26.4 实际问题与二次函数 同步练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从基础应用到综合建模，强化二次函数实际问题解决能力，适配新授课知识巩固与思维进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数解析式建立、最值计算|单一情境直接应用，如矩形面积（选择1）、烟花高度（填空9），培养抽象能力与运算能力| |中档|几何与函数综合应用|结合图形的情境问题，如三角形面积（解答13）、拱桥水位（解答15），发展几何直观与推理意识| |提高|复杂实际问题建模|多变量综合问题，如销售利润（解答17）、灌溉轨迹（解答18），提升模型意识与应用意识|

答案和解析 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】B 【解析】解：设AB=x米，则与墙平行的一边的长为15+1-2x米， 即y=x16-2x.故选B. 6.【答案】A 解：A..抛物线的顶点坐标为(0,3.5)， 可设抛物线的函数关系式为 y=ax2+3.5 :篮圈中心(1.5,3.05在抛物线上， 将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5, ∴.a=-0.2' y-0.2x2+3.5.故本选项正确： B.由图示知，篮圈中心的坐标是(1.5,3.05)，故本选项错误； C.由图示知，此抛物线的顶点坐标是(0,3.5)，故本选项错误： D.设这次跳投时，球出手处离地面hm, 因为A中求得y=-0.2x2+3.5, 第1页，共1页 根据题意，得y=x15+1-2x, 当 =-2.5时， h=-0.2×(-2.52+3.5=2.25m .这次跳投时，球出手处离地面2.25m' 故本选项错误。 故选A. 7.【答案】225 8.【答案】1.25 9.【答案】45 3 10【答案】号 11.【答案】10 【解折行】令y=0.则-立×-10x+4)=0.解得x=10或x=-4不合愿森，合去 ∴.A(10,0),∴.0A=10.故答案为：10. 12.【答案】40米/40m 【解析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合.先建立直角坐标系，再根 据题意设抛物线的解析式，然后根据点A-40,0在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将y=150代 入求出X的值，即可得到CD的值 【详解】解：以底部所在的直线为X轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， 第2页，共1页 D 200m.A-40,0,E(0,200), 150m O A←-80m→B X 设内侧抛物线的解析式为y=ax2+200, 将A-40,0代入， 得：0=a×-402+200 的合 ∴.内侧抛物线的解析式为y=-。x2+200, 8 将y=150代入得：-。x2+200=150, 8 解得：X=±20， .∴.C-20,150,D20,150, .CD=20--20=40m, 故答案为：40米。 13.【答案】【小题1】 解：过点A作AE⊥BC于点E, .∠B=30°，AB=X, .AE-, 又.口ABCD的周长为8， .∴.BC=4-X, y=A证-BCx4-x=×+2x0<x<4 第3页，共1页 【小题2】 y=-x2+2x=-x-2P+2, -0, 2 当x=2时，y有最大值，其最大值为2. 14.【答案】【小题1】 y=24x-3x2 5≤x<8 【小题2】 解： y=24x-3X2=-3x-4+48-3<0对称轴为直线x=4.当x>4时，y随若x的增大而减 小..5≤x<8,∴.当x=5时，y有最大值，最大值为45.答：当边AB的长为5m时，中草药种植地面积 最大，最大面积是45m2. 15.【答案】解：如图，建立平面直角坐标系。 设抛物线的解析式为y=ax2+k. 由题意，得B(2V6,0),D(2V3,4)在此抛物线上. 24a+k=0,a=-1 (12a+k=4解得 3 k=8. 第4页，共1页 “抛物线的解析式为y=-号X+8, 3 .M0,8),OM=8m,MN=4m. ∴.洪水从警戒线到桥顶端M处所用的时间为4÷0.5=8(h). 答：水过警戒线后8h淹到石拱桥顶端M处， 16.【答案】【小题1】 解：设y=kx+b(k≠0)将(100,300)，(120,200)分别代入y=kx+b, 100k+b=300,2 肉20k+b200解阴6g00y5X之间的函数解折式为y=一5x+80 【小题2】 x≥100， 依题意，得-5X+800≥'220,100≤x≤16.设商场获得的利润为w元， 则w=x-80l-5x+800)=-5x2+1200x-64000=-5X-120+8000 又.-5<0,100≤x≤116，∴.当x=116时，利润最大，最大值为7920.答：当销售单价为116元时，商 场获得的利润最大，最大利润是7920元。 17.【答案】解：(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出(600-10x)个台灯. 故答案为：(600-10x. (2)依题意，得：(40-30+x(600-10x=10000 整理，得：x2-50x+400=0, 解得：x1=10,X2=40(不合题意，舍去)， .∴.40+x=50’600-10x=500 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个： (3)设每月的销售利润为w, 第5页，共1页 根据题意得：w=(40-30+x)(600-10x)=-10(x-25P+12250 0<X<20 当x=19时，w有最大值，最大值为11890， 答：台灯售价定为19元时，每月销售利润最大 18.【答案】解：（1)由题意，得A2,1.6是上边缘抛物线的顶点， 设y=alx-22+1.6 又.抛物线过点0,1.2， .∴.1.2=4a+1.6, 1 .a=- 10 上边缘教物线的西数解析式为y=一X-2+16。 当y=0时，0=-1 0 x-22+1.6, 解得x1=6,X2=-2(舍去)， .∴.喷出水的最大射程OC为6m. (2川2,0. (3)2m≤d≤3m 【解析】解：（1)见答案. (2).对称轴为直线x=2, ∴.点0,1.2的对称点为4,1.2， ∴.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， ∴.点B的坐标为2,0， 故答案为：2,0」 (3).OB=2,OC=6,DE=3, .∴.OE=d+3, .OE≤OC,OD≥OB, 第6页，共1页 ..d+3≤6，d≥2， ∴.2≤d≤3， ∴.要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为2m≤d≤3m, 故答案为：2m≤d≤3m. 第7页，共1页26.4实际问题与二次函数同步练习 一、选择题： 1.用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数 解析式为() A.y=x2-10x B.y=-x2+10xC.y=x2-20xD.y=-x2+20x 2.元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日.已知某种烟花距地面的高度（单位： 米)与时间t(单位：秒)之间的关系式为h=-3.6t2+28.8t,则烟花在最高点爆裂的时刻是() A.第2秒 B.第2.5秒 C.第3秒 D.第4秒 3.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动时间t(s)之间的解析式为h=30t-5t2, 那么小球从抛出至落到地面所需要的时间是() A.6s B.4s C.3s D.2s 4.如图所示，公路隧道的截面为抛物线形，线段0A表示水平的路面，以点0为坐标原点，OA所在直线为x 轴，以过点0垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.若0A=10m,抛物线的顶点P到0A的距离为 9m,则抛物线对应的函数解析式为() y/m A x/m A.y=-g0x+5)2 B.y=-3x-52+9 Cy=-元x+5)2+9 D.y=-25c-5)2+9 9 第1页，共5页 5.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为y平方米， 在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为() A.y=x(15-2x) B.y=x(16-2x)C.y=x(14-2x)D.y=x(16-x) 6.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为 2.5m时，达到最大高度3.5m,然后准确落入篮框内.己知篮圈中心距离地面高度为3.05m,在如图所示的 平面直角坐标系中，下列说法正确的是() 4(0,3.5) 不 3.05m ←2.5m-0 4m A此抛物线的解析式是y=-x2+3.5 B.篮圈中心的坐标是(4,3.05) C.此抛物线的顶点坐标是(3.5,0) D.篮球出手时离地面的高度是2m 二、填空题： 7.用一根长60cm的铁丝围成一个矩形，则该矩形的最大面积为cm2, 8.汽车刹车后行驶的距离s(米)关于行驶时间t(秒)的函数表达式是s=15t一6t2.则汽车从刹车到停止所用 时间为秒. 9.某种烟花点燃后升空，并在最高处燃爆，该烟花点燃后离地高度h(单位：m)关于离地时间t(单位：s)的 函数解析式是h=30t-5t2,烟花点燃后升空的最大高度是m,从点燃到燃爆所用时间是s. 10.一抛物线形拱桥示意图如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽6m.当水面下降m时，水面宽8m. 2 m 6m 第2页，共5页 11.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=-立〔c- 10)(x+4),则铅球推出的距离0A=m. y/mt A x/m 12.如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了 苏州的历史文化.如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米.则离 地面150米处的水平宽度（即CD的长）为一， 200im 150n SOun 图个 图② 三、解答题： 13.如图，已知□ABCD的周长为8，∠B=30°，若边长AB=x. 309 C (1)求ABCD的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x取什么值时，y的值最大？并求最大值。 第3页，共5页 14.学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24的篱笆.一面靠墙（墙的最大可用长度为9m围成中间 隔有一道篱笆的中草药种植地.设中草药种植地边AB的长为xm,面积为ym2 (1)直接写出y与x的函数关系式：一，并写出x的取值范围： 9 m (2)当边AB的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 15.一抛物线形石拱桥如图所示，已知水位在AB位置时，水面的宽为4W6m,水位上升4m,就达到警戒线 CD,这时水面的宽为4√3m.若洪水到来时，水位以每小时0.5的速度上升，则水过警戒线后多少小时淹 到石拱桥顶端M处？ 16.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销售单价x(单位：元) 之间满足一次函数关系，其部分图象如图所示 (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式. (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多 少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ y 300 200 、 100120 第4页，共5页 17.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60 元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0<x<20) 元 (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出 一个台灯（用含x的代数式表示）： (2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ (3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 18.如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图.现将灌溉车喷出水的上、 下边缘线近似地看作平面直角坐标系xOy中两条抛物线的部分图象.已知喷水口H离地竖直高度0H为1.2m, 草坪水平宽度DE=3m,竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m,高出喷水口 0.4m,下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，设灌溉车到草坪的距离0D为d(单位：m) 2m-4 上边缘 H 下边缘 BD Od- C 图1 图2 (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程0C的长： (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为 (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为一 第5页，共5页 26.4 实际问题与二次函数 同步练习 一、选择题： 1.用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为米，面积为平方米，则关于的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 2.元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是(    ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 3.如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度与小球运动时间之间的解析式为，那么小球从抛出至落到地面所需要的时间是(    ) A. B. C. D. 4.如图所示，公路隧道的截面为抛物线形，线段表示水平的路面，以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．若，抛物线的顶点到的距离为，则抛物线对应的函数解析式为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 6.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    ) A. 此抛物线的解析式是 B. 篮圈中心的坐标是 C. 此抛物线的顶点坐标是 D. 篮球出手时离地面的高度是 二、填空题： 7.用一根长的铁丝围成一个矩形，则该矩形的最大面积为          ． 8.汽车刹车后行驶的距离米关于行驶时间秒的函数表达式是则汽车从刹车到停止所用时间为          秒 9.某种烟花点燃后升空，并在最高处燃爆，该烟花点燃后离地高度单位：关于离地时间单位：的函数解析式是，烟花点燃后升空的最大高度是          ，从点燃到燃爆所用时间是           10.一抛物线形拱桥示意图如图所示，当拱顶离水面时，水面宽当水面下降          时，水面宽． 11.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           ． 12.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为          ． 三、解答题： 13.如图，已知的周长为，，若边长． 求的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当取什么值时，的值最大？并求最大值． 14.学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为的篱笆一面靠墙墙的最大可用长度为围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地设中草药种植地边的长为，面积为． 直接写出与的函数关系式：          ，并写出的取值范围：          ． 当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 15.一抛物线形石拱桥如图所示，已知水位在位置时，水面的宽为，水位上升，就达到警戒线，这时水面的宽为若洪水到来时，水位以每小时的速度上升，则水过警戒线后多少小时淹到石拱桥顶端处 16.某商场以每件元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量单位：件与销售单价单位：元之间满足一次函数关系，其部分图象如图所示． 求这段时间内与之间的函数解析式． 在这段时间内，若销售单价不低于元，且商场还要完成不少于件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？ 17.某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个，调查表明：售价在元至元范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个，设该商场决定把售价上涨元． 售价上涨元后，该商场平均每月可售出______个台灯用含的代数式表示； 为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ 台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 18.如图，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为单位：． 求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； 下边缘抛物线落地点的坐标为______； 要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，的取值范围为______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $