专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何图形结合的最值问题，通过5类题型系统构建从线段到面积的递进式训练体系，培养几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段最值|3题|单一线段长度计算|二次函数顶点性质直接应用| |线段和最值|3题|利用轴对称转化（如将军饮马）|几何对称与函数性质结合| |线段差最值|3题|三角形三边关系应用|函数图像与几何推理融合| |周长最值|3题|含定长线段的周长优化|线段和差与图形性质综合| |面积最值|3题|割补法或铅垂高法|函数表达式构建与最值求解|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数中线段、周长、面积最值问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数中求线段最值的问题（重） 题型2利用二次函数求线段和最值的问题（高频） 题型3利用二次函数求线段差最值的问题（难） 题型4利用二次函数求周长最值的问题（难） 题型5利用二次函数求面积最值的问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次函数中求线段最值的问题 1.(2026江苏苏州二模)已知二次函数经过点A(-1,0),B(3,0),点C(0,3),横坐标分别为m-1,m, m+1的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点D和点F的抛物线“片段”始终经过点C. A:O B (1)该二次函数解析式为。 (2)求m的范围，并求线段DF的最小值； (3)求△DEF的面积. 2.(2026河南驻马店·三模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ar2+bx(a>0)与正比例函数 y=:的图象都经过点P(2,-2),点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线， 交OP于点M,交x轴于点N. 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()若点P为该二次函数图象的顶点. ①求二次函数的表达式： ②求线段AM长度的最大值. (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B(m,0),且m>5,请直接写出a的取值范围. 3.(2026河南驻马店模拟预测)如图，抛物线y=ax2+bx经过A(3,0),B(-山，-4)两点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，作PQ‖y轴交直线AB于点Q,求线段PQ的最大值： (3)连接OB,将线段OB沿着射线BA向上平移，设平移过程中点B的横坐标为‘，若线段OB与抛物线无交 点，请直接写出t的取值范围。 ◆题型2利用二次函数求线段和最值的问题 4.(25-26九年级上江苏扬州期末)如图，直线片=x-3与抛物线=x+br+C交于A、B两点，抛物 线2与x轴的另一个交点为C (1)求抛物线2的函数解析式； 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PB+PC的值最小.若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 5.(25-26九年级下山东烟台期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-(x+mx-4)与x轴交 于A(-2,0),B两点，点C在y轴的负半轴上，且OC=3,D是线段BC上的动点（点D不与点B,C重 合)· F O D 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，将△ACD沿x轴翻折得到△AFE,当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标： (3)如图2，G是线段AB上的动点，连接CG,当CD=BG时，求AD+CG的最小值. 6.(2026甘肃天水模拟预测)己知抛物线y=a2+bx-3交x轴于点A(-1,0),B;交y轴于点C,将点C 向右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=r+br-3上，点E为抛物线顶点. B D (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接BC,点M为线段BC上一动点，连接OM,作射线CD ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标. ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM,连接OM、BN,求OM+BN的最小值. ◆题型3利用二次函数求线段差最值的问题 7.(2026河南周口模拟预测)已知抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0)和B(4,0)两点，其顶点为D. 3111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B (1)如图，当c=8时，求抛物线y=ax+br+C的解析式. (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当BD-ED最大时，求点D的坐标. 8.(2026江苏宿迁·二模)抛物线y=x2+br+c经过点A、B、C,己知B(3,0),C(0,-3). B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，点D是抛物线对称轴上一动点，求当AD-CD取最大值时，点D的坐标： (3③)如图2，将抛物线平移，使其顶点E与原点0重合，直线y=a+1k>0)与抛物线相交于点P、)(点 P在左边)，过点P作x轴平行线交抛物线于点R,当k发生改变时，请说明直线QR过定点，并求定点坐 标 9.(2026湖北襄阳·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=-2+bx+c的图象经过A(0,3),B(6,3)两点， 点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作PD⊥x轴于点D,交直线OB于点C,设点P的横坐 标为. 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，当点C为PD中点时，求m的值： 4/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)令d=PC-CD ①求d关于m的函数解析式： ②当d随的增大而减小时，请直接写出的取值范围. ◆题型4利用二次函数求周长最值的问题 10.(2026河南周口二模)如图，已知抛物线y=ax2+br+C(a≠0)与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点 A(1,0),B(3,0) A B D (1)求该抛物线的解析式， (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断△BCD的形状， (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M,使得△ACM的周长最小.求出点M的坐标及最小周长， 11.(25-26九年级上安徽宿州期末)如图，二次函数y=ar2+br+4的图象与x轴交于点A,B,与y轴 交于点C,且图象经过点(-1,6)，(2，-6)，连接AC B 0 1 (1)求a,b的值. (②)点D是x轴上一动点，过点D作DM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为 m ①当点D在线段AO(点D不与点A,O重合)上运动时，过点E作EF L AC,垂足为F,求△MEF周长的 最大值及此时点E的坐标. ②当ME>3时，直接写出m的取值范围。 12.(2026河南周口·二模)如图，已知抛物线y=a2+bxr+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),另一个 5111 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交点为A,且与y轴交于点C(0,5),对称轴为直线x=3. B (I)求直线BC与抛物线的解析式： (②)在(1)中的抛物线的对称轴上是否存在点卫，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点的坐标：若 不存在，请说明理由： (3)若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN‖y轴交直线BC于点N,求MN的最大值. ◆题型5利用二次函数求面积最值的问题 13.(25-26八年级下福建福州阶段检测)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点. (1)求该抛物线的解析式： (2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△Q4C的周长最小？若 存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由： (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标 和△PBC面积的最大值.若不存在，请说明理由. 14.(25-26九年级上·福建漳州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4与x轴交于B点，与y 轴交于C点，抛物线y=ax+br+C(a≠O)经过点A,B,C(点B在点A右侧)，已知点A坐标为(-l,O). 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 VA 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出△BCP的面积的最大值？ (3)在(2)中当△BCP的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时PG-AG的最大值 15.(2026河南周口·一模)如图1，己知抛物线y=ax+br+3(a<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,直线y=2+b与抛物线交于A,D两点（点4在点D的左下方），其中点B的坐标为(6,0)： C 图1 图2 (1)求该抛物线的表达式. (2)直线1为抛物线的对称轴. ①在直线！上找到一点P,使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标： ②如图2，E是抛物线上的动点（在线段AD上方），求四边形ABDE面积的最大值. 综合攻坚·知能拔高 1.(25-26九年级上山东日照期末)如图，抛物线y=x2+br+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,其中点A,点C坐标分别为A(-3,0)、C(0,-3),连接AC. 7111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M (1)求此抛物线的解析式. (②)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作ND∥y轴，交AC于点M,交x轴于点D,当点N的坐标为 多少时，线段MN的长度最大？最大值是多少？ 2.(25-26九年级上贵州黔东南期末)如图，直线片=：-3与抛物线片=x+x+c交于A(3,0)、B两点， 抛物线乃2=x2+r+C与x轴的另一个交点为C. (1)求直线和抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得PB+PC的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由. 3.(25-26九年级上河南商丘期末)如图，抛物线y=x+bx+C与x轴相交于A,B两点，与y轴交于点 C,其中点A的坐标为(-3,0)，且点(2,5)在抛物线y=x2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式： (2)将抛物线向左平移a(a>0)个单位，然后向下平移2a个单位，恰好经过点(1,8)，则a的值为： 8/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设点Q是线段AC上的动点，作直线QD1x轴于点D,交抛物线于点E,求线段QE长度的最大值. 4.(25-26九年级上四川广安期末)如图，某二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4) 三点，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点. (1)求这个二次函数的解析式： (2)求点P的坐标，使△PBC面积最大，最大面积是多少？ (3)直接写出对称轴上点M的坐标，使△MAC的周长最小 25-26九年级上：山东淄博期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=)x+bx+c与坐标轴7 A(0,-2),B(-4,0)两点，直线BC:y=2x+8交y轴于点C. B/ 备用图 ①求抛物线y=2r+r+c的表达式， (2)若D(0,3),第二象限内有一动点P,满足PC-PD=I,求△PDB周长的最小值： (3)抛物线上有一个动点M,记△BCM的面积为S,若点M符合条件的位置有且只有3个，求S的值. 6.(25-26九年级上河南商丘阶段检测)如图，抛物线y=+br+与x轴交于4〔-2,0)：B两点，与 y轴交于点C(0,-4). 9111 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (①求抛物线y=2+bx+c的表达式： (2)如图1，点P为第四象限内抛物线上一动点，连接CP,BP,BC,当SaPc=2时，求点P的坐标； (3)如图2，连接AC,M,N是线段AC上的两个动点，且AM=CN,连接OM,ON,求OM+ON的最 小值. 7.(25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔阶段检测)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0),C(0,3)」 (I)求直线BC和抛物线的解析式： (②)在直线BC上方抛物线上找一点Q,使三角形BQC面积最大，求面积最大时Q的坐标及最大面积： (3)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，在对称轴上 找一点N,使AW-CN最大.写出点M、点N的坐标； 8.(25-26九年级上广东广州阶段检测)如图①，己知抛物线y=ax+br+3(a≠0)与x轴交于A(-1,0), B(3,0)两点，与y轴交于点C· 备用图 10/11 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (2)若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD,交BC于点E.设S=S△D-S△4CE,S是否存在 最大值？如果存在求出此时点D的坐标并求出此时S的最大值，否则请说明理由： 知点M) 若点p是抛物线上任意一点，分别连接OMOP、PM'则。OPM的周长有最小值 吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由. 11/11 专题04 二次函数中线段、周长、面积最值问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数中求线段最值的问题（重） 题型2 利用二次函数求线段和最值的问题（高频） 题型3 利用二次函数求线段差最值的问题（难） 题型4 利用二次函数求周长最值的问题（难） 题型5 利用二次函数求面积最值的问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数中求线段最值的问题 1．（2026·江苏苏州·二模）已知二次函数经过点，，点，横坐标分别为，，的三点D、E、F在这条抛物线图像上，连接点和点的抛物线“片段”始终经过点． (1)该二次函数解析式为__________； (2)求的范围，并求线段的最小值； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)；2 (3)1 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据 D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上，得出，即可得；先求出点D、F的纵坐标，由两点距离公式求出，当时，最小为，此时； （3） E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G，求出直线的解析式，得出，再根据铅垂线法解答即可； 【详解】（1）解：∵二次函数与x轴交于、， 设二次函数解析式为：， 将代入得：， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵ D横坐标为，F横坐标为，在D、F之间的抛物线段上， ∴， 解得：， 将点D、F横坐标代入抛物线得： ，， 横坐标差为，纵坐标差为， 由两点距离公式得：， 当时，最小为， 此时； （3）解： E点横坐标为，纵坐标； 过点E作轴交于点G， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 的水平宽为， ∴． 2．（2026·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点A为二次函数图象上点O与点P之间的一点，过点A作x轴的垂线，交于点M，交x轴于点N． (1)若点P为该二次函数图象的顶点． ①求二次函数的表达式； ②求线段长度的最大值． (2)若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为，且，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)①；②当时，线段的长度取得最大值 (2) 【分析】（1）①根据二次函数的性质和待定系数法求解即可； ②先求出正比例函数的表达式为，设点M的坐标为，则点A的坐标为，列出关于的解析式，利用二次函数的性质求解即可； （2）根据二次函数的图象经过点，求出，令，求出，．然后根据和求解即可． 【详解】（1）解：①∵点为二次函数图象的顶点， ∴可得方程组 解得 ∴二次函数的表达式为． ②正比例函数的图象经过点， ，解得． ∴正比例函数的表达式为． 设点M的坐标为，则点A的坐标为， ． ∴当时，线段的长度取得最大值； （2）解：a的取值范围是． ∵二次函数的图象经过点， ， 化简，得． 令，则， 解得，． ∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，且， ∴． ， ，即． ， 解得． ， ∴a的取值范围是． 3．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，抛物线经过两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点，作轴交直线于点，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿着射线向上平移，设平移过程中点的横坐标为，若线段与抛物线无交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的最大值为4 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，设，则，表示出，再根据二次函数的性质即可解答； （3）求出平移后的线段的端点坐标，再结合函数图象解答即可； 【详解】（1）解：将、代入，得方程组：， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：设直线的解析式为：， 代入、得：， 解得：， 即直线的解析式为：， 设， ∵轴， ∴， ∵在上方， ∴ ∵， ∴当时，． （3）解：∵直线的解析式为：， ∴方向为横、纵坐标均每单位增加， 设线段与平移后的线段为（的对应点分别为）， ∵沿射线向上平移，原平移后横坐标为， ∴、， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 当在抛物线解析式上时，， 解得：（与点重合）或， 画图如下： 结合图象可得，若线段与抛物线无交点，则或． ◆题型2 利用二次函数求线段和最值的问题 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与抛物线交于A、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的值最小．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将点A和点B的坐标代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴，， 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图所示，连接， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 在中，当时，， ∴． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标； (3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线的表达式，再设点D的坐标为，则点，代入求解得到，据此计算即可求解； （3）过点C作轴且，得到，推出，当A，D，三点共线时，有最小值为的长度，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得． 解得． ∴抛物线的表达式为； （2）解：由得，点B的坐标为， ， 点C的坐标为， 设直线的表达式， 将代入，得， 将代入，得， ， 直线的表达式， 设点D的坐标为，则点E的坐标为， 将点代入， 得， 解得，（舍去）， 点D的坐标为； （3）解：如图，过点C作轴且，连接，，   轴， ， ，， ， ， ， 当A，D，三点共线时， 有最小值为的长度， 在中，，， ， 点的坐标为， 又， ． 即的最小值为． 6．（2026·甘肃天水·模拟预测）已知抛物线交x轴于点，B；交y轴于点C，将点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上，点E为抛物线顶点． (1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M为线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标． ②点N是射线上一动点，且满足，连接，求的最小值． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①连接，根据题意可得点，，从而得到当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即，再求出点，可证明四边形为菱形，即可求解； ②在射线上取点G，使，连接，证明为等腰直角三角形，可得，可证明为等腰直角三角形，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， ∵将点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点E的坐标为； （2）解：①如图，连接， ∵，， ∴轴，， ∴， ∴点，， ∵， ∴当点O，M，F三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即， 对于， 当时，， ∴点， ∴，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为； ②如图，在射线上取点G，使，连接， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴轴，即， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 即的最小值为． ◆题型3 利用二次函数求线段差最值的问题 7．（2026·河南周口·模拟预测）已知抛物线经过和两点，其顶点为D． (1)如图，当时，求抛物线的解析式． (2)点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2，当最大时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交点式设抛物线解析式，代入点求出． （2）利用抛物线的对称性可知对称轴上的点到、的距离相等，将转化为，利用三角形两边之差小于第三边，当、、三点共线时取得最大值，求出直线与对称轴的交点即可． 【详解】（1）解：抛物线经过和， 设抛物线的解析式为， ，即抛物线过点， ， ， ． （2）解：点在轴正半轴上，且到原点的距离为， ， 抛物线经过和， 对称轴为直线， 点为抛物线的顶点，且在对称轴直线上， 又对称轴直线是线段的垂直平分线， 对称轴上的任意一点到、两点的距离相等，即， ， 在中，， 当且仅当、、三点共线，且点在线段上时，取得最大值， 设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 点在对称轴上， ， ． 8．（2026·江苏宿迁·二模）抛物线经过点、、，已知，．       (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是抛物线对称轴上一动点，求当取最大值时，点的坐标； (3)如图2，将抛物线平移，使其顶点与原点重合，直线与抛物线相交于点、（点在左边），过点作轴平行线交抛物线于点，当发生改变时，请说明直线过定点，并求定点坐标． 【答案】(1) (2) (3)过定点，且定点坐标为，见解析 【分析】（1）先根据点B坐标，点C坐标，利用待定系数法求解可得； （2）连接，并延长交对称轴直线于点M，因为，所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为，求解即可； （3）设，，得到是方程的两个根，所以；确定，设直线的解析式为，根据题意，得，得到直线的解析式为，当时，，故发生改变时，直线过定点，且定点坐标为． 【详解】（1）解：抛物线经过点、、，且，． ， 解得， 故抛物线解析式为； （2）解：因为抛物线解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 令，得， 解得，， 故， 连接，并延长交对称轴直线于点M， 因为， 所以当A，C，D三点共线时，取得最大值，且最大值为， 故当点D与点M重合时，取得最大值， 设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 当时，， 此时， 故点的坐标为； （3）解：因为抛物线解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； 因为抛物线平移，使其顶点与原点重合， 所以新抛物线的解析式为， 设，， 因为直线与抛物线相交于点、（点在左边）， 所以是方程的两个根， 所以是方程的两个根， 所以； 因为过点作轴平行线交抛物线于点， 所以点P，点R关于y轴对称， 所以， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以 ， ∴直线的解析式为， 当时，， 故发生改变时，直线过定点，且定点坐标为． 9．（2026·湖北襄阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）用待定系数法即可解答； （2）求出直线解析式，设，则， 根据轴于点D，点C为中点，列出等式，即可解答； （3）①先求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，再进行分类讨论即可；②根据①中的解析式，结合二次函数的增减性进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． ◆题型4 利用二次函数求周长最值的问题 10．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点． (1)求该抛物线的解析式． (2)求抛物线的顶点D的坐标，并通过计算判断的形状． (3)嘉嘉发现：在抛物线的对称轴上存在一点M，使得的周长最小．求出点M的坐标及最小周长． 【答案】(1) (2)D的坐标为，是直角三角形 (3)的最小周长为，M 【分析】（1）利用待定系数法将的坐标代入解析式求解即可； （2）利用配方法将解析式变形为顶点式，即可求得顶点坐标；利用两点间距离公式求解的三条边，可得三条边间的关系，判定的形状； （3）由于线段长度为定值，将求周长最小值转换成求最小值，通过将军饮马模型进行求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过点， 代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵为定值， ∴要使周长最小，则需最小， ∵与关于对称轴对称， ∴， ∴， 直线过和，其解析式为， 当时，， ∴与对称轴的交点的坐标为， 当点M位于处时，的周长最小，为， ∵， ∴最小， ∴的最小周长为． 11．（25-26九年级上·安徽宿州·期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且图象经过点，，连接AC． (1)求的值． (2)点D是轴上一动点，过点D作轴，交直线于点，交抛物线于点E，设点D的横坐标为． ①当点D在线段（点D不与点重合）上运动时，过点E作，垂足为F，求周长的最大值及此时点E的坐标． ②当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①的周长的最大值为，此时点的坐标为；②的取值范围为或或 【分析】（1）把点，代入，再进一步求解即可. （2）①求出，再利用待定系数法得出直线的解析式为，由题意可得，，，，则，证明为等腰直角三角形，结合对顶角相等得出，从而可得为等腰直角三角形，求出周长为： ，再由二次函数的性质即可得出结果； ②由①可得，，则，结合题意可得，从而得出或，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为. （2）解：①在中，当时，，即， 当时，， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点是轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，设点的横坐标为． ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴周长为： ， ∵， ∴当时，周长的最大值为， 此时， ∴的周长的最大值为，此时点的坐标为； ②由①可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，可得：或， 解时，可得：， 综上所述，的取值范围为或或． 12．（2026·河南周口·二模）如图，已知抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，且与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线与抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点是抛物线在轴下方图象上的一动点，过点作轴交直线于点，求的最大值． 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2)存在，点的坐标为 (3) 【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线和抛物线的解析式； （2）根据对称性先确定的周长最小点的位置，即可得出坐标； （3）利用平行于轴的直线上的两点之间的距离确定出函数关系式，再根据函数的性质即可确定出最大值． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点，代入得： ，解得， 直线的解析式为； 抛物线的图象与轴的一个交点为，与轴交于点，对称轴为直线， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：的周长为，其中为定值，只需最小． 点、关于对称轴对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，此时点为直线与对称轴的交点，如图所示． 将代入直线的解析式为中得，， 点的坐标为， 即存在点，使得的周长最小，点的坐标为； （3）解：如图， 抛物线的图象与轴的一个交点为，另一个交点为，对称轴为直线， ， 点是抛物线在轴下方图象上的一动点， 设点， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，取得最大值，最大值是． ◆题型5 利用二次函数求面积最值的问题 13．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的周长最小 (3)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，再求与对称轴的交点； （3）设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，连接， ， ， ∵， 当时，最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 14．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于B点，与y轴交于C点，抛物线经过点A，B，C（点B在点A右侧），已知点A坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一动点，求出的面积的最大值？ (3)在（2）中当的面积的最大值时，G为y轴上一动点，求出此时的最大值 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的面积问题、二次函数的线段等问题，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）求出，利用待定系数法求出答案； （2）过点P作轴，交于点E，设，求出，得到的面积，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为，连接交y轴于点F，连接，，此时的值最大，求出最大值即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于B点，与y轴交于C点， ， 抛物线经过点A，B，C，已知点A坐标为， ， 解得 ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：过点P作轴，交于点E，如图1， ， 设， 轴， ， ， 的面积 ， ∴当时，的面积的最大值为； （3）解：作点P关于y轴的对称点，则点的坐标为， 连接交y轴于点F，连接，如图2， 点P，关于y轴的对称， ， ， 当，A，G在一条直线上时，取等号， ∴此时的值最大，最大值为， 的最大值为； 15．（2026·河南周口·一模）如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·山东日照·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、，连接． (1)求此抛物线的解析式． (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作轴，交于点M，交x轴于点D，当点N的坐标为多少时，线段的长度最大？最大值是多少？ 【答案】(1) (2)，最大值为 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）设直线的解析式为，将、代入直线的解析式得到直线的解析式为：．又是抛物线上的一动点，故，且，故， ，根据题意，得，根据二次函数的性质解答即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，构造二次函数求最值，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A，点C坐标分别为、， 解得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将、代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 又是抛物线上的一动点， 故，且， 故， 故， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的长度最大，且最大值为， ， 此时． 2．（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）如图，直线与抛物线交于、B两点，抛物线与x轴的另一个交点为C． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为 (2) 【分析】本题综合考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值的求法以及待定系数法求一次函数解析式，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用． （1）将点代入，即可求出直线的解析式；将点，代入，即可求出抛物线的解析式； （2）由点与点关于抛物线的对称轴对称，得抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 令，则， ． 将点，代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴． ． ∴当，，三点共线时，的值最小． 如图，抛物线的对称轴与直线的交点即为点． 当时，， ∴点． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为 ； (3)设点是线段上的动点，作直线轴于点，交抛物线于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)最大值为 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （）由（）得抛物线的解析式为，所以，然后通过二次函数的平移即可求解； （）作直线轴于点，交抛物线于点，由（）得抛物线的解析式为，令，则，则，求出直线解析式为，设，则，则，最后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， ∴， ∵将抛物线向左平移个单位，然后向下平移个单位， ∴平移后的解析式为， ∵平移后的解析式恰好经过点， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：； （3）解：如图，作直线轴于点，交抛物线于点， 由（）得抛物线的解析式为， 令，则； ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． 4．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，某二次函数的图象交坐标轴于、、三点，点是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求点的坐标，使面积最大，最大面积是多少？ (3)直接写出对称轴上点的坐标，使的周长最小． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解函数解析式、二次函数的图象与性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标； （3）可得对称轴为直线，而，故，那么当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值，再将代入即可求解坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ∴， ∵ ， ∵ ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． （3）解：对于抛物线，则对称轴为直线 ∵抛物线与轴交于点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∵ ∴当共线时，即点为对称轴与直线的交点时，的周长取得最小值， 将代入得，， ∴的周长最小时，． 5．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值； (3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合，灵活运用两点之间，线段最短求最小值，熟练掌握一次函数、二次函数的交点与三角形面积问题的解决方法是解题的关键． （1）代入点、坐标，用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，为定值，则根据当取得最小值时，有最小值即可求解； （3）根据条件判断出符合条件的点的其中一个位置在与直线平行，且和抛物线只有一个交点的直线上，求出该直线再通过平行线间的距离相等进行面积转化，即可求出答案． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴． （2）解：，， ∴， ∵，，则，， ∴为定值， ∴当取得最小值时，有最小值， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为． （3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点， 设该直线的解析式为， 联立方程，得，整理得，， 有且只有一个交点， ∴， 解得， ∴点符合条件的位置之一在直线上， 设直线与轴交于点，则， ∴． 6．（25-26九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，，，当时，求点的坐标； (3)如图2，连接，M，N是线段上的两个动点，且，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则，求出，根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得； （3）过点作且，连接，则，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据可得的最小值为的长，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入 得：， 解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：将代入得：， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，； 当时，； 综上，满足条件的点的坐标为或． （3）解：如图，过点作且，连接， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，当且仅当点共线时，等号成立， ∴的最小值为． 7．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中，． (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在直线上方抛物线上找一点 Q，使三角形面积最大，求面积最大时 Q 的坐标及最大面积； (3)在抛物线的对称轴上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，在对称轴上找一点 N，使最大．写出点 M、点 N 的坐标； 【答案】(1)，； (2)，最大面积为； (3),． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的应用-面积问题，求函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法分别求出二次函数与一次函数的解析式即可； （2）过点作轴，交于点，设点，则， 求出，利用二次函数性质即可求解； （3）连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，把代入中，求得，即可得出的坐标，由,得到当三点共线时，此时最大，求出直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵对称轴为直线，且抛物线经过， ∴点， 设直线的解析式为，把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交于点, 设点，则， ∴， ∴， 对于二次函数，，对称轴为， ∴当时，， 此时点的纵坐标为， ∴，最大面积为； （3）解：∵抛物线对称轴为，点关于对称轴的对称点为, ∴连接与对称轴的交点即为,此时,距离之和最小，如图： 把代入中，得， ∴, 根据, ∴当三点共线时，此时最大， 如图，连接并延长，交直线于点， 设直线的解析式为，把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴． 8．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由； (3)已知点，若点是抛物线上任意一点，分别连接、、，则的周长有最小值吗？如果有请求出最小值，若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)，存在最大值 (3)的周长有最小值 【分析】本题考查了二次函数的性质，面积问题，周长问题，待定系数法求解析式； （1）用待定系数法即可求解； （2）设，，根据题意结合图形可得，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据点是抛物线上任意一点，设，，求得，作直线，过点作于点，进而得出，根据，当在上时，即当重合时，取得最小值，的周长有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得： ， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在最大，理由如下， ∵， ∴， ，当时，，则， 设，， 如图所示， ∵ ， ∴当时，取得最大值为， ，则； （3）解：的周长有最小值， ∵点是抛物线上任意一点，设， ∵， ∴， ， 如图，作直线， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，即当重合时，取得最小值，即的周长有最小值． 的周长有最小值，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数中线段、周长、面积最值问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数中求线段最值的问题（重） 题型2利用二次函数求线段和最值的问题（高频） 题型3利用二次函数求线段差最值的问题（难） 题型4利用二次函数求周长最值的问题（难） 题型5利用二次函数求面积最值的问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1二次函数中求线段最值的问题 1. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)-1≤m≤1：2 (3)1 【详解】(1)解：二次函数与x轴交于A(-1,0)、B(3,0), 设二次函数解析式为：y=a(x+1x-3), 将C0,3)代入得-3a=3, 解得：a=-1, 二次函数解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)解：·D横坐标为m-1,F横坐标为m+1,C(0,3)在D、F之间的抛物线段上， m-1≤0≤m+1, 解得：-1≤m≤1， 将点D、F横坐标代入抛物线得：yp=-(m-1)2+2(m-)+3=-m2+4m, ye=-(m+1)2+2(m+1)+3=-m2+4, 横坐标差为(m+1)-(m-)=2,纵坐标差为yr-yp=4-4m, 1/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由两点距离公式得：DF=V22+(4-4m2=√4+160-m7, 当m=1时，(1-m)2最小为0， 此时DFm=V4=2； (3)解：E点横坐标为m,纵坐标ye=-m2+2m+3: 过点E作EG⊥x轴交DF于点G, D A:O B 设直线DF的解析式为y=ar+b, [-m2+4m=a(m-1)+b 则-m2+4=a(m+1)+b, a=2-2m 解得：1 b=m2+2’ ∴.直线DF的解析式为y=(2-2m)x+m2+2, 当x=m时，yg=-m2+2m+2. .EG=yE-yc=（-m2+2m+3)-（-m2+2m+2）=1. △DEF的水平宽为r-x,=2, ∴SDEF= 2 x1x2=1. 2 2 【答案】()0y=-2x:②当，=1时，线段4M的长度取得最大值 20xaxj 【详解】(1)解：①：点P(2,-2)为二次函数y=a2+bx图象的顶点， 4a+2b=-2, 可得方程组 b=2, 2 2/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得 a2 b=-2. 二次函数的表达式为y= ②：正比例函数y=x的图象经过点P(2,-2), ∴2k=-2,解得k=-1. ∴正比例函数的表达式为少=一x 设点M的坐标为化-05152》，则点4的坐标为-2。 4M=1-（2-2=2+1=--+分 当t=1时，线段4M的长度取得最大值2： (2)解：a的取值范围是0<a<3, ·二次函数y=ax2+bx的图象经过点P(2,-2), ∴.4a+2b=-2」 化简，得b=-1-2a 令y=0,则ax2+bx=0, b 解得x=0,=- a :二次函数的图象与x轴的一个交点为B(m,0),且m>5, m= b5 a a>0. .-b>5a,即b<-5a. .-1-2a<-5a, 、 解得a< a>0, 1 ∴.a的取值范围是0<a< 3 3. 3/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=-x2+3x (2)P2的最大值为4 (3)-1<t<1或t>3 9a+3b=0 【详解】(1)解：将43,0)B-l,4代入y=a2+hx,得方程组： a-b=-4, [a=-1 解得b=3’ ∴.抛物线解析式为y=-x2+3x」 (2)解：设直线AB的解析式为：y=kx+m, [3k+m=0 代入46,0八B-1,-4得：1-k+m=-4 [k=1 解得：1m=-3' 即直线AB的解析式为：y=x-3 设P(x,-x2+3x), P∥y轴， .(x,x-3) P在AB上方， .P0=（-x2+3x-(x-3)=-x2+2x+3=-(x-1)}+4 -1<0 ,当x=1时，P巴最大值=4」 (3)解：，直线AB的解析式为：y=x-3, ∴BA方向为横、纵坐标均每单位增加1， 设线段OB与平移后的线段为OB'(O、B的对应点分别为O八B'), :OB沿射线BA向上平移，原B(-L,4)平移后横坐标为1， .O(t+1,t+1)、B'(t,t-3). 当O'+1,1+1)在抛物线解析式y=-x2+3x上时，t+1=-(+1)+3(t+1), 解得：t=-1(与点B重合)或t=1, 当B'(,t-3)在抛物线解析式y=-x2+3x上时，t-3=-+31, 4/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：t=-1(与点B重合)或t=3, 画图如下： A(B)主 结合图象可得，若线段OB与抛物线无交点，则-1<t<1或t>3 ◆题型2利用二次函数求线段和最值的问题 4. 【答案】(1)2=x2-2x-3 (2)P(1,-2) 【详解】(1)解：在片=x-3中，当y=0时，x=3,当x=0时，乃=-3， .A(3,0),B(0-3) 将点A(3,0),B(0,-3)代入=x2+bx+c,得 9+3b+c=0 b=-2 c=-3 ,解得1c=3’ ∴.抛物线2的解析式为2=x2-2x-3 (2)解：如图所示，连接PC,PB,PA, :抛物线的解析式为y2=x2-2x-3=(x-1)2-4, .抛物线的对称轴为直线x=1, ,点A与点C关于抛物线的对称轴对称， 5/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PA=PC. PB+PC=PB+PA≥AB ∴当P,A,B三点共线时，PB+PC的值最小 在月=x-3中，当x=1时，y=1-3=-2, P(1,-2) 5. 【答案】()y=- 3 145 (2)点D的坐标为416 3)V58 【详解1（山解：将(20）代入+m)x-4,得×(-2+m(-2-4)=0. 解得m=2, 六抛物线的表达式为+2-4)-写+号+ +5x+3: (2)解：由y=+2x-4)得，点B的坐标为(4,0)， 0C=3, ·点C的坐标为(0，-3)， 设直线BC的表达式y=x+b, 将C(0,-3)代入，得b=-3, 将B(4,0)代入，得4k-3=0, k=3 4 3 :直线BC的表达式y= x-3」 4 设点D的坐标为-3，则点E的坐标为mm+小 3 将点知+3代入y=-+24. 3 6/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 解得%=4，m,=4（舍去)， 145 点D的坐标为416： (3)解：如图，过点C作CB∥x轴且CB'=CB,连接DB',AB, G 轴， D B CB'∥x ∴.∠CBG=∠B'CD .CD=BG,CB=CB', ∴.△CBG≌△B'CD. .CG=B'D .AD+CG=AD+B'D. 当A,D,B'三点共线时， AD+B'D有最小值为AB的长度， 在Rt△BOC中，OC=3,OB=4, BC=32+42=5, ·点B的坐标为(5，-3)， 又A(-2,0), AB=V-2-5}+32=58 即AD+CG的最小值为V58 6. 【答案】（①）y=x2-2x-3,(1,-4) e0(3引@w5 【详解】(1)解：当x=0时，y=-3, ∴点C(0,-3), 7/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将点C向右平移2个单位长度，得到点D, 点D(2,-3)」 把点A(-1,0),D(2,-3)代入y=ax2+bx-3得： a-b-3=0 a=1 4a+2b-3=-3’解得：1b=-2' ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3, y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .顶点E的坐标为(1，-4)： (2)解：①如图，连接OF,BF Bx M D F E C(0,-3),D(2,-3), .CD1y轴，OC=3, ..CF=CO=3, 点F(3,-3),0F=V32+32=32, .OM+FM≥OF, 当点O,M,F三点共线时，OM+FM取得最小值，最小值为OF的长，即32， 对于y=x2-2x-3. 当y=0时，x=-1,x2=3, 点B(3,0), .OB=3,BF=3, ...OB=OC=CF=BF. ∴四边形BOCF为菱形， ∴点M为OF的中点， 8/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M的坐标为[侵引： ②如图，在射线CE上取点G,使CG=OC,连接GN,DE,BG B x ND/ ·B(3,0),C(0,-3), ∴.OB=OC=3, ∴△BOC为等腰直角三角形， .∠0CB=45°， C(0,-3),E(1,-4),D(2,-3). CE=V0-12+(-3+4)}=2,DE=V(2-1)2+(-3+4}=V2,CD=2, :.CE=DE,CE2+DE2 CD2, :.△CDE为等腰直角三角形， .∠DCE=45° .∠OCM=∠GCN, ..CM=CN,CO=CG .aCOM≌CGN(SAS), ..OM=NG. .OM+BN=NG+BN≥BG, C(0,-3).D(2,-3) .CD1y轴，即LOCD=90°， .∠BCD=∠OCD-∠OCB=90°-45°=45° :BC=√0B2+0C2=V32+32=3V2,CG=C0=3, 在RtaBCG中，BG=VBC+CG=32+3=3W5, 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,OM+BN≥BG=3√5， 即OM+BN的最小值为35 ◆题型3利用二次函数求线段差最值的问题 7. 【答案】(1)y=-2x2+6x+8 ac2) 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+br+c经过A(-1,0)和B(4,0), ∴.设抛物线的解析式为y=a(x+lx-4), c=8,即抛物线过点(0,8)， ∴8=a(0+1)0-4)=-4a .a=-2. .y=-2(x+10(x-4)=-2(x2-3x-4)=-2x2+6x+8 (2)解：点E在y轴正半轴上，且到原点的距离为2， ∴.E(0,2)」 抛物线y=ax2+br+c经过A(-1,0)和B(4,0), :对称轴为直线x=1+4-3 22 ,点D为抛物线的顶点，且D在对称轴直线x 2上， 又对称轴直线x=2是线段4B的垂直平分线， `.对称轴上的任意一点到A、B两点的距离相等，即DA=DB, :BD-ED=AD-ED, 在△ADE中，AD-ED≤AE, 当且仅当A、E、D三点共线，且点E在线段AD上时，AD-ED=AE取得最大值， 设直线AE的解析式为y=ax+b(k≠O) A(-1,0).E0,2). 10/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -k+b=0 k=2 b=2 ,解得6=2' .直线AE的解析式为y=2x+2, 3 ~点D在对称轴=2上， y=2x3+2=3+2=5, 8. 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2(1,-6) 3)过定点，且定点坐标为(0，-)，见解析 【详解】(1)解：抛物线y=x+bx+c经过点A、B、C,且B(3,0),C(0,-3). 9+3b+c=0 .c=-3 [「b=-2 解得1c=-3, 故抛物线解析式为y=x2-2x-3: (2)解：因为抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)-4, 所以抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1，一4)： 令y=0,得x2-2x-3=(x-1)2-4=0. 解得=-1，x2=3, 故A(-1,0), M 连接AC,并延长交对称轴直线x=1于点M, 11/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为AD-CD≤AC, 所以当A,C,D三点共线时，AD-CD取得最大值，且最大值为AC, 故当点D与点M重合时，AD-CD取得最大值， 设AC的解析式为y=c-3,将点A的坐标代入得：-k-3=0,解得k=-3, 直线AC的解析式为y=-3x-3. 当x=1时，y=-3×1-3=-6, 此时M(1,-6), 故点D的坐标为山，6)： (3)解：因为抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)-4, 所以抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为E(山，4)： 因为抛物线平移，使其顶点E与原点O重合， 所以新抛物线的解析式为y=x2, 设P(y),(), 因为直线y=a+1(k>0)与抛物线相交于点P、旦（点P在左边）， 所以，x3是方程x2=c+1(k>0)的两个根， 所以，x2是方程x2-x-1=0的两个根， 所以x+x=k,x52=1: 因为过点P作x轴平行线交抛物线于点R, 所以点P,点R关于y轴对称， 所以R(-,), 设直线QR的解析式为y=mr+n, x2m+n=y》2 根据题意，得-xm+n=y' 所以-乃=(x2+x)m, 所以a2+1-(+1)=km, 所以kx2+1-x-1=km, 解得m=x3-x, 12/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以n=y2-(:2-x)x2 =kx2+1-x32+xx2 =(x+x2)x3+1-x,2+xx3 =x22+xx2+1-x2+xx2=2xx2+1=2×(-1)+1=-1, .直线OR的解析式为y=(-x)x-1, 当x=0时，y=1, 故k发生改变时，直线QR过定点，且定点坐标为(O,-), 9. 【答案】(1)y=-x2+6x+3 (②)m=5+V37 2 (0<ms5+57) -m2+5m+35+3 2 0dm2-5m-3( <m<6):② 或 2 -m2+6m+3 3sm<5+⑤) 5 (6<m<3+2V3) 6<m<3+2V3 【详解】(1)解：把A(0,3),B(6,3)代入y=-x2+bx+c得： [c=3 -36+6b+c=3 c=3 解得：1b=6’ ∴.抛物线的解析式为y=-x2+6x+3. (2)解：设直线OB解析式为y=, 将点B6,3)代入得：3=6k, 解得：k=2 ·直线OB解析式为y= 设Pam+6m+3》则c。 PDLx轴于点D,点C为PD中点， 13/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ·2m=2(m2+6m+3). 解得：m= 5+V37 2 (负值舍去)： (3)解：①当y=0时0=-x2+6x+3, 解得：x=3+2√3（负值舍去）， “抛物线交x轴正半轴于点(3+2V5,0) 1 设P(m,-m2+6m+3)则Cm,2m,D(m,0): 当0<m<5+V 2时，PC=-m2+6m+3- 2m-m2+ 1 二m+3,CD=。m, 2 d=PC-CD=PC-CD=-m2+1 m+3、 2 m=-m2+5m+3: 2 2m=-m2+ 当5+)7<m<6时，PC=-m2+6m+3- 1 m+3,CD= 2 2 , d-C-cO-cD-PC--mwi-5m-3 当6<m<3+25时，Pc=m-(m+6m+3到=m-m-3,CD m d-PC-C-C-3 (0<m≤5+37 -m2+5m+3 2 综上：dm2-5m-3 5+37 2 -<m<6) -m2+6m+3 6<m<3+23) ②当0<m< 5+V37 2时，d=-m2+5m+3” 5 4=-1<0开口向下，对称轴为直线m=2, 2d随m的增大而减小： 当5+m<6时，033 2 14/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 a=1>0开口向上，对称轴为直线m= 2 ∴.当m<2d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当6<m<3+2W3时，d=-m2+6m+3, a=-1<0开口向下，对称轴为直线m=3, .当6<m<3+2V3时，d随的增大而减小. 综上：m+ 2 二或6<m<3+23· ◆题型4利用二次函数求周长最值的问题 10. 【答案】(1)y=x2-4x+3 (②)D的坐标为(2，-)，△BCD是直角三角形 (3)△ACM的最小周长为V0+3V2,M2,) 【详解】(1)解：抛物线与y轴交于C(0,3), c=3, ∴抛物线解析式为y=axr2+br+3, ·抛物线过点A(1,0),B(3,0)， a+b+3=0 代入解析式得19a+3b+3=0 a=1 解得1b=4 ∴抛物线解析式为y=x2-4x+3: (2)解：由(1)得抛物线解析式为y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ·顶点D的坐标为(2，) B(3,0),C(0,3),D(2,-1)）, .BC2=18,BD2=2,CD2=20, .BC2+BD2=CD2, :.△BCD是直角三角形： 15/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：AC为定值， ∴要使△ACM周长最小，则需AM+CM最小， :A(1,0)与B(3,0)关于对称轴x=2对称， ∴.AM=BM, .AM+CM=BM+CM≥BC, 直线BC过B(3,0)和C(0,3),其解析式为y=-x+3, 当x=2时，y=1, ·.BC与对称轴的交点的坐标为(2，)， 当点M位于(2，)处时，△ACM的周长最小，为AC+BC, :AC=VOA2+0C2=V1P+32=V10,BC=VOB2+0C2=V32+32=32, ∴.C4cw最小=AC+BC=V10+3√2 ∴.△ACM的最小周长为V0+32 11. 【答案】(1)y=-x2-3x+4 (20。MBF的周长的最大值为4+2)，此时点E的坐标为(-2,6)：②m的取值范围为m<-2-√万或 m>-2+√7或-3<m<-1 【详解】(1)解：二次函数y=a2+bx+4的图象经过点（-1,6)，(（2,6) a-b+4=6 ∴4a+2b+4=-6' a=-1 解得：1b=-3 ∴.抛物线的解析式为y=-x2-3x+4. (2)解：①在y=-x2-3x+4中，当x=0时，y=4,即C(0,4), 当y=0时，-x2-3x+4=0, 解得：=1，x2=-4, .A(-4,0),B(1,0), 设直线AC的解析式为y=x+b(k≠0)， 16/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「-4k+b=0 1b=4 [k=1 解得： b=4 ∴直线AC的解析式为y=x+4, :点D是x轴上一动点，过点D作DM‖y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为 m. D(m,0）,M(m,m+4),E(m,-m2-3m+4),∠ADM=90°， .ME=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m, A(-4,0),C(0,4), .0A=0C=4. .∠0AC=∠0CA=45° ∴.△ADM为等腰直角三角形， .∠AMD=∠MAD=45°， ∴.∠EMF=∠MEF=45°， EF⊥AC, ∴.△MEF为等腰直角三角形， .EF-w). 2 .△MEF周长为： EM+EF+FM=EM+V2EM=(1+V2)-m2-4m)=-1+V2)(m+2}+41+v2) :-(1+V2)<0, “当m=-2时，周长的最大值为4+V2), 此时-m2-3m+4=-(-2)}-3×(-2)+4=6, “AMEF的周长的最大值为4(+2)，此时点E的坐标为(-2,6)： ②由①可得：M(m,m+4),E(m,-m2-3m+4）, :.ME=m2-3m+4-(m+4=m2-4m, ME>3, 17138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.m2-4m=m2+4m小3， .m2+4m>3或m2+4m<-3, ∴.m2+4m-3>0或m2+4m+3<0, 当m2+4m-3>0时，可得：m<-2-V7或m>-2+V万， 解m2+4m+3<0时，可得：-3<m<-1, 综上所述，m的取值范围为m<-2-√7或m>-2+√7或-3<m<-1. 12. 【答案】()直线BC的解析式为y=-x+5,抛物线的解析式为y=x2-6x+5 (2)存在，9点的坐标为(3,2) 5 ③)4 【详解】(1)解：设直线BC的解析式为y=c+m, 将点B(5,0),C(05)代入得： [5k+m=0 k=-1 m=5 解得m=5’ ∴直线BC的解析式为y=-x+5 抛物线y=a2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B(5,0),与y轴交于点C(0,5),对称轴为直线x=3, 25a+5b+c=0 c-5 a=1 ，解得 b b=-6 =3 2a c=5 .抛物线的解析式为y=x2-6x+5, (2)解：△QAC的周长为AC+QA+QC,其中AC为定值，只需QA+QC最小. ·点A、B关于对称轴对称， ∴.OA=QB ∴.QA+QC=QB+QC, .当B、Q、C三点共线时，QB+QC最小，此时点Q为直线BC与对称轴x=3的交点，如图所示 18/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 将x=3代入直线BC的解析式为y=-x+5中得，y=-3+5=2, 点Q的坐标为(3,2)， 即存在点2，使得△QAC的周长最小，Q点的坐标为(3,2)： (3)解：如图， C 抛物线 的图象与轴的一个交点为 ,另一个交点为，对称 B M y=x2-6x+5 B(5,0) 轴为直线x=3, .A(1,0) :点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点， :设点M(m,m2-6m+5)1<m<5), ∴.N(m,-m+5) ∴.MN=-m+5-（m2-6m+5) =-m2+5m 4 -1<0, 25 抛物线开口向下，当m三时，N取得最大值，最大值是 19/38 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5利用二次函数求面积最值的问题 13. 【答案】(1)y=-x2-2x+3 (2)存在(-1,2)使得△0AC的周长最小 日在P)度得APC面积大，最大为 315Y 27 [-1+b+c=0 【详解】(1)解：将A,0),B(-3,0)代入y=-x2+bx+c中得1-9-3b+c=0: [b=-2 c=3· 抛物线解析式为：y=-x2-2x+3； (2)解：：抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线=-1， 连接BO, 由对称性可知BQ=AQ, ∴.△AQC的周长=CA+AC+A0=AC+CQ+B0, A、C为定点， .AC为定值， ∴当CQ+B0最小时，△4QC的周长最小， :当B、C、Q三点共线时，C+BO最小，即△40C的周长最小， 在y=-x2-2x+3中，当x=0时，y=-x2-2x+3=3 ∴.C的坐标为(0,3) 设直线BC解析式为y=ax+B', 「-3k+b'=0 .1b=3 k=1 1b=3 20/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A 0 ∴.直线BC解析式为：y=x+3 在y=+3中，当x=-1时，y=-1+3=2 0(-1,2), ·存在(-1,2)使得△04C的周长最小： (3)解：设P(m,-m-2m+3)(-3<m<0),连接0P, VA D B S.BPC=S.CoP+S.BOP-S.B0C =0c+508080c x3(-m+*3(-m-2m+3)x3x3, 3m3227 =- m+2)+8 2 3 <0, 2 当m= 27 2时，∴S%最大=8， 当m=- 2时，-m2-2m+3=15 315 :点p坐标为24 315 ·存在P 2’4 使得入PC面积最大，最大为。， 14. 21/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)8 3)V37 【详解】(1)解：直线y=-x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点， ∴.B(4,0),C(0,4). :抛物线y=ar2+br+c(a≠0)经过点A,B,C,已知点A坐标为(-1,0)， a-b+c=0 ∴.16a+4b+c=0 c=4 a=-1 解得b=b=3, c=4 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+3x+4: (2)解：过点P作PEy轴，交BC于点E,如图1， 图1 B(4,0),.OB=4 设P(m,-m2+3m+4), PE∥y轴， .E(m,-m+4). ∴.PE=-m2+3m+4-(-m+4)=-m2+4m, 6BCp的面预Se+SePE-0B--m+nk4 =-2m2+8m=-2(m-2)2+8】 ∴当m=2时，△BCP的面积的最大值为8： (3)解：作点P关于y轴的对称点P',则点P'的坐标为2,6， 连接PP交y轴于点R,连接PA,P'G,如图2， 22/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P, 关于y轴的对称， 图2 P ∴.PG=P'G, PG-AG=P'G-AG≤PA, 当P,A,G在一条直线上时，取等号， .此时PG-AG的值最大，最大值为PA, :PA=V-2-(-1+(6-02=37 PG-AG的最大值为V37: 15. 【答案】(1)y=- +x+3 5 (20P(2,2):②4 【详解】(1)解：：点A既是抛物线y=am2+bx+3与x轴的交点，又是直线y=2x+b与抛物线 y=ax2+br+3的交点， 六点A是直线y=2x+b与x轴的交点， 1 令y=0,则2x+b=0, 解得x=-2b, .A(-2b,0), :点B(6,0)在抛物线y=ar2+bx+3的图象上， 令y=0,则ax2+bx+3=0, ∴.6和-2b是ax2+bx+3=0的两个根， 23/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6+(-2b)=-6 6-(-2b)=3· 0 1 ( 1 a= 解得a=- 4或 3（舍去)， b=1 b= 2 “抛物线的表达式为y=-2+x+3 4 (2)解：①由题意可得，当PB+PD取得最小值时，△PBD周长取得最小值， :点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴.直线AD与I的交点即为点P,此时△PBD的周长最小， 由(1)知，抛物线的表达式为y=一 +x+3,对称箱为直线x=2直线D的解折式为y宁+1， 1 1 把x=2代入y=2x+1得，y=2 ×2+1=2, P(2,2) 1 y=2x+1 ②联立 y=-x+x+3 [x=-2「x=4 解得y=0或 y=3 ∴D点坐标为(4,3)， 设点E的坐海为m+m+水2me4,过点E作EFL莉，文D于点F则（号+ 1 =- 二m2+m+3-m-1 4 2 1 = 4 2m+2 =-2m+小号 9 m-+ 1 24/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六当m=1时，EF取得最大值4， 06西积是大恤*经4-(2刃-头 4 :四边形BDe面积的最大位=8m+Se[6-(2]x3+子-12+好-空 4 44 D B 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】(1)y=x2+2x-3 【详解】(1)解：抛物线y=x+bx+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中点A,点C坐标 分别为4(-3,0)、C(0,-3), [9-3b+c=0 c=-3 「b=2 解得1c=-3 ∴.抛物线的解析式为y=x2+2x-3」 (2)解：设直线AC的解析式为y=+p, 将A(-3,0)、C(0,-3)代入直线AC的解析式得： -3k+p=0 (p=-3, 「k=-1 解得1p=-3' 25/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线AC的解析式为：y=-x-3 又N(,m)是抛物线y=x2+2x-3上的一动点， 故m=2+2t-3,且-3<t<0, 故N(,2+21-3), 故M6,-t-3), .MN=yw-yw=-t-3-(2+21-3)=-1-3-2-2t+3=-2-3t, ,a=-1<0. ∴，抛物线开口向下，函数有最大值， 3 ∴当1=一2，MN的长度最大，且最大值为4 (+2引}3 2. 【答案】(1)直线的解析式为=x-3,抛物线的解析式为2=x2-2x-3 (2)P(1-2) 【详解】(1)解：将点A3,0)代入y=c-3, 得0=3k-3,解得k=1, ∴.直线的解析式为=x-3」 令x=0,则y=-3, .B(0,-3 将点A(3,0),B(0,-3)代入当=x2+bx+c,得 [9+3b+c=0 b=-2 c=-3 ,解得1c=3' ·抛物线的解析式为2=x2-2x-3】 (2)·抛物线的解析式为2=x2-2x-3, 26/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.抛物线的对称轴为直线x=1 ,点A与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴.PA=PC .PB+PC=PB+PA≥AB .当P,A,B三点共线时，PB+PC的值最小 如图，抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P. O B 当x=1时，片=1-3=-2. ∴点P(1,-2) 3. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2+2x-3 (2)2 (3)QE最大值为4 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+bx+c过点(-3,0)，点(2,5)， ∫(-3)}2-3b+c=0 ·12+2b+c=5 b=2 解得： c=-3’ ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3, (2)解：由(1)得抛物线的解析式为y=x2+2x-3, .y=(x+1-4, 将抛物线向左平移a个单位，然后向下平移2a个单位， .平移后的解析式为y=(x+1+a)2-4-2a」 27/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :平移后的解析式恰好经过点(1,8)， :.8=(1+1+a)}-4-2a」 解得：a=2或a=-4(舍去)， 故答案为：2： (3)解：如图，作直线QD1x轴于点D,交抛物线于点E, V B 由(1)得抛物线的解析式为y=x+2x-3, 令x=0,则y=-3: .C(0,-3), 设直线AC解析式为y=mx+n, [-3m+n=0 …n=-3 m=-1 解得：1 n=-3, ∴直线AC解析式为y=-x-3, 设E(6,+2t-3),则96，-t-3), 0=-3+2-f-=++ -1<0, 3 “当=-2时，QE有最大值，为4 4. 【答案】(1)y=x2-3x-4 (②)P(2,-6):Sx=8 28/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3-5 (3)M22 【详解】(1)解：设抛物线解析式为y=am2+bx+c,把A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点坐标代入可得： 「a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-4 a=1 解得： b=-3 c=-4 ∴抛物线解析式为y=x2-3x-4. (2)解：由题意可设P(6,-31-4), 过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2， E B 图2 设直线BC解析式为y=c+t,则有： 4k+t=0 k=1 t=-4，解得： t=-4' ∴.直线BC解析式为y=x-4, F6,1-4), .PF=t-4-(（-3t-4)=-2+4t, S.meSum+S.reFP)FP.O w4-0+=-20-2+8 …-2<0 .当t=2时，SPsc最大值为8，此时t2-3t-4=6, 29/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P点坐标为(2，-6) (3)解：对于抛物线y=x2-3x-4,则对称轴为直线x=2 ,抛物线与x轴交于点A,B, 、点A,B关于对称轴对称， ∴.MA=MB, :C△Mc=MA+MC+AC=MB+MC+AC≥BC+AC ∴，当B,M,C共线时，即点M为对称轴与直线BC的交点时，△MAC的周长取得最小值， 3 3 将E代入y=-4得，归)4=引为 一△MAC的周长最小时， 【容10方+-2 3 (2)4V5+4 81 3)4 [c=-2 【详解】(1)解：将点 0,-2)'B40代入y=+r+c符0=×16-4b+e 1 2 2 63 解得2 c=-2 1 3 y2r+2-2 (2)解：C△PDB=PD+DB+PB,PC-PD=1, 30/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.C△PDB=PD+DB+PB=DB+PB+PC-l, D(0,3),B(4,0),则0D=3,0B=4, ∴DB=VOD2+OB2=5为定值， ∴.当PB+PC取得最小值时，C△PDB有最小值， 当点P在线段BC上时，PB+PC取得最小值，最小值为BC=V(4-0}+(0-8}=45, ∴.C△PpB的最小值为4V5+5-1=4V5+4. (3)解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线BC平行，其中一条与抛物线 )x2+3x-2有且只有1个交点 2 设该直线的解析式为y=2x+b2, 联立方程，得2x+b= +号-2，整显得，-4-2%=0 有且只有一个交点， .△=(-102-4×1×(-4-2b2)=0, 解得久-17 8 ·点M符合条件的位置之一在直线y=2x 8上， 设直线y=2x- 与轴交于点w则v侣0， 31/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OU/N 【答案】0y=2-x-4 (2(2+2,-3+2)或2-V2,-3-2) (3)25 【详解1（山解：将点-20，.CQ4代入r++c [2-2b+c=0 得：1c=4 [b=-1 解得1c=4' 所以抛物线的表达式为少2产一x-4 (2解：将y-0f入y-4得：产-40， 解得x=-2或x=4, B(4,0), 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠O), 4m+n=0 将点B(4,0),C(0,-4)代入得：n=-4， m=1 解得1n=-4' .直线BC的解析式为y=x-4 如图，过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点F, 32/38 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 设点p的坐标为Pp-p-4,则rp,p-4 P=p-4p2-p-4=p2+2p. B(4,0) ·△BPF与aCPF的PF边上的高之和为OB=4=4, 2 .S.Bpc=2. .-p2+4p=2, 解得P=2+V2,P2=2-V2, 当p=2+5时，P2-p-4=-3+万， 当p=2-2时，2p-p-4=-3-2: 综上，满足条件的点P的坐标为2+V2,-3+V2)或2-V2,-3-V2)】 (3)解：如图，过点C作CD=AO且CD∥AO,连接DN,OD, D .∠DCN=∠OAM, A(-2,0),C(0,-4),CD=40, 33/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .D(-2,-4) 在△CND和△AMO中， CN=AM ∠DCN=∠OAM CD=AO :.aCND≌aAMO(SAS). :DN =OM, ∴OM+ON=DN+ON≥OD,当且仅当点O,N,D共线时，等号成立， ∴0M+0N的最小值为0D=V(-2-0)'+(-4-0=2V5 7. 【答案】()y=x+3,y=-x2-2x+3: a) 315 27 最大面积为 3)M(-1,2),N(-1,6) 【详解】(1)解：：抛物线y=ar2+br+C(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(,0),C(0,3) 两点， b =-1 2a ∴.a+b+c=0 c=3 a=-1 解得： b=-2 c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3」 ,对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0), ∴点B(-3,0): 设直线BC的解析式为y=c+b,把点B(-3,0),C(0,3)代入得： -3k+b=0 b=3 34/38 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=1 解得： b=3· 直线BC的解析式为y=x+3: (2)解：如图，过点作QD1x轴，交BC于点P, B D-1O 设点(m,-m2-2m+3),则P(m,m+3), .QP=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m, .5.x5.or+5.gre-OP.OB-j(-n-m)3mm 9 2 <0 -2a 2x3 2, 2 当m= 2 时o点的标为-2号 315 :.024 27 最大面积为8： (3)解：抛物线y=-x2-2x+3对称轴为x=-1,点A1,0)关于对称轴x=-1的对称点为B(-3,0), ∴连接BC与对称轴x=-1的交点即为M,此时MA+MC=MB+MC=BC,距离之和最小，如图： 10 把x=-1代入y=x+3中，得y=2 35/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .M(-1,2), 根据AW-CN≤AC, 当A,C,V三点共线时AN-CN=AC,此时最大， 如图，连接AC并延长，交直线x=-1于点N, B -10 设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(L,0),C(0,3)代入得： m+n=0 n=3’ m=-3 解得：n=3, ∴直线AC的解析式为y=-3x+3, 把x=-1代入y=-3x+3得：y=6, N(-1,6) 8. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)D(1,4),S存在最大值2 17+√241 3).OPM的周长有最小值 【详解】(1)解：把A(-l,0),B(3,0)代入y=ax2+br+3(a≠0)中，得： [a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得1b=2’ .抛物线解析式为y=-x2+2x+3: (2)解：S存在最大，理由如下， 36/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(-1,0),B(3,0), ∴.AB=4, y=-x2+2x+3,当x=0时，y=3,则0C=3, 设D,-+21+3,0<1<3, 如图所示， B ① .S=SABED-S△HCE=SAABD-S△ABC 1 1 =24Bx% BxOC 号40x,-00 -2×4x(-+21+3-3） 1 =-2(2-21+1)+2 =-2(t-1)2+2, ∴，当t=1时，S取得最大值为2， -t2+2t+3=-1+2+3=4,则D(1,4): (3)解：aOPM的周长有最小值， :点P是抛物线上任意一点，设P(m,-m2+2m+3), )， n-af俘e--可列-ww2-em到剂 ou- 17 如图，作直线：y= 4 37/38 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 T E 备用图 过点P作P№11于点Q, P0(m+2m+3到m-2m+ :PM=PO. .OM+MP+OP=OM+OP+PO2OM+00. :当p在O0上时，即当PC重合，0P+PQ=0-号取得银小值，时，OPM的月长有最小位， A0Py的周长有最小位，+0W=西-17+g2网 44 4 38/38