5.7三角函数的应用 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版 必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数应用，分层设计从基础概念到综合实践，通过生活与物理情境培养数学建模与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数定义与性质（值域、周期）|单选形式，如绳波位置判断，巩固概念理解| |中档|简单实际应用（血压、温度波动）|填空与多选，如声音合成函数性质分析，提升运算推理| |综合|复杂情境建模（港口水深、筒车运动）|解答题与图表分析，如温度变化曲线解析式求解，培养数学建模与数据处理能力|

5.7　三角函数的应用 1. (2026·海淀区二模) 若函数的值域为，则可以为（　　） A.  B.  C.  D.  2. 如图是一个向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至（　　） A. 轴上 B. 最低点 C. 最高点 D. 不确定 3. (2025春·郫都区期中) 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移 (单位：) 与时间 (单位：) 之间满足关系式，，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为 ( ) A.  B.  C.  D.  4.为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置P（x，y）.若初始位置为P0（，），当秒针从P0（注：此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为（　　） A.y＝sin（t＋），t∈[0，＋∞） B.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞） C.y＝sin（－t＋），t∈[0，＋∞） D.y＝sin（－t－），t∈[0，＋∞） 5.在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其他因素，在t秒内，它们引发的水面波动分别由函数y1＝sin t，y2＝sin和y3＝sin（t＋）描述，如果两个振动波同时启动，则水面波动由两个函数的和表达，在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现的状态是（　　） A.仍保持平静 B.不断波动 C.周期性保持平静 D.周期性保持波动 6.（多选）(2025春·汕尾期末) 声音是由于物体的振动产生，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数。已知某个音是由三个纯音合成的，该音的数学模型为函数，下列说法正确的是（　　） A. 该函数是偶函数 B. 该函数的最小正周期为 C. 该函数的最大值为 D. 该函数的图象关于对称 7.某人的血压满足函数式f（t）＝24sin 160πt＋110，其中f（t）为血压（单位：mmHg），t为时间（单位：min），则此人每分钟心跳的次数为　　　　. 8. (2025高一上·深圳期末) 已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系，，且这天的最大温差为，则 _____；若温度不低于需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 ____h.. 9.如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系. 时刻t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）近似描述，则该港口在11：00的水深为　　　m. 10.  (2025高一·广州期中) 如图，某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足（，，）. (1) 求出这段曲线的函数解析式； (2) 某行业在该地经营，当温度在区间之间时为最佳营业时间，那么该行业在6~14时，最佳营业时间有多少小时？ 11. (2025秋·赤水市校级期末) 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图1) 。若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米 (图2) ，已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时 (图2中点P₀) 开始计时，经过t秒钟后点P距离水面的高度为h米，则下列结论正确的是（　　） A. h关于t的函数解析式为 B. 点P第一次到达最高点需用时10秒 C. 从计时开始P再次接触水面需用时15秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 12.（多选）如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（0＜φ＜π），则下列说法正确的是（　　） A.该函数的周期是16 B.该函数图象的一条对称轴是直线x＝14 C.该函数的解析式是y＝10sin＋20（6≤x≤14） D.这一天的函数关系式也适用于第二天 13.（多选）(2025秋·集美区校级期末) 某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）近似满足函数．该港口这一天水位最高时和最低时的时间间隔最少为，且中午点的水深为．为保证安全，当水深不少于时，港口才允许船只出入，则下列说法正确的是（　　） A.  B. 水位最高时的水深为 C. 该港口这一天上午点时允许船只出入 D. 这一天内港口允许船只出入的时长为 14. 已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]. （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ 5.7　三角函数的应用 1.A　当时，，值域为，A正确； 当时，，不符合题意； 当时，，C错误； 当时，的最大值为，D错误. 2.C　相邻最高点与最低点的横坐标相差半个周期，而乙在最低点，所以经过周期后，乙的位置将移至最高点.故选：C 3.A　由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，，所以开始计时时，该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 4.C　由题意可得函数的初相为，排除B、D，又T＝60且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，所以｜ω｜＝，即ω＝－. 5.A　因为sin t＋sin＋sin（t＋）＝sin t＋sin tcos ＋cos tsin ＋sin tcos ＋cos tsin ＝sin t－sin t＋cos t－sin t－cos t＝sin t－sin t＝0，即三个振动源同时开始工作时，水面仍保持平静，故选A. 6. BD　根据题意，设，其定义域为， 依次分析选项： 对于A：因为的定义域为， 有． 所以函数为奇函数，故A错误； 对于B：因为的最小正周期为，的最小正周期为，的最小正周期为， 且的最小公倍数为，所以的最小正周期为，故B正确； 对于C：因为的最大值为，的最大值为，的最大值为，且． 但是它们分别在时取等号，所以不能同时取得最大值，故C错误； 对于D：因为， ， 所以，所以该函数的图象关于对称，故D正确. 7.80　解析：因为f（t）＝24sin 160πt＋110，所以T＝＝＝，f＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80. 8.　解析：已知且 已知这天的最大温差即为的最大值与最小值的差，又， 故，解得； 令，即，，又， 令， 则或，解得， 则一天中需要降温的时长为：小时. 9.4　解析：由题意得函数y＝Asin ωt＋h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）的周期为T＝12，解得∴ω＝＝，∴y＝2sin t＋5，∴该港口在11：00的水深为y＝2sin π＋5＝4（m）. 10.解：（1）由图知，，，得，则， 把，代入上式，得，则这段函数解析式为，. （2）由题意，得，即， 解得，，即，， 因为，取，得，所以最佳营业时间有（小时）. 11.A　由题可设函数，，设函数的周期为T， 其中，，，可得， 由题意，当时，，解得， 又由于，可得，可得，A正确； 由A可知点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时 (秒) ，C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误 12.AB　由题意以及函数的图象可知，A＋B＝30，－A＋B＝10，∴A＝10，B＝20.∵＝14－6＝8，∴T＝16，A正确；∵T＝，∴ω＝，∴y＝10sin（x＋φ）＋20.∵图象经过点（14，30），∴30＝10sin（×14＋φ）＋20，∴sin（×14＋φ）＝1，∴φ＝，∴y＝10sin＋20（0≤x≤24），B正确，C错误；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，∴D错误. 13.ABD　对于，由题意得，，所以，选项正确； 对于，当时，，解得， 所以，则， 所以水位最高时的水深为，选项正确； 对于、，因为， 令，即，所以， 因为，所以， 所以或， 解得或， 所以该港口这一天上午点时不允许船只出入，一天内开放出入时长为，选项错误，正确. 14. 解：（1）由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃； 当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃. 所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. （2）令10sin＋20＝15， 可得sin＝－. 而x∈[4，16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25， 可得sin＝， 而x∈[4，16]，所以x＝. 故该细菌的存活时间为－＝小时. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $