第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算（复习讲义）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦平面向量核心考点，涵盖向量概念、线性运算、共线定理及坐标运算，按“概念-运算-定理-应用”逻辑架构知识体系。通过命题透视明确考情，知识精讲拆解核心，题型破译归纳技巧，真题训练强化应用，帮助学生系统突破考点难点。 资料创新采用基底几何法与坐标建系法双解题体系，如三点共线参数推论专项训练，培养学生几何直观与运算能力。设置基础与重难分层练习，结合易错陷阱分析，确保学生2分钟内解决基础题，为教师提供精准复习节奏指导，有效提升应考效率。

第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理 知识点4 平面向量基本定理及坐标表示 题型破译 (含超链接） 题型1 平面向量的基本概念 题型2 几何图形向量线性化简（三角形、平行四边形） 题型3 基本定理基底表示，求参数λ、μ 题型4 三点共线判定与参数求解 题型5 坐标基础运算 题型6 向量共线求参数 题型7 基底辨析选择题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 由坐标判断向量是否共线 / 秋考第16题 秋考第20题 / 由向量共线（平行）求参数 春考第3题 春考第4题 秋考第5题 考情分析 1. 题型与分值：固定以填空题、选择题考查，单题4分，年均必考1题，极少结合大题综合考查，是性价比极高的得分模块。 2. 命题核心特点 基础导向：90%考题聚焦向量线性化简、坐标运算、共线判定、基底辨析，侧重公式熟练运用，无复杂计算； 几何结合：高频依托三角形、平行四边形，重点考查中点、重心等分几何模型，贴合上海模考常规命题形式； 结论必考：三点共线参数推论（λ+μ=1）为上海高考、各区一模二模高频考点，是中档小题核心命题点； 易错陷阱多：命题常围绕向量方向、共线公式、基底前提、点与向量坐标混淆等细节设置陷阱，主打“基础易丢分”。 复习目标 1. 基础目标（全员必达） 熟记所有核心公式、二级结论（重心结论、三点共线推论等），无记忆漏洞； 彻底规避向量方向、坐标运算、共线公式等高频低级失误，基础题满分过关； 精准区分基底成立条件、零向量性质等核心概念，解决所有概念类选择题。 2. 能力目标（冲分核心） 熟练掌握基底几何法、坐标建系法双解题体系，能根据几何图形特征快速择优解题； 熟练处理含中点、重心、等分点的几何向量分解题型，快速求解λ、μ参数； 灵活运用三点共线推论、向量共线条件，快速破解上海高考中档变式小题。 3. 应试目标（考场适配） 实现本专题考题秒杀基础题、稳解中档题，单题答题时间控制在2分钟以内； 建立错题复盘思维，精准识别命题陷阱，杜绝细节丢分，实现模块零失分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 自主检测 1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为______. 【答案】 【详解】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 知识点2 向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 自主检测 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 【答案】 【详解】因为是中点， 所以， 所以． 故答案为：. 知识点3 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 自主检测 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________； 【答案】2 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得. 故答案为：2. 知识点4 平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 5.熟记以下常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 6.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测 4．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则__________. 【答案】 【详解】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 题●型●破●译 题型1 平面向量的基本概念 例1-1向量的大小叫做的模，记作____________．模为1的向量叫做____________· 【答案】 单位向量 【详解】向量的大小叫做的模，记作．模为1的向量叫做单位向量· 故答案为：；单位向量. 例1-2如果两个非零向量所在的直线____________或____________，那么称这两个向量平行，用记号，表示向量与平行，特别地、零向量平行于任意向量． 【答案】 平行 重合 【详解】两个非零向量所在的直线平行或重合，则这两个向量平行，记作，且零向量平行于任意向量． 故答案为：平行；重合. 方法技巧 平面向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与非零向量a同方向的单位向量. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海金山·阶段检测）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 【答案】 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以，即， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 【变式训练1-2】下列说法正确的是___________.（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 【详解】（1），即． 在中，由正弦定理得， 即． 由于B为三角形内角，故，上式即． 由于A为三角形内角，解得． （2）在中，由余弦定理得， 故． 再由余弦定理，得． 因此． 题型2 几何图形向量线性化简（三角形、平行四边形） 例2-1（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 例2-2平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 方法技巧 通用解题套路（向量回路法） 1.找首尾相连的向量连续路径，搭建运算回路； 2.将所有向量统一转化为题目给定的基底向量； 3.严格遵循减法规则：同起点向量相减，结果指向被减向量。 必考二级结论（直接套用） 在中，G为重心：、 易错分析 切勿混淆向量加减，，非同起点向量需先统一起点再运算。 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）设为所在平面上一点，且满足，若的面积为3，则面积为_____ 【答案】 【详解】由，则， 令，则，可得， 故为线段上靠近点的三等分点，，， 所以，故. 故答案为：. 【变式训练2-2】O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 【答案】 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    易知，所以， 因此可得三点共线， 易知与的公共边为，设点到边的距离为， 可知到边的距离为，到边的距离为， 所以. 故答案为： 【变式训练2-3】中，为边中点，，则_____(用表示) 【答案】 【详解】     由已知， . 故答案为：. 【变式训练2-4】如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 【答案】16 【详解】由，且三点共线， 则，由题意得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16. 故答案为：16. 题型3 基本定理基底表示，求参数λ、μ 例3-1（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 【答案】 【详解】如图，作出符合题意的图形，    由题意得，在等腰中，， 且分别为的中点， 则，， 由平面向量的减法法则可得， 而， 则，所以解得. 故答案为：. 例3-2如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 【答案】 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 方法技巧 方法一：基底恒等法（几何法，无计算误差） 1.选基底：优先选取图形同起点、不共线的两条邻边向量（如）； 2.化统一：通过向量加减、中点、共线条件，将等式两侧全部转化为基底表达式； 3.定参数：根据基底分解唯一性，对应系数相等，列方程求解参数。 方法二：坐标建系法（无脑通用，适合复杂图形） 适用场景：矩形、正方形、直角三角形、含垂直条件的几何图形。 1.建坐标系：原点优先选取图形顶点，尽可能多的点落在坐标轴上； 2.赋坐标：给各顶点赋值简易坐标（常用1、2简化运算）； 3.解方程：向量全部转化坐标形式，列等式直接求解参数。 一轮备考建议：简单图形用基底法提速，复杂图形直接建系，规避几何逻辑失误。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则_________. 【答案】 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 【变式训练3-2】在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【答案】 【详解】 如图，在平行四边形中， 因为为边上靠近点的三等分点， 所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 【变式训练3-3】如图，在中，，于点，为的中点．若，则________.    【答案】 【详解】在中，，∴， 又因为，可得； 可得， ∵为的中点， 所以，由， 因此. 故答案为： 【变式训练3-4】在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】由题意， ， ， 因为在线段上，所以，，， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 题型4 三点共线判定与参数求解 例4-1（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. 例4-2若三点不能构成三角形，则______. 【答案】 【详解】当三点共线，即时，三点不能构成三角形. 由已知得， ， 由得，，解得. 故答案为：. 方法技巧 万能解题模板 1.识别标准形式：（三向量起点统一）； 2.直接套用结论：A、B、M三点共线； 3.结合正负取值，判断点的位置（线段上/延长线上）。 【变式训练4-1】已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____． 【答案】 【详解】因为三点共线，所以，，， 所以，解得：. 故答案为： 【变式训练4-2】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以，解得. 【变式训练4-3】已知O为坐标原点， (1)若A、B、C三点共线，求x的值； (2)若与夹角为钝角，求x的取值范围. 【详解】（1）， 三点共线，与共线， 则，解得. （2）由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 题型5 坐标基础运算 例5-1平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 【答案】 【详解】依题意，，， 所以. 故答案为： 例5-2（24-25高三上·上海·阶段检测）已知平面向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为______． 【答案】 【详解】设， 则， 所以三点共线，且在之间，因为，所以， 即，中任意两点之间的距离不小于1，因为， 所以两点之间的距离小于1，所以，中至少有一个点在B，C之间， 所以的最大值为3. 故答案为：3 例5-3（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）中，，当时，的最小值为，则______. 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式、向量的线性运算的几何应用、余弦定理解三角形 【详解】若，，则， 所以， 若与关于对称，即，则， 当共线时，最小为， 如上图，由，，，则， 由，且为锐角，故， 所以. 故答案为： 方法技巧 1.区分核心概念：点坐标为位置坐标，向量坐标=终点坐标-起点坐标； 2.严格套用坐标运算公式计算； 3.共线判定统一使用。 易错分析 零向量与任意向量平行，做题需注意题干是否限定非零向量。 【变式训练5-1】（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【答案】 【详解】因为，所以为等边三角形， 设AB的中点为D，连接OD，则， 所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 【答案】2 【详解】    如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上， 以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当都在线段上时，等号成立， ， 当且仅当O在线段上，且在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是． 故答案为：． 题型6 向量共线求参数 例6-1已知非零向量不共线，且，若则__________. 【答案】 【详解】因为，即，则， 即，又，且非零向量不共线， 所以由平面向量基本定理得，两式相加，得. 例6-2若，，则 _____________． 【答案】 【详解】已知，则三点共线， ，代入得， ，即． 方法技巧 1.坐标型：已知两向量坐标平行，直接代入列方程求解； 2.几何型：图形内向量平行，先通过基底法写出，再对比基底系数求参数。 【变式训练6-1】（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. 【变式训练6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知向量，，若，则的值为__________． 【答案】 【详解】因为向量，，且， 所以，即得. 【变式训练6-3】（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 题型7 基底辨析选择题 例7-1（2025·上海·三模）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 【答案】C 【详解】A选项：，与共线，A错误； 对于B，由，B错误； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C正确， 对于D，，与共线，D错误； 故选：C. 例7-2给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 方法技巧 核心判定标准：两个向量不共线即可作为基底。 快速判定方法：向量，满足，则两向量不共线，可作为基底。 【变式训练7-1】设，下列向量不能与构成平面向量一组基的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，则共线，不能作为基底，符合题意； 对于B，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意； 对于C，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意； 对于D，由可得两向量不共线，则不共线，能作为基底，不符合题意.. 【变式训练7-2】设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以A不符合题意； 对于B，设，显然不存在实数使得成立， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以B不符合题意； 对于C，设，可得，此时方程组无解， 所以与不共线，所以与能作为基底，所以C不符合题意； 对于D，，可得，解得，即， 所以与共线，所以与不能作为基底，所以D符合题意. 【变式训练7-3】已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，是平面向量的一组基底，故为不共线的非零向量， 设，故，无解，故为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故为不共线的非零向量，B错误； C选项，设，故，无解，故为不共线的非零向 量，C错误； D选项，，故共线，故不能作为基底，D正确. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 【答案】 【详解】因为，所以， 故答案为： 2．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 【答案】 【详解】由得，解得. 故答案为：. 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 【答案】2 【详解】因为，所以，即，解得. 故答案为：2. 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 【答案】15 【详解】，，解得． 故答案为：15． 二、单选题 5．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. 三、解答题 6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 【答案】D 【详解】由于，所以与的大小相等，方向相同，故D正确. 故选：D. 2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 【答案】B 【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量， 到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量. 故选：B 二、填空题 3．已知点A（3，0），B（2，1），C（1，4），的值为________． 【答案】 【详解】，，， ，， 则． 故答案为：． 4．已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________． 【答案】 【详解】因为，B(5，6)，所以线段AB的中点坐标为. 故答案为：. 5．在中，若，则________． 【答案】 【详解】，故为等边三角形，故. 故答案为：. 6．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则______. 【答案】 【详解】    根据平行四边形的性质可知，. 故答案为：. 三、解答题 7．已知向量，，且与共线，求的值. 【答案】 【详解】因为向量，，所以，， 又与共线，所以，解得. 8．在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？ 【答案】 【详解】   ，， ， . 9．已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式． 【答案】 【详解】由已知可得，. 因为，所以， 所以有， 整理可得，. 10．阅读下列一段文字，并回答问题． 二元一次方程组， 用向量表示为．    ① 用向量的加法与数乘法则，可将①式化为．    ② 即，    ③ 由平面向量基本定理“如果和是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数，，使”知，若向量，不共线，那么存在唯一的一对实数使得成立． 这样，从向量角度认识方程组，这里向量，不共线，就是方程组的对应系数，方程组有唯一解． 那么，能用向量方法解释方程组有无穷解及方程组无解的情况吗？ 【详解】设，，， 当时， 即时，方程组有无穷解； 当时，方程组无解； 即向量与共线，向量与不共线(或与不共线)时，方程组无解. 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若向量与共线，则有，当， 显然有与共线，此时，，不是等比数列， 即“两个向量与共线”推不出“，，成等比数列”， 若，，成等比数列，则有，此时两个向量与共线， 即“，，成等比数列”可以推出“两个向量与共线”， 所以“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的必要不充分条件， 故选：B. 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ． 故选：C． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 5．已知向量，．若，则______． 【答案】 【详解】∵，，∴， 由得，解得，解得. 故答案为：. 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 【答案】 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 7．在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________． 【答案】 【详解】因为，则， 所以， 故答案为：. 8.设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 9.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________． 【答案】4 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知向量，，且，则实数的值为___________. 【答案】 【详解】由题意，向量，，且， 则，解得. 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 【答案】 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 12.设是平面上两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为_____ 【答案】 【详解】由三点共线，可得， 即， 则代入已知条件得： 整理得：， 因为是平面上两个不共线的向量， 根据平面向量基本定理可得：， 解得，， 故答案为：. 重难·创新演练 1.如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：建立直角坐标系，如图，则，，， 设（），则在圆上，设， 则，则， 则当，时，；则当，时，； 所以的取值范围： 故选：A 2.已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在不全为0的实数，，使得，即与共线， 设，选项中的点为点，则的充分条件，即与不共线， A：，与共线； B：，与共线； C：，与不共线； D：，与共线； 故选：C． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 【答案】B 【详解】设，，， 可得，所以点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且， 解得， 因为即， 因为， 所以 ， 因为，则， 所以，当时，取得最小值， 且， 令，可得， 所以，， 令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数， 任取、且，即， 所以，， 因为，则，，则， 所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数， 令，其中， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，即，所以. 故为假命题，为真命题. 故选：B. 4.在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 【答案】 【详解】因为复数，，，所对应的点分别是，，， 所以，，， 即，，， 所以 由，所以， 解得，因此. 5.已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】由题设，且共线，则， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值是. 故答案为： 6.在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 【答案】13 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为三点共线，所以，， ， 当且仅当，即时取等. 故答案为：13. 7.已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为______． 【答案】 【详解】因为、分别为等差数列、的前项和，， 设，则， 所以， ， 所以，所以， 因为点是直线上一点，点是直线外一点， 设，即，所以， 由题意可知、不共线，由平面向量基本定理可得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． 【答案】 【详解】∵，且， 两边平方， ∴，故， 则. 故答案为： 9.已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】 作图，，则，， 因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上； 同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上， 所以的最小值则为， 因为，，当，，三点共线时，，所以. 故答案为：. 10.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    【答案】 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 11．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知共个元素， 记为， 假设中最大交集为， 所以含的四元集合中剩下的两个元素不能相同， 因为中共8个元素，则还剩下6个元素， 所以中，含的四元集合最多有个, 即数对在中最多出现3次， 同理任何一个二元数对可在中最多出现3次， 所以一个四元集中出现个二元数对， 所以个四元集中共出现次， 因为中最多有种不同的二元数对，每个最多出现3次， 所以，解得. 所以正整数的最大值为. 故答案为： 12．已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点． (1)求证：直线平分线段； (2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上． 【详解】（1）由题意，，则，，∴， ∴椭圆方程为，即， ∴直线的斜率，直线的方程为， 联立消去，化简得，解得，， 即点的横坐标为，代入直线的方程，得， ∴直线的斜率，直线的方程为， ∵，∴由椭圆的对称性知， 又∵，∴线段AC的中点坐标为， ∵，∴线段AC的中点在直线：上， 即直线平分线段. （2）设过点的直线与椭圆交于两个不同点的坐标为，， ∵，在椭圆上，∴， ∵，∴设，易知，且， 则由已知，有，， ∴由线段定比分点坐标公式，有，， ∵点的横坐标为常数（）， ∴， 又∵点在直线：上，∴，∴， 将代入，得 ， 即点在直线上. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 平面向量的线性运算、基本定理及坐标运算 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1 向量的有关概念 知识点2 向量的线性运算 知识点3 向量共线定理 知识点4 平面向量基本定理及坐标表示 题型破译 (含超链接） 题型1 平面向量的基本概念 题型2 几何图形向量线性化简（三角形、平行四边形） 题型3 基本定理基底表示，求参数λ、μ 题型4 三点共线判定与参数求解 题型5 坐标基础运算 题型6 向量共线求参数 题型7 基底辨析选择题 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 06 课后训练·分层突破 突破核心考点，提升解题能力 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 由坐标判断向量是否共线 / 秋考第16题 秋考第20题 / 由向量共线（平行）求参数 春考第3题 春考第4题 秋考第5题 考情分析 1. 题型与分值：固定以填空题、选择题考查，单题4分，年均必考1题，极少结合大题综合考查，是性价比极高的得分模块。 2. 命题核心特点 基础导向：90%考题聚焦向量线性化简、坐标运算、共线判定、基底辨析，侧重公式熟练运用，无复杂计算； 几何结合：高频依托三角形、平行四边形，重点考查中点、重心等分几何模型，贴合上海模考常规命题形式； 结论必考：三点共线参数推论（λ+μ=1）为上海高考、各区一模二模高频考点，是中档小题核心命题点； 易错陷阱多：命题常围绕向量方向、共线公式、基底前提、点与向量坐标混淆等细节设置陷阱，主打“基础易丢分”。 复习目标 1. 基础目标（全员必达） 熟记所有核心公式、二级结论（重心结论、三点共线推论等），无记忆漏洞； 彻底规避向量方向、坐标运算、共线公式等高频低级失误，基础题满分过关； 精准区分基底成立条件、零向量性质等核心概念，解决所有概念类选择题。 2. 能力目标（冲分核心） 熟练掌握基底几何法、坐标建系法双解题体系，能根据几何图形特征快速择优解题； 熟练处理含中点、重心、等分点的几何向量分解题型，快速求解λ、μ参数； 灵活运用三点共线推论、向量共线条件，快速破解上海高考中档变式小题。 3. 应试目标（考场适配） 实现本专题考题秒杀基础题、稳解中档题，单题答题时间控制在2分钟以内； 建立错题复盘思维，精准识别命题陷阱，杜绝细节丢分，实现模块零失分。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向量 长度(模) 向量的大小 记作|a|或|| 零向量 长度为0，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 与非零向量a共线的单位向量为± 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量 0与任意向量平行(或共线) 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 自主检测 1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为______. 知识点2 向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 设λ，μ为实数，则 λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 自主检测 2．（25-26高三上·上海·阶段检测）设M是所在平面上的一点，且，D是的中点，则______． 知识点3 向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 自主检测 3．（25-26高三上·上海杨浦·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则___________； 知识点4 平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2－x1，y2－y1)，||＝. 4.平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 5.熟记以下常用结论 (1)如果对于一个基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到即基底给定，同一向量的分解形式唯一.特别地，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0. (2)已知△ABC的重心为G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则G点坐标为. 6.谨防三个易误点 (1)基底{e1，e2}必须是同一平面内的两个不共线向量.因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量. (2)a∥b的充要条件不能表示为，因为x2，y2有可能为0. (3)向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 自主检测 4．（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则__________. 题●型●破●译 题型1 平面向量的基本概念 例1-1向量的大小叫做的模，记作____________．模为1的向量叫做____________· 例1-2如果两个非零向量所在的直线____________或____________，那么称这两个向量平行，用记号，表示向量与平行，特别地、零向量平行于任意向量． 方法技巧 平面向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与非零向量a同方向的单位向量. 【变式训练1-1】（24-25高三上·上海金山·阶段检测）已知两个非零向量，满足，则向量在向量方向上的投影向量为______. 【变式训练1-2】下列说法正确的是___________.（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【变式训练1-3】（24-25高三上·上海·阶段检测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知． (1)求角A的大小； (2)设D为边上一点，且，若，，求． 题型2 几何图形向量线性化简（三角形、平行四边形） 例2-1（2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 例2-2平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 方法技巧 通用解题套路（向量回路法） 1.找首尾相连的向量连续路径，搭建运算回路； 2.将所有向量统一转化为题目给定的基底向量； 3.严格遵循减法规则：同起点向量相减，结果指向被减向量。 必考二级结论（直接套用） 在中，G为重心：、 易错分析 切勿混淆向量加减，，非同起点向量需先统一起点再运算。 【变式训练2-1】（24-25高一下·上海松江·阶段检测）设为所在平面上一点，且满足，若的面积为3，则面积为_____ 【变式训练2-2】O为内一点，且，则的面积与的面积的比值为____ 【变式训练2-3】中，为边中点，，则_____(用表示) 【变式训练2-4】如图，在中，点是线段上动点，且，则的最小值为_________． 题型3 基本定理基底表示，求参数λ、μ 例3-1（25-26高三上·上海宝山·期末）已知等腰中，分别为的中点，若，则___________． 例3-2如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 方法技巧 方法一：基底恒等法（几何法，无计算误差） 1.选基底：优先选取图形同起点、不共线的两条邻边向量（如）； 2.化统一：通过向量加减、中点、共线条件，将等式两侧全部转化为基底表达式； 3.定参数：根据基底分解唯一性，对应系数相等，列方程求解参数。 方法二：坐标建系法（无脑通用，适合复杂图形） 适用场景：矩形、正方形、直角三角形、含垂直条件的几何图形。 1.建坐标系：原点优先选取图形顶点，尽可能多的点落在坐标轴上； 2.赋坐标：给各顶点赋值简易坐标（常用1、2简化运算）； 3.解方程：向量全部转化坐标形式，列等式直接求解参数。 一轮备考建议：简单图形用基底法提速，复杂图形直接建系，规避几何逻辑失误。 【变式训练3-1】（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则_________. 【变式训练3-2】在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点， ，则 _____. 【变式训练3-3】如图，在中，，于点，为的中点．若，则________.    【变式训练3-4】在正方形中，O为对角线的交点，E为边上的动点，若，则的最小值为___________. 题型4 三点共线判定与参数求解 例4-1（2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 例4-2若三点不能构成三角形，则______. 方法技巧 万能解题模板 1.识别标准形式：（三向量起点统一）； 2.直接套用结论：A、B、M三点共线； 3.结合正负取值，判断点的位置（线段上/延长线上）。 【变式训练4-1】已知为坐标原点，且，若三点共线，则实数_____． 【变式训练4-2】已知向量，，，若A，B，D三点共线，则______. 【变式训练4-3】已知O为坐标原点， (1)若A、B、C三点共线，求x的值； (2)若与夹角为钝角，求x的取值范围. 题型5 坐标基础运算 例5-1平行四边形中，，是的中点，记，，则_____.（用、表示） 例5-2（24-25高三上·上海·阶段检测）已知平面向量，满足，向量，满足或且对任意成立．则的最大值为______． 例5-3（24-25高一下·上海宝山·阶段检测）中，，当时，的最小值为，则______. 方法技巧 1.区分核心概念：点坐标为位置坐标，向量坐标=终点坐标-起点坐标； 2.严格套用坐标运算公式计算； 3.共线判定统一使用。 易错分析 零向量与任意向量平行，做题需注意题干是否限定非零向量。 【变式训练5-1】（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【变式训练5-2】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 【变式训练5-3】（25-26高三上·上海·期中）平面内互不重合的点、、、、、，若，，则的取值范围是______. 题型6 向量共线求参数 例6-1已知非零向量不共线，且，若则__________. 例6-2若，，则 _____________． 方法技巧 1.坐标型：已知两向量坐标平行，直接代入列方程求解； 2.几何型：图形内向量平行，先通过基底法写出，再对比基底系数求参数。 【变式训练6-1】（2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【变式训练6-2】（2026·上海杨浦·模拟预测）已知向量，，若，则的值为__________． 【变式训练6-3】（2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 题型7 基底辨析选择题 例7-1（2025·上海·三模）下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A．， B． C． D． 例7-2给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 方法技巧 核心判定标准：两个向量不共线即可作为基底。 快速判定方法：向量，满足，则两向量不共线，可作为基底。 【变式训练7-1】设，下列向量不能与构成平面向量一组基的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】设，是平面内两个不共线的向量，则下列向量组中不能作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7-3】已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、填空题 1．（2023·上海·高考真题）已知向量，则_______________． 2．（2025·上海·高考真题）已知，若，则__________． 3．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则____________. 4．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为______． 二、单选题 5．（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 三、解答题 6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 一、单选题 1．下列条件中能得到的是（    ） A． B．与的方向相同； C．，为任意向量 D．且 2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（    ） A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．共起点的向量 二、填空题 3．已知点A（3，0），B（2，1），C（1，4），的值为________． 4．已知点，B(5，6)，线段AB的中点坐标为________． 5．在中，若，则________． 6．已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则______. 三、解答题 7．已知向量，，且与共线，求的值. 8．在中，AC为一条对角线．若，，则的坐标是多少？ 9．已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式． 10．阅读下列一段文字，并回答问题． 二元一次方程组， 用向量表示为．    ① 用向量的加法与数乘法则，可将①式化为．    ② 即，    ③ 由平面向量基本定理“如果和是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数，，使”知，若向量，不共线，那么存在唯一的一对实数使得成立． 这样，从向量角度认识方程组，这里向量，不共线，就是方程组的对应系数，方程组有唯一解． 那么，能用向量方法解释方程组有无穷解及方程组无解的情况吗？ 课后训练·分层突破 ——突破核心考点，提升解题能力 模拟·基础演练 1．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·阶段检测）“两个向量与共线”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·上海宝山·期末）如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，．若，则______． 6．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 7．在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________． 8.设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 9.如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为____________． 10．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知向量，，且，则实数的值为___________. 11．（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则_____. 12.设是平面上两个不共线的向量，，若三点共线，则的值为_____ 重难·创新演练 1.如图，在边长为4的正方形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，是圆上及内部的动点，设向量，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合是平面直角坐标系内的点集，为坐标原点.若任取，，均存在不全为0的实数，，使得，则的充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 4.在复平面内，是坐标原点，复数，，，所对应的点分别是，，．若，则的值是___________． 5.已知点在线段上(不含端点)，是直线外一点，且，则的最小值是_____． 6.在中，，是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是________ 7.已知、分别为等差数列、的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，且，则实数的值为______． 8．（25-26高三上·上海·开学考试）已知圆心为、半径为1的圆上有三点、、．若，则______． 9.已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________． 10.如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    11．（2025·上海金山·一模）已知四边形为平行四边形，集合均为集合的四元子集，若对于任意，当时，中的元素个数都不超过个，则正整数的最大值为___________． 12．已知椭圆：（）的离心率为，它的上顶点为，左、右焦点分别为，（常数），直线，分别交椭圆于点，．为坐标原点． (1)求证：直线平分线段； (2)如图，设椭圆外一点在直线上，点的横坐标为常数（），过的动直线与椭圆交于两个不同点、，在线段上取点，满足，试证明点在直线上． 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $