期末复习：生活中的圆周运动（水平转盘上的物体、圆锥摆问题、转弯问题）专项训练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

**基本信息** 本单元卷聚焦生活中的圆周运动专项训练，覆盖水平转盘、圆锥摆、转弯问题三大核心考点，精选18道综合计算题（含多地期中真题），通过科技馆“旋转挑战”、游乐场“空中飞椅”等真实情境，强化物理观念与科学思维，适配高中物理圆周运动单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合计算题|18题|水平转盘静摩擦力与临界条件、圆锥摆受力分析与周期计算、转弯问题向心力来源|情境真实（如汽车转弯、旋转魔碟），层次递进（基础受力分析→多物体系统→临界极值），注重科学推理与模型建构|

期末复习：生活中的圆周运动（水平转盘上的物体、圆锥摆问题、转弯问题）专项训练 期末复习：生活中的圆周运动（水平转盘上的物体、圆锥摆问题、转弯问题）专项训练 考点目录 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 生活中的圆周运动：转弯问题 考点一 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 知识点 1. 向心力由静摩擦力提供： 1. 临界：静摩擦达最大值 ，对应最大角速度、最大半径。 解题思路 ①受力：竖直重力、支持力平衡；水平静摩擦力充当向心力； ②临界条件用最大静摩擦，求临界转速/临界半径； ③角速度变大、半径变大，所需向心力变大，易滑动。 例1．（25-26高一下·广东·期中）某科技馆展品“旋转挑战”如图所示，在水平转台上放一个质量的物块，细绳的一端系在物块上，另一端穿过转台圆心O点处的光滑小孔后悬挂一小球。已知小球的质量，物块可视为质点，物块与O点的距离，转台的转速可调节，重力加速度。 (1)若转台光滑，当物块与转台保持相对静止时，求转台转动的角速度； (2)若转台与物块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使物块与转台保持相对静止，求转台转动的角速度范围（结果可以用根号表示）。 例2．（25-26高一下·湖北十堰·期中）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与陶罐球心O的对径轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块，在陶罐内随陶罐一起转动且相对罐壁静止，物块和O点的连线与OO'之间的夹角θ=60°。已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，可认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，R=0.25 m，重力加速度为g取10 m/s2。求： (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求物块的线速度v； (2)小物块与转台不发生滑动时转台转动的最大角速度。 例3．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为的、两个物块（可视为质点），B物块用长为的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为间的动摩擦因数为0.5，与转盘间的动摩擦因数为0.18，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数，取重力加速度。 (1)当细线拉力恰好出现时，求转盘的角速度大小； (2)当A与B恰好分离时，求的大小和转盘的角速度大小； (3)试通过计算写出的函数关系式（其中为转盘转动的角速度大小）。 变式1．（25-26高一下·吉林长春·期中）游乐场中常见的“旋转魔碟”设施可简化为一个带有直立外缘、可绕中心轴高速旋转的巨型水平转台，如图所示，某参与者（看作质点）静坐在转台表面，转台半径。已知该参与者的质量，其就座位置与转台中心O点的距离，参与者与台面间的动摩擦因数。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度大小。 (1)当转台以角速度匀速转动时，参与者相对转台静止，求参与者受到的摩擦力大小f； (2)工作人员操控转台缓慢提速，求当参与者刚要相对转台滑动时，转台的角速度； (3)继续缓慢增大转台的角速度，若转台以角速度匀速转动时，参与者与直立外壁接触并相对转台静止，求该参与者所受合力大小F。 变式2．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图是中国常见的团圆桌，餐桌上有一个半径为r=1.5m可绕团圆桌轴心旋转的圆盘，圆盘的圆心和圆桌轴心重合，圆盘水平面到餐桌的水平面高度差为h=5cm，餐桌半径为R；A物体放在距离圆盘轴心处，B物体放在圆盘边缘r处，A、B质量相同，大小可以忽略不计，A与圆盘的摩擦因数为，B与圆盘的摩擦因数为。A、B两物体通过恰好伸直的绳子连接。现在使圆盘从静止开始以角速度开始转动，静止放置圆盘上的A、B两物体随着转盘一起转动：圆盘刚开始转动即为0时刻，两物体与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（g=10m/s2） (1)什么时刻，绳子刚开始有张力 (2)假设绳子足够牢固，什么时刻，A、B开始相对圆盘滑动 (3)若A、B刚开始相对圆盘滑动，绳子恰好绷断，问R至少为多少，才能使得B物第一落点在餐桌上 变式3．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图所示，水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴转动，质量的小物块放在圆盘上，一根长不可伸长的轻质细绳，一端系物块、另一端固定在转轴上P点，伸直的细绳与转轴的夹角且恰好无张力。已知物块与圆盘之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度大小取，圆盘由静止开始缓慢增大转速。 (1)求细绳上产生张力瞬间，圆盘的角速度的大小； (2)求物块恰好对圆盘无压力时圆盘的角速度的大小； (3)若圆盘的角速度，求此时细绳中张力的大小。 考点二 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 知识点 摆球做水平面匀速圆周，摆长、摆角、 受力：重力、绳拉力 竖直平衡： 水平向心力： 联立：，周期 解题思路 正交分解，竖直合力为0，水平合力提供向心力；已知摆角/摆长互求角速度、周期。 例1．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台静止不转动时，将一质量为、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴之间的夹角为，重力加速度，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？ (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为零，则转台转动的角速度为多少？ (3)若转台转动的角速度为，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？ 例2．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）如图1所示，某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球（可视为质点），甩动手腕，使球运动起来，最终在水平面内做匀速圆周运动。手与球之间的绳长为，重力加速度为，忽略空气阻力，握绳的手距地面的距离足够高。（，，） (1)当绳与竖直方向的夹角为，求小球运动的周期； (2)若手与球之间的绳长不变，握绳的手不动，将小球竖直提至最高点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图2所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间t； (3)若轻绳能承受的最大拉力为，握绳的手离地面高度为。如图3所示，改变绳长使小球在竖直平面内做圆周运动且小球运动到最低点时绳子刚好拉断，若要使小球抛出的水平距离最大，求最大水平距离为多少？（结果可含有根号和分式） 例3．（25-26高一下·广西南宁·期中）图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： (1)细线对小球的拉力的大小T； (2)图甲中小球角速度的大小ω1； (3)图乙中小球角速度的大小ω2。 变式1．（25-26高一下·广西百色·阶段检测）如图所示是某游乐场“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘在空中绕竖直转轴转动。设绳子长L=5m，与座椅的总质量m=60kg，盘静止时人与轴间的距离d=5m，此时座椅离地面H=7m。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时绳子与竖直方向的夹角为θ=37°且保持不变。不计空气阻力，绳子不可伸长，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)转盘转动到稳定状态时，悬绳的拉力及游客的线速度大小？（计算结果可用根式表示） (2)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑落下来。为了保证安全，管理员应该让地面上的游客至少离中心轴多远？ 变式2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图所示，质量为m的小球在细绳作用下在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，此时小球离水平地面的距离为h。已知细绳长为L，细绳与竖直方向的夹角为θ，小球可视为质点，重力加速度为g。求： (1)细绳拉力F的大小； (2)小球做圆周运动的速度v的大小； (3)若小球在B点时细绳突然断裂，小球水平飞出后落在地面上的C点（图中未画出），C与O点的距离d为多少。 变式3．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）如图所示的玩具转盘半径为l，角速度可以调节，转盘中心O点固定了一竖直杆。质量为m的小球用两轻绳AC和BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻绳BC连接在竖直杆上的B点，。两细绳都伸直时绳AC与竖直方向夹角，绳BC与竖直方向夹角。不计摩擦阻力，重力加速度为（，） (1)当BC恰好伸直时，求转盘角速度的值； (2)当转盘角速度时，求轻绳AC、BC所受弹力、的大小； (3)当转盘转动的角速度为时，小球突然脱离，要求小球不能碰到圆盘，求的取值范围。 考点三 生活中的圆周运动：转弯问题 知识点 1.水平路面转弯 向心力由侧向静摩擦力：，，超速侧滑。 2.倾斜弯道（无摩擦理想） 倾角，重力+支持力合力供向心力： - 偏大：车轮向外挤，靠内侧摩擦力； - 偏小：车轮向内压，靠外侧摩擦力。 解题思路 找向心力来源→正交分解列方程→临界速度判断打滑方向。 例1．（25-26高一下·新疆喀什·期中）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车（可视为质点），在水平公路的弯道上行驶，速度的大小为10 m/s，其轨迹可视为半径为50 m的圆弧。 (1)求这辆汽车转弯时的角速度大小ω。 (2)已知路面与轮胎之间的最大静摩擦力为1.4×104 N，若车速达20 m/s，请判断该车是否会发生侧滑。 例2．（25-26高一下·山东济宁·期中）2026年3月底，中国制造的张雪机车在世界顶级赛事WSBK葡萄牙站上拿下了“双冠”，打破了欧美日品牌长达30多年的垄断。在某次安全性能测试时，摩托车和车手的总质量，在水平地面上沿半径的圆弧轨道做匀速圆周运动。轮胎与路面的动摩擦因数，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小。求： (1)为安全过弯，车身向内侧倾斜。如图所示，已知车速为时，车身与水平面间的夹角为，此时路面对车轮的支持力与静摩擦力的合力沿车身方向且通过重心。请推导与的关系式； (2)摩托车不发生侧滑的最大行驶速度。 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）当驾车过弯道时，为防止侧滑，行驶速度不能过大。图1为一弯道路段，其俯视图如图2所示，其中一中心线位于同一水平面内的圆弧形车道（虚线所示），半径，一汽车沿该车道中心线做匀速圆周运动，已知汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力等于正压力的k倍，。重力加速度g取。（计算时汽车可视为质点，且在该路段行驶过程阻力不计，结果可用根式表示） (1)若此弯道的路面设计成水平，求该汽车不发生侧滑的最大速度； (2)若此弯道的路面设计成倾斜（外高内低），路基截面可简化为图3，路面与水平面夹角，弯道半径仍为r。已知，。 ①为使汽车转弯时与路面之间恰好无摩擦，求它行驶的速度大小； ②为使汽车转弯时不发生侧滑，求它行驶的最大速度。 变式1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，高铁列车通过弯道时为了保证安全，在铁路转弯处设计成外侧铁轨高于内侧铁轨。如图乙所示，设定某高铁列车在倾斜轨道上匀速转弯，其轨道半径为R，轨道平面与水平面的夹角为θ，该列车的质量为m，重力加速度为g，且该列车始终未脱离轨道，忽略空气阻力和一切摩擦。 (1)若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，求此时该列车行驶的速度的大小。 (2)若该列车实际行驶的速度，其中k为已知常量且，试分析哪一侧轨道对车轮产生侧压力，并求出该侧压力的大小。 变式2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）2023年在英国格拉斯哥举行的场地自行车世锦赛中，中国女子自行车队在女子团体竞速赛中表现出色，荣获银牌。该比赛的赛道路面（如图所示）与水平面间有一定的夹角θ，不考虑空气阻力，。若一运动员（自行车和运动员的质量之和为100kg）在该赛道上一水平半径为30m的圆周内训练，则 (1)当他以15m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间刚好没有侧向运动趋势，此赛道路面与水平面的夹角θ的正切值为多大； (2)当他以20m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间的静摩擦力为多大（结果保留整数）。 变式3．（24-25高一下·广西百色·期末）如图是前往百色某景区交通要道上一段半径为r=30m的水平圆弧形弯道。汽车通过弯道做匀速圆周运动。设晴天和雨天路面对轮胎的最大静摩擦力分别为正压力的0.8倍和0.4倍。一辆汽车（视为质点）在该公路的弯道上行驶。g取10m/s2，tan15°=0.27，。求： (1)雨天时，若汽车的行驶速度为13m/s，能否安全通过该水平圆弧； (2)若弯道处路面为外高内低，与水平面的夹角为θ=15°，晴天时，若要使轮胎与路面间的侧向摩擦力为零，则车速应为多少； (3)在第（2）问情况下，该路段设计的最高速度为多大。 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：生活中的圆周运动（水平转盘上的物体、圆锥摆问题、转弯问题）专项训练 期末复习：生活中的圆周运动（水平转盘上的物体、圆锥摆问题、转弯问题）专项训练 考点目录 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 生活中的圆周运动：转弯问题 考点一 生活中的圆周运动：水平转盘上的物体 知识点 1. 向心力由静摩擦力提供： 1. 临界：静摩擦达最大值 ，对应最大角速度、最大半径。 解题思路 ①受力：竖直重力、支持力平衡；水平静摩擦力充当向心力； ②临界条件用最大静摩擦，求临界转速/临界半径； ③角速度变大、半径变大，所需向心力变大，易滑动。 例1．（25-26高一下·广东·期中）某科技馆展品“旋转挑战”如图所示，在水平转台上放一个质量的物块，细绳的一端系在物块上，另一端穿过转台圆心O点处的光滑小孔后悬挂一小球。已知小球的质量，物块可视为质点，物块与O点的距离，转台的转速可调节，重力加速度。 (1)若转台光滑，当物块与转台保持相对静止时，求转台转动的角速度； (2)若转台与物块间的动摩擦因数，且最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小。为使物块与转台保持相对静止，求转台转动的角速度范围（结果可以用根号表示）。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）转台转动时，物块做圆周运动，小球处于静止，根据平衡条件和牛顿第二定律，对小球有 对物块有 联立解得 （2）物块受到的最大静摩擦力 ①当较小时，物块有近心趋势，静摩擦力沿半径背离圆心，有 解得 ②当较大时，物块有离心趋势，静摩擦力沿半径指向圆心，有 解得 为使物块与转台保持相对静止，转台转动的角速度范围为。 例2．（25-26高一下·湖北十堰·期中）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与陶罐球心O的对径轴OO'重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块，在陶罐内随陶罐一起转动且相对罐壁静止，物块和O点的连线与OO'之间的夹角θ=60°。已知小物块与陶罐间的动摩擦因数，可认为滑动摩擦力等于最大静摩擦力，R=0.25 m，重力加速度为g取10 m/s2。求： (1)若小物块受到的摩擦力恰好为零，求物块的线速度v； (2)小物块与转台不发生滑动时转台转动的最大角速度。 【答案】(1) (2)20 rad/s 【详解】（1）当摩擦力为零时，重力与支持力的合力提供向心力 解得 由几何关系得 线速度 （2）角速度较大（上滑趋势，摩擦力向下） 竖直方向 水平方向 且f2=μFN2 联立解得ω2=20 rad/s 例3．（25-26高一下·海南海口·期中）如图所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为的、两个物块（可视为质点），B物块用长为的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感器的大小均可不计。细线能承受的最大拉力为间的动摩擦因数为0.5，与转盘间的动摩擦因数为0.18，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，传感器的读数为零。当转盘以不同的角速度匀速转动时，传感器上就会显示相应的读数，取重力加速度。 (1)当细线拉力恰好出现时，求转盘的角速度大小； (2)当A与B恰好分离时，求的大小和转盘的角速度大小； (3)试通过计算写出的函数关系式（其中为转盘转动的角速度大小）。 【答案】(1)3rad/s (2)6.4N，5rad/s (3) 【详解】（1）当细线拉力恰好出现即物体将要发生滑动时，对物体由牛顿第二定律 有 解得 （2）当A物体所受的摩擦力大于最大静摩擦力时，A将要脱离B物体，对A由牛顿第二定律： 有 解得 此时对整体有： 解得 （3）如（1）（2）问所求，当时， 当时，对整体有 即 当时，物体所受的摩擦力大于最大静摩擦力，脱离物体，此时只有物体做匀速圆周运动，对物体由牛顿第二定律有 当绳子拉力达到最大值时 解得 所以，当时， 即 当时，细线拉断， 综上： 变式1．（25-26高一下·吉林长春·期中）游乐场中常见的“旋转魔碟”设施可简化为一个带有直立外缘、可绕中心轴高速旋转的巨型水平转台，如图所示，某参与者（看作质点）静坐在转台表面，转台半径。已知该参与者的质量，其就座位置与转台中心O点的距离，参与者与台面间的动摩擦因数。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，当地重力加速度大小。 (1)当转台以角速度匀速转动时，参与者相对转台静止，求参与者受到的摩擦力大小f； (2)工作人员操控转台缓慢提速，求当参与者刚要相对转台滑动时，转台的角速度； (3)继续缓慢增大转台的角速度，若转台以角速度匀速转动时，参与者与直立外壁接触并相对转台静止，求该参与者所受合力大小F。 【答案】(1)240N (2) (3)1620N 【详解】（1）当转台以角速度匀速转动时，参与者相对转台静止，由静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得摩擦力 （2）当参与者刚要相对转台滑动时，静摩擦力达到最大静摩擦力，根据牛顿第二定律有 解得转台的角速度 （3）当转台以角速度匀速转动时，参与者紧贴直立外壁随转台做匀速圆周运动，此时运动半径为，其在竖直方向上受力平衡，水平方向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 代入数据解得参与者所受合力 变式2．（25-26高一下·江西南昌·期中）如图是中国常见的团圆桌，餐桌上有一个半径为r=1.5m可绕团圆桌轴心旋转的圆盘，圆盘的圆心和圆桌轴心重合，圆盘水平面到餐桌的水平面高度差为h=5cm，餐桌半径为R；A物体放在距离圆盘轴心处，B物体放在圆盘边缘r处，A、B质量相同，大小可以忽略不计，A与圆盘的摩擦因数为，B与圆盘的摩擦因数为。A、B两物体通过恰好伸直的绳子连接。现在使圆盘从静止开始以角速度开始转动，静止放置圆盘上的A、B两物体随着转盘一起转动：圆盘刚开始转动即为0时刻，两物体与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（g=10m/s2） (1)什么时刻，绳子刚开始有张力 (2)假设绳子足够牢固，什么时刻，A、B开始相对圆盘滑动 (3)若A、B刚开始相对圆盘滑动，绳子恰好绷断，问R至少为多少，才能使得B物第一落点在餐桌上 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，当物体随圆盘一起转动时由摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时绳子上才会出现张力，对A物体有 解得 对物体B有 解得 显然 因此当角速度达到时，物体B将要开始滑动，此刻绳子上将出现张力以补足物体B做圆周运动所需的向心力，根据题意 则可知绳子刚开始有张力的时刻为。 （2）分析可知，随着转盘角速度的增大，绳子上出现张力，物体B始终有向外运动的趋势，物体A所受静摩擦力指向圆心，随着角速度继续增大，物体A所受静摩擦力逐渐减小，直至减为零后又反向开始增大，即当角速度大到一定程度后物体A所受摩擦力背离圆心，此刻对物体A有 对物体B有 由于物体A、B质量相同，两式联立可得 根据 可知，A、B开始相对圆盘滑动的时刻为 （3）若A、B刚开始相对圆盘滑动，绳子恰好绷断，此时物体B的线速度为 绳子断裂后物体B做平抛运动，设物体B做平抛运动的水平位移为，时间为，则有 ， 而根据几何关系，B落在餐桌上，可得R至少为 联立解得 变式3．（25-26高一下·山东聊城·期中）如图所示，水平圆盘可绕过圆心O的竖直轴转动，质量的小物块放在圆盘上，一根长不可伸长的轻质细绳，一端系物块、另一端固定在转轴上P点，伸直的细绳与转轴的夹角且恰好无张力。已知物块与圆盘之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度大小取，圆盘由静止开始缓慢增大转速。 (1)求细绳上产生张力瞬间，圆盘的角速度的大小； (2)求物块恰好对圆盘无压力时圆盘的角速度的大小； (3)若圆盘的角速度，求此时细绳中张力的大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块与圆盘之间的摩擦力达最大值时，细绳上将产生张力； 物块做圆周运动的半径 由牛顿第二定律得 解得 （2）设物块恰好对圆盘无压力时绳的拉力为，沿竖直方向 沿水平方向 解得 （3），此时物块离开圆盘；设细绳与转轴的夹角为，物块做圆周运动的半径 沿竖直方向 沿水平方向 解得 考点二 生活中的圆周运动：圆锥摆问题 知识点 摆球做水平面匀速圆周，摆长、摆角、 受力：重力、绳拉力 竖直平衡： 水平向心力： 联立：，周期 解题思路 正交分解，竖直合力为0，水平合力提供向心力；已知摆角/摆长互求角速度、周期。 例1．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴重合。转台静止不转动时，将一质量为、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴之间的夹角为，重力加速度，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 (1)物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？ (2)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为零，则转台转动的角速度为多少？ (3)若转台转动的角速度为，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？ 【答案】(1)0.75 (2)5rad/s (3)19.24N ，7.68N 【详解】（1）物块受力如图甲所示，由平衡条件得N=mgcosθ，fm=mgsinθ，且fm=μN 解得μ=0.75。 （2）物块受力如图乙所示，由圆周运动的条件得 圆周运动半径r=Rsinθ 解得ω0=5rad/s。 （3）当转台的角速度为3rad/s时，由于该角速度小于5rad/s，则物块有向内滑的趋势，可知摩擦力沿切线向上，则有N'cosθ+fsinθ=mg，N'sinθ-fcosθ=mRsinθω2 解得f=7.68N，N'=19.24N。 例2．（25-26高一下·四川眉山·阶段检测）如图1所示，某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为的小球（可视为质点），甩动手腕，使球运动起来，最终在水平面内做匀速圆周运动。手与球之间的绳长为，重力加速度为，忽略空气阻力，握绳的手距地面的距离足够高。（，，） (1)当绳与竖直方向的夹角为，求小球运动的周期； (2)若手与球之间的绳长不变，握绳的手不动，将小球竖直提至最高点，此时绳刚好伸直且无张力，然后将球以水平速度抛出，如图2所示。求从抛出小球到绳再次伸直的时间t； (3)若轻绳能承受的最大拉力为，握绳的手离地面高度为。如图3所示，改变绳长使小球在竖直平面内做圆周运动且小球运动到最低点时绳子刚好拉断，若要使小球抛出的水平距离最大，求最大水平距离为多少？（结果可含有根号和分式） 【答案】(1)1.256s (2)0.4s (3) 【详解】（1）对小球分析可知 解得 （2）小球抛出后做平抛运动，设经过时间t绳再次伸直，此过程中小球的水平位移x=vt 竖直下落高度 当绳再次伸直时，小球与手的距离为l，根据几何关系有 代入数据解得t=0.4s。 （3）小球在最低点绳子刚好断裂时，则对小球 断裂后小球做平抛运动，则， 解得 当时x1有最大值 例3．（25-26高一下·广西南宁·期中）图甲中，小球用长为L的细线悬于固定点A，在水平面内做匀速圆周运动，轨迹圆的圆心到悬点A的距离为h。图乙中，固定倒立的圆锥内表面光滑，小球在其内某一水平面做匀速圆周运动，小球到圆锥顶点B的距离为l，圆锥的顶角为2α。小球质量均为m，重力加速度为g。求： (1)细线对小球的拉力的大小T； (2)图甲中小球角速度的大小ω1； (3)图乙中小球角速度的大小ω2。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设细线与竖直方向的夹角为θ，则细线对小球的拉力的大小， 所以 （2）根据牛顿第二定律可得 所以 （3）根据牛顿第二定律可得 所以 变式1．（25-26高一下·广西百色·阶段检测）如图所示是某游乐场“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘在空中绕竖直转轴转动。设绳子长L=5m，与座椅的总质量m=60kg，盘静止时人与轴间的距离d=5m，此时座椅离地面H=7m。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时绳子与竖直方向的夹角为θ=37°且保持不变。不计空气阻力，绳子不可伸长，取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。 (1)转盘转动到稳定状态时，悬绳的拉力及游客的线速度大小？（计算结果可用根式表示） (2)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑落下来。为了保证安全，管理员应该让地面上的游客至少离中心轴多远？ 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）稳定转动时，人和座椅竖直方向受力平衡 解得 圆周运动的转动半径 水平方向合力提供向心力 解得 （2）手机滑落时离地面高度 竖直方向自由下落 水平方向匀速运动 由于平抛速度方向与圆周半径方向垂直，因此落地点到中心轴的距离 解得 变式2．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图所示，质量为m的小球在细绳作用下在水平面内做匀速圆周运动，圆心为O，此时小球离水平地面的距离为h。已知细绳长为L，细绳与竖直方向的夹角为θ，小球可视为质点，重力加速度为g。求： (1)细绳拉力F的大小； (2)小球做圆周运动的速度v的大小； (3)若小球在B点时细绳突然断裂，小球水平飞出后落在地面上的C点（图中未画出），C与O点的距离d为多少。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）竖直方向小球受力平衡，有 解得 （2）由圆周运动公式 运动半径 解得 （3）若小球在B点时细绳突然断裂，小球沿B点切线水平飞出做平抛运动，水平初速度 水平位移 竖直方向 落地点C与B的距离为 落地点C与O的距离为 变式3．（25-26高一下·新疆伊犁·期中）如图所示的玩具转盘半径为l，角速度可以调节，转盘中心O点固定了一竖直杆。质量为m的小球用两轻绳AC和BC一起连接在竖直杆上，轻绳AC长为l，与竖直杆上A点相连，轻绳BC连接在竖直杆上的B点，。两细绳都伸直时绳AC与竖直方向夹角，绳BC与竖直方向夹角。不计摩擦阻力，重力加速度为（，） (1)当BC恰好伸直时，求转盘角速度的值； (2)当转盘角速度时，求轻绳AC、BC所受弹力、的大小； (3)当转盘转动的角速度为时，小球突然脱离，要求小球不能碰到圆盘，求的取值范围。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）当BC恰好伸直时，此时小球只受到重力和AC绳拉力，根据牛顿第二定律可得 解得转盘角速度为 （2）设当AC恰好伸直时，转盘角速度为，此时小球只受到重力和BC绳拉力，根据牛顿第二定律可得 解得 当转盘角速度时，由于，对小球受力分析如图所示 水平方向有 竖直方向有 联立解得， （3）在转动过程中小球突然脱离，俯视图如图所示 由平抛运动的规律可得，水平方向有 竖直方向有 要使小球不碰到半径为l的圆盘，则有 已知， 又 联立解得的取值范围为 考点三 生活中的圆周运动：转弯问题 知识点 1.水平路面转弯 向心力由侧向静摩擦力：，，超速侧滑。 2.倾斜弯道（无摩擦理想） 倾角，重力+支持力合力供向心力： - 偏大：车轮向外挤，靠内侧摩擦力； - 偏小：车轮向内压，靠外侧摩擦力。 解题思路 找向心力来源→正交分解列方程→临界速度判断打滑方向。 例1．（25-26高一下·新疆喀什·期中）汽车转弯时如果速度过大，容易发生侧滑。因此，汽车转弯时不允许超过规定的速度。如图所示，一辆质量为2.0×103 kg的汽车（可视为质点），在水平公路的弯道上行驶，速度的大小为10 m/s，其轨迹可视为半径为50 m的圆弧。 (1)求这辆汽车转弯时的角速度大小ω。 (2)已知路面与轮胎之间的最大静摩擦力为1.4×104 N，若车速达20 m/s，请判断该车是否会发生侧滑。 【答案】(1) (2)会侧滑 【详解】（1）根据可得汽车转弯时的角速度大小为 （2）这辆汽车转弯时需要向心力的大小为 所以汽车会侧滑。 例2．（25-26高一下·山东济宁·期中）2026年3月底，中国制造的张雪机车在世界顶级赛事WSBK葡萄牙站上拿下了“双冠”，打破了欧美日品牌长达30多年的垄断。在某次安全性能测试时，摩托车和车手的总质量，在水平地面上沿半径的圆弧轨道做匀速圆周运动。轮胎与路面的动摩擦因数，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小。求： (1)为安全过弯，车身向内侧倾斜。如图所示，已知车速为时，车身与水平面间的夹角为，此时路面对车轮的支持力与静摩擦力的合力沿车身方向且通过重心。请推导与的关系式； (2)摩托车不发生侧滑的最大行驶速度。 【答案】(1) (2)25m/s 【详解】（1）摩托车受竖直向上的地面的支持力、向下的重力和指向圆心的静摩擦力作用，地面对车和人的弹力FN与摩擦力的合力过人与车的重心，则静摩擦力提供向心力，由受力分析可得 由牛顿第二定律 解得 （2）设摩托车和车手整体受到地面的弹力为FN，当静摩擦力等于最大静摩擦力时恰好不侧滑，由牛顿第二定律 则 由平衡条件 代入数据解得 例3．（25-26高一下·辽宁·期中）当驾车过弯道时，为防止侧滑，行驶速度不能过大。图1为一弯道路段，其俯视图如图2所示，其中一中心线位于同一水平面内的圆弧形车道（虚线所示），半径，一汽车沿该车道中心线做匀速圆周运动，已知汽车轮胎与路面间的最大静摩擦力等于正压力的k倍，。重力加速度g取。（计算时汽车可视为质点，且在该路段行驶过程阻力不计，结果可用根式表示） (1)若此弯道的路面设计成水平，求该汽车不发生侧滑的最大速度； (2)若此弯道的路面设计成倾斜（外高内低），路基截面可简化为图3，路面与水平面夹角，弯道半径仍为r。已知，。 ①为使汽车转弯时与路面之间恰好无摩擦，求它行驶的速度大小； ②为使汽车转弯时不发生侧滑，求它行驶的最大速度。 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）此弯道的路面设计成水平，该汽车不发生侧滑，此 时由最大静摩擦力提供向心力，则有 解得 （2）①汽车转弯时与路面之间恰好无摩擦，对汽车受力分析，如图所示 可知由重力与支持力的合力提供向心力，则有 解得 ②汽车以最大速度转弯时不发生侧滑，对汽车受力分析，如图所示 在水平方向上，根据牛顿第二定律有 在竖直方向上，根据平衡条件有 又 联立解得 变式1．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期末）如图甲所示，高铁列车通过弯道时为了保证安全，在铁路转弯处设计成外侧铁轨高于内侧铁轨。如图乙所示，设定某高铁列车在倾斜轨道上匀速转弯，其轨道半径为R，轨道平面与水平面的夹角为θ，该列车的质量为m，重力加速度为g，且该列车始终未脱离轨道，忽略空气阻力和一切摩擦。 (1)若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，求此时该列车行驶的速度的大小。 (2)若该列车实际行驶的速度，其中k为已知常量且，试分析哪一侧轨道对车轮产生侧压力，并求出该侧压力的大小。 【答案】(1) (2)若外轨对外侧车轮产生侧压力大小为；若内轨对内侧车轮产生侧压力大小为。 【详解】（1）若该列车转弯时恰好不受内外轨的侧压力，则可得 （2）若可知，重力和轨道的支持力的合力不足以提供做圆周运动的向心力，此时外轨对外轮产生侧压力，如图， 则， 解得 同理若可知，重力和轨道的支持力的合力大于列车做圆周运动所需的向心力，此时内轨对内轮产生侧压力，则， 解得 变式2．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）2023年在英国格拉斯哥举行的场地自行车世锦赛中，中国女子自行车队在女子团体竞速赛中表现出色，荣获银牌。该比赛的赛道路面（如图所示）与水平面间有一定的夹角θ，不考虑空气阻力，。若一运动员（自行车和运动员的质量之和为100kg）在该赛道上一水平半径为30m的圆周内训练，则 (1)当他以15m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间刚好没有侧向运动趋势，此赛道路面与水平面的夹角θ的正切值为多大； (2)当他以20m/s的速度做匀速圆周运动时，自行车与赛道路面间的静摩擦力为多大（结果保留整数）。 【答案】(1) (2)467N 【详解】（1）对运动员和自行车整体，受力如图所示 竖直方向根据受力平衡可得 水平方向根据牛顿第二定律可得 联立解得 （2）当以20m/s的速度做匀速圆周运动时，对整体受力如图所示 竖直方向根据受力平衡可得 水平方向根据牛顿第二定律可得 联立解得 变式3．（24-25高一下·广西百色·期末）如图是前往百色某景区交通要道上一段半径为r=30m的水平圆弧形弯道。汽车通过弯道做匀速圆周运动。设晴天和雨天路面对轮胎的最大静摩擦力分别为正压力的0.8倍和0.4倍。一辆汽车（视为质点）在该公路的弯道上行驶。g取10m/s2，tan15°=0.27，。求： (1)雨天时，若汽车的行驶速度为13m/s，能否安全通过该水平圆弧； (2)若弯道处路面为外高内低，与水平面的夹角为θ=15°，晴天时，若要使轮胎与路面间的侧向摩擦力为零，则车速应为多少； (3)在第（2）问情况下，该路段设计的最高速度为多大。 【答案】(1)不能安全通过 (2)9m/s (3) 【详解】（1）雨天时，汽车在水平圆弧弯道做匀速圆周运动，向心力由静摩擦力提供，则有 得最大安全速度 则不能安全通过。 （2）路面外高内低，侧向摩擦力为零时，向心力由重力与支持力的合力提供，由受力分析可得 解得 （3）如图所示 当车速最大时，由受力分析可得 水平方向 竖直方向 且晴天时，此时 联立解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $