2.4 二次函数的应用(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级下册数学同步练习（北师大版）

口数学 九年级下册（北师大版） 二次函数的应用（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题九年级(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90) 天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x/天 1≤x<50 50≤x≤90 售价1（元/件）》 x+40 90 每天销量件 200-2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元 (1)求出y与x的函数关系式 (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少， 【分析】(1)根据公式：利润=（售价-进价）×数量，可得出y与x之间的函数关系式， 观察表格可知，时间x的取值分为两段，两段的售价分别为(x+40)元/件，90元/件，因此 得出的函数是分段函数.(2)根据分段函数的特点，可分别讨论每段函数的最大值，然后比 较两段函数的最大值哪个更大，最后得出整个函数的最大值， 【解答】(1)当1≤x<50时，y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000;当50≤x≤90时， -2x2+180x+2000(1≤x<50), y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述，y= (2)当1≤ -120x+12000(50≤x≤90). x<50时，二次函数的图象开口向下，对称轴为x=45,当x=45时，y最大=-2×452+180×45+ 2000=6050;当50≤x≤90时，k=-120<0,y随x的增大而减小，当x=50时，y最大= 6000.综上所述，销售该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元. 【点拨】本题考查了二次函数在市场营销中的应用.利用单价乘以数量求函数表达式时， 要注意自变量的取值范围；利用函数的性质求最值时，需要分清的是求最大值时涉及一次函 数的增减性和二次函数的最值问题！ 基础巩固L达标闯 1.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元) 之间的关系满足y=-2x+80x+750,由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获 得的最大利润是 元 2.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且 x为整数)出售，可卖出(30-x)件.若使利润最大，每件的售价应为 36 二次函数 第二章 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A(1,y1),B(2,y2) 是图象上的两点，则y与？的大小关系是() A.yi<y B.yI=y2 C.yi>y D.不能确定 第3题图 4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(万 元)与销售量x(辆)之间分别满足：y=-x2+10x,y2=2x,若该公司在甲、乙两地共销售15 辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为() A.30万元 B.40万元 C.45万元 D.46万元 5.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x. (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每天的销售价x(元)之间的函数关 系式 (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少元最合适？最大 销售利润为多少？ 6.某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产100台，需要增 加可变成本（即另增加投入）0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函 数为R=5x-芳（万元）(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）， (1)把利润y(万元)表示为年产量x(百台)的函数. (2)年产量是多少时，工厂所得的利润最大？ ⑦ 口数学 九年级下册（北师大版） 7.批发商张军将进货单价为10元的折叠伞按每把12元出售，每天可销售100把，现在 他采用提高售价、减少进货量的办法增加利润.已知这种折叠伞每涨价1元，其销售量就要 减少10把，则他将售价定为多少元时，才能使每天所赚利润最大？请求出最大利润 能力提升综合拓展 8.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(min)之间满足 函数关系y=-0.1x2+2.6x+43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强. (1)x在什么范围内，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐 渐降低？ (2)第10min时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 38 二次函数 第二章 9.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量 y(件)之间的关系如下表： x/元 15 20 30 35 /件 25 20 10 5 若日销售量y是售价x的函数， (1)求出日销售量y(件)与售价x(元)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 (2)要使每日的销售利润最大，每件产品的售价应定为多少元？此时每日销售利润 是多少元？ 10.某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店.该店购进 一种新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件.试销售结束后，得知日 销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x为整数). 又知前20天的销售价格Q,(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：Q=)+30(1≤x≤ 20,且x为整数)，后10天的销售价格Q2(元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：Q2= 45(21≤x≤30，且x为整数).（销售利润=销售收入-购进成本） (1)分别写出该商店前20天的日销售利润R1(元)、后10天的日销售利润R2(元)与销 售时间x(天)之间的函数关系式. (2)在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？请求出最大利润. 39 口数学 九年级下册（北师大版） 11.种植能手小李的试验田可种植A种作物或B种作物(A,B两种作物不能同时种 植)，原来的种植情况如下表.通过参加农业科技培训，小李提高了种植技术.现准备在原有 的基础上增种，以提高总产量.但根据科学种植的经验，每增种1棵A种或B种作物，都会 导致单棵作物平均产量减少0.2kg,而且每种作物的增种数量都不能超过原有数量的80%： 设A种作物增种m棵，总产量为yakg;B种作物增种n棵，总产量为yskg 种植品种 数量 A种作物 B种作物 原种植量/棵 50 60 原产量/(kg棵) 30 26 (1)A种作物增种m棵后，单棵平均产量为 kg;B种作物增种n棵后，单棵 平均产量为 kg. (2)求ya与m之间的函数关系式及y与n之间的函数关系式. (3)提高种植技术后，小李增种何种作物可获得最大总产量？最大总产量是多少千克？ 12.某公司计划购进一批原料进行加工销售.已知该原料的进价为6.2万元，加工过程 中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元)与原料的质量x(t)之间的关系为m=50+ 0.2x,销售价y(万元)与原料的质量x(t)之间的关系如图所示 (1)求y与x之间的函数关系式. (2)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式 (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大？最大销售利润是多少万元？ (销售利润=销售收入-总支出) 4y/(万元) 15 12.5 2030 x/t 第12题图 40 二次函数 第二章 13.某服饰有限公司生产了一款夏季服装，通过实体商店和网上商店两种途径进行销 售，销售一段时间后，该公司对这种商品的销售情况进行了为期30天的跟踪调查，其中实 体商店的日销售量y1(百件)与时间t(t为整数，单位：天)的部分对应值如下表所示，网 上商店的日销售量y2(百件)与时间t(t为整数，单位：天)之间的关系如图所示. 时间/天 0 5 10 15 20 25 30 日销售量y/百件 0 25 40 45 40 25 0 (1)求出y1与t的函数关系式及自变量t的取值范围. (2)求y2与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围 (3)在跟踪调查的30天中，设实体商店和网上商店的日销售总量为y(百件)，求y与 的函数关系式.当t为何值时，日销售总量y达到最大？求出此时的最大值， yW百件 60 50 40 20 10 051015202530/天 第13题图 中考链接©真题演练 14.(2025·达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了獬巴人故里，某文旅公司推出多 款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元/件，当售价为40元/件时，每天可以售 出60件.经调查发现，每件售价每降价1元，每天可以多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物每件降价x元，则每天售出的数量是 件. (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，能使该文旅公司每天的利润是 630元？ (3)该文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当每件售价为多少元时， 每天的利润最大？最大利润是多少？ 口数学 九年级下册（北师大版） 15.(2025·内江)2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国 电影票房的新纪录，商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款200个，B款 300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元. (1)求A,B两款“哪吒”纪念品每个的进价分别为多少元： (2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A,B两款 “哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价为60元时，可售出200个，每个售价 每增加1元，销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价为a(60≤a≤100)元，W(单位： 元)表示该商家销售A款纪念品的利润，求W关于α的函数表达式，并求出W的最大值. 16.(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强 国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题， 材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B 型客车多载客15人；A型客车载客600人与B型客车载客450人所用的车辆数相同 A型客车租车费用为3200元/辆，B型客车租车费用为3000元/辆！ 材料二 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用为(3200-50m)元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动的师生共有530人，租用A,B两种型号客车共10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？数学 九年级下册（北师大版） ∴x=-40.F0的长为40m. 5k-1.4>2.1.解得>0.7..球的落地点与球网的水平距 1 "11解：(1)由题意可知抛物线C:y=-8+ 离小于6，∴.当x=11时，y=-0.1×11+11k+1.1=11k-11. 由题意，得11k-11<0.解得k<1..k的取值范围为 1c=4, 0.7<k<1 bx+e过点(0,4)和(4,8，则-x4+4he=8解 4二次函数的应用（第2课时）】 1.15502.253.C4.D b=子：损特我G的数表达式为一古4会+ 得 5.解：(1)由题意，得y=(x-30)(162-3x)=-3x2+ c=4. 252x-4860.(2)将y=-3x2+252x-4860配方，得 4.(2)设运动员运动的水平距离为nm时，运动员 y=-3(x-42)2+432,故每件商品的销售价定为42元时， 与小山坡的竖直距高为1m,依题意，得-名+子n+ 每天获得的利润最大，最大利润为432元. 44名l-1.整理，得广-8480，解得m 6.解：（①y5-号-(025x+05)=-05r+475x 0.5(0≤x≤5).(2)当x=4.75,即年产量是475台 12,2=-4(舍去).故运动员运动的水平距离为12m： 时，工厂所得的利润最大. 时，运动员与小山坡的竖直距离为1m.(3)将抛物 7.解：设涨价x元，则每天所赚利润y=(100- 线G的表达式配方，得=立x-7户+8由题意。 10x)(2+x)=-10x2+80x+200=-10(x-4)2+360,当x=4时， y最大=360元..12+4=16（元），即折叠伞的售价为16 当x=7时，运动员到达坡顶正上方，运动员与坡顶的 元时，利润最大，为360元. 距离超过3m,即-日747+63g解得6>器 8.解：(1)将y=-0.1x2+2.6+43配方，得y=0.1(x- 13)2+59.9.当0≤x≤13时，学生的接受能力逐渐增强： 12.解：(1)M(12,0),P(6,6).(2)设函数 当13<x≤30时，学生的接受能力逐渐下降.(2)当 表达式为y=a(x-6)+6,:抛物线y=a(x-6)2+6经过点 x=10时，y=59.(3)当x=13时，y最大=59.9，即第 (0,3).3=a(0-646,即a=7=bx-646 13分钟时，学生的接受能力最强. 即)=4+3.（3)设A.0,则B12-,0, 9.解：(1)通过描点、连线，发现y与x之间是 次函数的关系，.设一次函数表达式为y=kx+b,根 C2-,b+3),D6,b*43.4D+DC+CB 器短查积0分解得化二00，将衣 *3+12-2++3)右418此=次 中另外两对数值代入=-x+40中，均满足，y=-x+40 能反映表中y随自变量x的变化规律，即为所求的函 函数的图象开口向下，∴.当t=O时，AD+DC+CB有最 数表达式，自变量的取值范围为0≤x≤40.(2)设 大值为18. 销售利润为P,则根据题意，得P=(x-10)y=(40-x)(x- 13.解：(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则 10)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225,当x=25时，P最大= 与墙平行的边的长度为(60-2x)m.根据题意，得 225元. x(60-2x)=450.解得x1=2=15.答：与墙垂直的边的长 10.解：(1)根据题意，得R=P(Q-20)=(-2x+ 度为15m. (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积 80)[2+30)-20]=-+20x+800(1≤x≤20，且x为整 为Sm,根据题意得S=号(60+3+3-4)=-号+22. 数)，R2=P(Q2-20)=(-2x+80)(45-20)=-50x+2000 3 (21≤x≤30，且x为整数).(2)在1≤x≤20，且x S-号-33P4363了0.当133时，s有最大 为整数时，R=-(x-10)2+900,.当x=10时，R的 最大值为900.在21≤x≤30，且x为整数时，.在 值363.答：当与墙平行的边的长度为33m时，花圃 R2=-50x+2000中，R2的值随x值的增大而减小，.当 的面积最大 14.解：【建立模型】将点(2,2.3)，(3,2.6) x=21时，R2的最大值是950..950>900，.当x=21, 即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元. 代人)y=a+6r+1l,得2+l123.解得01. 9a+3b+1.1=2.6. b=0.8. 11.解：(1)(30-0.2m)(26-0.2n）(2)y y与x的函数关系式为y=-0.1x2+0.8x+1.1.(1)将函 (50+m)(30-0.2m),即ya=-0.2m2+20m+1500,y=(60+ 数表达式配方，得y=0.1x2+0.8x+1.1=-0.1(x-4)2+2.7. n)(26-0.2n),即y=-0.2n2+14n+1560.(3)由(2) -0.1<0,∴.当=4时，y有最大值为2.7.2.8>2.7，. 得y=-0.2m2+20m+1500=-0.2(m-50)2+2000.-0.2<0, 羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m. .当m=50时，ya有最大值，但m≤50x80%,即m≤ (2):保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， 40,.当m=40时，ya的最大值为1980.yg=-0.2m2+ 14n+1560=-0.2(n-35)2+1805.-0.2<0,.当n=35 .a=-0.1.∴.抛物线对应的函数表达式为y=-0.1x+kx+ 1.1.当x=5时，y=0.1x52+5k+1.1=5k-1.4.由题意，得 时，yg有最大值，并且n≤60×80%，即n≤48，.当 参考答案与提示 n=35时，yg的最大值为1805.又1980>1805，.小 38元时，每天的利润最大，最大利润是640元， 李增种A种作物可获得最大总产量，最大总产量是 15.解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个的进价 1980千克 为x元，B款纪念品每个的进价为y元.由题意，得 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y= 200x+300y=14000, 解得0答A,B两款“哪 x+b,将(20,15)，(30,12.5)代入函数关系式， .100x+200y=8000. y=20. 1 吒”纪念品每个的进价分别为40元和20元， 20k+b=15,解 k4’ 1 y=- x+20. (2)P= 30k+b=12.5. 4 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A b=20. 款纪念品(400-m)个，由题意，得40(400-m)+20m≤ /1 (1-20%)x·-4+20=-0.2416.(3)设利润为W 12000.解得m≥200..m的最小值为200.答：至少需 要购进B款纪念品200个」 万元，则W=-0.2x2+16x-(50+0.2x)-6.2x.整理得W= (3)由题意得，W=(a-40)[200-5(a-60)]=-5a2+ -0.2x2+9.6x-50,配方得W=-0.2(x-24)2+65.2.-0.2< 700a-20000.配方，得W=-5(a-70)244500.-5<0,60≤ 0,∴.抛物线开口向下，W有最大值..当x=24时， W大=652.答：原料的质量为24t时，所获销售利 a≤100，.当a=70时，W有最大值，最大值为4500. 润最大，最大销售利润是65.2万元. 16.解：(1)设A型客车每辆载客量为x人，则 *13.解：(1）根据观察可设1=a2+bt,将 B型客车每辆载客量为(x-15)人.根据题意，得600 （5,25)，(10,40)代人得25a+5b=25, 解得 100a+10b=40. 0解得0经检验，-60是所列方程的解，且 符合题意..-15=60-15=45（人）.答：A型客车每辆 = '=与46将其他，n的对应值代人该 载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人. b=6. (2)设租用A型客车m辆，则租用B型客车(10- 式中，均清足，与：的函数关系式为=写46 m)辆.根据题意，得60m+45(10-m)≥530.解得m≥ (0≤t≤30，且为整数).(2)当0≤t≤10时，设y2= 16.设本次研学活动学校的租车总费用为0元，则0= 3 t,(10,40)在其图象上，10k=40.k=4.∴2与t (3200-50m)m+3000x0.8(10-m)=-50m2+800m+24000. 的函数关系式为y2=4.当10<t≤30时，设y2=t+n,将 配方，得0=-50(m-8)2+27200.-50<0,抛物线的开 (10.40,(30,60)代人得0+n=0.解得 口向下，对称轴为直线m=8,∴.当m≤8时，w随着m (30m+n=60. m=309与1的函数关系式为=+30.综上所述， m=1, 的蜡大而增大.m≥华，且m取正整数，当m=6 时，0取得最小值，最小值为0=-50×(6-8)2+27200= 14t(0≤t≤10，且为整数)， (3)依题意得y= 27000(元).答：本次研学活动学校的最少租车费用 +30(10<1≤30，且为整数. 是27000元 ,当0≤1≤10时，)46+4=+10=号c 5二次函数与一元二次方程（第1课时）】 5 1.(-4,0)和(1,0)2.x==-11(-1,0) 25+125.a=号0，当125时，y的值随：的增大 3.无交点无解4.y=2横5和-1 5.B6.A7.C8.D 而增大.又：0≤≤10，当10时，y题=-×(10- 5 9.解：(1)当y=0时，函数图象与x轴的两个交 25)4125=80;当10<1≤30时，)y=-写+61+30= 点的横坐标即为方程a2+bx+c=0的两个根，由图象可 知，方程的两个根为x=1,x2=3.(2)根据函数图 -47430-方+31为整数，=7或 象，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，此时x>2. (3)方程a2+bx+c=k有两个不相等的实数根，即函 18时，y=91.2.91.2>80,当t的值为17或18时， 数y=2+b.x+c(a≠0)的图象与直线y=k有两个交点， 日销售量有最大值91.2元. 此时k<2. 14.解：(1)(60+10x)(2)设该款巴小虎吉 10.解：(1)AB长为xm,则BC的长为(34+ 祥物降价x元，根据题意，得(40-30-x)(60+10x)= 2-3x）m,根据题意，得S=(34+2-3x)x=-3x2+36x. 630.整理方程，得x2-4x+3=0.解得x=1,2=3.由于要 (2)由题意，知-3x2+36x=60.整理方程得x2-12x+20=0. 让利于游客，x=1舍去..该款巴小虎吉祥物每件降 解得x1=2,2=10.当x=2时，34+2-3x=30>12,不符 价3元时文旅公司每天的利润是630元.(3)设该 合题意，舍去.当x=10时，34+2-3x=6<12,∴x=10, 款巴小虎吉祥物每件降价x元，则W=(40-30-x)(60+ .AB的长为10m. 10x)=-10x2+40x+600.将二次函数表达式配方，得W= 1L.解：(1)设A'C交AB于点P,A'C∥AC, -10(x-2)2+640.-10<0,.当x=2时，W取得最大值 为640元，此时每件售价为38元.答：当每件售价为 易得△PBC∽△ABC,BC=4-..BC-PC.PC