26.3 实际问题与二次函数 课堂限时训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与一元二次方程，分层设计基础巩固、中档应用、提高拓展三级梯度，通过生活情境问题构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数顶点、最值等单一知识点|以烟花爆裂时刻（选择1）等简单情境题，巩固顶点公式应用，培养抽象能力| |中档|实际问题建模与综合运算|通过长方形仓库面积（选择3）等题，融合几何与函数，发展模型意识| |提高|复杂情境与多知识点结合|以利润最大化（解答14）等题，综合二次函数性质与实际决策，提升应用意识|

2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第26章） 26.3 二次函数与一元二次方程课堂限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是(     ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 2.若，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 不能确定 3.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为(     ) A. B. C. D. 4.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是(     ) A. 点火后和点火后的升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后的升空高度为 D. 火箭升空的最大高度为 6.洛阳不翻汤是洛阳独有的地方特色美食如图，从正面看洛阳不翻汤碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若碗口宽，碗深，则抛物线的解析式为(     ) A. B. C. D. 7.某烟花厂为春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(     ) A. B. C. D. 8.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是(     ) A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到 C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的函数关系为，则铅球推出的距离为            10.已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于            11.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是            12.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得金银枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点距离水面，运动过程中的最高点距池边，入水点距池边，根据上述信息，可推断出点距离水面            三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． 按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； 有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 14.本小题分某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 15.本小题分某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示其中为正整数，且： 质量档次 日产量件 单件利润万元 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品设当生产质量档次为的产品时，当天的利润为万元． 根据表中数据呈现的规律，求关于的函数解析式． 此工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？请求出当天利润的最大值． 16.本小题分国庆假期一部长津湖带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为米，此时水平飞行距离为米，手榴弹离手点离地面高度为米． 求此抛物线解析式； 求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ 17.本小题分如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 如果水面宽为，则水面下降多少米？ 18.本小题分某创新公司生产营销，两种新产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在二次函数关系，当时，当时，． 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： 求，的值 该公司准备生产营销，两种产品共吨，请设计一个生产方案，使销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第26章） 26.3 二次函数与一元二次方程课堂限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是(    ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 【答案】D  2.若，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 不能确定 【答案】B  3.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：设米，则与墙平行的一边的长为米， 根据题意，得， 即 故选B． 4.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出和的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【解答】 解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， 函数表达式为：， ， ，故函数有最大值， 当时，取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为米． 故选：． 5.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是(    ) A. 点火后和点火后的升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后的升空高度为 D. 火箭升空的最大高度为 【答案】D  【解析】【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 分别求出、、、时的值可判断、、三个选项，将解析式配方成顶点式可判断选项． 【解答】解：抛物线的对称轴为直线，与不关于对称轴对称，选项错 B.当时，，火箭的升空高度是米，选项错 C.当时，，选项错 D.由函数表达式配方后的结果可知，火箭升空的最大高度为，选项正确． 故选D． 6.洛阳不翻汤是洛阳独有的地方特色美食如图，从正面看洛阳不翻汤碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若碗口宽，碗深，则抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  7.某烟花厂为春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】礼炮在点火升空到最高点时引爆， 从点火升空到引爆需要的时间为． 8.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是(    ) A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到 C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键． 根据选项结合二次函数的性质和最值分别分析得出答案． 【解答】 解：、当时，， 解得：，， 故小球的飞行高度能达到，故此选项错误； B、， 故时，小球的飞行高度最大为：，故此选项错误； C、时，， 解得：，， 小球从飞出到落地要用时，故此选项正确； D、当时，， 故小球飞出时的飞行高度为，故此选项错误； 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的函数关系为，则铅球推出的距离为           【答案】  【解析】解：当，， ， ，， ， ， 故铅球推出的距离为． 10.已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于           【答案】  11.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是           【答案】  12.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得金银枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点距离水面，运动过程中的最高点距池边，入水点距池边，根据上述信息，可推断出点距离水面           【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的应用，根据题意得出二次函数的解析式是解题关键． 首先建立直角坐标系，根据所给点的坐标求出解析式，可得点的纵坐标． 【解答】 解：如图，以水面所在的直线为轴，以跳台支柱所在的直线为轴建立直角坐标系， 由题意得：，，对称轴为直线， 设解析式为， 所以， 解得，， 所以， 所以，点距离水面． 故答案为：． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． 按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； 有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】解：设抛物线的解析式为，桥拱最高点到水面的距离为米． 则， ， 解得， 抛物线的解析式为； 由题意，得 船行驶到桥下的时间为：小时， 水位上升的高度为：米． ． 船的速度不变，它能安全通过此桥．  【解析】以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； 计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与的大小就可以求出结论． 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 14.本小题10分 某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)解：由题意得：， ∴；  (2)解：假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元， 则， ∵，开口向下， ∴时， S 最大为， ∵（万元）， ∴每辆汽车的定价为27.5万元，平均每周的利润最大，最大利润为50万元． 15.本小题分 某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示其中为正整数，且： 质量档次 日产量件 单件利润万元 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品设当生产质量档次为的产品时，当天的利润为万元． 根据表中数据呈现的规律，求关于的函数解析式． 此工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？请求出当天利润的最大值． 【答案】(1)  (2)选9档次的产品，当天利润最大为1210万元.  16.本小题分 国庆假期一部长津湖带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为米，此时水平飞行距离为米，手榴弹离手点离地面高度为米． 求此抛物线解析式； 求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ 【答案】解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析时为：， 手榴弹离手点离地面高度为米， 在此抛物线上， ， 解得：， 抛物线解析式为； 由得：， 令，， 解得：舍去，， 志愿军同志的手榴弹扔了米．  【解析】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 根据题意找出抛物线顶点坐标，把函数解析式设为顶点式，再把代入解析式求出即可； 由解析式，令，解关于的一元二次方程即可． 17.本小题分 如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 如果水面宽为，则水面下降多少米？ 【答案】(1)解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的解析式为， 点在抛物线上，可得， 解得..  (2)  18.本小题分 某创新公司生产营销，两种新产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在二次函数关系，当时，当时，． 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： 求，的值 该公司准备生产营销，两种产品共吨，请设计一个生产方案，使销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少 【答案】解：将，，代入， 得 解得 设生产产品吨，生产产品吨， 销售，两种产品获得的利润之和为万元， 则． ， 当时，有最大值． 生产产品吨，生产产品吨，销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是万元． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学（人教版新课标第26章） 26.3 二次函数与一元二次方程课堂限时训练 考试时长：60分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.元宵节期间，人们会燃放起美丽的烟花以庆祝中华民族的传统节日已知某种烟花距地面的高度单位：米与时间单位：秒之间的关系式为，则烟花在最高点爆裂的时刻是(     ) A. 第秒 B. 第秒 C. 第秒 D. 第秒 2.若，则函数的最小值是(    ) A. B. C. D. 不能确定 3.如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为(     ) A. B. C. D. 4.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为(     ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度与飞行时间满足函数表达式则下列说法中正确的是(     ) A. 点火后和点火后的升空高度相同 B. 点火后火箭落于地面 C. 点火后的升空高度为 D. 火箭升空的最大高度为 6.洛阳不翻汤是洛阳独有的地方特色美食如图，从正面看洛阳不翻汤碗的轮廓近似一条抛物线，以顶点为原点建立平面直角坐标系，若碗口宽，碗深，则抛物线的解析式为(     ) A. B. C. D. 7.某烟花厂为春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(     ) A. B. C. D. 8.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是(     ) A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到 C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.一名男生推铅球，铅球行进高度与水平距离之间的函数关系为，则铅球推出的距离为            10.已知某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，其函数关系式为，当水面宽度为时，水面与桥拱顶的高度等于            11.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是            12.中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得金银枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至入水的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，该运动员起点距离水面，运动过程中的最高点距池边，入水点距池边，根据上述信息，可推断出点距离水面            三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分如图，有一抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升，水面宽． 按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； 有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行，如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 14.本小题分某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为万元，市场调研表明：当销售价为万元时，平均每周能售出辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出辆．如果设每辆汽车降价万元，每辆汽车的销售利润为万元．销售利润销售价进货价 求与的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出的取值范围； 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？ 15.本小题分某工厂生产的某种产品按质量分为个档次，调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示其中为正整数，且： 质量档次 日产量件 单件利润万元 为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品设当生产质量档次为的产品时，当天的利润为万元． 根据表中数据呈现的规律，求关于的函数解析式． 此工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？请求出当天利润的最大值． 16.本小题分国庆假期一部长津湖带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为米，此时水平飞行距离为米，手榴弹离手点离地面高度为米． 求此抛物线解析式； 求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ 17.本小题分如图是抛物线形的拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． 建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 如果水面宽为，则水面下降多少米？ 18.本小题分某创新公司生产营销，两种新产品，根据市场调研，发现如下信息： 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在二次函数关系，当时，当时，． 信息销售种产品所获利润万元与所售产品数量吨之间存在正比例函数关系． 根据以上信息，解答下列问题： 求，的值 该公司准备生产营销，两种产品共吨，请设计一个生产方案，使销售，两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $