第二章有理数及其运算单元测试卷 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦有理数及其运算，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合实际情境与数形结合，适配初中数学第二章单元复习，有效落实数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|有理数概念、绝对值、数轴位置关系|第1题以乒乓球质量误差情境考查绝对值应用，体现数学眼光；第7题新运算“@”培养创新意识| |填空题|6/18|数轴距离、折叠问题、数的大小比较|第16题数轴折叠结合距离计算，发展几何直观；第15题绝对值最小值问题强化推理意识| |解答题|8/72|有理数运算、实际应用（冷库/网约车）、动点问题|第20题冷库进出库问题整合运算能力与数据意识；第23题动点运动结合分类讨论，提升数学思维|

第二章有理数及其运算单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标准质量小的克数记为负数．为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同学对6个乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 称重 -0.04 你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？（    ） A．2号 B．3号 C．5号 D．6号 【答案】D 【分析】本题考查了正数与负数、有理数的大小比较、绝对值，先求出绝对值，再找出绝对值最小的乒乓球即可得解． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴小杰应该选号乒乓球用于这次比赛， 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 3．下列四个数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的大小，相反数，绝对值求解即可； 【详解】解：，， 且，故最小； 4．如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【详解】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 5．若，则的结果可用代数式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查乘法分配律的基本应用，利用乘法分配律，将转化为，再结合已知条件求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 6．数和数在直线上的对应点的位置如图． 下面选项中，结果最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置确定M、N的取值范围，采用特殊值法代入各选项计算并比较大小即可解答． 【详解】由数轴可知：， 不妨设，则， ∵， ∴的结果最大． 7．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【详解】解：根据新运算规则， 可得 ． 8．已知，b，是三个整数，则，，一定（ ） A．都是整数 B．都不是整数 C．至少有一个是整数 D．至多有一个是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题与抽屉原理，分析整数的奇偶性并运用抽屉原理是解题的关键． 通过，b，的奇偶性进行分类讨论：①若，b，全为奇数或全为偶数；②若，b，既有奇数又有偶数，则必有两个数同为奇数或同为偶数；以此证明无论，b，的奇偶如何组合，代数式，，中至少有一个是整数，即可判断． 【详解】解：∵，b，是整数， ∴分两种情况讨论： ①若，b，全为奇数或全为偶数，则，，均为偶数， ∴，，均为整数. ②若，b，既有奇数又有偶数，根据抽屉原理，必有两个数同为奇数或同为偶数， 设这两数为和，则为偶数， ∴为整数，即三个代数式中至少有一个为整数； 综上，，，中至少有一个是整数． 故选：C． 9．若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 10．一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点在线段上和点在的延长线上，根据和点B表示的数求出点表示的数，再根据折叠可得点C为的中点，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 当点在的延长线上时，∵，且点B表示的数为10， ∴点表示的数为， ∵点A表示的数为， ∴点C表示的数为； 综上所述，点C表示的数为或． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知点在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点在数轴上所对应的数是_______． 【答案】或8 【分析】点B的位置有两种情况，分别在点A的左侧和点A的右侧，根据数轴上两点间距离的定义列方程求解即可． 【详解】解：若点B在点A的右侧，则点B对应的数为， 若点B在点A的左侧，则点B对应的数为， 因此点B在数轴上对应的数是8或． 12．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 13．有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将，，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接___________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键．根据数轴的性质可得，，则可得，，由此即可得． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．点分别是数在数轴上对应的点，使线段沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是___________，点A移动的距离是___________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点中点的计算方法求出原线段的中点对应的数，再求出中点移动的距离，根据线段平移的性质得到点A移动的距离，最后计算得到点对应的数． 【详解】解：根据题意，点A对应数为，点B对应数为， 由数轴上两点中点的计算公式，可得线段的中点对应的数为： 已知平移后线段的中点对应的数是，因此中点移动的距离为： 线段沿数轴平移时，线段上所有点移动的距离相等，因此点A移动的距离为 点对应的数为点A对应的数加上移动距离，即： 15．当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 16．点，点，点在一条数轴上，点表示的数为，点表示的数为4．以点为折点，将向右对折，点落在数轴上点处．若，则点表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．先根据题意找到点表示的数，再根据线段长，确定的中点表示的数． 【详解】解：，点B表示的数为4 ∴点表示的数为5或3， 当点表示的数为5时，， ， ∴点C表示的数为； 当点表示的数为3时，， ， ∴点C表示的数为， ∴点C表示的数是或， 故答案为：或． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 18．把下列各数填入相应的集合里． ，，，，0，，，． (1)正数集合：{                          …}； (2)负分数集合：{                …}； (3)非正数集合：{                         …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】先化简所有含绝对值的数，再根据正数、负分数、非正数的定义对各数进行分类即可． 【详解】（1）解： 先对含绝对值的数化简，得 ，，，， ∴正数集合为； （2）解：负分数集合：； （3）解：非正数集合：． 19．现有数：． (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数； (2)按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查数轴与有理数，正确地在数轴上表示出各数，是解题的关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴，然后在数轴上表示出各数即可； （2）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可． 【详解】（1）解：， 在数轴上表示为： （2）解：从小到大的顺序为． 20．某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“”表示进库，“”表示出库． 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 (1)这一周内，与前一天相比，周________水果变化量最大，最大变化量为________（吨）； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元．那么这一周共需付多少装卸费？ 【答案】(1)周三； (2)减少了，减少了吨 (3)吨 (4)元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟悉相反意义的量是解题的关键． （1）根据表格作答即可； （2）把出入数据相加即可； （3）根据每周的变化推导即可； （4）运算出总出入的数量，再乘价钱即可求解． 【详解】（1）解：由表可得：周三水果变化量最大，最大变化量为（吨）； 故答案为：周三；； （2）解：， 答：这一周冷库里的水果减少了，变化了吨； （3）解：每周减少吨，则上周有（吨）， 答：一周前冷库里存有水果吨； （4）解：（元）， 答：这一周共需付元装卸费． 21．某仓库周一到周五的货物进出记录如下（表示进库，表示出库，单位：吨）： (1)周五结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物吨，求仓库原有的货物吨数． 【答案】(1)多了，多吨 (2)12吨 【详解】（1）解：由题意得： （吨）； 答：仓库货物比原来多了，多了吨． （2）解：由题意得：（吨）； 答：仓库原有的货物为12吨． 22．大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 23．如图，在数轴上点表示的数是8，若动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点到原点的距离； (2)当时，求点到原点的距离； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； 【详解】（1）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点从原点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点从点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； 24．数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用，以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，    (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数是________； (2)若以点B为原点，求A，B，C所对应的数的和； (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数轴上的点与数的对应关系、距离计算及折叠问题，解题关键是利用数轴上点的位置关系与距离的对应规则，结合数轴折叠的对称性分析计算． （1）根据点A表示的数，结合A到B的距离，即可得点B表示的数； （2）以B为原点，结合A到B、B到C的距离，确定A、B、C对应的数，再求和； （3）先由C的数和B到C的距离得B的数，再求A的数，根据A、C的中点（折叠点），计算与B重合的点的数． 【详解】（1）解：A表示的数是，点A到点B的距离为3， 数轴上点B所表示的数为 故答案为：． （2）解：点B表示原点，点A在点B的左边，且，点C在点B的右边，且， 点B表示的数为0，点A表示的数为，点C所表示的数为8， ， 点A，B，C所对应的数的和为5． （3）解：点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，C表示的数是4， ， 点A、B、C分别表示数、、， 将数轴折叠，点A与点C重合， 折痕处表示的数为， 折痕处表示的数到点B的距离为， ， 折叠后与点B重合的点表示的数为1． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第二章有理数及其运算单元测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.在实际生产中，乒乓球的质量可能有误差，通常把比标准质量大的克数记为正数，比标 准质量小的克数记为负数，为了挑选最接近标准质量的乒乓球用于比赛，小杰同学对6个 乒乓球进行编号后，称重记录如下表所示： 编号 1 2 4 5 6 称重 +0.03 0.02 +0.05 -0.03 -0.04 +0.01 你认为小杰应该选几号乒乓球用于比赛？() A.2号 B.3号 C.5号 D.6号 2.下列说法正确的是() A.若|a+a=0,则a为负数 B.a+l一定是正数 c.若aHb,则a=b D.若|aPb1,则a-b是正数 3.下列四个数中，最小的是() A.0 B(1) C.-2 D.卜3到 4,如果a是负数，且4<2 那么数轴上表示数4，-2的点的位置关系是（) A.a在-2左侧 B.a在-2右侧 C.a与-2重合 D.无法确定 5.若2025×54=m,则2025×55的结果可用代数式表示为() A.m+1 B.m+2024 C.m+2025 D.m+25 6.数M和数N在直线上的对应点的位置如图. 0 M N 1 下面选项中，结果最大的是() A.M+N B.M÷N C.N-M D.N×M 7.在实数范围内定义一种新运算“@”，其运算规则为：a@b=1-ab,如： 试卷第1页，共3页 2027 2@5=1-2x5=-9,则2@ 2 的值为() 1 3 A.习 B.-2 c.2 a+bb+cc+a 8.已知a,b,c是三个整数，则2,2,2一定() A,都是整数 B. 都不是整数 C.至少有一个是整数 D.至多有一个是整数 9若m=6=4 且m+n<0,则m-n的值为() A.-10或-2 B.10或2 C.-10或2 D.10或-2 10.一条数轴上有点A、B、C,其中点A、B表示的数分别是-14,10，现以点C为折 点，将数轴向右对折，若点A落在射线CB上，并且A'B=6,则点C表示的数是( B A.1 B.-3 C.1或-4 D.1或-5 二、填空题（每题3分，共18分） 11.已知点A在数轴上所对应的数为3，点A、B之间的距离为5，则点B在数轴上所对应 的数是 12,在数轴上，点4、B分别表示数a,b,且网=2，=5 若点A在点B的左侧，则 a-b的值为 13.有理数a、b所表示的点在数轴上的位置如图所示，将a,b,-a,-b按从小到大的 顺序排列，并用“<”连接 a 0 6 14.点AB分别是数-3，-12在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到B,且 线段AB的中点对应的数是3，则点A对应的数是 一，点A移动的距离是 试卷第2页，共3页 15.当x满足 条件时，k-2++有最小值，这个最小值是 16.点A,点B,点C在一条数轴上，点A表示的数为-9，点B表示的数为4.以点C为 折点，将CA向右对折，点A落在数轴上点A处.若AB=1,则点C表示的数是 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发 去看望B,C,D处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负.例如从A到 B记为： 4→B+l+4),从D到C记为：D→C-+2) 其中第一个数表示左右方向， 第二个数表示上下方向. D 1)图中4→C(，).D→(4，-2) (2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为 2,+2)(+2-).（-2,+3),（1-2）,请 在图中标出P的位置. 18.把下列各数填入相应的集合里. 3,,厂3 34.02. (1)正数集合：{ (2)负分数集合：{ }: (3)非正数集合：{ }. 19.现有数： (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数： 试卷第3页，共3页 (2)按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来 20.某冷库一周内每天水果进、出库吨数如下表所示，其中规定：“+”表示进库，“ ”表示出库 周 周 周 周 周三 周五 周日 四 +16 -22 +34 -28 -25 +30 -20 (1)这一周内， 与前一天相比，周 水果变化量最大，最大变化量为 (吨)； (2)通过计算说明，这一周冷库里的水果增加了还是减少了，变化了多少吨？ (3)经过这一周，冷库管理员结算时发现冷库里还存有20吨水果，那么一周前冷库里存有 水果多少吨？ (4)如果进、出库的装卸费都是每吨12元.那么这一周共需付多少装卸费？ 21,某仓库周一到周五的货物进出记录如下（+表示进库，·表示出库，单位：吨)： +8,-3,+5,-6,+4 (1)周五结束后，仓库货物比原来多了还是少了？多（少）多少吨？ (2)周五结束时，仓库共有货物20吨，求仓库原有的货物吨数， 22.大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录 (单位：km): +3.2,+4.8,-4,+5.5,-4.3 (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油0.18L,求总耗油量： (3)计价规则：行驶路程不超3km收费6元，超过3km的部分每千米收费1.3元，不足1km按 1km算，求司机本次一共收到车费多少元. 23.如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位秒的速度向 左运动，同时另一动点从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即 以原来的速度返回，向右运动， 设运动的时间为t秒 D 试卷第4页，共3页 (1)当t=0.5时，求点Q到原点0的距离： (2)当t=2.5时，求点Q到原点0的距离： 24.数轴是一个非常重要的数学工具，用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要的作用， 以数轴为基础，可以借助图形直观地表示很多与数有关的问题，它是“数形结合”的基础. 如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A,B,C,其中点A到点B的距离为3， 点B到点C的距离为8， 8 3 A B C (I)若A表示的数是-5，则数轴上点B所表示的数是 (2)若以点B为原点，求A,B,C所对应的数的和； (3)若C表示的数是4，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的 数. 试卷第5页，共3页