第二十六章 二次函数——二次函数与区间最值 专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数区间最值，通过分类讨论对称轴与区间位置关系构建系统解题方法，强化从性质到应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选3题、填空3题|分类讨论对称轴位置（左/中/右）、比较端点距离定最值|从开口方向/对称轴等基本性质到区间最值计算| |综合提升|解答题8题|含参数问题最值分析、平移/动点情境下最值求解|结合动态变化深化性质应用，培养推理意识与运算能力|

第二十六章 二次函数——二次函数与区间最值 提优训练 一、单选题 1．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为（ ） A．1或3 B．4或6 C．3或6 D．1或6 2．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 3．已知二次函数（a，b，c为常数，）图象的顶点坐标是，且经过点，．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不相等的实数根；③；④对于任意实数t，总有．⑤当，时，y的最小值是1，则或6．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 4．已知函数，当时，y的取值范围____________． 5．二次函数，为常数，且，若对于任意的满足，函数值的最小值为，则的值是______． 6．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 三、解答题 7．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 8．已知二次函数的图象过点． (1)求二次函数的解析式； (2)若，该二次函数的最大值与最小值的差为3，求k的值． 9．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 10．已知关于x的二次函数． (1)该二次函数的对称轴为______． (2)亮亮说：“若二次函数存在最值 ，则该值为最小值．”请通过计算说明亮亮的判断是否正确． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度，平移后的新二次函数的图象在的范围内的最大值为，直接写出m的值． 11．已知二次函数．图象经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围； (3)当，二次函数的最大值是，求的值． 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 13．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，交轴于点．动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P． (1)求抛物线解析式； (2)抛物线的对称轴交于点E，顶点是点D，以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标； (3)在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m，设该抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点和最低点到x轴的距离分别为s，t，当时，直接写出m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】先判断该二次函数的开口方向和对称轴，利用二次函数的增减性，分三种情况讨论h的范围，分别列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 分三种情况讨论： ①若，此时在对称轴右侧，随增大而减小，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； ②若，此时函数在处取最大值为，与题目中最大值为矛盾，此情况无解； ③若，此时在对称轴左侧，随增大而增大，因此时取最大值， 可得 ，解得或，，舍去，得； 综上，的值为或． 2．B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 3．A 【分析】先根据顶点坐标和已知点得到参数关系，再由 的范围得到 的取值范围，最后逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵二次函数顶点坐标为， ∴对称轴为直线，即，得， 设顶点式为， 将代入得， 即，得， 当时，，代入得， ∵， ∴， 解得， ∴ ，，， ∴，故①错误； ②原方程整理得，左边为非负数， 当时，，方程无解，故②错误； ③， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④代入得：， ∵ ， ∴，不满足对任意 都有，故④错误； ⑤当时，得，开口向上，对称轴， ∴， ∴， 区间中 最小值为， 若，即，最小值在处， ∴， 解得或（舍）； 若，即时，当时，取最小值，无解； 若，最小值在处， ∴， 解得或（舍）， 故或，结论⑤错误； 综上，只有1个结论正确． 4． 【分析】首先得到该二次函数图象的开口向下，当时，函数有最大值2，然后分别将和代入求解判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴该二次函数图象的开口向下， 当时，函数有最大值2， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 5． 【分析】根据开口向上的二次函数的增减性，按对称轴与给定区间的位置关系分情况讨论，计算不同情况下的最小值，结合已知条件筛选出符合要求的的值即可． 【详解】解：由二次函数可得，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点的纵坐标为， ∵，的取值范围是， ∴分情况讨论： 若，解得，与已知条件矛盾，舍去此情况； 若，解不等式得， 又，则， 此时函数最小值为顶点纵坐标，不符合最小值为的条件，舍去此情况； 若，解得，符合的要求， 此时整个区间都在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧随增大而减小， 因此最小值在处取得， 将代入函数得， 整理得， ∴或， 解得或， 因为，舍去， ∴． 6．2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 8．(1) (2)或 【分析】（1）把点代入函数，求解即可； （2）根据二次函数的图象及性质得到函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是，根据与的取值进行分类分析，根据二次函数的最大值与最小值的差为3列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：∵二次函数， ∴该函数图象是开口向上的一条抛物线，对称轴是直线，顶点坐标是， ①当，即时，y随着x的增大而减小， 当时，， 当时，， ，解得， ∵ ∴不符合题意，舍去． ②当，即时，顶点的横坐标在取值范围内， 当时，． i）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ii）当，即时， 当时，， ，解得，． ， ∴舍去,即． ③当，即时，y随着x的增大而增大， 当时，， 当时，， ，解得． ， 不符合题意，舍去． 综上，或． 9．(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 10．(1) (2)正确 (3)或 【分析】（1）直接利用对称轴的计算公式即可； （2）首先利用顶点坐标公式求出顶点的纵坐标，然后根据最值为确定的值，由的符号判断是否为最小值即可； （3）首先确定平移后新二次函数图象对称轴的位置，然后根据二次函数图象的增减性，对的值分类讨论即可． 【详解】（1）解：由二次函数的对称轴公式，得对称轴． （2）解：二次函数图象的顶点纵坐标为． 令，则． ∵， ∴该值为最小值，即亮亮的判断正确． （3）解：或， 理由：由（1）、（2）可知原二次函数图象的顶点坐标为， 平移后新二次函数的表达式为，顶点坐标为， ①若， ∵， ∴新二次函数图象的对称轴位于直线和轴之间， 当时，时取得最大值． ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，时取得最大值， ∴， 解得或（不合题意，舍去）． ②若 ， 则新二次函数在的范围内的最大值始终为， 根据题意，得， 解得，与题设矛盾，故此种情况的值不存在． 综上可知，m的值为或． 11．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入，求出的值即可； （2）原命题等价于恒成立，即，通过变形可得，因此当时，取得最大值，从而得到的取值范围； （3）先分析该二次函数的图象与性质，可得该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线．分类讨论，当对称轴在区间左侧，随的增大而减小，当时，取得最大值，解得；当对称轴在区间内，在顶点处取得最大值，此时的值与题设矛盾；当对称轴在区间右侧，同理，当时，取得最大值，解得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∵对于一切实数，都有， ∴； （3）解：， ∴该抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， ①当，即时， 当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； ②当，即时， 当时，对称轴在区间内， ∴当时，取得最大值， ∴，即，与题设矛盾，故舍去； ③当，即时， 当时，区间在对称轴左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得或（与题设矛盾，舍去）， ∴； 综上所述，的值为或． 12．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，一般形式化为顶点式，进行解答，即可． （1）把代入抛物线解析式，把抛物线解析式化为顶点式，即可； （2）根据二次函数的对称性，可得，利用，， 可得，即可； （3）根据二次函数的性质，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，分类讨论：①；②；，进行解答，即可． 【详解】（1）解：当时，则抛物线为：， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为：， ∵， ∴，是一组对称点， ∴， ∵当，， ∴， ∴， ∴ 即 （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ①当时，即时， ∵在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值为， ∴， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最小值为， ∴， 解得：，  （舍去） ③当时，即时， ∵在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即， 解得：， 综上所述，的值为． 13．(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 14．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将抛物线解析式化为顶点式得出，求出，从而可得直线的解析式为，进而得出，，设，则，，求出，由题意可得，要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则，得出，由此计算即可得出结果； （3）由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，分三种情况：当时，当时，当时，分别结合二次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∵动点M沿x轴从点A向点B运动，过点M作x轴的垂线交于点N，交抛物线于点P， ∴设，则，， ∴， 由题意可得， ∴要使以D、E、N、P四个点为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴， 解得（此时点与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴当时，， ∴； （3）解：由（2）可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， ∵在y轴右侧的抛物线上有一点Q，Q的横坐标为m， ∴当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分单调递增，最高点为点，最低点为点，即，，则，不满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，由对称性可得最低点的值为，即，，则，满足条件； 当时，抛物线在点C与点Q之间（包含点C和点Q）的部分的最高点为顶点，最低点为点，且点的值小于，即，，则，不满足条件； 综上所述，当时，m的取值范围为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $