1.2一元二次方程的解法（分层作业练题型）数学新教材青岛版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+素养融合”为特色，通过A组基础巩固、B组能力提升、C组思维拓展及中考链接，构建从单一解法到综合应用的知识路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|直接开平方法、配方法等四种解法及配方应用|选择、填空、解答题结合，夯实运算基础| |B组|方程与几何结合、参数取值问题|以菱形对角线、三角形边长情境，发展模型意识| |C组|分类讨论、换元法等数学思想|新运算、阅读理解题，提升推理与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.2一元二次方程的解法 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 利用直接开平方法解一元二次方程 1.D 2.C 3.【详解】(1)解：(x-1=9, (x-1)=3 所以x=4或x2=-2 (2)解：（x-2=(2x+1, x-2=±(2x+1)」 当x-2=2x+1时，x-2x=1+2, 解得x=-3, 当x-2=-(2x+1)时，x-2=-2x-1, 期 1 x=-3,6=3 (3)解：x2-900=0 移项，得x2=900, 直接开平方，得x=±30， ∴.x=30.x2=-30 题型02 利用配方法解一元二次方程 4.C 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.C 6.④ 7.【详解】(1)解：x2+6x+3=0 x2+6x=-3 x2+6x+32=-3+32 (x+3)}=6 x+3=±√6 x=-3+6,x2=-3-V6: 2解方化为月 t25,25=3+25 16216 1 解得，x=3,x2= 题型n3 利用公式法解一元二次方程 8.B 9.【详解】(1)解：x2-3x-7=0, a=1,b=-3,c=-7 b2-4ac=9+28=37>0, x=-b±b-4ac=3±373tV57 2a 2×1 2 . 3+V373-37 2,5= 2； (2)解：方程整理得：x2-2x-7=0, a=1,b=-2,c=-7. b2-4ac=4+28=32>0. x=2±v32 -1t25, x=1+2W2x2=1-2W2: (3)解：2x2+V5x-5=0, 217 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=2,b=V5,c=-5, b2-4ac=5+40=45>0, x=5±3V5 ..x= 2,=-V5 题型04 利用因式分解法解一元二次方程 10.B 11.B 12.C 13.【详解】(1)解：x-1=(c-1)(2x+3) (x-1)-（x-1)(2x+3)=0 (x-1)1-(2x+3)]=0 (x-1)1-2x-3)=0 (x-1)-2x-2)=0 x-1=0或-2x-2=0 x=1,x2=-1 (2)解：x2+6x-7=0 (x+7)(x-1)=0 x+7=0或x-1=0, ∴x=-7.x2=1 (3)解：4x2-1=0 (2x+1(2x-1)=0 2x+1=0或2×-1=0 1 1 X=-2a=2 颗型n5 配方的应用 14.D 15.9 题型0 一元二次方程与几何结合题 317 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.D 17.-5+55 18.【详解】解：(1)x2-4x+3=0 （x-1)(x-3)=0 x=1或x=3; (2)当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为√32+12=√10： 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为V32-下=22 B组 能力进阶 1.A2.B 2.-1 4k≥2 5.- 4 3,x2=1 6.【详解】解：设正方形边长为a, 则在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，BC=CD=a, 如下图所示，将△ADF绕A逆时针旋转90°到△ABG 则BG=DF=3,AG=AF,∠GAB=∠DAF,∠ABG=∠D=90°， .∠ABG+∠ABC=180°， ∴点A、B、C三点共线， ∠EAF=45°， ∴∠GAE=∠GAB+∠BAE=∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=45°=∠EAF, 又AE=AE,AG=AF, ∴△GAE≌△FAE(SAS), :GE=EF, :BE=2,DF=3, .EF=GE=GB+BE=3+2=5,EC=BC-BE=a-2,CF=CD-DF=a-3, 在RtAECF中：EF2=EC2+CF2,即(a-2)+(a-3}2=25, 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .2a2-10a+13=25, 整理得：a2-5a-6=0, 分解因式得：(a-6)(a+1)=0 .a=6(负值舍去)， 答：正方形边长为6. D B E C组 思维拔高 1.-3或V5+1 2.-3 11 3.2或-3 4.【详解】(1)解：(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：B: (2)解：原方程可以变形为(x2+-13(x2+1)+36=0, 设y=x2+1,则原方程可化为y-13y+36=0, 解得=4,2=9」 当y=4时，x2+1=4,.x=±3； 当y=9时，x2+1=9,x=22: “原方程有四个根=2V2,x2=-22,=V5,x,=-√5 或：设y=x2,则原方程可化为0+1)2-13y2+23=0,即y2-11y+24=0, 解得=3，y2=8 当y=3时，x2=3,.x=t3； 当3=8时，x2=8,x=2√2： 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “原方程有四个根5=V5,为=-5，为=22，x=-22 (3)设t=m2+n2(t≥0). 于是原方程可变为t-2)-8=0 整理，得(t-4)t+2)=0 所以t=4或t=-2(舍去). 即m2+n2的值是4. 5.【详解】解：设BD=x,则CD=BC-BD=3-x, 由旋转的性质可知，∠ADE=90°，AD=DE, 当DC=DE时，△DCE是等腰三角形，则AD=3-x D 在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2, 2+x2=(x-3, 5 解得：x=6: 当CD=CE时，△DCE是等腰三角形，如图，过点E作EF⊥BC的延长线于点F, A E D .·∠ABD=∠ADE=90 ÷∠BAD+∠ADB=90°，∠ADB+∠EDF=90°， ∠BAD=∠EDF, 在△ABD和△DFE中， '∠BAD=∠FDE ∠ABD=∠DFE=90°， AD=DE 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABD2ADFE(AAS), :.AB=DF=2,EF =BD=x, ∴.CF=DF-CD=2-(3-x)=x-1, 在RtACEF中，EF2+CF2=CE2, x2+(x-1=(3-x 整理得：x2+4x-8=0, 解得：x=25-2(负值舍去)， 5 综上可知， BD的长为6或23-2， 故答案为： 6或25-2 拓展 链接中考 1.C 17 2.2或4 3.3 717 分层作业 1.2一元二次方程的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用直接开平方法解一元二次方程 题型02利用配方法解一元二次方程 题型03 利用公式法解一元二次方程 题型04 利用因式分解法解一元二次方程 题型05 配方的应用 题型06 一元二次方程与几何结合题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 根据直接开平方法解一元二次方程，然后判断即可． 【详解】解：， ∴， 解得，， 故选：D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）关于的方程无实数根，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程左边是一个式的平方，根据负数没有平方根，可得关于m的不等式，求解不等式即可． 【详解】解：当时，方程无解． 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的直接开平方法，运用直接开平方法，等号的另一边必须是非负数． 3．（浙江舟山市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）解方程： (1) (2)． (3)． 【答案】(1)， (2)2)， (3)， 【分析】（1）运用直接开平方法求解方程即可； （2）对于方程，利用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程来求解． （3）移项后运用直接开平方法求解方程即可； 【详解】（1）解：， ， 所以或． （2）解：， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴，． （3）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． ( 题型0 2 )利用配方法解一元二次方程 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 【答案】C 【分析】通过移项、配方将原方程化为题目要求的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比可得，， ∴． 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． 【答案】④ 【分析】根据配方法解方程的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法解方程，熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程， ①； ②； ③； ④，即，． 故答案为：④． 7.用配方法解方程： (1）； (2)； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ，； （2）解：方程化为． ． 解得，． ( 题型0 3 )利用公式法解一元二次方程 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程，得出，然后根据象限内点的坐标特点进行判断即可． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴为， ∴在第二象限． 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． ( 题型0 4 )利用因式分解法解一元二次方程 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用因式分解法求解一元二次方程，再根据确定两根的值，代入计算即可得到结果. 【详解】解： ， 或 解得，， ， ，， ∴. 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程和解不等式，利用因式分解将一元二次方程分解，并求得其根，结合已知列出不等式求解即可． 【详解】解：∵． ∴， 则， ∵若方程有一个根小于1， ∴，解得， 13. 用因式分解法解方程： （1） (2) (3)4x2-1=0 【答案】(1)x1-1,x2=-1 (2)x1=-7,x2=1 (3)x1=-,x2= 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或， ，． （3） 解：4x2-1=0 (2x+1)(2x-1)=0 2x+1=0或2x-1=0 X1=-,x2= ( 题型0 5 )配方的应用 14．（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 15．已知x，y是实数，＋y2－6y＋9＝0，则的值是_____ 【答案】9 【分析】利用配方法由＋y2－6y＋9＝0，得出，再利用二次根式和平方的非负数性质求得x、y的数值，进一步代入求得答案即可． 【详解】＋y2－6y＋9＝0， ， ， 解得， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查了配方法及二次根式和平方的非负性知识点，熟练应用配方法，然后利用非负性列方程是解题的关键． ( 题型0 6 )一元二次方程与几何结合题 16．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用因式分解法解方程求出方程的两个根，则可得到菱形的两条对角线的长，再根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半计算面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵方程的两根恰好是某菱形的对角线长， ∴该菱形的两条对角线的长分别为2和7， ∴该菱形的面积为． 17．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为中点，且平分，则的长为_________． 【答案】 【分析】先结合平行四边形的性质证明，根据角平分线的定义以及等角对等边得，再运用勾股定理列式计算得的长，即可作答． 【详解】解：延长，，相交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵平分 ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 故， ∵， ∴， ∴在中，， 则， ∴， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 18．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 【答案】（1）或 （2）第三边的长是或 【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理． （1）用因式分解法解即可； （2）分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即可． 【详解】解：（1） 或； （2）当两条直角边分别为3和1时， 根据勾股定理得，第三边为； 当一条直角边为1，斜边为3时， 根据勾股定理得，第三边为． 答：第三边的长是或． 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知、是一元二次方程的两个不相等实根，先求解方程得到两个根，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵实数m、n分别满足方程，，且， ∴、是一元二次方程的两个不相等实根， 解得，， ∴． 3．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段检测）若一元二次方程的两个根是与．则m的值是 ___________． 【答案】 【分析】把和代入方程计算即可． 【详解】∵一元二次方程的两个根是与． ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解定义是解题的关键． 4．（22-23九年级上·福建厦门·阶段检测）方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】利用直接开平方法求出，然后根据方程有实数根结合二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义，被开方数非负是解题的关键． 5．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 【答案】， 【分析】先根据一元二次方程的定义，列方程与不等式，解得，得到该一元二次方程为，再解该方程即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， 且， 解得， 该一元二次方程为， 整理，得， ， ，． 6．（吉林省吉林市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，，，，求正方形的边长． 【答案】正方形边长为 【分析】将绕逆时针旋转到，可证，设正方形边长为，则有，，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可得关于的方程，解方程即可求出正方形的边长． 【详解】解：设正方形边长为， 则在正方形中，， 如下图所示，将绕逆时针旋转到， 则，，，， ∴， ∴点三点共线， ， ， 又，， ， ， ，， ，，， 在中：，即， ， 整理得：， 分解因式得：， （负值舍去）， 答：正方形边长为． 1．（分类讨论思想）对于实数，，且，我们用符号表示，两数中较小的数，如，若，则_________． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，列出方程，并检验，可得答案． 【详解】解：若， 则， 解得：（不合题意，舍去）或； 若， 则， 解得：或（不合题意，舍去）； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，实数的大小比较以及分类思想的运用，关键是正确理解题意． 2．（整体数学思想）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 【答案】 【分析】先对所求方程进行整理配方，通过换元法得到所求方程的根与已知方程根的关系，求出所求方程的两个实根即可解答． 【详解】解：对方程进行整理： ， 配方得： ， 变形得： ， 令，则原方程变为， 已知方程的根为，， 因此，， 即或 解得，， 所有实根之和为． 3．（新运算问题）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 4．（（换元法）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设， 那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（    ） A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； (3)若实数m、n满足，则的值是________． 【答案】(1)B (2)，，，； (3)4 【分析】（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想； （2）设，则原方程化为，求出，再求出即可； （3）设，将原方程转化为关于的一元二次方程，通过解该方程求得的值即可． 【详解】（1）解：（1）上述解方程的过程体现的数学思想主要是转化思想 故答案为：； （2）解：原方程可以变形为， 设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． 或：设，则原方程可化为，即， 解得，． 当时，，∴； 当时，，∴； ∴原方程有四个根，，，． （3）设， 于是原方程可变为． 整理，得． 所以或（舍去）． 即的值是4． 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了因式分解法和换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 5．（代数与几何）如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，求的长． 【答案】或 【分析】设，由旋转的性质可知，，，当时，利用勾股定理列方程求解；当时，过点作的延长线于点，证明，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由旋转的性质可知，，， 当时，是等腰三角形，则 在中，， ， 解得：； 当时，是等腰三角形，如图，过点作的延长线于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：（负值舍去）， 综上可知，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 3．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解． 【详解】解：∵， ∴， 将代入 得，， 即：， ， ∴或， ∵， ∴舍， ∴， 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2一元二次方程的解法 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用直接开平方法解一元二次方程 题型02利用配方法解一元二次方程 题型03 利用公式法解一元二次方程 题型04 利用因式分解法解一元二次方程 题型05 配方的应用 题型06 一元二次方程与几何结合题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 ( 题型0 1 )利用直接开平方法解一元二次方程 1．（23-24九年级上·广东河源·阶段检测）方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）关于的方程无实数根，那么满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（浙江舟山市2025-2026学年八年级下学期期末数学试题）解方程： (1) (2)． (3)． ( 题型0 2 )利用配方法解一元二次方程 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（     ） A．8 B．11 C．13 D．16 6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）用配方法解一元二次方程时，步骤如下： ①；②；③；④，即，．其中，开始出现错误的步骤是________（填序号）． 7.用配方法解方程： (1）； (2)； ( 题型0 3 )利用公式法解一元二次方程 8．（26-27九年级·全国·暑假作业）若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． ( 题型0 4 )利用因式分解法解一元二次方程 10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）已知一元二次方程的两根为、，且，则（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 12．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）关于的一元二次方程．若方程有一个根小于1，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13. 用因式分解法解方程： （1） (2) (3)4x2-1=0 ( 题型0 5 )配方的应用 14．（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 15．已知x，y是实数，＋y2－6y＋9＝0，则的值是_____ ( 题型0 6 )一元二次方程与几何结合题 16．（2026·四川宜宾·中考真题）已知方程的两根恰好是某菱形的对角线长，则这个菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，为中点，且平分，则的长为_________． 18．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长． 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（     ） A．13 B．14 C．15 D．13或15 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）若实数m、n分别满足方程，，且，则的值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 3．（22-23九年级上·河南驻马店·阶段检测）若一元二次方程的两个根是与．则m的值是 ___________． 4．（22-23九年级上·福建厦门·阶段检测）方程有实数根，则k的取值范围是______． 5．（2026·山东济宁·三模）关于x的方程如果是一元二次方程，则其解为________． 6．（吉林省吉林市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，，，，求正方形的边长． 1．（分类讨论思想）对于实数，，且，我们用符号表示，两数中较小的数，如，若，则_________． 2．（整体数学思想）关于的方程的根是，（，，均为常数且），则关于的方程的所有实根之和是______． 3．（新运算问题）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 4．（（换元法）阅读下面的材料，回答问题： 要解方程，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到，根据该方程的特点，我们可以这样做： 解：设， 那么， 于是原方程可变为， 解得，． 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴原方程有四个根，，，． 我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法． 任务： (1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（    ） A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想 (2)仿照上面的方法，解方程； (3)若实数m、n满足，则的值是________． 5．（代数与几何）如图，在中，，，点D为边一动点，连接并将绕点D顺时针旋转得到．当是等腰三角形时，的长为_______． 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 2．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 3．（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为______． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $