第一章直角三角形的边角关系练习题2026—2027学年九年级数学上册鲁教版

**基本信息** 聚焦直角三角形边角关系，通过老旧小区改造、飞檐翘角测量等真实情境，梯度设计选择、填空、解答题，强化数学眼光观察现实、思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数定义、解直角三角形条件|结合矩形、坐标系等几何背景，基础巩固| |填空题|5/20|坡度、特殊角三角函数值|含字母表示锐角三角函数，能力提升| |解答题|7/78|仰角俯角、坡比应用、综合测量|以斜坡改造（坡比1:√3）、飞檐翘角（激光测距）为情境，融合几何构造与实际计算，体现数学语言表达现实的应用意识|

第一章 直角三角形的边角关系练习题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在中，，于点，下列结论正确的是(     ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，，，则下列正确的是(     ) A. B. C. D. 3.在中，，那么是(     ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形． 4.如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接若，，则的值是(     ) A. B. C. D. 5.根据所给条件解直角三角形，结果不能确定的是(     )已知一直角边及其对角；已知两锐角；已知斜边和一锐角；已知一直角边和一斜边；已知一直角边和一锐角． A. B. C. D. 6.如图，在直角坐标系中，已知点，直线与轴正半轴的夹角为，那么的值是(     ) A. B. C. D. 7.如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆已知观测点到旗杆的距离，测得旗杆的顶部的仰角，旗杆底部的俯角，那么，旗杆的高度是(     ) A. B. C. D. 8.如图所示的是厂房屋顶人字形等腰三角形钢架结构，已知，，则中柱为底边中点的长是(     ) A. B. C. D. 9.如图，一个斜坡通道的长为，坡角，那么该斜坡的垂直高度可以表示为(     ) A. B. C. D. 10.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道与地面平行，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为若四边形是正方形，扶梯的长为米，则滑梯底部的长为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知米，山坡坡度为，且，，在同一条直线上，则此人所在位置点的铅直高度为           米 12.计算：_________；_________；________；________． 13.如果为锐角，且，那么          ，          用含字母的式子表示 14.如图，在中，，垂足为，若，，，则等于          ． 15.如图，点是正方形的边上一点，连接，点在上，且，连接若，，则的长为        ． 三、计算题：本大题共1小题，共12分。 16.计算： ． ． ． 四、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，，延长至点，使． 求和的度数； 求和； 用类似方法，求的值． 18.本小题分 如图，已知四边形中，，，，，的延长线与的延长线交于点． 若，求的长 若，求的长． 19.本小题分 如图，在中，若，，求： 的长 的面积． 20.本小题分 如图，在中，，，的平分线交于点，，求的长． 21.本小题分 如图，在中，，且，，求的长． 22.本小题分 老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把“斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告． 课题 斜坡安全改造 成员 老师：组长：组员：，， 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图所示的坡比为：的斜坡，坡面的宽度保持不变． 测量数据 【步骤一】利用皮尺测得米，米； 【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为． 请根据活动报告，解答下列问题： 求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度； 求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？结果保留根号 23.本小题分 “飞檐翘角”是中国特有的建筑结构，既便于采光，又利于排水为了解某古建筑“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离，研学小组制定了如下活动方案： 活动主题 测量“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离 图示与说明 实物图 示意图 说明：点是起翘点，点是飞檐最高点，表示激光测距仪的高度 测量方法与数据 调整激光测距仪，从点处测得继续调整激光测距仪，从点处测得；两次测量方向的夹角 请根据以上数据，求该古建筑“飞檐翘角”的起翘点与飞檐最高点之间的距离结果精确到，参考数据：，， 答案和解析 1.【答案】  【解析】略 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：过点作于点在矩形中，，，， 点，是的三等分点，， ，，是等腰直角三角形， ，同理是等腰直角三角形， ，，是等腰直角三角形． ，， ，在中，． 5.【答案】  【解析】略 6.【答案】  【解析】解：过点作轴的垂线，垂足为， 由点的坐标为可知， ，， 所以． 在中， ． 故选：． 过点作轴的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 本题考查解直角三角形，能构造出直角三角形是解题的关键． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】略 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】【点拨】作于点，于点． 在中，米，， 米 设米，易知米， 米． ， 米． 米． 在中，， 易得， ，解得． 米． 12.【答案】； ； ；   【解析】解：； ； ；（4） 1． 13.【答案】   【解析】略 14.【答案】  【解析】略 15.【答案】  【解析】解：过作于， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ． 故答案为：． 过作于，根据正方形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，设，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到． 本题考查了正方形的性质，勾股定理相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】【小题】 ． 【小题】 ． 【小题】 ．   【解析】 略  略  略 17.【答案】【小题】 解：，  又，  又，． 【小题】 设  在中，，，，，  在中， ， ． 【小题】 如图，在中，，延长至点，使，则． 设，则，，，  在中，，  即．   【解析】 略  略  略 18.【答案】【小题】 解：，， ． ，， ． ，，， ， ． 【小题】 ，，， 设，则， ， ， 解得， ，， ， ， ．   【解析】 略  略 19.【答案】【小题】 解：过点作于点． ，， ，． ，． ， ． ． 【小题】 ．   【解析】 略  略 20.【答案】解：在中，，  ，  所以， 所以  因为是的平分线，  所以  又因为  ， 所以    在中，，，  所以    故的长为．  【解析】略 21.【答案】解：，且，，，，解得．  【解析】略 22.【答案】改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米 改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料  【解析】解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中，，米， 米，米， 在中，， 米， 米． 答：改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米； 平方米， 立方米． 答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料． 过点作，交的延长线于点，构造直角三角形，再计算即可； 先计算，再计算体积即可． 本题考查了解直角三角形的应用，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23.【答案】解：过点作，交于点在中， ，， ． ． ，． 在中，由勾股定理， 可得． 答：该古建筑“飞檐翘角”中起翘点与飞檐最高点之间的距离约为   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $