专题02 角的度量（解决问题讲义）数学人教版四年级上册（新教材）

本讲义聚焦四年级数学“角的度量”核心知识点，系统梳理平角周角认识、大小比较、分类换算、度量、画角、角度计算及钟面角七大考点，构建从概念理解到操作应用的递进学习支架。 资料以生活化典例（如花样滑冰旋转角度、风筝比赛）和分层练习为特色，通过具体实例培养学生抽象能力与几何直观（数学眼光），方法技巧与易错点解析强化推理意识（数学思维），分层设计助力应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后帮助学生查漏补缺。

（新教材）人教版四年级数学上册解决问题 专题02：角的度量 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平角、周角的认识及特征 1．核心思路：角是由一个顶点、两条边组成。平角、周角属于特殊角，不能等同于直线、射线。 2．方法技巧 （1）平角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 ②特征：平角的两条边在一条直线上，方向相反。1平角有1个顶点，2条边。 ③度数：1平角=180°。 （2）周角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。 ②特征：周角的两条边重合在一起。1周角有1个顶点，2条边。 ③度数：1周角=360°。 【易错点】 （1）平角≠直线，平角有顶点；周角≠射线，周角有重合的两条边； （2）平角不是直线，直线没有顶点，而平角有顶点。 （3）周角不是射线，周角是由一条射线绕端点旋转一周形成的，两条射线完全重合。 考点02：角的大小比较 1．核心思路：角的大小只和两条边张开程度有关，与边的长短无关。张口越大，角度越大。2．方法技巧 （1）重叠法：顶点重合、一条边重合，看另一条边位置判断大小； （2）度量法：用量角器测出度数，直接比较数字。 （3）数量逻辑：度数越大→角越大；度数越小→角越小。 【易错点】 （1）边长更长不代表角更大，不能依靠视觉上边的长短判断； （2）排序看清要求：从小到大还是从大到小。 考点03：角的分类及换算 1．核心思路：按照度数区间划分五类角，熟记度数范围，依托平角、周角建立换算关系。 2．方法技巧 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° 换算公式： （1）1周角= 2平角= 4直角 （2）1平角= 2直角 【易错点】 （1）90°是直角，不属于锐角；180°是平角，不属于钝角； （2）钝角必须同时大于90° 且小于180°。 考点04：角的度量 1．核心思路：量角器中心对准顶点，0°刻度线对齐一条边，看另一条边对应的刻度；分清内圈、外圈刻度。 2．方法技巧 量角三步法： （1）点对点：量角器中心与角的顶点重合； （2）线对边：0°刻度线和角的一条边重合； （3）读刻度：分清0刻度在内圈读内圈，0刻度在外圈读外圈。 【易错点】 （1）内外圈刻度不要读反； （2）延长短边再测量，角的边不够长不影响角度大小； （3）读数完成标注度数，带上°符号。 考点05：画角 1．核心思路：先画一条射线定顶点和一条边，用量角器定位刻度点，连接顶点与标记点形成第二条边。 2．方法技巧 （1）用量角器画指定度数的角 ①画一条射线，确定顶点； ②中心对齐顶点，0 刻度对齐射线； ③在对应度数刻度处标记点； ④连接顶点和标记点，画出另一条射线； ⑥标注角与度数。 （2）用三角尺画特殊度数的角： ①一副三角尺有两块 等腰直角三角尺：45°、45°、90°。 细长直角三角尺：30°、60°、90°。 ②可直接画出的角有30°、45°、60°、90°。 ③通过两块三角尺拼摆画出的角 75°=45°+30°；105°=60°+45°；120°=90°+30°或60°+60°； 135°=90°+45°；150°=90°+60°；180°=90°+90° ④通过一块三角尺叠在另一块上拼摆画出的角：15°=45°－30°；15°=60°－45° ⑤规律：凡是15°的整数倍的角，都可以用一副三角尺画出来。 【易错点】 （1）区分内外圈刻度，防止画成互补角； （2）不要漏标角度符号与度数。 考点06：角度的计算 1．核心思路：利用模型：直角= 90°，平角=180°，对顶角相等。 2．方法技巧 （1）共线两角组成平角：∠1+∠2=180° （2）直角内两角相加：∠1+∠2=90° （3）两条直线相交：相对的角（对顶角）度数相等 3．计算公式 （1）求余角：已知∠1和2组成直角，则2=90°－∠1。 （2）求补角：已知∠1和∠2组成平角，则2=180°－∠1。 （3）折叠问题：折叠前后的角相等。通常涉及平角被分割，需利用2×折叠角+剩余角=180°的关系求解。 【易错点】 （1）看图先判断是平角模型还是直角模型； （2）多个角叠加时分步计算； （3）计算结果标注度数单位 °。 考点07：钟面角的计算 1．核心思路：钟面一圈周角360°，平均分成12大格。 2．方法技巧 （1）1大格度数：360°÷12=30° （2）数时针与分针之间相隔大格数量； （3）格数×30°=夹角（取较小夹角，不超过180°）。 3．计算公式：钟面上夹角=间隔大格数×30° 【易错点】 （1）非整点时刻，时针会向数字前方偏移； （2）夹角取小于等于180°的角； （3）3时、9时夹角90°；6时夹角180°；12时夹角360°。 考点01：平角、周角的认识及特征 【典型例题】阿克塞尔四周半跳是花样滑冰中具有史诗级难度的动作，这种跳跃需要在空中旋转四周半，运动员在表演这种跳跃时，身体腾空旋转了多少度？ 【练习1】剪纸社团的同学打算将精美的剪纸作品粘贴在展板上，展板不小心被小明撞掉了一个角，求被撞掉的角的度数。 【练习2】红红用两个完全相同的钝角和一个直角正好拼成一个周角。这两个钝角各是多少度？ 考点02：角的大小比较 【典型例题】学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，强强用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（     ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（     ）°，图（     ）的风筝飞得更高。 （2）当风筝和底面形成的夹角是60°时，哪只风筝飞的更高？ ①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“●”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（     ）的风筝飞得最高，图（     ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写下来。 【练习1】看一看，比一比。 （1）观察每个钟面，并写出时针和分针所形成的角的名称。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是（     ）＞（     ）＞（     ）。（填角的名称） 【练习2】观察与操作。 （1）观察上图：∠1比∠3（ ），∠2比∠4（ ）。（填“大”或“小”） （2）图中标出的4个角，（ ）是锐角，（ ）是直角，（ ）是钝角。 （3）在下面方格图上画出一个长方形和一个正方形。 考点03：角的分类及换算 【典型例题】阅读材料，解决问题。 生活中有许多有趣的角度： ①丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 ②标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 ③中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别为75°，90°，105°。 ④体育老师的口号“向后转”就是让同学们身体旋转180°。 请根据以上信息并结合所学知识解答下列问题。 （1）资料里出现的角中，锐角有________个，钝角有________个。 （2）请根据资料中描述的角度在下面方框中画出一个标准的红领巾图。 【练习1】兰兰用学具小棒摆成一个50°的角，佳佳用同样的小棒摆成一个角，比兰兰的3倍还多30°，佳佳摆的角是多少度？是什么角？ 【练习2】乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？ 考点04：角的度量 【典型例题】学校科技社团的张明同学研究光的传播，通过实验发现：用红外线照射镜面，光线会被反射到另一个方向。下面是他两次照射同一个镜面的示意图。 （1）量一量，上图中反射光线与镜面形成的夹角的度数。 ∠1＝（ ）°        ∠2＝（ ）° （2）我的发现是：入射光线与镜面的夹角（ ）反射光线与镜面的夹角。（填“大于”“小于”或“等于”） （3）应用：台球运动中台球的运动轨迹也遵循同样的规律，图中的球沿着箭头的方向撞击台球桌边然后反弹出去，是否能进右上角的球洞？在图上画出台球反弹后的运动轨迹（运动路线）。 【练习1】滑梯的坡度设计要综合考虑儿童安全、舒适性和玩耍体验等重要因素。一般来说，滑梯的坡度建议控制在30°到50°之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。滑梯的坡度是（ ）。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个滑道，请画出符合坡度建议的滑道示意图（用一条线段表示），并标记上坡度的度数。 （3）（ ）侧的滑梯更平缓、更安全。（填“左”或“右”） 【练习2】人体工学。研究发现：椅子座面与靠背夹角在100°～110°之间时，有利于人体脊柱健康。 （1）图1中的椅子座面与靠背的夹角（∠1）是（     ）°。根据测量结果，这把椅子（符合 不符合）脊柱健康要求（圈出正确的词）。 （2）图2是一把椅子的侧面示意图。请从点P开始，画一条线段，表示符合健康要求的靠背位置，并标度数。 考点05：画角 【典型例题】为方便社区居民停车，社区计划新建一个地下车库。地下车库的坡道应设计合理的角度，才能确保车辆行驶的安全性和舒适性。先量一量下图中坡道∠1的度数，再以点O为顶点，画一个同样大的角。 ∠1＝（     ）。 【练习1】画角的探究与操作 手工课上，老师让同学们用角的知识制作装饰卡片，需要画出不同度数的角。请你利用量角器、三角尺等工具完成以下任务。 （1）任务一：基础画角。 用量角器分别画出以下度数的角。 ①35°     ②105°     ③130° （2）任务二：探究思考。 画105°角时，除了用量角器，还能用一副三角尺拼画出来，请用算式写出拼角的度数组合。 【练习2】在扔物体的运动中，在开始速度大小一定的情况下，物体起始的运动路线与水平线所成的角大致为45°时，物体能扔得最远。小明想把篮球扔得尽可能远，请画出篮球出手后的路线。 考点06：角度的计算 【典型例题】折纸是一种好玩的艺术创作活动，其蕴含着深刻的几何变换原理。如下图所示，将一张正方形纸对折后，出现一条折痕，再将正方形的两个角折到折痕上，如果∠1＝60°，那么∠2是多少度？（提示：先判断∠3、∠4是什么角） 【练习1】老师给出了下面这个图，小军用量角器量得，，是直角，那的度数是多少呢？ 【练习2】如图，三个同样大小的正方形一个顶点重合地叠在一起。已知图中，。∠2的度数是多少？ 考点07：钟面角的计算 【典型例题】少年科技馆正在进行“探索宇宙奥秘，航向多彩未来”主题活动。大屏幕上显示银河系中某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3时18分时，时针与分针所形成的锐角是多少度？先尝试在下面图中画一画，再解答。 【练习1】2024年1月11日13时30分，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18—20星3颗卫星顺利进入预定轨道。请你计算一下，13时30分，钟面上的分针与时针形成的较小角是多少度？ 【练习2】乐乐在数学课上学习“1周角＝360°”后，发现钟面上藏着许多和角有关的问题。请你帮他算一算，当钟面上的时刻为11时整时，时针与分针所形成的夹角是多少度？ 夯实基础 1．体育课上，同学们听口令原地向右转，连续转（     ）次，转的是一个周角。 A．2 B．4 C．5 2．下列时刻中，钟面的分针和时针所形成的较小的角是钝角的是（     ）。 A．3时 B．6时 C．8时 3．浩浩用量角器测量角时，误把外圈刻度当成了内圈刻度，读出的度数是55°，这个角正确的度数是（     ）。 A．45° B．125° C．135° 4．下面是用一副三角板拼成的角，其中是锐角的是（     ）。 A． B． C． 5．在日常生活中，鞠躬是向人致意，表示尊敬、谢意、致歉等常用礼节。下面礼仪鞠躬所弯的角度，表示正确的是（     ）。 A．∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45° B．∠1＝165°，∠2＝150°，∠3＝135° C．∠1＝165°，∠2＝30°，∠3＝45° 6．C919中型客机是中国首款按照最新国际适航标准、具有自主知识产权的干线民用飞机，最大载客量为190座。如图的飞机标志中，用一副三角尺可以画出的角是（     ）。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 7．东东晚上6点多外出购物，钟表上的时针与分针的夹角恰为110度，晚上接近7点回家，发现钟表上的时针与分针的夹角又是110度，那么东东外出共用了（ ）分钟。 8．钟表的时针从“2”走到“5”，顺时针旋转了（ ）°，再顺时针旋转90°走到数字（ ）。 9．明德小学为了错峰放学，课后服务结束的放学时间从17：15一直持续到17：45。这段时间钟面上的分针按（ ）时针方向旋转了（ ）°。 10．∠1能与一个46°的角组成一个直角，∠1＝（ ）°；∠2能与75°的角组成一个平角，∠2＝（ ）°。 11．杆秤是秤的一种，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器。下面秤杆与秤钩所形成的角各是什么角？填一填。 （ ）角                   （ ）角                  （ ）角 上面的三个角中，角（ ）最大。 12．河马是陆地上嘴巴张开角度最大的半水生哺乳动物，它的嘴张开角度最大可接近180°。180°是一个（ ）角，这个角的度数等于（ ）个直角的度数和。 13．乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角。 14．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝（ ）°。 15．用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。其中∠1和∠3构成一个（ ）角。 16．如图，两副三角尺拼成的角中：∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 17．击剑是一项历史悠久的传统体育运动项目。文文在看一场击剑比赛录像的时候，观察到运动员击剑时形成了下图。如果∠1＝45°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 18． （1）用纸条做一个活动角，两根纸条慢慢张开，所形成的角越来越（ ）。 （2）用三角尺比角，∠1（ ）∠2。（填“＞”“＜”或“＝”） （3）角的大小与两条边张开的大小（ ），与两条边的长短（ ）。（填“有关”或“无关”） 培优拔高 19．画一画、填一填。 下侧钟面上分针正好指向12。如果时针与分针组成的角是150°，请你画出时针，并标出这个角。 20．下面是一个火车道岔示意图，图中∠1和∠2分别是多少度？ 21．一个用旧了的量角器，大部分的刻度都已经磨损，只有下列刻度还看的清楚：0°，10°，32°，85° 和180°，用这个量角器测量角度时，有多少种角度（0°除外且不大于180°）能够一次性测量出来？ 22．把一张长方形的纸按如图所示的方式折叠，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，请分别计算出∠1、∠2、∠3的度数。 23．如图，a和b是两个互相平行的镜面，镜面c与镜面a、b的夹角均为直角。一束光线照射到镜面b上，经过反射后光线的路线如图所示。 （1）用量角器测量和的度数，并说一说你的发现。 （     ）°     （     ）°。 发现： （2）请运用你的发现完成光线在镜面c和a上的反射路线图。 思维拓展 24．如下图，小丽将两张长方形纸上、下摆放，下面的一张纸固定不动，上面的一张纸绕点A按箭头方向旋转。她发现，在旋转的过程中，和的度数在变化，于是将相应的度数记录在下表中。 ∠1 15° 50° ∠2 55° 10° （1）请将上表填写完整。 （2）比较。和的度数，我发现： （3）当这两张长方形纸按箭头方向旋转到短边重叠时，∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°。 （4）如下图，在两张长方形纸的短边重叠后，如果上面的长方形纸继续绕点A按箭头方向旋转，当∠1＝130°时，∠2＝（     ）°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ （新教材）人教版四年级数学上册解决问题 专题02：角的度量 （考点梳理+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：平角、周角的认识及特征 1．核心思路：角是由一个顶点、两条边组成。平角、周角属于特殊角，不能等同于直线、射线。 2．方法技巧 （1）平角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫做平角。 ②特征：平角的两条边在一条直线上，方向相反。1平角有1个顶点，2条边。 ③度数：1平角=180°。 （2）周角 ①定义：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫做周角。 ②特征：周角的两条边重合在一起。1周角有1个顶点，2条边。 ③度数：1周角=360°。 【易错点】 （1）平角≠直线，平角有顶点；周角≠射线，周角有重合的两条边； （2）平角不是直线，直线没有顶点，而平角有顶点。 （3）周角不是射线，周角是由一条射线绕端点旋转一周形成的，两条射线完全重合。 考点02：角的大小比较 1．核心思路：角的大小只和两条边张开程度有关，与边的长短无关。张口越大，角度越大。2．方法技巧 （1）重叠法：顶点重合、一条边重合，看另一条边位置判断大小； （2）度量法：用量角器测出度数，直接比较数字。 （3）数量逻辑：度数越大→角越大；度数越小→角越小。 【易错点】 （1）边长更长不代表角更大，不能依靠视觉上边的长短判断； （2）排序看清要求：从小到大还是从大到小。 考点03：角的分类及换算 1．核心思路：按照度数区间划分五类角，熟记度数范围，依托平角、周角建立换算关系。 2．方法技巧 锐角 直角 钝角 平角 周角 0°＜锐角＜90° 直角=90° 90°＜钝角＜180° 平角=180° 周角=360° 换算公式： （1）1周角= 2平角= 4直角 （2）1平角= 2直角 【易错点】 （1）90°是直角，不属于锐角；180°是平角，不属于钝角； （2）钝角必须同时大于90° 且小于180°。 考点04：角的度量 1．核心思路：量角器中心对准顶点，0°刻度线对齐一条边，看另一条边对应的刻度；分清内圈、外圈刻度。 2．方法技巧 量角三步法： （1）点对点：量角器中心与角的顶点重合； （2）线对边：0°刻度线和角的一条边重合； （3）读刻度：分清0刻度在内圈读内圈，0刻度在外圈读外圈。 【易错点】 （1）内外圈刻度不要读反； （2）延长短边再测量，角的边不够长不影响角度大小； （3）读数完成标注度数，带上°符号。 考点05：画角 1．核心思路：先画一条射线定顶点和一条边，用量角器定位刻度点，连接顶点与标记点形成第二条边。 2．方法技巧 （1）用量角器画指定度数的角 ①画一条射线，确定顶点； ②中心对齐顶点，0 刻度对齐射线； ③在对应度数刻度处标记点； ④连接顶点和标记点，画出另一条射线； ⑥标注角与度数。 （2）用三角尺画特殊度数的角： ①一副三角尺有两块 等腰直角三角尺：45°、45°、90°。 细长直角三角尺：30°、60°、90°。 ②可直接画出的角有30°、45°、60°、90°。 ③通过两块三角尺拼摆画出的角 75°=45°+30°；105°=60°+45°；120°=90°+30°或60°+60°； 135°=90°+45°；150°=90°+60°；180°=90°+90° ④通过一块三角尺叠在另一块上拼摆画出的角：15°=45°－30°；15°=60°－45° ⑤规律：凡是15°的整数倍的角，都可以用一副三角尺画出来。 【易错点】 （1）区分内外圈刻度，防止画成互补角； （2）不要漏标角度符号与度数。 考点06：角度的计算 1．核心思路：利用模型：直角= 90°，平角=180°，对顶角相等。 2．方法技巧 （1）共线两角组成平角：∠1+∠2=180° （2）直角内两角相加：∠1+∠2=90° （3）两条直线相交：相对的角（对顶角）度数相等 3．计算公式 （1）求余角：已知∠1和2组成直角，则2=90°－∠1。 （2）求补角：已知∠1和∠2组成平角，则2=180°－∠1。 （3）折叠问题：折叠前后的角相等。通常涉及平角被分割，需利用2×折叠角+剩余角=180°的关系求解。 【易错点】 （1）看图先判断是平角模型还是直角模型； （2）多个角叠加时分步计算； （3）计算结果标注度数单位 °。 考点07：钟面角的计算 1．核心思路：钟面一圈周角360°，平均分成12大格。 2．方法技巧 （1）1大格度数：360°÷12=30° （2）数时针与分针之间相隔大格数量； （3）格数×30°=夹角（取较小夹角，不超过180°）。 3．计算公式：钟面上夹角=间隔大格数×30° 【易错点】 （1）非整点时刻，时针会向数字前方偏移； （2）夹角取小于等于180°的角； （3）3时、9时夹角90°；6时夹角180°；12时夹角360°。 考点01：平角、周角的认识及特征 【典型例题】阿克塞尔四周半跳是花样滑冰中具有史诗级难度的动作，这种跳跃需要在空中旋转四周半，运动员在表演这种跳跃时，身体腾空旋转了多少度？ 【答案】1620度 【分析】根据题意，阿克塞尔四周半跳需要在空中旋转四周半，即旋转4个周角加半个周角；已知周角的度数是360°，4个周角即360°乘4，半个周角即360°÷2，再把两部分加起来，即得到身体腾空旋转的度数。 【详解】360°×4＝1440° 360°÷2＝180° 1440°＋180°＝1620° 答：身体腾空旋转了1620度。 【练习1】剪纸社团的同学打算将精美的剪纸作品粘贴在展板上，展板不小心被小明撞掉了一个角，求被撞掉的角的度数。 【答案】24° 【分析】观察图形可知，原展板为长方形，长方形的对边平行，所以撞掉角后，剩余部分的上下两边仍然平行；已知其中一个角为114°，那么与它左边角的度数为：180°－114°＝66°；因为原展板为长方形，长方形的四个角都是直角，即90°，所以被撞掉的角的度数为：90°－66°＝24°；据此解答。 【详解】180°－114°＝66° 90°－66°＝24° 答：被撞掉的角的度数是24°。 【练习2】红红用两个完全相同的钝角和一个直角正好拼成一个周角。这两个钝角各是多少度？ 【答案】135度 【分析】根据题意，明确周角的360度，直角的度数是90度，用360减去90，求出两个钝角的度数和，再除以2，就是这两个钝角各是多少度，列式计算即可。 【详解】（360－90）÷2 ＝270÷2 ＝135（度） 答：这两个钝角各是135度。 考点02：角的大小比较 【典型例题】学校举行风筝比赛，选手们用同样长度的风筝线把风筝送上高空。等风筝线放完且风筝飞稳后，将线的一端固定在地面上，再比较哪只风筝飞得更高。 （1）为了验证自己的想法，强强用同样长的线代表风筝线，对不同飞行高度的风筝进行模拟，如图1、图2所示。量一量，图1中风筝线与地面所形成的角是（     ）°，图2中风筝线与地面所形成的角是（     ）°，图（     ）的风筝飞得更高。 （2）当风筝和底面形成的夹角是60°时，哪只风筝飞的更高？ ①在图3上画出风筝线与地面所形成的60°角，并用“●”标出风筝位置。（图3中的风筝线与图1，图2中的风筝线长度一样！） ②认真观察以上3幅图，图（     ）的风筝飞得最高，图（     ）的风筝飞得最低。 （3）根据以上探究，将你的发现或想要继续研究的问题写下来。 【答案】（1）30；45；2；（2）①图见详解；②3；1 （3）风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。 【分析】（1）将量角器的0刻度线与角的一边重合，并将风筝线置于另一角的顶点。读取风筝线所指示的度数即可。分别用量角器量出图1和图2的度数，根据图中风筝飞行的高度，判断图2的风筝飞得更高。 （2）①使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。在量角器上找到所画角的刻度60的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。画的长度与图1和图2中风筝线的长度一致，并且用“●”标出风筝的位置。 ②画出图3风筝之后，比较三幅图中风筝的高度，选出飞得最高的风筝和飞得最低的风筝。 （3）把三幅图中风筝线与地面形成的夹角和风筝飞行的高度进行一个比较，就会有所发现。 【详解】（1）图1中风筝线与地面所形成的角是30°，图2中风筝线与地面所形成的角是45°，图2的风筝飞得更高。 （2） ②认真观察以上3幅图，图3的风筝飞得最高，图1的风筝飞得最低。 （3）风筝线与地面形成的夹角：30°＜45°＜60° 对应的风筝的高度：图1＜图2＜图3 因此风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。 【练习1】看一看，比一比。 （1）观察每个钟面，并写出时针和分针所形成的角的名称。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是（     ）＞（     ）＞（     ）。（填角的名称） 【答案】（1）见详解 （2）平角；直角；锐角。 【分析】（1）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角。钟面一周为360°，共分12大格，每格为360÷12＝30°，1点整时，时针和分针的夹角是一个大格，也就是30°，是锐角；3点整时，时针和分针的夹角是三个大格，也就是30×3＝90°，是直角；6点整时，时针和分针的夹角是六个大格，也就是30×6＝180°，是平角。 （2）锐角是小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°小于180°的角，平角是等于180°的角。平角＞直角＞锐角 【详解】（1）图一：360÷12＝30°，是锐角； 图二：30×3＝90°，是直角； 图三：30×6＝180°，是平角。 （2）把时针和分针所形成的角按照从大到小的顺序排列是平角＞直角＞锐角。 【练习2】观察与操作。 （1）观察上图：∠1比∠3（ ），∠2比∠4（ ）。（填“大”或“小”） （2）图中标出的4个角，（ ）是锐角，（ ）是直角，（ ）是钝角。 （3）在下面方格图上画出一个长方形和一个正方形。 【答案】（1） 大 小 （2） ∠2 ∠3 ∠1和∠4 （3）见详解 【分析】（1）角的大小与两条边的长短无关，与两条边张开的大小有关，张开得越大，角就越大；张开得越小，角就越小。 （2）角由一个顶点和两条边组成，并且这两条边都是直直的。和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。三角尺上最大的角是直角，据此比一比； （3）长方形是长长方方的，由4条边围成，且对边一样长；正方形是正正方方的，由4条边围成，且4条边都一样长；据此画图。 【详解】（1）观察 ∠1比∠3大，∠2比∠4小； （2）图中标出的4个角，∠2是锐角，∠3是直角，∠1和∠4是钝角； （3）。（画法不唯一） 考点03：角的分类及换算 【典型例题】阅读材料，解决问题。 生活中有许多有趣的角度： ①丹顶鹤是国家一级保护动物。它们结对飞行，通常都是排成“人”字形，而且“人”字形的角度一般保持在110°左右。 ②标准红领巾的三个角的角度分别是120°、30°、30°。 ③中国、朝鲜、俄罗斯阅兵踢正步时两腿之间所组成的夹角分别为75°，90°，105°。 ④体育老师的口号“向后转”就是让同学们身体旋转180°。 请根据以上信息并结合所学知识解答下列问题。 （1）资料里出现的角中，锐角有________个，钝角有________个。 （2）请根据资料中描述的角度在下面方框中画出一个标准的红领巾图。 【答案】（1）3；3 （2）见详解 【分析】（1）直角等于90度，锐角小于直角，钝角大于90度小于180度的平角，据此即可解答。 （2）先画一个120°的角，以角的顶点为线段的一个端点，在两条射线上各截取一条线段，并且使这两条线段相等，再把线段的两个端点连接起来即可得到一个红领巾。 【详解】（1）资料里出现的角中，锐角有75°、30°、30°，共3个，钝角有110°、120°、105°，共3个。 （2） 【练习1】兰兰用学具小棒摆成一个50°的角，佳佳用同样的小棒摆成一个角，比兰兰的3倍还多30°，佳佳摆的角是多少度？是什么角？ 【答案】180°；平角 【分析】根据题意，用兰兰摆的角的度数乘3再加上30°，就是佳佳摆的角的度数，再根据角的分类：大于0°小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角；进行判定即可。 【详解】50°×3＋30° ＝150°＋30° ＝180° 答：佳佳摆的角是180°，是平角。 【练习2】乐乐把两张硬纸条订在一起，组成了一个37°的角，同桌欢欢在乐乐摆的基础上旋转其中一条边，所形成的角的度数比乐乐的4倍还大12°，这个角是多少度？是什么角？ 【答案】160°；钝角 【分析】根据题意可知，用乐乐组成角的度数乘4后，再加12°，即可得到欢欢组成角的度数，依此计算并根据角的分类标准解答即可。 【详解】37°×4＋12° ＝148°＋12° ＝160° 160°是一个钝角。 答：这个角是160°，是钝角。 考点04：角的度量 【典型例题】学校科技社团的张明同学研究光的传播，通过实验发现：用红外线照射镜面，光线会被反射到另一个方向。下面是他两次照射同一个镜面的示意图。 （1）量一量，上图中反射光线与镜面形成的夹角的度数。 ∠1＝（ ）°        ∠2＝（ ）° （2）我的发现是：入射光线与镜面的夹角（ ）反射光线与镜面的夹角。（填“大于”“小于”或“等于”） （3）应用：台球运动中台球的运动轨迹也遵循同样的规律，图中的球沿着箭头的方向撞击台球桌边然后反弹出去，是否能进右上角的球洞？在图上画出台球反弹后的运动轨迹（运动路线）。 【答案】（1） 30 50 （2）等于 （3）见详解；能进 【分析】（1）量角器量角步骤：①点点重合：中心对顶点；②线边重合：0°刻度线对一边；③读数：角的另一边对应的刻度0°刻度线在右，读圈内，角的另一边对应的刻度0°刻度线在左，读圈外。量出角的度数，据此解答。 （2）根据（1）中测量的结果，据此判断入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角的大小关系即可。 （3）先量出球沿着箭头的方向撞击台球桌边时形成的夹角，根据（2）中发现的规律，画出台球反弹后的运动轨迹，画角的步骤是：使量角器的中心和顶点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器60°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，据此画图后判断是否能进右上角的球洞。 【详解】（1）经测量∠1＝30°，∠2＝50°。 （2）入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角。 （3） 答：能进右上角的球洞。 【练习1】滑梯的坡度设计要综合考虑儿童安全、舒适性和玩耍体验等重要因素。一般来说，滑梯的坡度建议控制在30°到50°之间。（坡度是指滑道与地面的夹角） （1）量一量。滑梯的坡度是（ ）。 （2）画一画。滑梯的右侧还有一个滑道，请画出符合坡度建议的滑道示意图（用一条线段表示），并标记上坡度的度数。 （3）（ ）侧的滑梯更平缓、更安全。（填“左”或“右”） 【答案】（1）65° （2）见详解 （3）右 【分析】（1）量角器量角的步骤：将角的顶点和量角器的中心点重合；将量角器的0刻度线与角的一边重合；角的另一边所对应的度数就是这个角的度数（重合的0刻度线是哪圈就看哪圈的刻度）。 （2）根据题意，只要画出30度到50度之间的角即可。量角器画角的步骤：画一条射线；使量角器的中心点与射线的端点重合，0刻度线和射线重合；在量角器相应刻度的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的一点，再画一条射线。 （3）比较两侧滑梯坡度的大小即可解答。 【详解】（1）（1）滑梯的坡度是（65）°。 （2）（2）由分析可知： （画法不唯一） （3）65°＞30°，左侧坡度大于右侧坡度，所以右侧的滑梯更平缓、更安全。 【练习2】人体工学。研究发现：椅子座面与靠背夹角在100°～110°之间时，有利于人体脊柱健康。 （1）图1中的椅子座面与靠背的夹角（∠1）是（     ）°。根据测量结果，这把椅子（符合 不符合）脊柱健康要求（圈出正确的词）。 （2）图2是一把椅子的侧面示意图。请从点P开始，画一条线段，表示符合健康要求的靠背位置，并标度数。 【答案】（1）95； （2）见详解 【分析】（1）量角器的中心和∠1的顶点重合，座椅表面的那条边与0°刻度线重合，看靠背面这条边所对的是哪个刻度线，这个角就是多少度；看∠1的度数在不在100°～110°之间，在这个范围就符合，反之不符合； （2）量角器的中心和座椅座面所在边的端点P重合，座椅表面的那条线与0°刻度线重合。在量角器105°刻度线的地方点一个点。以P为端点，通过刚画的点，再画一条射线，画线后标注上角度即可。 【详解】（1）95°不在100°~110°之间，因此不符合脊柱健康要求。 所以，图1中的椅子座面与靠背的夹角（∠1）是（95）°。根据测量结果，这把椅子脊柱健康要求（圈出正确的词）。 （2）。 考点05：画角 【典型例题】为方便社区居民停车，社区计划新建一个地下车库。地下车库的坡道应设计合理的角度，才能确保车辆行驶的安全性和舒适性。先量一量下图中坡道∠1的度数，再以点O为顶点，画一个同样大的角。 ∠1＝（     ）。 【答案】10°；画角见详解 【分析】量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的0刻度线和水平线对齐，做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度，看刻度要分清内外圈。 根据角的画法解答：先过O画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，刻度线和射线重合，分别在量角器对应∠1的度数的地方点一个点，以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，最后标出度数即可． 【详解】 ∠1＝10°。 【练习1】画角的探究与操作 手工课上，老师让同学们用角的知识制作装饰卡片，需要画出不同度数的角。请你利用量角器、三角尺等工具完成以下任务。 （1）任务一：基础画角。 用量角器分别画出以下度数的角。 ①35°    ②105°    ③130° （2）任务二：探究思考。 画105°角时，除了用量角器，还能用一副三角尺拼画出来，请用算式写出拼角的度数组合。 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【分析】（1）先画一条射线作为角的一条边，把量角器的中心与射线端点对齐，在量角器对应的刻度位置，点一个小点，从射线端点出发经过小点画出另一条射线，并标注角的度数。 （2）用等腰直角三角板的45°锐角和另一个直角三角板60°锐角可以拼画105°的角 【详解】（1） （2）45°＋60°＝105° 【练习2】在扔物体的运动中，在开始速度大小一定的情况下，物体起始的运动路线与水平线所成的角大致为45°时，物体能扔得最远。小明想把篮球扔得尽可能远，请画出篮球出手后的路线。 【答案】见详解 【分析】根据题目信息，从手的出手位置，向左上方出发，让出发方向和图中水平线夹角为45°角，再画一条平滑曲线：先向上到最高点，再向下弯曲，最终落在左下方远处，整体是向下弯的抛物线即可。 【详解】如图： 考点06：角度的计算 【典型例题】折纸是一种好玩的艺术创作活动，其蕴含着深刻的几何变换原理。如下图所示，将一张正方形纸对折后，出现一条折痕，再将正方形的两个角折到折痕上，如果∠1＝60°，那么∠2是多少度？（提示：先判断∠3、∠4是什么角） 【答案】120度 【分析】由图可知，∠1、∠2、∠3、∠4构成了一个周角，周角是360°的角，又由对折的知识可知∠3和∠4是正方形的两个直角，都是90°； 根据上述分析可得，∠2＝周角－∠1－∠3－∠4，代入数据计算即可解答。 【详解】∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360° ∠3＝∠4＝90° ∠1＝60° ∠2＝360°－∠1－∠3－∠4 ＝360°－60°－90°－90° ＝120° 答：∠2为120度。 【练习1】老师给出了下面这个图，小军用量角器量得，，是直角，那的度数是多少呢？ 【答案】134° 【分析】四边形的内角和为360°，先求出∠1加∠2，再加∠3的度数，求出和，最后用360°减这个和即可求出∠4的度数。 【详解】26°＋110°＋90° ＝136°＋90° ＝226° ∠4＝360°－226°＝134° 答：的度数是134°。 【练习2】如图，三个同样大小的正方形一个顶点重合地叠在一起。已知图中，。∠2的度数是多少？ 【答案】33° 【分析】正方形的四个角都是90°角，把∠1和∠2之间夹着的锐角看作∠4，再把∠2和∠3之间夹着的锐角看作∠5，发现∠1＋∠4＋∠2＝90°；∠4＋∠2＋∠5＝90°；即∠5＝∠1，因此∠2＝90°－∠3－∠5。 【详解】 已知∠1＝41°，∠3＝16° ∠1＋∠4＋∠2＝90°；∠4＋∠2＋∠5＝90°；所以∠5＝∠1，∠5＝41°。 ∠2＝90°－∠3－∠5 ＝90°－16°－41° ＝74°－41° ＝33° 答：∠2的度数是33°。 考点07：钟面角的计算 【典型例题】少年科技馆正在进行“探索宇宙奥秘，航向多彩未来”主题活动。大屏幕上显示银河系中某星球的一天只有6小时，每小时36分钟，那么3时18分时，时针与分针所形成的锐角是多少度？先尝试在下面图中画一画，再解答。 【答案】作图见详解。 30° 【分析】根据题意可知，3时18分，按照每小时36分钟，也就是3时半，所以时针指向3与4中间，因此半时分针应该指向3，时针指在3和4中间，又因为钟面上一圈是360度，现在钟面上一共有6个大格，所以一个大格就是360°÷6＝60°，而此题3时18分时，时针与分针所形成的锐角正好是钟面上的半个大格，只需要求出半个大格的度数即可。 【详解】 360°÷6＝60° 60°÷2＝30° 答：3时18分时，时针与分针所形成的锐角是30°。 【练习1】2024年1月11日13时30分，我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭，将搭载的云遥一号18—20星3颗卫星顺利进入预定轨道。请你计算一下，13时30分，钟面上的分针与时针形成的较小角是多少度？ 【答案】135° 【分析】钟面一周是360°，平均分成12个大格，每个大格对应的圆心角是30°。13时30分即下午1时30分，此时分针指向6，时针指向1和2的正中间。时针与分针之间相隔4个大格和半个大格，据此计算角度。 【详解】 答：钟面上的分针与时针形成的较小角是135°。 【练习2】乐乐在数学课上学习“1周角＝360°”后，发现钟面上藏着许多和角有关的问题。请你帮他算一算，当钟面上的时刻为11时整时，时针与分针所形成的夹角是多少度？ 【答案】度 【分析】一周有大格，一格就是度，时，分针指向，时针指向，找出它们之间有几大格，算出夹角的度数。 【详解】 （度） 答：时针与分针所形成的夹角是度。 夯实基础 1．体育课上，同学们听口令原地向右转，连续转（     ）次，转的是一个周角。 A．2 B．4 C．5 【答案】B 【分析】根据题意，原地向右转一次，身体方向改变一个直角，再转一次，就是两个直角，面向相反的方向；同样，再转两次，就是回到原地，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 体育课上，同学们听口令原地向右转，连续转4次，转的是一个周角。 故答案为：B 2．下列时刻中，钟面的分针和时针所形成的较小的角是钝角的是（     ）。 A．3时 B．6时 C．8时 【答案】C 【分析】要判断哪个时刻分针和时针形成的角是钝角，需要先明确钟面一周为360°，共分12个大格，每格为360÷12＝30°。 然后分别计算每个时刻分针和时针所形成角的度数，再根据钝角的定义（大于90°小于180°的角是钝角）进行判断。 【详解】A．3时：时针指向3，分针指向12，它们之间有3个大格，所以夹角是30°×3＝90°，90°是直角，不是钝角。 B．6时：时针指向6，分针指向12，它们之间有6个大格，夹角为30°×6＝180°，180°是平角，不是钝角。 C．8时：时针指向8，分针指向12，它们之间有4个大格，夹角是30°×4＝120°，120°大于90°小于180°，是钝角。 故答案为：C 3．浩浩用量角器测量角时，误把外圈刻度当成了内圈刻度，读出的度数是55°，这个角正确的度数是（     ）。 A．45° B．125° C．135° 【答案】B 【分析】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。在量角器上，内圈的刻度与外圈的刻度加起来等于180°。由题意可知，浩浩用量角器测量角时，误把外圈刻度当成了内圈刻度，读出的度数是55°，那么直接用180°减去55°即可算出这个角正确的度数。 【详解】180°－55°＝125°，即这个角正确的度数是125°。 故答案为：B 4．下面是用一副三角板拼成的角，其中是锐角的是（     ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】一副三角板有两个，度数分别是和。锐角是指大于而小于的角。根据选项拼成的角进行判断。 【详解】选项A：拼出的角是，是钝角（大于小于），不是锐角。   选项B：拼出的角是，大于小于，是锐角。   选项C：拼出的角是，是钝角，不是锐角。 故答案为：B 5．在日常生活中，鞠躬是向人致意，表示尊敬、谢意、致歉等常用礼节。下面礼仪鞠躬所弯的角度，表示正确的是（     ）。 A．∠1＝15°，∠2＝30°，∠3＝45° B．∠1＝165°，∠2＝150°，∠3＝135° C．∠1＝165°，∠2＝30°，∠3＝45° 【答案】A 【分析】观察图片可知，所求的角与相应已知角组成平角，平角为180°。所以分别用180°减去各已知角，即可计算出答案。 【详解】∠1＝180°－165°＝15° ∠2＝180°－150°＝30° ∠3＝180°－135°＝45° 故答案为：A 6．C919中型客机是中国首款按照最新国际适航标准、具有自主知识产权的干线民用飞机，最大载客量为190座。如图的飞机标志中，用一副三角尺可以画出的角是（     ）。 A．∠1 B．∠2 C．∠3 【答案】A 【分析】一副三角尺有两个，两个都是直角三角形，最大角是90°，有一个是等腰直角三角形，两个锐角都是45°；另一个的两个锐角一个是30°，一个是60°，据此判断即可。 【详解】A．∠1＝135°，可以用90°角和45°角拼在一起，即90°＋45°＝135°，用一副三角尺可以画出∠1； B．∠2＝130°，无论怎样组合都无法拼出130°角，即用一副三角板不可以画出∠2； C．∠3＝70°，无论怎样组合都无法拼出70°角，即用一副三角板不可以画出∠3。 故答案为：A 7．东东晚上6点多外出购物，钟表上的时针与分针的夹角恰为110度，晚上接近7点回家，发现钟表上的时针与分针的夹角又是110度，那么东东外出共用了（ ）分钟。 【答案】40 【分析】明确时针和分针的转动速度，时针转速为度/分钟，分针转速为度/分钟，这是计算的基础。 6点整时，时针和分针夹角为180度，外出时是6点多，此时分针在时针后方，夹角为110度；回家时间接近7点，也是6点多，此时分针在时针前方，夹角为110度。算出时针和分针这段时间转过的角度差，根据时针和分针的转动角度差除以速度差就等于所求的时间。 【详解】先算钟表上时针和分针的速度：钟表一圈是360度，分针60分钟转完一圈，所以分针每分钟走； 时针12小时（720分钟）转完一圈，所以时针每分钟走；每分钟分针比时针多走 分析路程差：外出时分针在时针后方，夹角110度；回家时分针走到时针前方，夹角还是110度。所以整个外出过程，分针一共比时针多走了。 计算外出时间：分钟。 8．钟表的时针从“2”走到“5”，顺时针旋转了（ ）°，再顺时针旋转90°走到数字（ ）。 【答案】 90 8 【分析】因为钟表一圈为360°，共被分为12个大格，所以可计算出单个大格对应的角度。用大格数乘单个大格的角度，即可得到旋转的度数。用90°除以单个大格的角度，得到走过的大格数，再从“5”开始顺次数对应大格数，即可得到最终指向的数字。 【详解】360°÷12＝30°，每个大格对应30° 时针从“2”走到“5”，转过了（个）大格，是30°×3＝90° 90°÷30°＝3（个） 5＋3＝8 再顺时针旋转90°走到数字8。 9．明德小学为了错峰放学，课后服务结束的放学时间从17：15一直持续到17：45。这段时间钟面上的分针按（ ）时针方向旋转了（ ）°。 【答案】 顺 180 【分析】首先计算放学时间持续的时长，用结束时刻减去开始时刻。其次，根据钟面指针运动规律可知，分针旋转的方向是顺时针方向。最后，根据分针走一圈是360°用时60分钟，计算出30分钟旋转的角度，30分钟正好是60分钟的一半，即旋转了平角。 【详解】计算经过的时间：17时45分－17时15分＝30分 判断旋转方向：钟面上指针旋转的方向是顺时针方向 360°÷2＝180° 10．∠1能与一个46°的角组成一个直角，∠1＝（ ）°；∠2能与75°的角组成一个平角，∠2＝（ ）°。 【答案】 44 105 【分析】直角是90°，用90°减去46°，即可计算出∠1；平角是180°，用180°减去75°，即可计算出∠2。据此解答。 【详解】90°－46°＝44° 180°－75°＝105° 所以∠1能与一个46°的角组成一个直角，∠1＝44°；∠2能与75°的角组成一个平角，∠2＝105°。 11．杆秤是秤的一种，是利用杠杆原理来称质量的简易衡器。下面秤杆与秤钩所形成的角各是什么角？填一填。 （ ）角                   （ ）角                  （ ）角 上面的三个角中，角（ ）最大。 【答案】 锐 直 钝 3 【分析】根据题意，角是由一个点引出两条直直的线所组成的图形，这个点就是角的顶点，两条线就是角的边。角的大小与边的长短无关，与角的张口有关，张口越大，角就越大；反之，角就越小。黑板的四个角都是直角，根据三角板上的直角可以判断，比直角小的角是锐角，比直角大的角是钝角，以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 锐角            直角                钝角   上面的三个角中，角3最大。 12．河马是陆地上嘴巴张开角度最大的半水生哺乳动物，它的嘴张开角度最大可接近180°。180°是一个（ ）角，这个角的度数等于（ ）个直角的度数和。 【答案】 平 2 【分析】角的分类： 锐角是大于0°小于90°的角，直角是等于90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，平角是等于180°的角，周角是等于360°的角。直角与平角的关系：1个直角＝90°，2个直角＝90°×2＝180°，即180°等于2个直角的度数和。据此作答。 【详解】根据分析可知： 河马嘴张开最大接近180°，180°是一个平角。 因为1个直角＝90°，所以90°×2＝180°，即这个角的度数等于2个直角的度数和。 13．乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是（ ）角。 【答案】 平 钝 直 【分析】直角是90°角，平角是180°角，钝角大于90°且小于180°；钟面上，时针和分针形成的角度可以通过计算它们之间的格子数来确定。钟表每个大格是30°。6时，时针指向6，分针指向12，两针相差6个大格，所以角度为6×30°＝180°；5时，时针指向5，分针指向12，两针相差5个大格，所以角度为5×30°＝150°；9时，时针指向9，分针指向12，两针相差3个大格，所以角度为3×30°＝90°，据此判断。 【详解】6×30°＝180°，是平角； 5×30°＝150°，150°大于90°且小于180°，是钝角； 3×30°＝90°，是直角。 乐乐早上6：00起床，这时钟面上时针和分针所形成的角是平角；下午5：00放学，这时钟面上时针和分针所形成的角是钝角；晚上9：00睡觉，这时钟面上时针和分针所形成的角是直角。 14．将一张长方形纸折成如下图所示的形状，已知∠2＝70°，∠1＝（ ）°。 【答案】40 【分析】根据题意得到，将长方形折过去得到∠2，那么∠2的度数与∠2左边那个角的度数相等，观察发现∠2左边那个角＋∠2＋∠1＝平角，平角为180°，那么用180°减去∠2左边那个角减去∠2的度数，即可算出∠1的度数。据此解答。 【详解】根据分析得出： 180°－70°－70° ＝110°－70° ＝40° 所以∠1＝40°。 15．用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°。其中∠1和∠3构成一个（ ）角。 【答案】 30 60 150 平 【分析】根据图片可知，∠2和三角板中90°的角以及30°的角组成一个平角，则∠2＝180°－90°－30°。∠1、∠2和三角板中90°的角组成一个平角，则∠1＝180°－90°－∠2。∠3和三角板中30°的角组成一个平角，则∠3＝180°－30°。∠1和∠3组成一个平角。 【详解】∠2： 180°－90°－30° ＝90°－30° ＝60° ∠1： 180°－90°－60° ＝90°－60° ＝30° ∠3＝180°－30°＝150° 所以，用一副三角板摆成如图所示，那么∠1＝30°，∠2＝60°，∠3＝150°。其中∠1和∠3构成一个平角。 16．如图，两副三角尺拼成的角中：∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】 105 105 【分析】一副三角板的度数分别90°、45°、45°、90°、60°和30°，根据图示，∠1的度数等于60°与45°的和，∠2的度数等于180°减去30°再减去45°，据此计算。 【详解】∠1＝60°＋45°＝105° ∠2＝180°－30°－45° ＝150°－45° ＝105° 17．击剑是一项历史悠久的传统体育运动项目。文文在看一场击剑比赛录像的时候，观察到运动员击剑时形成了下图。如果∠1＝45°，那么∠2＝（ ）°，∠3＝（ ）°，∠4＝（ ）°。 【答案】 45 135 135 【分析】观察图可知，∠1与∠3组成一个平角，∠1与∠2是一对对顶角，则∠1＝∠2；∠1与∠3组成一个平角，平角是180°，已知∠1，要求∠3，则∠3＝180°－∠1，同理，可以求出∠4。 【详解】∠2＝∠1＝45°， ∠3＝180°－∠1 ∠3：180°－45°＝135° ∠4＝180°－∠1 ∠4：180°－45°＝135° 如果∠1＝45°，那么∠2＝45°，∠3＝135°，∠4＝135°。 18． （1）用纸条做一个活动角，两根纸条慢慢张开，所形成的角越来越（ ）。 （2）用三角尺比角，∠1（ ）∠2。（填“＞”“＜”或“＝”） （3）角的大小与两条边张开的大小（ ），与两条边的长短（ ）。（填“有关”或“无关”） 【答案】（1）大 （2）＝ （3） 有关 无关 【分析】（1）两根纸条慢慢张开过程中，所形成的角的开口越来越大，形成的角也越来越大。两根纸条慢慢张开过程中，所形成的角的两条边的长短不变。（2）题中的两个三角尺形状相同，大小不同。角1和角2相比较，角的两条边的长短不同，开口大小一样，两个角的大小一样。可以找两个大小不同的这样的三角尺重合比一比。（3）由这两个活动可以发现，角的大小与两条边张开的开口大小有关，与两条边的长短无关。 【详解】（1）用纸条做一个活动角，两根纸条慢慢张开，所形成的角越来越大。 （2）用三角尺比角，∠1＝∠2。 （3）角的大小与两条边张开的大小有关，与两条边的长短无关。 培优拔高 19．画一画、填一填。 下侧钟面上分针正好指向12。如果时针与分针组成的角是150°，请你画出时针，并标出这个角。 【答案】见详解 【分析】钟面是一个圆形，平均分为12个大格，每个大格的度数为30°。当分针指向12时，时针指向几就是几时整。时针与分针的夹角除以30°，求出时针与分针之间的大格数，依次作图即可。 【详解】150°÷30°＝5（格） 所以如果时针与分针组成的角是150°，对应的时刻是5：00或7：00，作图如下： 或 20．下面是一个火车道岔示意图，图中∠1和∠2分别是多少度？ 【答案】∠1是142度；∠2是38度。 【分析】（1）由图可知，∠1与38°角组成一个平角，因为平角的度数是180°，所以∠1＝180°－38°； （2）由图可知，∠1和∠2也组成一个平角，所以∠2＝180°－∠1 【详解】（1）180°－38°＝142° （2）180°－142°＝38° 答：∠1是142度；∠2是38度。 21．一个用旧了的量角器，大部分的刻度都已经磨损，只有下列刻度还看的清楚：0°，10°，32°，85° 和180°，用这个量角器测量角度时，有多少种角度（0°除外且不大于180°）能够一次性测量出来？ 【答案】10种 【分析】量角器中，内圈的度数和外圈的度数和为180°。根据题意可知，0°除外且不大于180°，用这个量角器可以测量10°，32°，85°，180°，同时还可以测量180°－10°＝170°，180°－32°＝148°，180°－85°＝95°。此外，当分别以10°，32°，85°，180°为起点时也可以测量出不同的度数；以据此解答即可。 【详解】用这个量角器测量角度（0°除外且不大于180°），首先有4种角度，分别为10°，32°，85°和180°； 180°－10°＝170°，180°－32°＝148°，180°－85°＝95° 以10°为起点时，可以测量出32°－10°＝22°，85°－10°＝75°，180°－10°＝170°（重复度数）； 以32°为起点时，85°－32°＝53°，180°－32°＝148° 以85°为起点时，180°－85°＝95° 则用这个量角器测量角度时，有10种角度，分别为10°，32°，85°，170°，180°，22°，75°，53°，148°，95°。 22．把一张长方形的纸按如图所示的方式折叠，其中∠1＋∠2＋∠3＝210°，请分别计算出∠1、∠2、∠3的度数。 【答案】∠1为30°，∠2为150°，∠3为30° 【分析】长方形的边是直线，直线对应的平角为180°，结合折叠后的图形可得：，， 已知，代入计算即可。 【详解】 由分析得出， ∠3度数为： ∠2度数为： ∠1度数为： 则∠1为30°，∠2为150°，∠3为30°。 23．如图，a和b是两个互相平行的镜面，镜面c与镜面a、b的夹角均为直角。一束光线照射到镜面b上，经过反射后光线的路线如图所示。 （1）用量角器测量和的度数，并说一说你的发现。 （     ）°     （     ）°。 发现： （2）请运用你的发现完成光线在镜面c和a上的反射路线图。 【答案】（1）40；40 发现见详解 （2）见详解 【分析】（1） 用量角器的中心对准∠1、∠2的顶点，0刻度线与镜面b的边重合，读取另一条边对应的刻度，得到角度；观察两个角度数，总结光的反射规律。 （2） 根据“反射前后，光线与镜面形成的角的度数相等”的规律，依次画出光线在镜面c、a上的反射路线。 【详解】（1） ∠1＝40°，∠2＝40° 发现：反射前后，光线与镜面形成的角的度数相等。 （2）按照反射规律，在镜面c上，入射光线与镜面c的夹角等于反射光线与镜面c的夹角；在镜面a上同理，画出完整反射路线。 思维拓展 24．如下图，小丽将两张长方形纸上、下摆放，下面的一张纸固定不动，上面的一张纸绕点A按箭头方向旋转。她发现，在旋转的过程中，和的度数在变化，于是将相应的度数记录在下表中。 ∠1 15° 50° ∠2 55° 10° （1）请将上表填写完整。 （2）比较。和的度数，我发现： （3）当这两张长方形纸按箭头方向旋转到短边重叠时，∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°。 （4）如下图，在两张长方形纸的短边重叠后，如果上面的长方形纸继续绕点A按箭头方向旋转，当∠1＝130°时，∠2＝（     ）°。 【答案】（1） （2）∠1＋∠2＝90° （3）90；0 （4）50 【分析】（1）长方形的角是直角90°，平角是180°，∠1变化，∠2也会随着变化。 （2）计算每组∠1和∠2的和，发现∠1＋∠2＝90° （3）当两张长方形纸的短边重叠时，上面的纸旋转到与下面的纸“对齐”，此时∠1和∠2的和仍为90°，但重叠后∠2会“消失”（角度为0°）。 （4）短边重叠后继续旋转的角度 短边重叠后，上面的纸继续旋转，此时∠1和∠2的和不再是90°，而是平角（180°）（因为旋转后形成平角关系）。 【详解】（1）∠2＝90°－15°＝75° ∠1＝90°－55°＝35° ∠2＝90°－50°＝40° ∠1＝90°－10°＝80° 填表略。 （2）15°＋75°＝90° 35°＋55°＝90° 50°＋40°＝90° 80°＋10°＝90° 比较。和的度数，我发现：∠1＋∠2＝90° （3）当这两张长方形纸按箭头方向旋转到短边重叠时，∠1＝90°，∠2＝0°。 （4）180°－130°＝50° 在两张长方形纸的短边重叠后，如果上面的长方形纸继续绕点A按箭头方向旋转，当∠1＝130°时，∠2＝50°。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $