第07讲 平均值不等式及其应用（知识详解+6典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第07讲 平均值不等式及其应用 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：算术平均值与几何平均值 知识点02：平均值不等式 知识点03：平均值不等式与最值 知识点04：三角不等式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式证明不等关系 题型02：基本不等式求积的最大值 题型03：基本不等式求和的最小值 题型04：基本不等式“1”的妙用求最值 题型05：条件等式求最值 题型06：绝对值三角不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 【例1】已知正实数，，求两者的算术平均值与几何平均值，并比较大小。 解：1. 计算算术平均值： 2. 计算几何平均值： 3. 大小比较： 答案：算术平均值为，几何平均值为，算术平均值大于几何平均值。 【知识点02】平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有≥，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与≥成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ① (a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 【例2】求证：对任意正实数，满足，并推导平均值不等式。 证明：由完全平方公式可得： 展开得： 移项整理： 令（），代入得： 两边同时除以2，得二元平均值不等式： 当且仅当即时，等号成立。 结论：平均值不等式成立，等号成立条件为两数相等。 【知识点03】平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【例3】：已知，求的最小值，并求出取最小值时的值。 解：1. 验证前提：由，可得与均为正实数，满足“一正”； 2. 判定定值：两式乘积为定值，满足“二定”； 3. 套用平均值不等式： 4. 验证等号成立条件： 当且仅当时，等号成立，解得。 又因，故。 答案：当时，函数取得最小值。 【知识点04】三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么≤；当且仅当ab≥0时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有≤，且等号当且仅当ab≥0时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明≤，只需证明， 即，也就是2ab≤2，所以，等号当且仅当ab≥0时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有-()≤a+b≤③， 将 ()看作一个整体时，上面的③式逆用＜a↔-a＜x＜a，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成（a+b）-b代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即2； 方法2：将取成代入定理。 【例4】已知实数，利用三角不等式求的取值范围。 解：对变形配凑： 由三角不等式、可得： 代入： 1. 求最大值： 2. 求最小值： 验证取值范围可行性，最终得： 答案：的取值范围是。 【题型01】由基本不等式证明不等关系 【典例1-1】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，，充分性满足， 但时，如，但，必要性不满足， 应为充分不必要条件， 故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是________． 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式等号成立的条件即可求解． 【详解】解：由式， ， 当且仅当时取等号． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 【答案】①② 【分析】本题利用重要不等式及其推论可判断①②，利用特殊值法可判断③. 【详解】因为，所有，所以①正确； 因为，所以②正确； 当时，不等式的左边为，右边为， 原不等式显然不成立，所以③错误． 故答案为：①②. 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． （2）证明，即证，也即证， 只需证，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【题型02】基本不等式求积的最大值 【典例2-1】当时，的最大值是（    ） A．-8 B．-6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可将构造为形式，然后利用基本不等式从而求解. 【详解】由题意得：令，因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以； 故最大值为：. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若正数、满足，则的最大值为_____________. 【答案】/0.25 【详解】由题意，， 则，即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，则的最大值为___________． 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，，得， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 【变式2-3】设实数满足，求的最大值. 【答案】 【分析】利用完全平方公式与基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以，则， 当且仅当时取等号， 故的最大值为. 【题型03】基本不等式求和的最小值 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【详解】由题意得， 因为，所以，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 【变式3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）若正实数、满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】正实数、满足，则，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为, 故答案为： 【变式3-2】（25-26高一上·上海松江·期末）已知，则______时，的值最小． 【答案】0 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的值最小为1. 故答案为： 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【答案】/ 【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，原式， 当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为. 故答案为： 【题型04】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4-1】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 【变式4-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 【变式4-2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知. (1)若，求最小值； (2)若，求的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）考查基本不等式中“1”的妙用方法，按步骤进行计算即可； （2）考查基本不等式中“1”的妙用方法，按步骤进行计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，所以 ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 【变式4-3】已知，，，均为正实数，且. (1)若，，求的最小值； (2)求，的最小值为9，求，的值. 【答案】(1) (2)，或，. 【分析】（1）利用1的妙用，结合基本不等式求解； （2）利用1的妙用，结合基本不等式求解的最小值，即可列出关于的方程组. 【详解】（1）由已知可得， 因，则， 当且仅当，即，时，的最小值为； （2）因，， 则， 当且仅当，时，等号成立， 此时的最小值为，则， 又，得，或，. 【题型05】条件等式求最值 【典例5-1】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式，应用基本不等式求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】由题设，则，当且仅当，即时取等号. 故选：D 【变式5-1】若，且，则a的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，当且仅当时等号成立，取，，进而求解即可. 【详解】若，，由，可得， 所以，当且仅当时等号成立， 取，， 得， 所以，则，当且仅当，时等号成立， 所以的最大值为8. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据重要不等式计算即可. 【详解】因为两实数、满足，则， 当且仅当或时取等号. 故的最小值为. 【变式5-3】已知 ，求ab的最大值； 【答案】 【分析】利用基本不等式得到关于的不等式，整体换元解不等式得的范围，再分析取等号的条件即可. 【详解】由， 可得，当且仅当时等号成立. 令，则，即， 解得，又，则. 则， 当且仅当时等号成立. 故的最大值为. 【题型06】绝对值三角不等式 【典例6-1】（24-25高一·上海·课堂例题）“且”是“”（x、y、a、，且）的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合绝对值三角不等式分析判断即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 当且仅当时取等号， 所以， 若，则， 若取，，则满足上式， 而且不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用绝对值三角不等式，结合不等式性质可解 【详解】运用绝对值三角不等式， 由于，，运用不等式性质得到. 故. 故选：D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的最小值是______. 【答案】 【分析】根据三角不等式求函数的最小值. 【详解】因为 （当即时取等号）. 故答案为：2 【变式6-3】已知a、b、c为实数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用绝对值不等式即可证明. 【详解】由绝对值不等式的性质可知， ， 即，当且仅当时等号成立. 知识点01基本概念：算术平均值与几何平均值 设为正实数，两类平均值定义为本节基础核心概念： 1. 算术平均值： 2. 几何平均值： 关键前提：几何平均值仅对正实数有定义，零和负数无几何平均值，解题时必须先保证变量为正。 基础大小关系：任意两个不相等正实数，算术平均值大于几何平均值；两数相等时，二者相等。 知识点02二元平均值不等式（核心公式） 1. 标准形式 对任意，恒有： 等号成立条件：当且仅当 时，等号成立。 2. 高频变形公式（考试必考） 3. 不等式推导原理 由完全平方非负性：，展开化简可得，换元即可推导出平均值不等式，是不等式证明的核心依据。 知识点03平均值不等式求最值（重难点） 1. 解题黄金准则：一正、二定、三相等 一正：参与运算的所有变量必须为正实数； 二定：两个变量的和或乘积为定值； 三相等：必须验证等号可取，即存在变量取值使得，否则最值不存在。 2. 两大最值结论 结论1：积定和最小 若正实数满足（定值），则： 当且仅当时，取最小值。 结论2：和定积最大 若正实数满足（定值），则： 当且仅当时，取最大值。 知识点04三角不等式（拓展考点） 1. 核心公式（对任意实数恒成立） 2. 等号成立条件 ① ：同号或其中一个数为0； ② ：同号或其中一个数为0。 3. 解题用途 多用于含绝对值代数式的取值范围求解、不等式证明，核心思路为配凑整体绝对值结构，利用不等式放缩求值。 知识点05高频易错点总结 1. 忽略正数前提：平均值不等式只适用于正实数，变量为负时不可直接套用公式； 2. 忽略定值条件：和、积无定值时，无法用不等式求最值，需换元、配凑变形； 3. 不验证等号：即使满足一正二定，若等号无法取到，最值无效； 4. 三角不等式混用：区分和、差绝对值公式，明确等号成立条件，避免放缩过度； 5. 变形公式混淆：和求最值、积求最值对应公式不可颠倒。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是___________． 【答案】4 【分析】利用绝对值三角不等式可直接求得结果． 【详解】，当且仅当成立， 即，故的最小值为4． 故答案为：4. 2．（25-26高一上·上海·期中）若均为正数，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用的代换化简，再利用基本不等式求解即可. 【详解】； 当且仅当，即时等号成立，的最小值为. 故答案为： 3．（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 【答案】 【分析】利用重要不等式计算可得. 【详解】因为实数、满足， 所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值是 故答案为： 4．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】因为均为正实数，所以 ， 当且仅当，时取等号. 5．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 6．已知正数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】结合1的活用应用常值代换，再应用基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当即时，取得最小值. 故答案为：. 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将等式化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 故答案为： 8．（25-26高一上·上海虹口·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用绝对值不等式得到，即，再结合题意建立不等式求解即可. 【详解】由; 结合绝对值三角不等式得到； 因为对任意的，不等式恒成立； 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 【答案】12 【分析】设矩形的两条相邻边长分别为，根据题意知，利用基本不等式可求得的最小值，即栅栏的最少米数. 【详解】设矩形区域与围墙垂直的一边长为米，与围墙平行的一边长为米 ，则. 由题可知. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为，即最少需要12米栅栏. 故答案为12. 10．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 【答案】 【分析】由题意建立方程，利用基本不等式，可得答案. 【详解】由一年共购买吨，每次购买吨，则一年共购买次， 由运费为万元/次，则一年运费共万元， 所以一年的总费用， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 11．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由已知变形，展开后利用基本不等式求最小值，结合绝对值的三角不等式可得，将问题转化为即可. 【详解】∵, , ， ∴, 当且仅当时等号成立，即的最小值为2， ∵， ∴，解得. 实数的取值范围为. 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 【答案】 【详解】设矩形的长与宽分别为和，则由直角三角形内切圆半径公式可得， 即，故， 平方整理得 ， 由重要不等式得， 则 而，解得，， 当且仅当时，等号成立， 此时取得最小值746，所以矩形花园占地面积的最小值为746. 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期末）若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过平方，结合绝对值的性质和充要条件的概念即可求解. 【详解】由 即， ， ， 故不等式的等号成立的充要条件为. 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知正数 满足 ，则下列说法中正确的是（         ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 2 C． 的最小值为4 D． 的最小值为 【答案】D 【分析】对于AC项，由基本不等式求解；对于B项，由对勾函数的单调性求解；对于D项，由，得，转化为二次函数求解． 【详解】对于A项，因为，所以， 当且仅当等号成立；A项错误 对于B项，由A项知，， 令，则， 由对勾函数性质知，函数在上单调递减， 所以，则 的最小值不为2，故B项错误； 对于C项，， 等号成立，，即，故C项错误； 对于D项，由，得，则， 则， 当时，上式取得最小值为，故D项正确， 故选：D 15．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 16．（24-25高一上·上海·期中）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件分别列出x，y，z与a，b的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即， 由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得， 由问题丙，设天平左边的杠杆长为m，右边的杠杆长为n， 则，可得，即， 因为、是不相等的正数，则有，可得， 根据重要不等式可知，得， 则有，所以. 故选：B． 三、解答题 17．已知a、b是正数，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据题意利用基本不等式分析证明. 【详解】因为a、b是正数， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以. 18．（24-25高一上·上海·暑假作业）证明： (1)在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； (2)在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设矩形的周长为常数，长、宽分别为，则,面积为,利用均值不等式有，此时，即可得证； （2）设矩形的面积为常数，长、宽分别为，则，周长为， 由均值不等式有，此时，即可得证. 【详解】（1）设矩形的周长为常数，其长、宽分别为，则, 此矩形的面积为, 由均值不等式，有， 当且仅当，即矩形为正方形时，面积取得最大值． （2）设矩形的面积为常数，其长、宽分别为，则， 此矩形的周长为， 由均值不等式，有， 所以，，当且仅当，即矩形为正方形时，周长取得最小值． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，设. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 【答案】(1)； (2)6，. 【分析】（1）根据给定函数，利用零点分段法分类讨论求解不等式. （2）利用绝对值的三角不等式求出函数的最小值而得，再利用“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）当时，不等式， 当时，不等式为，解得，则； 当时，不等式为，无解； 当时，不等式为，解得，则， 所以不等式的解集为. （2）均为正数，， 当且仅当时取等号，而的最小值为6，因此； ，当且仅当时取等号， 所以的最小值. 20．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 【答案】(1)2； (2)； (3)的最大值为，. 【分析】（1）将目标式变形，借助平方数为非负数求出最小值. （2）利用基本不等式求出最大值，结合取得最大值的条件及恒成立求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值及的关系. 【详解】（1）由，，得， 当且仅当时取等号，所以的最小值是2. （2）由，， 得 ， 当且仅当，即时取等号，而， 因此，则，所以实数的取值范围为. （3）由，得，， 当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为，此时. 21．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②，最小值. 【分析】（1）化为，根据题中示例，利用乘法结合基本不等式求解即可； （2）①化，结合基本不等式求解；②利用换元法，令，则，再利用①求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 所以， ， 当且仅当，即时等号成立， 故取得最小值. （2）①因为，所以， 因为 ， 当且仅当且同号时取等号，此时满足， 所以. ②令，所以， 由，解得， 构造，由，则， 所以，利用①中结论，有： 当且仅当且时，即取等号， 解得时，取最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平均值不等式及其应用 （知识详解+6典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：算术平均值与几何平均值 知识点02：平均值不等式 知识点03：平均值不等式与最值 知识点04：三角不等式 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由基本不等式证明不等关系 题型02：基本不等式求积的最大值 题型03：基本不等式求和的最小值 题型04：基本不等式“1”的妙用求最值 题型05：条件等式求最值 题型06：绝对值三角不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】算术平均值与几何平均值 给定两个正数a、b，数称为a、b，的算术平均值；数称为a、b的几何平均值； 【例1】已知正实数，，求两者的算术平均值与几何平均值，并比较大小。 【知识点02】平均值不等式 定理（平均值不等式）：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有≥，且等号当且仅当a＝b时成立； 定理：对于任意的实数a、b，有，且等号当且仅当a＝b时成立； 【注意】（1）两个不等式与≥成立的条件是不同的；前者要求a、b，是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）； （2） 两个不等式和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”； （3）几个重要的不等式的变形 ① (a、b∈R)．；②(a、b同号)；③(a、b∈R)． 【例2】求证：对任意正实数，满足，并推导平均值不等式。 【知识点03】平均值不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值； （2）若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2； 即：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。 【例3】：已知，求的最小值，并求出取最小值时的值。 【知识点04】三角不等式 定理（三角不等式）：如果、是实数，那么≤；当且仅当ab≥0时，等号成立。 证明：定理 对任意的实数、；有≤，且等号当且仅当ab≥0时成立； 【证明】（方法1：分析法）为证明≤，只需证明， 即，也就是2ab≤2，所以，等号当且仅当ab≥0时成立； （方法2） 由①与②两式相加就有-()≤a+b≤③， 将 ()看作一个整体时，上面的③式逆用＜a↔-a＜x＜a，即可证明； 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当时，显然成立； 当 时，，即，等号成立的条件； 方法2：将取成（a+b）-b代入定理。 证明：对任意的实数、；证明：，并指出等号成立的条件； 【证明】方法1：分或两种可能。 当 时，显然成立； 当 时，，即2； 方法2：将取成代入定理。 【例4】已知实数，利用三角不等式求的取值范围。 【题型01】由基本不等式证明不等关系 【典例1-1】已知，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是________． 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设、为非零实数，给出下列不等式：①；②；③，其中恒成立的是________．（填序号） 【变式1-3】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，且，求证： (1)； (2)． 【题型02】基本不等式求积的最大值 【典例2-1】当时，的最大值是（    ） A．-8 B．-6 C．8 D．10 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期中）若正数、满足，则的最大值为_____________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）已知，则的最大值为___________． 【变式2-3】设实数满足，求的最大值. 【题型03】基本不等式求和的最小值 【典例3-1】（25-26高一上·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【变式3-1】（25-26高一上·上海闵行·期末）若正实数、满足，则的最小值为___________． 【变式3-2】（25-26高一上·上海松江·期末）已知，则______时，的值最小． 【变式3-3】（25-26高一上·上海·期中）已知，，则的最小值是___ 【题型04】基本不等式“1”的妙用求最值 【典例4-1】若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式4-1】（25-26高一上·上海宝山·期中）已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【变式4-2】（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知. (1)若，求最小值； (2)若，求的最小值； 【变式4-3】已知，，，均为正实数，且. (1)若，，求的最小值； (2)求，的最小值为9，求，的值. 【题型05】条件等式求最值 【典例5-1】已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若，且，则a的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【变式5-2】（25-26高一上·上海奉贤·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 【变式5-3】已知 ，求ab的最大值； 【题型06】绝对值三角不等式 【典例6-1】（24-25高一·上海·课堂例题）“且”是“”（x、y、a、，且）的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．既非充分又非必要条件． 【变式6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的最小值是______. 【变式6-3】已知a、b、c为实数，求证：． 知识点01基本概念：算术平均值与几何平均值 设为正实数，两类平均值定义为本节基础核心概念： 1. 算术平均值： 2. 几何平均值： 关键前提：几何平均值仅对正实数有定义，零和负数无几何平均值，解题时必须先保证变量为正。 基础大小关系：任意两个不相等正实数，算术平均值大于几何平均值；两数相等时，二者相等。 知识点02二元平均值不等式（核心公式） 1. 标准形式 对任意，恒有： 等号成立条件：当且仅当 时，等号成立。 2. 高频变形公式（考试必考） 3. 不等式推导原理 由完全平方非负性：，展开化简可得，换元即可推导出平均值不等式，是不等式证明的核心依据。 知识点03平均值不等式求最值（重难点） 1. 解题黄金准则：一正、二定、三相等 一正：参与运算的所有变量必须为正实数； 二定：两个变量的和或乘积为定值； 三相等：必须验证等号可取，即存在变量取值使得，否则最值不存在。 2. 两大最值结论 结论1：积定和最小 若正实数满足（定值），则： 当且仅当时，取最小值。 结论2：和定积最大 若正实数满足（定值），则： 当且仅当时，取最大值。 知识点04三角不等式（拓展考点） 1. 核心公式（对任意实数恒成立） 2. 等号成立条件 ① ：同号或其中一个数为0； ② ：同号或其中一个数为0。 3. 解题用途 多用于含绝对值代数式的取值范围求解、不等式证明，核心思路为配凑整体绝对值结构，利用不等式放缩求值。 知识点05高频易错点总结 1. 忽略正数前提：平均值不等式只适用于正实数，变量为负时不可直接套用公式； 2. 忽略定值条件：和、积无定值时，无法用不等式求最值，需换元、配凑变形； 3. 不验证等号：即使满足一正二定，若等号无法取到，最值无效； 4. 三角不等式混用：区分和、差绝对值公式，明确等号成立条件，避免放缩过度； 5. 变形公式混淆：和求最值、积求最值对应公式不可颠倒。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期末）若的最小值是___________． 2．（25-26高一上·上海·期中）若均为正数，且，则的最小值为___________． 3．（25-26高一上·上海·期末）若实数、满足，则的最小值是__________. 4．（25-26高一下·上海杨浦·期中）若正实数满足，则的最大值为__________． 5．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为______. 6．已知正数满足，则的最小值为__________. 7．（25-26高一上·上海普陀·期末）设，若，则的最小值为___________． 8．（25-26高一上·上海虹口·期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________． 9．（25-26高一上·上海浦东新·期末）某校欲在100米长的围墙边用栅栏围成一个18平方米的矩形区域，作为天鹅的地面栖息地，矩形区域的一条边为围墙（如图）.则至少需要______米栅栏. 10．（25-26高一上·上海·期末）某公司计划一年共购买材料200吨，设每次购买吨，运费为8万元/次，一年固定存储费用为万元，要使一年的总费用最少，则每次应购买___________吨 11．（25-26高一上·上海徐汇·期中）已知，，.若不等式对于任意及条件中的任意、恒成立，实数的取值范围为________. 12．（25-26高一上·上海·期末）某社区为扩大居民的活动区域，计划将社区内原有的半径为8m的圆形花坛扩建成一个矩形花园．若要求扩建前的圆与扩建后矩形的两邻边和一条对角线都相切（如图所示），则矩形花园占地面积的最小值为______．（结果精确到） 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期末）若，则不等式的等号成立的充要条件为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知正数 满足 ，则下列说法中正确的是（         ） A． 的最大值为 B． 的最小值为 2 C． 的最小值为4 D． 的最小值为 15．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 16．（24-25高一上·上海·期中）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（   ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡），放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 三、解答题 17．已知a、b是正数，求证：． 18．（24-25高一上·上海·暑假作业）证明： (1)在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大； (2)在面积相同的所有矩形中，正方形的周长最小． 19．（25-26高一上·上海·期中）已知均为正数，设. (1)当时，求不等式的解集； (2)若的最小值为6，求的值，并求的最小值. 20．（25-26高一上·上海宝山·期中）已知，. (1)若，求的最小值； (2)若，不等式（）恒成立，求实数的取值范围； (3)若且，求的最大值并指出取得最大值时的关系. 21．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知是正实数，且，求的最小值； (2)①已知实数，满足，求证：； ②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $