滚动训练(5)（试题范围：2.1-2.3）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以一元二次方程为核心，覆盖概念、解法、根的判别式及应用，解答题设计“黄金方程”新定义题与解题纠错，强化推理意识与创新应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|方程定义、根的判别式、配方法|结合数轴判断根的情况，考查几何直观| |填空题|5/15|系数识别、根与系数关系、参数范围|等腰三角形背景题，关联几何应用| |解答题|4/55|解题纠错（推理意识）、参数方程证明（运算能力）、新定义“黄金方程”（创新意识）|“黄金方程”新定义题，模仿中考趋势，融合根的定义与模型意识|

滚动训练(5)试题范围：2.1-2.3 一、选择题：本大题共8小题，共24分。 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.已知是一元二次方程的一个解，则m的值是(    ) A. 1 B. C. 2 D. 3.根据下列表格的对应值，可判断方程必有一个解x满足(    ) x 1 A. B. C. D. 4.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5.用配方法解下列方程，其中应在两端同时加上4的是(    ) A. B. C. D. 6.若是一元二次方程的根，则     A. B. 4 C. 2 D. 0 7.关于x的一元二次方程的一个解是1，则m的值为(    ) A. B. 2 C. D. 8.有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于x的方程的根的情况说法正确的是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 二、填空题：本大题共5小题，共15分。 9.一元二次方程的二次项系数是          ;一次项系数是          ;常数项是          . 10.已知一元二次方程，则它的两个根是，          . 11.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是          . 12.关于x的一元二次方程有一个根为0，则          . 13.已知的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是          . 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 14.解方程： 四、解答题：本大题共4小题，共55分。 15.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解： 二次项系数化为1，得，             第一步 移项，得，                                   第二步 配方，得，即    第三步 由此，可得                                第四步 所以                                      第五步 填空： “第二步”变形的数学依据是          用文字语言填空 小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是          用数学符号语言填空 小明同学的解题过程中，从第          步开始出现错误，正确答案应为          . 16.关于x的一元二次方程 若方程的一个根为1，求m的值; 求证：方程总有两个不相等的实数根. 17.已知关于x的一元二次方程 若，求此方程的解； 若该方程无实数根，求k的取值范围． 18.定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． 判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； 已知是关于x的“黄金方程”，若2是此方程的一个根，直接写出这个“黄金方程”是          ； 已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，求m的值． 答案和解析 1.【答案】D  2.【答案】A  3.【答案】C  【解析】时，时，，方程必有一个解x满足故选 4.【答案】B  【解析】解：， ， 该方程有两个不相等的实数根， 故选： 计算方程根的判别式进行判断即可． 本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 5.【答案】C  6.【答案】D  【解析】【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可 【详解】解：是一元二次方程方程的根， ，，， ， 故选：D 7.【答案】C  【解析】把代入方程，得，解得或2，当时，原方程的二次项系数，所以舍去，故选 8.【答案】B  【解析】在方程中，，观察数轴可知，，，，，该方程有两个不相等的实数根.故选 9.【答案】2 5   10.【答案】4  11.【答案】  【解析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，，故答案为 12.【答案】  【解析】是一元二次方程，，解得 一元二次方程有一个根为0， ， ，分解因式得， 或，解得或舍去 故答案为 13.【答案】  【解析】，， ， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形; 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形， 如图所示，在等腰三角形ABC中，，，AD为底边上的高， ，， 故答案为 14.【答案】【小题1】 解：， 或， ， 【小题2】 ， ， ，   15.【答案】【小题1】 等式的基本性质 【小题2】 【小题3】 四 ，   【解析】  解：由题意得，“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质， 故答案为等式的基本性质.   由题意得，第三步配方时用到的数学公式是 故答案为   由题意得，小明同学的解题过程中，从第四步开始出现错误，正确过程如下： ，， ，，， ，解得， 故答案为四， 16.【答案】【小题1】 解：把代入原方程，得，解得 【小题2】 证明：， ， ，即， 不论m取何实数，方程都有两个不相等的实数根.   17.【答案】【小题1】 解：， 【小题2】 因为一元二次方程无解，所以，解得   18.【答案】【小题1】 方程是“黄金方程”，理由见解析 解：在方程中，，，， ， 故方程是“黄金方程”． 【小题2】 【小题3】 解：方程是“黄金方程”， ， 又是此方程的一个根， ，即， 将代入， 得一元二次方程，解得或 故m的值为1或   【解析】  【分析】本题考查了一元二次方程的新定义问题，对该新定义的理解以及一元二次方程的相关知识点的掌握是解题的关键． 根据“黄金方程”的定义，验证是否等于0；   根据“黄金方程”的定义，得出；再根据一元二次方程根的定义，即时方程成立，得出；联合上述两个方程，即可求出a、c的值，最后得出该“黄金方程”的表达式； 解：方程是“黄金方程”， ， 是此方程的一个根， 将代入方程，得， 得方程组，解得， 该方程为 故答案为：   解题思路与基本一致，根据“黄金方程”的定义和一元二次方程根的定义，得出与m、n相关的两个方程，为便于计算，用m表示n，可得出与m有关的一元二次方程，解出m的值即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $