第19讲 函数的应用（2）（用二分法求函数零点）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第19讲 函数的应用（2）（用二分法求函数零点） 【基础知识】 1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法. 2.用二分法求函数零点的一般步骤： 已知函数 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度. 第一步：在D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位于区间 中. 第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为 . 计算 和 ，并判断： ①如果 ，则 就是 的零点，计算终止； ②如果 ，则零点位于区间 中，令 ； ③如果 ，则零点位于区间 中，令 ； …… 继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函数 的近似零点满足给定的精确度. 要点诠释： （1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且 ． （2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程 的根，可以构造函数 ，函数 的零点即为方程 的 【考点剖析】 考点一：用二分法求函数的零点的近似值 例1．已知函数 ． （1）求证：f（x）在区间（1，2）上存在零点； （2）若f（x）的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f（x）=0的一个近似解（精确到0.1）． 【思路点拨】（1）根据函数零点存在定理即可判断． （2）由二分法的定义进行判断，根据其原理——零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越接近的特征选择正确答案． 【答案】（1）略；（2）1.3 【解析】（1）证明：∵ ， ∴f（1）=－1＜0，f（2）=7＞0， ∴f（1）·f（2）=－7＜0 且 在（1，2）内连续， 所以f（x）在区间（1，2）上存在零点； （2）由（1）知 在（1，2）内存在零点， 由表知，f（1）=―1，f（1.5）=1， ∴f（1）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1，1.5）上， ∵f（1.25）=―0.40625，∴f（1.25）·f（1.5）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.5）上， ∵f（1.375）=0.18359，∴f（1.25）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.25，1.375）上； ∵f（1.3125）=－0.31818，∴f（1.3125）·f（1.375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.375）上， ∵f（1.34375）=0.01581，∴f（1.3125）·f（1.34375）＜0，∴f（x）的零点在（1.3125，1.34375）上， 由于｜1.34375－1.3125｜=0.03125＜0，且1.3125≈1.3，1.34375≈1.3， 所以f（x）=0的一个精确到0.1的近似解是1.3． 【总结升华】本题考查二分法求方程的近似解，求解关键是正确理解掌握二分法的原理与求解步骤，根据其原理得出零点存在的区间，找出其近似解，属于基本概念的运用题． 例2.若函数 的一个正数零点附近的函数值 用二分法计算，其参考数据如下： f（1）=－2 f（1.5）=0.625 f（1.25）=－0.984 f（1.375）=－0.260 f（1.4375）=0. 162 f（1.40625）=－0. 054 那么方程 的一个近似根（精确到0.1）为（ ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 例3.设 ，用二分法求方程 在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ） A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能确定 【思路点拨】由已知“方程 在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号． 【答案】B 【解析】∵f（1.5）•f（1.25）＜0， 由零点存在定理，得， ∴方程的根落在区间（1.25，1.5）． 故选B． 【总结升华】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理： 一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点． 考点二：用二分法解决实际问题 例4．某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2006年平均每台电脑生产成本5000元，并以纯利润20%标定