精品解析：山东桓台县唐山镇中学等校2025－2026学年初四数学练习题

初 四 数 学 练 习 题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在中，，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴. 2. 按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建设垃圾类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为（ ） A. －3 B. －1 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：∵二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1）， ∴a+b-1=1， ∴a+b=2， ∴1-a-b=1-（a+b）=1-2=-1． 故选B． 考点：二次函数图象上点的坐标特征． 4. 如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④②③① D. ④③②① 【答案】B 【解析】 【分析】北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长． 【详解】根据题意，太阳是从东方升起，故影子指向的方向为西方．然后依次为西北−北−东北−东， 即④①③② 故选：B． 【点睛】本题考查平行投影的特点和规律．在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚影子的指向是：西−西北−北−东北−东，影长由长变短，再变长． 5. 下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①② D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据各图形求出各自阴影部分的面积比较即可． 【详解】解：①：图中的函数为正比例函数，与坐标轴只有一个交点（0，0），由于缺少条件，阴影部分的面积不一定； ②：直线y=﹣x+2与坐标轴的交点坐标为：（2，0），（0，2），故S阴影=×2×2=2； ③：此函数是反比例函数，那么阴影部分的面积为：S=xy=×4=2； ④：该抛物线与坐标轴交于：（﹣1，0），（1，0），（0，﹣1），故阴影部分的三角形是等腰直角三角形，其面积S=×2×1=1． ∴②③的面积相等． 故选A． 【点睛】本题考查正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系． 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象可知，，再根据一次函数与反比例函数的图象性质即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象与x轴的交点位置，可确定，， ∴一次函数的图象y随x增大而减小，且与y轴交于点， 排除A、B； ， ∴反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数和反比例函数图象的性质，根据二次函数图象确定，是解题的关键． 7. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是 A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断 【详解】当弦PB最长时，PB是⊙O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得PA=PC，即ΔAPC是等腰三角形，判断A 正确； 当ΔAPC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PO⊥AC，判断B正确； 当PO⊥AC时，若点P在劣弧AC上，则∠ACP=30°，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，∠ACP=60°，则∠ACP=60°，判断C错误； 当∠ACP=30°时，∠ABP=∠ACP=30°，又∠ABC=60°，从而∠PBC=30°；又∠BPC=∠BAC=60°，所以，∠BCP=90°，即ΔPBC是直角三角形，判断D正确． 故选C． 8. 如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（　　） A. 60πcm2 B. 90πcm2 C. 96πcm2 D. 120πcm2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为12cm，高为8cm，再计算母线长为10，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形半径等于圆锥的母线长计算圆锥的侧面积和底面积的和即可. 【详解】圆锥的底面圆的直径为12cm，高为8cm， 所以圆锥的母线长==10， 所以此工件的全面积=π62+2π610=96π(cm2). 故答案选C. 【点睛】本题考查的知识点是圆锥的面积及由三视图判断几何体，解题的关键是熟练的掌握圆锥的面积及由三视图判断几何体. 9. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在这个圆面上随意抛一粒豆子，落在圆内每一个地方是均等的，因此计算出正方形和圆的面积，利用几何概率的计算方法解答即可． 【详解】解：∵设正方形的边长为a， ∴⊙O的半径为， ∴S圆＝×（a）2， S正方形＝a2， ∴在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何概率的意义：一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）＝． 10. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵AC为切线， ∴∠OAC=90° ， ∵∠C=40°， ∴∠AOC=50°， ∵OB=OD ， ∴∠ABD=∠ODB ， ∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°， ∴∠ABD=∠ODB=25°． 故选B 11. 如图，抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论：①；②；③若方程有两个根，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系；根据对称性可知当时，；由函数的图象的对称性可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴为， 即， ， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ， ，故①错误； 当时，， 当时，，故②错误； 抛物线的顶点坐标为， 抛物线， 抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为； 若方程有两个根，且，则，故③正确； 若方程有四个根，设的两根分别为，由函数图象的对称性可知，，即， 设的两根分别为，由函数图象的对称性可知，，即， 则这四个根的和为4，故④正确． 综上，有2个说法正确； 故选：B． 12. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答． 【详解】解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大， ∵， 则△ABO为等腰直角三角形， ∴AB=，N为AB的中点， ∴ON=， 又∵M为AC的中点， ∴MN为△ABC的中位线，BC=1， 则MN=， ∴OM=ON+MN=， ∴OM的最大值为 故答案选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大． 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果．） 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 【答案】﹣2 【解析】 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， 解得： 故答案为 14. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】点A，B落在函数的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案． 【详解】解：过点A、B分别作轴，轴，垂足为D、E， ∵点A在反比例函数上，点B在上， ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，利用勾股定理可得直角边与斜边的比，求出的值． 15. 如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，根据垂径定理得出,，，进而证明得出，根据半径为，得出，然后根据直径所对的圆周角是直角，得出是直角三角形，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵是的中点， ∴,，， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 16. 如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ． 【详解】解：连接OA， ∵，OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=8，∠AOB=60° ∵AD∥BO， ∴∠DAO=∠AOB=60°， ∵OA=OD， ∴△OAD是等边三角形， ∴∠AOD=60°， ∴∠DOE=60°， ∴在Rt△OCD中，， ∵AD∥BO， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差． 17. 如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为_______________________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型． 首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出，则的最小值等于减去半径． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴点在以为直径的上， ∴当、、共线时最小， 在中，， ， ， ， ∴最小值为2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 70 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 【答案】①，②m的值为． 【解析】 【分析】①根据“关于x的一元二次方程有两不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于m的不等式，解之即可． ②根据“x1，x2是方程的两根且”，结合根与系数的关系，列出关于m的一元二次方程，解之，结合（1）的结果，即可得到答案． 【详解】解：①根据题意得： ， 解得：， ②根据题意得： ，， ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴m的值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：①正确掌握判别式公式，②正确掌握根与系数的关系． 19. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个.若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为. （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求出摸到两个不同颜色球的概率. 【答案】（1）1个（2） 【解析】 【分析】（1）根据篮球的概率，以及篮球个数，利用概率公式求出袋中球总数，即可确定出黄球的个数； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸到不同颜色球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）由题意可知：袋中共有＝4个球，则黄球的个数=4-2-1=1； （2）如下表所示： 红1 红2 黄 蓝 红1 --- （红1，红2） （红1，黄） （红1，蓝） 红2 （红2，红1） --- （红2，黄） （红2，蓝） 黄 （黄，红1） （黄，红2） --- （黄，蓝） 蓝 （蓝，红1） （蓝，红2） （蓝，黄） --- 所有等可能的情况有12种，其中不同颜色的情况有10种， 则两次摸到不同颜色球的概率为P=． 【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是．求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积； （3）直接写出x何值时，． 【答案】（1）y＝－x＋2 （2）6 （3）x＜－2或0＜x＜4 【解析】 【分析】（1）先求出A，B两点坐标，将其代入一次函数关系式即可； （2）根据一次函数与y轴的交点为(0，2)，则△AOC和△BOC的底边长为2，两三角形的高分别为|x1|和|x2|，从而可求得其面积； （3）由函数图象得出直线在双曲线上方时x的取值范围． 【小问1详解】 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1=﹣2，y2=﹣2， 把x1=y2=﹣2分别代入y=﹣得y1=x2=4， ∴A(﹣2，4)，B(4，﹣2)． 把A(﹣2，4)和B(4，﹣2)分别代入y=kx+b， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为y=﹣x+2； 【小问2详解】 解：如图， ∵y=﹣x+2与y轴交点为C(0，2)， ∴OC=2， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×OC×|x1|+×OC×|x2|=×2×2+×2×4=6； 【小问3详解】 解：由函数图象可得当x＜﹣2或0＜x＜4时，． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，要把△AOB分割为两个小三角形，进而再求解以及运用数形结合思想是解答本题的关键． 21. 甲、乙两条轮船同时从港口出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求： （1）港口与小岛之间的距离； （2）甲轮船后来的速度(结果保留根号) 【答案】（1）海里 （2）海里/小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解此题的关键． （1）作于，由题意得：（海里），，，解直角三角形求出、的长即可得解； （2）求出轮船乙从到的时间，从而得出轮船由到的时间，再解直角三角形得出的长度，即可得解． 【小问1详解】 解：如图，作于， 由题意得：（海里），，， ∴（海里），（海里）， ∴（海里）， ∴海里； 【小问2详解】 解：轮船乙从到的时间为（小时）， ∴轮船由到的时间为（小时）， ∵（海里）， ∴甲轮船后来的速度为（海里/小时）． 22. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，可以证得DE⊥OD，然后证明ODAC即可证明DE⊥AC； （2）利用△ADE∽△CDE，求出DE与CE的比值即可． 【小问1详解】 证明：连接OD， ∵D是BC的中点，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAC， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴DE⊥AC； 【小问2详解】 解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADC=∠DEC=∠AED=90°， ∴∠ADE+∠CDE=∠DCE+∠CDE=90°， ∴∠ADE=∠DCE 在△ADE和△CDE中， ∴△CDE∽△ADE， ∴， 设tan∠ACB==x，CE=a，则DE=ax， ∵AD⊥BC，D是BC的中点， ∴AC=AB， ∵AB=3DE， ∴AC=3ax，AE=3ax﹣a， ∴，整理得：x2﹣3x+1=0， 解得：x=， ∴tan∠ACB=． 【点睛】本师生考查切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论，三角形中位线定理，熟练掌握切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论、三角形中位线定理是解题的关键． 23. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示. （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 【答案】（1）；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元. 【解析】 【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润； （3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围． 【详解】（1）由题意得： ． 故y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700， （2）由题意，得 -10x+700≥240， 解得x≤46， 设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700）， w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000， ∵-10＜0， ∴x＜50时，w随x的增大而增大， ∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840， 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元； （3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600， -10（x-50）2=-250， x-50=±5， x1=55，x2=45， 如图所示，由图象得： 当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点． 24. 二次函数的图象经过点（﹣1，4），且与直线相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，MN和NC互相垂直平分． 【解析】 【分析】（1）先求得A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （2）设M的横坐标是x，则根据M和N所在函数的解析式，即可利用x表示出M、N的坐标，利用x表示出MN的长，利用二次函数的性质求解； （3）BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则BC=MC，据此即可列方程，求得x的值，从而得到N的坐标． 【详解】（1）由题设可知A（0，1），B（﹣3，），根据题意得： 解得，则二次函数的解析式是； （2）设N()，则M、P的坐标分别为，，∴MN=PN-PM=，则当时，MN的最大值为； (3)连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，由于BC∥MN，即MN=BC，且BC=MC，即，且，解得，故当时，MN和NC互相垂直平分． 考点：1．二次函数综合题；2．菱形的性质；3．代数几何综合题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 四 数 学 练 习 题 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在中，，若 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到2025年底，我国地级及以上城市要基本建设垃圾类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)．则代数式1－a－b的值为（ ） A. －3 B. －1 C. 2 D. 5 4. 如图是一根电线杆在一天中不同时刻的影长图，试按其天中发生的先后顺序排列，正确的是（ ） A. ①②③④ B. ④①③② C. ④②③① D. ④③②① 5. 下列图形中阴影部分的面积相等的是（ ） A. ②③ B. ③④ C. ①② D. ①④ 6. 已知函数（其中）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是 A. 当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形 B. 当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC C. 当PO⊥AC时，∠ACP=30° D. 当∠ACP=30°时，ΔPBC是直角三角形 8. 如图，是一个工件的三视图，则此工件的全面积是（　　） A. 60πcm2 B. 90πcm2 C. 96πcm2 D. 120πcm2 9. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，若随意抛出一粒石子在这个圆面上，则石子落在正方形ABCD内概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 11. 如图，抛物线的顶点坐标为，其大致图象如图所示，下列结论：①；②；③若方程有两个根，且，则；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分．请直接填写最后结果．） 13. 若是关于的一元二次方程，则的值是______________． 14. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角形纸板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数，的图象上，则的值为______． 15. 如图，在半径为3的中，是直径，是弦，D是的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为________． 16. 如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________． 17. 如图，中，是内部的一个动点，且满足则线段的最小值为_______________________． 三、解答题（本大题共 7 个小题，共 70 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. 已知关于x的一元二次方程有两不相等的实数根． ①求m的取值范围． ②设x1，x2是方程的两根且，求m的值． 19. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个.若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为. （1）求袋中黄球的个数； （2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，求出摸到两个不同颜色球的概率. 20. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是．求： （1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积； （3）直接写出x何值时，． 21. 甲、乙两条轮船同时从港口出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求： （1）港口与小岛之间的距离； （2）甲轮船后来的速度(结果保留根号) 22. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E． （1）求证：DE⊥AC； （2）若AB=3DE，求tan∠ACB的值． 23. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示. （1）求与之间的函数关系式； （2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围. 24. 二次函数的图象经过点（﹣1，4），且与直线相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $