第二章有理数及其运算单元复习练习2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大版七年级上册有理数单元复习卷，以2026年游客数据、干支纪年法等真实情境为载体，通过新定义运算、规律探究题（如日历九宫格、音锤敲击规律）培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有理数运算（1）、科学记数法（4）、概念辨析（3）|结合文旅数据（4）、传统文化（6干支纪年）| |填空题|5/15|数轴距离（11）、新运算（12）、时差计算（13）|实际问题建模（13时差）、最优方案（15配送）| |解答题|8/75|混合运算（16）、规律探究（21日历、23三角形数）|综合实践（22数形结合）、跨情境应用（19跑步记录）|

· 第二章 有理数及其运算单元复习练习 · 2026-2027学年北师大版数学七年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 3．下列说法不正确的是（　　） A．有理数包括正数与负数 B．所有的正整数都是整数 C．零既不是正整数也不是负数 D．整数和分数统称为有理数 4．2026年五一假期长沙文旅火爆，预计接待游客9600000人，数据9600000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．段轩同学的存折上原有640元，上午去银行取出200元，下午又存回80元，则存折现有（    ） A．440元 B．720元 C．520元 D．360元 6．干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则记为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则记为12）；以2025年为例；天干为；地支为； 对照天干地支表得出，2025年为农历乙巳年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 依据上述规律推断，2049年应为（   ） A．癸亥年 B．癸酉年 C．甲辰年 D．己巳年 7．的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 8．定义一种新运算：，则的值为（    ） A． B． C．4 D．8 9．沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 10．如图，敲击三根管时依次发出“1”、“3”、“5”，两只音锤同时从“1”开始，以相同的节拍往复敲击，不同的是：甲锤每拍移动一位(左中右中左中右…)，乙锤则在两端各有一拍不移位(左中右右中左左中右…)，在第2023拍时，你听到的是（     ） A．同样的音“1” B．同样的音“3” C．同样的音“5” D．不同的两个音 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4，则点N表示的数是________． 12．定义新运算“★”：若，则．如，则______． 13．某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，甲城市与乙城市的时差为两城市同一时刻的时数之差，下表列出了几个城市与格林尼治的时差．当北京时间为10月12日时，纽约时间是_______． 城市 纽约 伦敦 北京 时差 0 14．一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 15．某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是_______（填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付_______元． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．计算：(1)； (2)． 17．已知和是非0的相反数，和互为倒数，．求的值． 18．在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____；(2)化简． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．星期天，小明在一条东西方向的公路上练习跑步．他从地出发，每隔分钟记录下自己的跑步情况（向东为正方向，单位：米）：． (1)1小时后小明停下休息，此时他在地的______边（填“东”或“西”），距离地______米； (2)在这次跑步训练中，小明平均每分钟跑多少米？ 20．某水果店在一周的营业中，销售火龙果的盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 合计 表中星期五的盈亏被墨水涂污了，请你星期五是盈利还是亏损？金额是多少？ 21．日历上的规律：下图是2023年11月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格． (1)九宫格中，四个角上的四个数之和与中央这个数有什么关系？ (2)请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系．（用虚线框圈出你所选定的九宫格）(3)试说明原理． 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．综合探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；…①第n次分割后，空白部分的面积是______；②由此计算的值．(4)拓展：计算______． 23．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；； 仿照上述规律， ____________； (3)结合发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． ( …… …… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… ……………… ○…… …… 内…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …… …… ○…… …… 外…… …… ○…… …… 装…… …… ○…… …… 订…… …… ○…… …… 线…… …… ○…… …… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C D D A A D 11．或 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上的两点间的距离，有理数的加减运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4，分点N在点M的左边与右边两种情况，即可得出点N表示的数是或． 【详解】解：∵点M在数轴上表示的数是，点N与点M的距离是4， ∴当点N在点M的左边时，； ∴当点N在点M的右边时，； ∴点N表示的数是或， 故答案为：或 12．/ 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算括号内，即，再运算括号外，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴． 故答案为： 13．10月11日 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，正负数的实际应用，与格林尼治的时差为正，说明该地的时间比格林尼治的时间早，为负，说明该地的时间比格林尼治的时间晚，那么纽约的时间一定比北京的时间晚，因此用北京时间减去北京与格林尼治的时差，再加上纽约与格林尼治的时差即可得到答案． 【详解】解：， ∴当北京时间为10月12日时，纽约时间是10月11日， 故答案为：10月11日． 14． 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 15． ② 64 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先把除法化为乘法，再利用分配律进行简便运算即可； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘除，最后计算加减运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 17．或 【分析】本题考查了相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据和是非0的相反数，和互为倒数，，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵和是非0的相反数，和互为倒数， ∴， ∴，即， 则 ， 当时，则； 当时，则， 综上，的值为或. 18．(1)， (2) 【分析】此题考查的是数轴的概念，相反数的性质，利用绝对值的性质去掉绝对值符号是解题的关键． （1）利用数轴的定义和加减法法则即可判断； （2）利用数轴判断绝对值里的式子的正负性，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、B分别在原点的两侧，且点A、B到原点的距离相等， ∴a、b互为相反数， ∴， ∵，， ∴为的长，为的长， ∵， ∴； （2）由图中各点的位置可知， ． 19．(1)东，； (2)在这次跑步训练中，小明平均每分钟跑米． 【分析】本题考查了数轴与实数的关系、绝对值的意义、正负数的意义等知识，熟练掌握相关知识的含义是解题的关键． （1）根据数轴上点的含义和正负数的含义即可列式得出答案； （2）算出跑的总路程和用的总时间即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意有 所以此时他在地东方，离地米处； （2）跑的总路程为 所以 答：在这次跑步训练中，小明平均每分钟跑米． 20．星期五是盈利，盈利元 【分析】本题考查了有理数加减的应用，正负数的意义；根据表中的数据可知除星期五外其它每天的盈亏及合计金额，列式计算，即可求解． 【详解】解： （元）， 故星期五是盈利，盈利元. 21．(1)四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减应用： （1）求出四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数，从而验证它们的关系． （2）选择如下图的九宫格，验证他们的关系即可． （3）设九宫格中央这个数为a，列等式进行验证即可． 【详解】（1）解：根据题意得：四个角上的四个数分别为6，22，8，20，九宫格中央这个数为14， ∵， ∴四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． （2）解：如图，， 所以四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍．（选取的九宫格不唯一．）    （3）解：设九宫格中央这个数为a， 那么左上角的数为，右上角的数为， 左下角的数为，右下角的数为，   四个数的和为， 即四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． 22．(1) (2) (3)①；② (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （4）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （4）解：拓展：原式 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积m等分， 所有空白部分的面积之和为，最后阴影部分的面积是． ． 故答案为：． 23．(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 答案第8页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $