与重力的合力提供水平方向的向心力，则 解得ω1＝5rad/s （2）①根据最大静摩擦力等于向心力可得 解得ω2rad/s ②当圆盘的角速度ω3＝2rad/s＞ω1时，物块已经离开圆盘，设此时杆与竖直方向之间的夹角为θ，则水平方向上，由牛顿第二定律有 竖直方向上，由平衡条件有Tcosθ＝mg 联立解得：T＝2N，θ＝60° 答：（1）若圆盘光滑，物块刚要离开圆盘时圆盘的角速度ω1的大小是5rad/s； （2）①轻杆中刚要产生弹力时圆盘的角速度ω2的大小是rad/s； ②求圆盘的角速度ω3＝2rad/s时，轻杆中弹力的大小是2N。 3．（2026春•温州期末）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图甲、乙所示，传动装置有一高度可调、半径R＝5m的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接质量m＝50kg的转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相等。已知转椅与雪地间的动摩擦因数μ＝0.6，不计空气阻力。 （1）在图甲中，圆盘在水平雪地上以角速度ω1＝2rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径r1＝6m的匀速圆周运动。求转椅所需向心力的大小Fn，及AB与OB之间夹角α的正切值； （2）将圆盘升高，如图乙所示。已知边缘A到雪地的竖直高度H＝5m，绳长，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做匀速圆周运动，轻绳在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角β＝37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求： ①转椅做匀速圆周运动的半径r2； ②转椅做匀速圆周运动的角速度ω2； ③缓慢增大圆盘的角速度，转椅恰好离开雪地时的临界角速度ω3。 【分析】（1）对图甲中转椅进行受力分析，明确重力、支持力、拉力、摩擦力的作用，利用竖直方向平衡和水平方向向心力公式，结合力的分解求解夹角α的正切值。 （2）对图乙中转椅进行受力分析，分解拉力为竖直和水平分量，结合竖直方向平衡、水平方向向心力条件及投影夹角β的几何关系，联立方程求解角速度ω2。 【解答】解：（1）转椅做匀速圆周运动，轻绳的拉力的切向分量与转椅受到的地面的滑动摩擦力平衡，拉力 径向方向的分力提供圆周运动的向心力，因此： Fn＝m Fn＝1200N Fntanα＝μmg （2）①|A1B|，解得|A1B|＝5m 由几何关系得r2＝2|A1B|cosβ，解得＝8m ②设绳子提供的拉力为F，对转椅进行受力分析可得： FN＝mgF 解得：rad/s ③当转椅恰好离开雪地时，转椅与雪地之间不存在弹力，根据受力分析和几何关系可知， 现在的旋转半径满足： r3＝R+Lsin45°，解得r3＝10m mg 解得：ω3＝1rad/s。 答：（1）在图甲中，圆盘在水平雪地上以角速度ω1＝2rad/s匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半径r1＝6m的匀速圆周运动。转椅所需向心力的大小为1200N，AB与OB之间夹角α的正切值为； （2）将圆盘升高，如图乙所示。已知边缘A到雪地的竖直高度H＝5m，绳长L＝5m，圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O1点做匀速圆周运动，轻绳在水平雪地上的投影A1B与O1B的夹角β＝37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）。求： ①转椅做匀速圆周运动的半径为8m； ②转椅做匀速圆周运动的角速度rad/s； ③缓慢增大圆盘的角速度，转椅恰好离开雪地时的临界角速度为1rad/s。 4．（2026春•宝安区校级月考）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。 （1）若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0； （2）若ω＝2，求小物块受到的摩擦力大小和方向； （3）若ω＝2，且小物块恰好不滑动，求动摩擦因数μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 【分析】（1）对小物块受力分析，根据水平方向的合力提供向心力，可得到角速度大小； （2）对小物块受力分析，根据角速度与（1）中角速度的相对大小，可判断摩擦力方向；根据竖直方向受力平衡、水平方向合力提供向心力，可得到摩擦力大小； （3）根据小物块恰好不滑动，可知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，结合摩擦力公式，即可得到动摩擦因数。 【解答】解：（1）对小物块受力分析，如图： 根据水平方向的合力提供向心力，可得：，解得角速度大小：； （2）由题意可知，角速度比（1）中角速度大，需要的向心力更大，可知小物块受到的摩擦力沿陶罐切线向下； 对小物块受力分析，如图： 根据竖直方向受力平衡，可得：F2cosθ＝mg+fsinθ，由水平方向合力提供向心力，可得：，解得摩擦力大小：f； （3）由（2）可得：，根据小物块恰好不滑动，可知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，结合滑动摩擦力公式：f＝μF2，即可得到动摩擦因数为：。 答：（1）角速度大小为； （2）小物块受到的摩擦力大小为，沿陶罐切线向下； （3）动摩擦因数大小为。 5．（2026春•荔湾区校级月考）如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10m/s2。 （1）求小球通过最高点A时的最小速度。 （2）如果细绳能承受的最大拉力为9N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？ 【分析】（1）当小球速度最小时，向心力完全由重力沿斜面向下的分力提供，根据牛顿第二定律列方程求解最小速度。 （2）绳子拉力达到最大值，拉力与重力分力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列方程求解最大速度。 【解答】解：（1）当小球在最高点A的速度最小时，绳子拉力为0，向心力完全由重力沿斜面向下的分力提供。 根据牛顿第二定律有 解得小球通过最高点A时的最小速度。 （2）在最低点B，绳子拉力达到最大值，此时拉力与重力分力的合力提供向心力。 根据牛顿第二定律有 解得小球通过最低点B时的最大速度vB＝4m/s。 答：（1）小球通过最高点A时的最小速度为。 （2）小球通过最低点B时的最大速度为4m/s。 6．（2024春•安徽期中）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定轴以恒定角速度转动，盘面上离转轴距离rm处有一质量m＝1kg、可视为质点的物体与圆盘始终保持相对静止。盘面与水平面的夹角为θ＝37°，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，物体与盘面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）当圆盘角速度ωrad/s时，求物体受到的向心力大小，以及物体在P点受到的摩擦力大小； （2）当圆盘角速度ω＝2rad/s时，为维持物体相对圆盘静止，求物体与盘面间的动摩擦因数的最小值。 【分析】（1）在最高点，物块靠重力沿斜面向下的分力和静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出向心力和摩擦力的大小； （2）当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑，此时为μ的最小值，根据牛顿第二定律以及摩擦力表达式求解动摩擦因数的最小值。 【解答】解：（1）当角速度时，由 代入数据解得 Fn＝0.75N 由于向心力小于mgsinθ＝1×10×0.5N＝5N，所以摩擦力背离圆心， 在P点，有 代入数据解得 fP＝5.25N （2）当物体转到圆盘的最低点恰好不下滑，此时为μ的最小值，受力分析如图 fQ＝μmgcosθ 代入数据解得 答：（1）当圆盘角速度ωrad/s时，物体受到的向心力大小等于0.75N；物体在P点受到的摩擦力大小等于5.25N。 （2）物体与盘面间的动摩擦因数的最小值等于。 7．（2026春•青秀区校级期中）图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： （1）细线对小球的拉力的大小T； （2）图甲中小球角速度的大小ω1； （3）图乙中小球角速度的大小ω2。 【分析】（1）对图甲中小球受力分析，由竖直方向合力为零，结合几何关系求细线拉力； （2）由拉力的水平分量提供向心力，结合圆周运动半径求角速度； （3）对图乙中小球受力分析，将支持力分解，由水平分量提供向心力，结合几何关系求角速度。 【解答】解：（1）对小球受力分析，竖直方向平衡有Tcosθ＝mg，由几何关系 解得 （2）水平方向合力提供向心力， 其中，，代入T 解得 （3）对小球受力分析，水平方向 竖直方向Nsinα＝mg 几何关系r＝lsinα 联立解得。 答：（1）细线对小球的拉力的大小T是； （2）图甲中小球角速度的大小是； （3）图乙中小球角速度的大小是。 8．（2026春•兰州期中）如图，用一根长l＝1m的细线，一端系一质量m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一放置地面的光滑锥体顶端，圆锥体始终静止不动，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，O点距地面高度h＝1.5m。小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动。（g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6）求： （1）小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力及圆锥体的弹力大小； （2）小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度多大时，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； （3）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω0为多大。 【分析】（1）小球静止时，对其受力分析，将拉力与弹力正交分解，利用平衡条件列方程求解拉力和弹力； （2）小球与锥体无弹力时，仅受重力与拉力，合力提供水平加速度，列牛顿第二定律方程求解加速度； （3）先判断小球是否离开锥面，再由重力与拉力的合力提供向心力，列向心力公式求解角速度。 【解答】解：（1）小球静止时，受力平衡，设小球所受细绳的拉力为T，圆锥体的弹力大小为N，根据正交分解，在竖直方向上有Tcos37°+Nsin37°＝mg 在水平方向上有Tsin37°＝Ncos37° 代入数据可得T＝8N，N＝6N （2）当小球与圆锥体间恰好无弹力时，小球仅受重力和拉力，此时绳子和竖直方向得夹角为θ＝37°，设加速度为a，根据牛顿第二定律有mgtan37°＝ma 代入数据可得a＝7.5m/s2 （3）小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动，若细线与竖直方向的夹角为60°，且有60°＞37°，设此时的角速度为ω0，说明此时小球离开圆锥表面，仅由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据可得 答：（1）小球与圆锥体处于静止状态时，小球所受细绳的拉力是8N，圆锥体的弹力大小是6N； （2）小球与圆锥体向左匀加速运动的加速度是7.5m/s2，小球与圆锥体之间恰好没有弹力； （3）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω0为。 9．（2026春•南山区期末）游乐场的游乐项目如图甲所示，其基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘，绳子下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。人和座椅的转动可简化为如图乙所示的圆周运动模型，人和座椅可看作质点。在某段时间内，转盘保持在水平面内以恒定的角速度转动，绳子与竖直方向的夹角为θ＝37°，该同学与座椅的总质量m＝50kg，转盘的半径为R＝3m，绳长，重力加速度g取10m/s2，计算结果可保留根号。（sin37°＝0.6） （1）求座椅受到绳子的拉力T的大小； （2）求人和座椅转动的角速度大小； （3）若转动过程中，乘客携带的物品不慎脱落，求脱落瞬间的速度大小并分析该物品从脱落到落地前的做何种机械运动。 【分析】（1）对人和座椅整体受力分析，重力竖直向下，拉力沿绳子方向。在竖直方向，拉力的竖直分量与重力平衡，由此可建立方程求解拉力大小。 （2）系统在水平面内做匀速圆周运动，向心力由拉力的水平分量提供。根据几何关系确定圆周运动的半径，结合牛顿第二定律的向心力表达式，即可建立方程求解角速度。 （3）根据线速度与角速度的关系求出物品掉落时的线速度，之后做平抛运动。 【解答】解：（1）对同学和座椅组成的系统进行受力分析，在竖直方向上，重力与拉力的竖直分力平衡，有mg＝Tcosθ 解得：TN＝625N （2）在水平方向上，由向心力公式可得mgtanθ＝mω2r 其中，转动半径r＝R+Lsinθ＝3mm＝6m 联立上述两式，解得角速度ωrad/s （3）物品掉落瞬间的线速度大小为v＝ωr 解得v＝6m/s 物品掉落时初速度的方向沿掉落位置的切线方向且沿水平方向，物品做平抛运动。 答：（1）座椅受到绳子的拉力大小为625N。 （2）人和座椅转动的角速度大小为rad/s。 （3）脱落瞬间的速度大小是m/s，该物品从脱落到落地前的做平抛运动。 10．（2026春•沙坪坝区校级期末）如图所示，一根长L＝0.50m且不可伸长的轻绳一端固定在天花板上O点，另一端系一质量m＝0.20kg的小球（可视为质点），小球在水平面内做匀速圆周运动，轻绳与竖直方向的夹角始终为37°。重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）小球对轻绳的拉力大小； （2）小球做圆周运动的线速度大小。 【分析】（1）小球在水平面做匀速圆周运动，竖直方向没有加速度，受力平衡，由平衡条件求出轻绳对小球拉力，再利用牛顿第三定律得到小球对轻绳的拉力； （2）拉力的水平方向分力提供小球匀速圆周运动的向心力，圆周运动半径r＝Lsin37°，结合向心力公式联立求解线速度。 【解答】解：（1）小球受重力、绳子拉力，竖直方向合力为零Tcos37°＝mg，解得T＝2.5N 根据牛顿第三定律，小球对轻绳的拉力T'＝T＝2.5N。 （2）轨道半径r＝Lsin37°，水平方向根据牛顿第二定律可得：，联立可得线速度v＝1.5m/s。 答：（1）小球对轻绳的拉力大小等于2.5N； （2）小球做圆周运动的线速度大小等于1.5m/s。 11．（2026•麦盖提县校级模拟）如图所示，质量均为m的A、B、C三个小球分别套在光滑的“T”型离心装置的水平杆两侧和竖直杆上，O为水平杆的中点，两球与O之间用原长为0.8L的两个完全相同的轻质弹簧连接，A、B两球用长为L的轻绳与C球连接。最初系统处于静止，轻绳与竖直杆间的夹角为θ＝37°。该装置绕竖直杆所在轴缓慢加速，直至弹簧恢复到原长。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g。求： （1）系统静止时，绳上弹力T的大小和弹簧的劲度系数k； （2）当弹簧恢复原长时，水平杆转动的角速度ω。 【分析】（1）系统静止时各球受力平衡。对C球分析竖直方向受力，利用平衡条件求绳上弹力T；对A球分析水平方向受力，结合弹簧形变量与胡克定律求劲度系数k。 （2）弹簧恢复原长时，分析C球竖直方向平衡求此时绳的拉力，再对A球分析圆周运动向心力，结合牛顿第二定律求角速度ω。 【解答】解：（1）对C球，根据平衡条件竖直方向上有2Tcos37°＝mg 解得 对A球受力分析，根据平衡条件水平方向上可得Tcos53°＝k（0.8L﹣Lsin37°） 解得 （2）当弹簧恢复原长时，设此时绳子拉力为T′，设绳子与竖直方向夹角为α，则有 可得α＝53° 对C球，根据平衡条件竖直方向上有2T′cos53°＝mg 对A球由牛顿第二定律在水平方向上得T′cos37°＝mω2•0.8L 联立解得 答：（1）系统静止时，绳上弹力T的大小为和弹簧的劲度系数为； （2）当弹簧恢复原长时，水平杆转动的角速度为。 12．（2026春•衢州期末）2026年3月，中国自主研发的张雪机车在世界超级摩托车锦标赛（WSBK）葡萄牙站连续夺冠。如图所示，某段测试赛道由水平直道AB和水平弯道BC组成，两段赛道平滑连接。机车由A点驶入，沿赛道中间虚线行驶至C点。已知机车和车手的总质量M＝240kg，平直赛道AB的长度L＝320m，虚线处弯道半径R＝50m，弯道圆心角θ＝90°，机车在直道上加速和减速的最大加速度均为am＝10m/s2，最高限速为216km/h，在弯道上车轮与赛道的最大静摩擦力约为总重力的0.8倍。 （1）若机车从A点由静止出发在直道AB上以最大加速度am做匀加速直线运动，求机车到达B点时的速度大小，并判断机车是否达到最高限速； （2）要使机车在BC段安全过弯，求机车过弯的最大速度； （3）若机车从A点以40m/s的速度驶入赛道，求机车在AB段行驶的最短时间。 【分析】（1）用匀加速直线运动速度—位移公式算出B点速度，统一单位后和题目最高限速对比判断是否超速； （2）弯道靠最大静摩擦力提供向心力，由向心力公式推导求出安全过弯最大速度； （3）要行驶时间最短，全程以最大加速度加速，达到限速后匀速走完剩余路程，分两段计算运动时间再相加。 【解答】解：（1）由匀变速直线运动规律：v2＝2amL 解得：v＝80m/s＝288km/h 超过最高限速216km/h （2）安全过弯，最大静摩擦力恰好提供向心力，安全过弯需满足： 解得：v＝20m/s （3）机车由A点加速至最高限速： 最高限速vm＝216km/h＝60m/s 解得：x1＝100m 直道加速运动的时间：2s 直道匀减速至B点过程： 解得：x3＝160m 减速运动的时间：4s 直道匀速运动的时间：1s 总时间：t＝t1+t2+t3＝2s+4s+1s＝7s 答：（1）若机车从A点由静止出发在直道AB上以最大加速度am做匀加速直线运动，机车到达B点时的速度大小为80m/s，机车超过最高限速； （2）要使机车在BC段安全过弯，机车过弯的最大速度为20m/s； （3）若机车从A点以40m/s的速度驶入赛道，机车在AB段行驶的最短时间为7s。 13．（2026春•红桥区期末）在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计速度是108km/h，汽车在这种水平路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的，试求： （1）如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，其弯道的最小半径是多少？ （2）如果弯道的路面设计为倾斜，弯道半径为200m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度的正切值tanθ是多少？ 【分析】（1）汽车在水平路面转弯时，最大静摩擦力提供向心力，结合向心力公式求解最小弯道半径； （2）路面倾斜且无侧向摩擦力时，重力与支持力的合力提供向心力，由合力和向心力公式求解倾斜角的正切值。 【解答】解：（1）汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，根据牛顿第二定律可得 其中，v＝108km/h＝30m/s 代入数据可得r＝225m （2）要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，此时重力和支持力的合力提供向心力，则有 代入数据可得弯道路面的倾斜角度的正切值为 答：（1）如果汽车在这种高速路的水平路面弯道上转弯，其弯道的最小半径是225m； （2）如果弯道的路面设计为倾斜，弯道半径为200m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度的正切值tanθ是。 14．（2024秋•上海校级期末）火车转弯时可以看成是做水平面内的匀速圆周运动，火车转弯时，火车车轮对内、外轨的侧向力为零时的速度为规定速度。 （1）当火车以规定速度转弯时，悬吊在车厢内的玩具毛毛熊与车厢相对静止时的状态应是（　A　 ） A．B．C．D． （2）修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，如图所示。弯道的半径为R，此弯道的设计速度为v，轨道的外轨略高于内轨，轨道平面倾角为θ（θ很小）。当火车以规定速度行驶时，铁轨对火车的支持力等于　　 （火车质量为m，用m、g、θ表示），该弯道的半径R与设计速度v的关系是R＝　　 （用v、g、θ表示） （3）火车提速后在该弯道运行时，　外轨　 （选填“外轨”“内轨”“内外双轨”）对车轮的轮缘有侧压力。 【分析】（1）火车以规定速度转弯时，毛毛熊与车厢相对静止，其受力合力提供向心力，悬线应与轨道平面垂直，指向圆心方向，由此判断正确状态； （2）对火车受力正交分解，垂直轨道方向受力平衡得支持力，水平方向合力提供向心力，推导弯道半径与速度的关系； （3）火车速度大于规定速度时，所需向心力增大，外轨会对车轮轮缘产生向内的侧压力，补充所需的向心力。 【解答】解：（1）由于火车以规定速度转弯时，对火车有Mgtanθ＝Ma 对毛毛熊有mgtanα＝ma 代入数据得α＝θ，故A正确，BCD错误。 故选：A。 （2）当转弯速度为v时，向心力是由火车的重力和铁轨对火车的支持力的合力提供，铁轨对火车的支持力等于代入数据得 火车转弯时有 代入数据得 （3）若火车的运行速度大于规定运行速度时，重力和支持力的合力小于火车需要的向心力，火车有离心运动的趋势，外轨对车轮轮缘产生侧压力，重力、支持力和外轨轮缘的侧压力的合力提供火车做圆周运动的向心力。 故答案为：（1）A；（2），；（3）外轨。 15．（2023春•南海区校级期中）火车转弯时的运动可看成圆周运动的一部分，为了减轻轮缘与外轨间的挤压，弯道处铁轨的内踏面与外轨道不一样高，火车的车轮与铁轨的位置情况如图所示。请回答以下问题。 （1）转弯处的内、外轨道哪个高一些？火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的圆面b还是倾斜的圆面a？ （2）为防止铁轨与车轮轮缘间的挤压，使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。已知重力加速度g，轨道平面与水平面的倾角为θ。请推导倾角θ的正切值tanθ与轨道的半径R、规定速度v0的关系式； （3）为了适应我国经济快速发展的需要，我国铁路部门已多次对火车提速，最高时速已经超过350km/h。火车提速需要对原来铁路的弯道进行改造，请你提出一种可行性的改造方案。 【分析】（1）从火车转弯所需向心力的来源分析，火车是在水平面内转弯的； （2）若火车转弯时所需向心力完全由重力和支持力的合力来提供，根据数学知识求合力，根据牛顿第二定律结合圆周运动知识求解火车转弯时的规定速度； （3）根据规定速度的表达式分析采用的方案。 【解答】解：（1）为了使使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供，转弯处的外轨道要高一些；火车转弯上在水平面内进行的，因此火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的圆面b； （2）火车转弯时的受力图如图所示： 火车转弯时的向心力F＝mgtanθ 火车做匀速圆周运动 代入数据联立解得火车转弯速度 （3）从转弯速度的表达式可知，火车提速需要增大转弯半径或者增大轨道平面与水平面的倾角才能使火车转弯时所需向心力几乎完全由重力和支持力的合力来提供。 答：（1）转弯处的外轨道要高一些，火车运动的圆周平面为图中平行于水平面的圆面b； （2）倾角θ的正切值tanθ与轨道的半径R、规定速度v0的关系式 （3）火车提速需要增大转弯半径或者增大轨道平面与水平面的倾角。 16．（2026春•浙江期中）新疆果子沟大桥是新疆伊犁河谷著名的交通枢纽工程，路线设计包含连续弯道与平直路段，其建设充分考虑了车辆行驶的安全性与舒适性。某段大桥简化如图所示，第一段水平圆弧弯道A′A、平直路段AB和第二段水平圆弧弯道BB′的组合模型，弯道半径均为R＝630m，AB段平直路段长度L＝200m，汽车（含车内乘客、饰品）总质量M＝1500kg，车内悬挂饰品质量m＝0.1kg。重力加速度g＝10m/s2，汽车行驶时所受阻力恒为车重的k倍，k＝0.06，取tan4°＝0.07，忽略汽车尺寸的影响。 （1）汽车经过第一段弯道A′A时，以半径R做匀速圆周运动，车内悬挂的饰品偏离竖直方向的夹角θ＝4°。求此时汽车的加速度a1大小及行驶速度v1大小； （2）汽车沿平直路段AB做直线运动前，车内乘客为欣赏果子沟风光，汽车从A点开始以恒定加速度从v1匀减速至57.6km/h，再以57.6km/h匀速行驶至终点B，求汽车在平直路段上减速时所受的牵引力F大小及在AB段运动的总时间t。 【分析】（1）对饰品受力分析，由重力与拉力的合力提供向心力，根据受力关系和向心加速度公式求汽车的加速度a1再结合圆周运动向心加速度公式求解行驶速度v1； （2）对汽车减速阶段受力分析，由牛顿第二定律求牵引力F；再用运动学公式计算减速阶段的位移与时间，结合匀速阶段的位移与速度求匀速时间，两段时间相加得到总时间t。 【解答】解：（1）饰品随汽车做匀速圆周运动，合力提供向心力对饰品受力分析，由几何关系得：mgtanθ＝ma 代入数据可得 由向心加速度公式 代入数据可得：v1＝21m/s （2）匀减速末速度v2＝57.6km/h＝16m/s，根据牛顿第二定律F阻﹣F＝ma2 代入数据可得F＝150N，匀减速阶段汽车从v1减至v2的时间： 代入数据可得t1＝10s，匀减速阶段汽车的位移： 代入数据可得x1＝185m 匀速位移：x2＝L﹣x1，匀速时间： 代入数据可得t2，故AB段总时间：t＝t1+t2 代入数据可得： 答：（1）汽车经过第一段弯道A′A时，以半径R做匀速圆周运动，车内悬挂的饰品偏离竖直方向的夹角θ＝4°。此时汽车的加速度a1大小是0.7m/s2，行驶速度v1大小是21m/s； （2）汽车沿平直路段AB做直线运动前，车内乘客为欣赏果子沟风光，汽车从A点开始以恒定加速度从v1匀减速至57.6km/h，再以57.6km/h匀速行驶至终点B，汽车在平直路段上减速时所受的牵引力F大小是150N，在AB段运动的总时间t是s。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/26 17:28:45；用户：Scary；邮箱：17851029270；学号：30697016 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $