精品解析：陕西咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

陕西咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高一下学期7月期末 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱的定义判断即可. 【详解】一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 故A为四棱柱，B为三棱柱，C为四棱柱， D中有两个面为梯形，两个面为三角形且三角形面不平行，故D不是棱柱. 故选：D 2. 设复数，则的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算公式计算，求复数的实部和虚部，由此可得的实部与虚部之和. 【详解】因为， 所以， 所以复数的实部为5，虚部为-5， 所以的实部与虚部之和为0， 故选：A. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 与角的终边相同 B. 若为第三象限角，则 C. 若为锐角，则为钝角 D. 将转化为弧度是 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义即可判断A；根据第三象限角的正弦值小于0即可判断B；求出的范围即可判断C；根据角度制与弧度制的相互转换即可判断D. 【详解】解：对于A，因为， 所以与角的终边不相同，故A错误； 对于B，若为第三象限角，则，故B错误； 对于C，若为锐角，则， 则，故C错误； 对于D，将转化为弧度是，故D正确. 故选：D. 4. 在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. α是第一象限角 B. 角与α的终边相同 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，则点在第二象限，α是第二象限角，A选项错误； 因为，即， 所以，B选项错误,C选项错误； ，D选项正确. 5. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的三棱锥的底面为三角形，高为正四棱台的高，从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到题目中几何体的体积. 【详解】 因为，，根据正四棱台性质，其高为， 则该正四棱台的体积为. 又由图可知截去三棱锥底面积为， 所以三棱锥体积为， 即所求几何体体积为. 故选：A 6. 在中，，则∠B=（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由的值求出的值，再由与的长，利用正弦定理求出的值，利用大边对大角的原则可得为锐角，即可得到的值. 【详解】在中，， ， ， 由正弦定理，得， ，可得为锐角， . 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差公式，辅助角公式得到，再利用诱导公式，倍角公式求出答案. 【详解】因为， 所以，即，故， . 故选：C 8. 已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】由题意分析可知四边形关于直线对称，且，只需考虑点E在边上的运动情况即可，然后分类讨论,求出最小值. 【详解】 如图所示，因为，且，所以垂直且平分， 则为等腰三角形，又，所以为等边三角形, 则四边形关于直线对称，故点E在四边形上运动时， 只需考虑点E在边上的运动情况即可， 因为，，知，即， 则， ①当点E在边上运动时，设，则， 则, 当时，最小值为； ②当点E在边上运动时， 设,则, 则 ， 当时，的最小值为； 综上，的最小值为； 故选：C． 【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形的几何性质，即要推出，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出，结合二次函数性质即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（ ） A. . B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及数量积的运算性质分别验证即可求解. 【详解】由F是中点可得， ，故A正确； 因为E是中点，M是中点，所以,又, 所以错误，故B错误； 因为，， 所以，故C正确; 若，则，即, 即,由图形可知显然不成立，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象求出函数解析式，再根据正弦函数性质判断各选项. 【详解】由题意，，则， ，又，所以， 所以，A正确； ，所以是图象的对称轴，B错； ，是图象的对称中心，C错； 时，，递减，D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平行得到异面直线的夹角，判断AC选项，由二面角的平面角的定义求出平面角，即可判断B选项，由等体积转化法求得三棱锥和的体积的倍数关系即可判断D选项. 【详解】在正方体中，，所以为异面直线与的所成的角， 显然，所以不垂直，A选项错误； 在正方体中，平面，过点作直线于点，则为二面角的平面角， ，因为，所以，所以，B选项正确； 取中点，连接，因为分别为正方形四边中点，所以且， 所以为异面直线与EF所成的角，所以，C选项正确； ，， 所以，即，所以点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数的模是________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. 【详解】由题意可得：， 故. 故答案为：. 13. 如图四棱锥，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为PA、BC的中点，，，则点P到平面BEF的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，由线面垂直的性质得到平面，设点到平面的距离为，则到平面的距离也为，再用等体积法求出点到面的距离； 【详解】解：取的中点，连接、、，因为为的中点，所以，且， 又因为平面，所以平面，平面， 所以，， 因为， 所以、、、、， 所以，即， 所以，又， 设点到平面的距离为，又，即，解得， 因为为的中点，所以到平面的距离与到平面的距离相等，所以到平面的距离 故答案为： 14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等式的，定表示用基本不等式后得到的需是定值，这个定值才是最值，三相等是指等号成立的条件是要存在. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平方关系及商数关系有，再代入求值. （2）应用诱导公式化简，再由商数关系及已知求值. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， . 16. 已知平面向量． （1）若向量满足，且，求； （2）若向量，且与互相垂直，求λ． 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）两个非零向量平行时，一个向量可以表示为另一个向量的实数倍，再由向量的模确定倍数的绝对值. （2）两个向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零，先写出两个向量的坐标，再列方程求解. 【小问1详解】 因为 ，所以存在实数 ，使得 于是 因为，得所以，即或， 因此. 【小问2详解】 由，，得，， 因为与互相垂直， 所以， 解得，即，即. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将化简为的形式即可求解； （2）整体思想求值域. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度后得到， 又，所以， 所以， 所以， 故在上的值域为. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，把含角的比式转化为边的关系，再与余弦定理比较，即可求出. （2）由可知，点将边按内分，以点为起点表示，利用 和得到关于的约束，再求乘积的最大值，从而得到△ABC面积的最大值. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，则， 因为 ，所以. 【小问2详解】 以点为起点，记，则 且由，有， 因为， 所以， 由，得， 解得， 即，则，即， 当且仅当，即时取等号， 则， 故△ABC面积的最大值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】（1）在棱上存在点E，使得平面，点E为棱的中点 （2）60° 【解析】 【分析】（1）取棱的中点E，取的中点Q，连接，，证明，根据线面平行的判定定理证明； （2）过B作于H，过H作于G，根据三垂线定理可得就是二面角的平面角，由已知二面角的余弦值为求得， 设，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得平面. 连接，则就是直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 在棱上存在点E，使得∥平面， 证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，， 且，，且 ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴.∥平面. 【小问2详解】 设，∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面. 连接，则就是直线与平面所成的角. 由题意得，为等边三角形. 过B作于H，则H为的中点，平面，∵平面，∴， 又，∴平面，∵平面，∴， 过H作于G，连接， ∵，∴平面，∵平面，∴，∴就是二面角的平面角. ∵，∴， 易得，∴. ∵， ∴，∴， ∴， ∴，即直线与平面所成的角为60°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西咸阳市乾县晨光中学2025-2026学年高一下学期7月期末 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，不是棱柱的是（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. C. 5 D. 10 3. 下列结论正确的是（ ） A. 与角的终边相同 B. 若为第三象限角，则 C. 若为锐角，则为钝角 D. 将转化为弧度是 4. 在平面直角坐标系中，若角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. α是第一象限角 B. 角与α的终边相同 C. D. 5. 如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体，其中，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则∠B=（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四边形中，，点在四边形的边上运动，则的最小值是（ ） A. B. C. D. -1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知菱形边长为1，，E是中点，F是中点，M是中点，延长交于N(如图所示)，设，，则下列结论正确的是（ ） A. . B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 该图象对应的函数解析式为 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值为 C. 异面直线与EF所成角的余弦值为 D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数的模是________. 13. 如图四棱锥，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E、F分别为PA、BC的中点，，，则点P到平面BEF的距离为______． 14. 如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知平面向量． （1）若向量满足，且，求； （2）若向量，且与互相垂直，求λ． 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，当时，求的值域. 18. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若点D满足，且，求△ABC面积的最大值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $