专题02 与绝对值有关的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-压轴提升”构建绝对值专项训练体系，通过方法提炼与分层设计培养抽象能力、推理意识及模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|零点分段法、几何意义转化、三角不等式、分类讨论|从绝对值核心性质出发，构建代数运算与几何直观的关联| |题型归纳|5类（每类1典例+3变式）|非负性：非负数和为0则每项为0；数轴化简：符号判断去绝对值；实际应用：转化绝对值不等式；分类讨论：零点分区间；几何意义：距离模型求最值|按“概念（非负性）→工具（数轴）→应用（实际问题）→深化（分类讨论）→拓展（几何意义）”递进| |压轴挑战|12题（4选择+4填空+4解答）|综合运用通法与题型技巧，强化含参讨论、多绝对值最值等复杂问题|衔接中考高频考点，实现从基础到压轴的能力迁移|

专题02 与绝对值有关的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 - 解题方法：利用零点分段法去绝对值；|a-b|视为数轴上两点距离；最值问题用三角不等式或几何意义；含参问题分类讨论参数范围。 - 易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏；几何意义与代数运算混淆。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 典例1．（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 题型模版 1.特征：|a|≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 2.方法：若|a|+|b|=0，则a=0且b=0；或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式1-1．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 变式1-2．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，则______． 【答案】1 【分析】本题考查非负数，熟练掌握非负数的性质是解题关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，和为零则每个部分为零，求出 x 和 y 的值，再计算，最后求幂． 【详解】解：由题， 且， ∵， ∴ 且， ∴且， 解得 ，， 则 ， ∴． 故答案为： 1． 变式1-3．（25-26七年级上·重庆·期中）代数式中，当______时，代数式有最大值，则最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，运用最值思想，关键是利用分析代数式的最大值，易错点是对绝对值非负性的理解不透彻导致最值判断错误；根据绝对值的非负性，确定的最小值，进而得到代数式的最大值及对应的值． 【详解】解：因为 ，所以当 时， 取得最大值； 由 得 ，即 ，代入原式得 ． 故答案为：，． 题型二、利用数轴化简绝对值 典例2．（25-26七年级上·安徽铜陵·期末）在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c，如图所示，且点A、B到原点的距离相等． (1)用“>”“=”“<”填空：_____0，_____； (2)化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查的是数轴的概念，相反数的性质，利用绝对值的性质去掉绝对值符号是解题的关键． （1）利用数轴的定义和加减法法则即可判断； （2）利用数轴判断绝对值里的式子的正负性，去掉绝对值符号化简即可． 【详解】（1）解：∵在数轴上点A、B分别在原点的两侧，且点A、B到原点的距离相等， ∴a、b互为相反数， ∴， ∵，， ∴为的长，为的长， ∵， ∴； （2）由图中各点的位置可知， ． 题型模版 1.特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2.方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1．（25-26七年级上·贵州安顺·期末）表示有理数，，的点在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：______0，______0，b______c；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1)>，<，< (2) 【分析】本题考查带有字母的绝对值化简、整式的加减运算，关键是根据数轴上点的位置判断数的符号与绝对值大小，再结合绝对值的性质化简． （1）根据数轴上点的位置，判断为负数，、为正数，且，进而比较大小； （2）根据（1）的结论确定绝对值内式子的符号，再去绝对值符号并化简． 【详解】（1）解：由数轴可知，，且． ∵为负，为正，且， ∴； ∵，， ∴； ∵数轴上右边的数大于左边的数， ∴； 故答案为：>，<，<； （2）解：由（1）知，，，， ∴，，，， ∴ ． 变式2-2．（25-26七年级上·甘肃平凉·期末）有理数在数轴上对应的位置如图所示，0为原点． (1)a______0，______0，______0，______0（填“＜”或“＞”或“＝”） (2)化简． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题主要考查利用数轴比较数字的大小以及绝对值的化简，根据数轴判断出a、b、c、0的大小顺序是解题关键． （1）根据数轴判断出a、b、c、0及其绝对值的大小顺序，再分别判断出、、与0的大小关系即可． （2）根据（1）的结论，去绝对值，计算出结果即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知： 且， ∴，，． 故答案为：，，，； （2）解：∵，，，， ∴ ． 变式2-3．（25-26七年级上·四川南充·期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应位置如图所示： (1)用“”，“”填空： ； ； ； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值及整式的加减运算是解题的关键； （1）由数轴可得，且，然后问题可求解； （2）根据（1）及绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，且， ∴； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知：， ∴ ． 题型三、绝对值的实际应用 典例3．（25-26七年级上·河南南阳·期中）党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少年体质．有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视．一种少年儿童的标准体重 （单位： 的计算方式为：标准体重（年龄．下表是七年级某6位同学的体重情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 编号 1 2 3 4 5 6 体重情况 (1)表中的6位同学，哪几位同学的体重超出标准体重?最重的同学与最轻的同学体重相差多少? (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重．要想了解同学的体重情况，除了判断正负，还要考虑什么? 【答案】(1)2号、4号、5号同学的体重超出标准体重；最重的同学与最轻的同学体重相差 (2)3号同学的体重最符合标准体重；除了判断正负，还要考虑与标准体重的差值的绝对值大小 【分析】本题考查了正负数的实际应用及有理数的运算，解题的关键是理解正负数表示的实际意义，结合题意进行计算与分析． （1）根据正数对应超出标准体重确定同学编号；用最重同学的体重差减去最轻同学的体重差，计算差值． （2）找出体重情况绝对值最小的同学即为最符合标准的；除正负外，还需考虑与标准体重的差值的绝对值大小． 【详解】（1）解：体重情况为正数的是编号2、4、5，故编号2、4、5的同学体重超出标准体重． 最重的同学体重差为，最轻的同学体重差为， ， ∴最重的同学与最轻的同学体重相差． （2）计算各体重情况的绝对值：，，，，，， 其中最小，故编号3的同学体重最符合标准体重． ∴除了判断正负，还要考虑与标准体重的差值的绝对值大小． 题型模版 1.特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如|x-a|≤b），解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）某农场正值苹果丰收季节，安排5位员工进行苹果采摘工作，规定：采摘质量以为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下表是某天这5位员工采摘苹果的实际情况： 员工编号 1 2 3 4 5 采摘质量（） (1)采摘的质量与标准质量最接近的员工编号是________号． (2)该农场预计每天采摘苹果，通过计算说明这天这5位员工采摘的苹果的总质量是否达到了预计质量． 【答案】(1)1 (2)达到了预计质量 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）分别计算各数据的绝对值，绝对值越小则采摘的质量与标准质量最接近； （2）把记表格录中数相加，再加上标准数即可判断． 【详解】（1）解：， ∴号员工采摘的质量与标准质量差值最小，因此与标准质量最接近， 故答案为：； （2）解： ， ∴这天这5位员工采摘的苹果的总质量达到了预计质量． 变式3-2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第几次记录时距A地最远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)10.2升 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数的实际应用及绝对值的实际应用，解题的关键是熟练掌握有理数的加法法则、正负数的意义、绝对值的意义，即可解决问题． （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）把所有行驶记录的绝对值相加再加上回到A地的1千米的和，乘以0.3计算即可得解． 【详解】（1）解：第一次距A地千米； 第二次：千米； 第三次：千米； 第四次：千米； 第五次：千米； 第六次：千米； 第七次：千米． ∴第五次记录时离A地最远； （2）解：从出发到收工汽车行驶的总路程： （）， 从出发到回到A地共耗油：（升）． 答：从出发到收工共耗油10.2升． 变式3-3．（25-26七年级上·山西临汾·期中）已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 题型四、分类讨论化简绝对值 典例4．（25-26七年级上·湖南郴州·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求___________；当时，求___________； (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)， (2)3或 【分析】本题主要考查了化简绝对值，代数式求值等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）分情况讨论：当时，则、同为正数或、同为负数，然后去绝对值，代入求解即可． 【详解】（1）解：当，则，所以； 当，则，所以； （2）解：分情况讨论：当时，分两种情况， ①当、同为正数时，，， ②当、同为负数时，，， 综上所述：的值为3或． 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2.方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式4-1．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．试用分类讨论解决下列问题．两个有理数x，y满足，求的值． 解： （1）时， （2）时， 所以的值是2或0． 仿照上面“分类讨论”的数学思想解．如果a，b，c是非零有理数，求的值 【答案】或或3或1 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，化简绝对值等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 分四种情况讨论，分别化简绝对值，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：①当都为正数时，即，原式； ②当中两个为正数，一个为负数时，不妨设， 则原式； ③当中两个为负数，一个为正数时，不妨设， 则原式； ④当都为负数时，即， 则原式； 综上所述：的值为或或3或1． 变式4-2．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想．请运用分类讨论的数学思想方法，解答下面的问题： (1)三个有理数、、满足，求的值 (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数的混合运算，“分类讨论”思想 （1）首先根据得到a，b，c三个有理数都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，然后分情况讨论，分别化简绝对值求解即可； （2）根据题意可知或，进而代入计算即可． 【详解】（1） ， a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a、b、c都是负数，即时， ​​​​​​​则； ②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设， 则， ​​​​​​​因此的值为或； （2），，且， 或， 则或． 变式4-3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中） “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 题型五、绝对值的几何意义 典例5．（25-26七年级上·天津·阶段检测）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． (1)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． (2)当式子取最小值时，相应的x的取值范围是______，最小值是______． 【答案】(1)，3 (2)，8 【分析】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算． （1）由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数“”和“2”的点的距离之和，当时，取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：表示在数轴上代表x的点到数字“”的距离， 表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则表示在数轴上代表x的点到数字“”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“”和“2”之间， 即时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：，3； （2）解：∵看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当时，有最小值8， 故答案为：，8． 题型模版 1.特征：|a-b| 表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2.方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代数求解。 变式5-1．（24-25七年级上·河南漯河·阶段检测）我们知道一个数的绝对值的几何意义是：在数轴上表示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为，也可以写成，比如； 在数轴上表示两个数，的点之间的距离可以表示为，比如，表示的点与的点之间的距离表示为； 可以表示点与点1之间的距离跟点与之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为，即的最小值是，且此时的值为． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)表示的点与的点之间的距离表示为__________； (2)的最小值是__________，此时的取值范围为__________； 【答案】(1) (2)3； 【分析】本题考查了绝对值的应用． （1）根据绝对值的几何意义，即可求解． （2）结合图形可得，当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，表示的点与的点之间的距离表示为， 故答案为：． （2）解：可以表示的点与表示1的点的距离，跟表示的点与表示的点之间的距离的和，如图所 当点的位置在点和点之间（包含点和点）时，点与点的距离跟点与点的距离之和最小，且最小值为， 即的最小值是，且此时的值为． 故答案为：，． 变式5-2．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义．若在数轴上有理数对应的点为，有理数对应的点为，则，两点之间的距离可表示为或，记为．如式子的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离． 根据上述材料，回答下列问题： (1)与3的距离是_________； (2)式子的最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：，，，，，，某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店，点选在_________，才能使这2014户居民到点的距离总和最小． 【答案】(1)5 (2)5 (3)到之间（包括，两点） 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的几何意义，解题的关键是采用数形结合的思想． （1）根据题意，直接列式计算即可； （2）根据的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和，即可得到答案； （3）当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小．当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小．依次类推，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5． （2）解：∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点到及到3的距离之和， 数轴如下， ∴当时，式子取得最小值，最小值为． （3）解：当有两户居民，时，可知，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这2户居民到点P的距离总和最小． 当有四户居民，，，时，点P选在，之间（包括，这两个点）时，才能使这4户居民到点P的距离总和最小． 那么由题意可知，2014户居民，，，，，中， 点P选在到之间（包括，两点），才能使这2014户居民到点P的距离总和最小． 故答案为：到之间（包括，两点）． 变式5-3．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，数轴上，，三点分别表示的数为、4、7，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】 （1）填空：若，则______；若，则______． 【延伸探究】 （2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】 （3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，、同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和？（直接写出答案） 【答案】（1）3或1；； （2）或 （3）或 【分析】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得再根据绝对值的意义分三种情况讨论即可； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或 解得或1； ∵即 ∴表示的数为1和的中点 ∴ （2）∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴设点表示的数为， ∵动点到点、点的距离之和为10， ∴ 当时，，， 解得； 当时，，， 此情况不成立，舍去 当时，，， 解得； ∴当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10， （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，则点表示的数为4， 点、表示的数分别为， 点、之间的距离为 点到点、点的距离和 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 时，，， 即 解得 不在取值范围内，舍去； 当时，，， 即 解得在取值范围内，成立； 所以经过或秒时，点、点之间的距离正好等于点N到点、点的距离和． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）下列说法正确的是（   ） A．若，则为负数 B．一定是正数 C．若，则 D．若，则是正数 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值的性质、正负数的定义、举反例判断命题的真假等知识点，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性、正负数的定义以及举反例判断命题的真假逐项判断即可． 【详解】解：A．由，则，即，故a不一定为负数，可能为零，A错误； B．由，则，故一定是正数，B正确； C．由时，或，故不一定相等，C错误； D．例如，，但，故不一定是正数，D错误． 故选B． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 3．（2025七年级上·江苏泰州·专题练习）已知，，且，则的值等于(    ) A．或 B．5或11 C．或11 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、有理数的加减运算、代数式求值等知识，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．由，可得；结合，可知、的值，分两种情况计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或； 又∵， ∴或，； 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 故选：D． 4．（2022七年级上·福建宁德·竞赛）a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（     ） ①；②；③；④．    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由数轴可得，由点到原点的距离可得，再结合有理数的减法法则、绝对值的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， 由点到原点的距离可得， ∴，，，，，故②正确； ∴，故①正确； ，故③正确； ，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 二、填空题 5．（25-26七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若，则_______ 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值及平方的非负性、代数式求值，由非负数的性质可知，绝对值和平方项均为零，解出a和b的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：因为且，且， 所以且， 解得；， 则， 所以， 故答案为：． 6．（2026·甘肃白银·二模）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 7．（25-26七年级上·河南安阳·期中）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的混合运算，求代数式的值，根据绝对值的非负性求出和的值，然后代入代数式，利用裂项相消法求和． 【详解】解：∵， ∴且， ∴，． ∴原式 ． 故答案为． 8．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）已知，数轴上A，B，C三点对应的有理数分别为a，b，c．其中点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4，且a，b，c满足，则： （1）c的值为______． （2）数轴上任意一点P，点P对应的数为x，若存在x使的值最小，则x的值为_____． 【答案】 2025 2 【分析】本题考查了数轴上的点之间的距离与绝对值的关系、绝对值和平方的非负性，根据绝对值的定义得出表示x与，2和2025三个数的距离之和是解题的关键． 【详解】（1）∵，，， ∴，， 即，， 故答案为：2025； （2）∵点A在点B左侧，A，B两点间的距离为4， ∴，， ∵表示x与，2和2025三个数的距离之和， ∴当x取中间值2时，和为最小值． 故答案为：2． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点位置如图所示（，且）． (1)化简． (2)若，，，求（1）中化简后式子的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上有理数的位置与绝对值的化简，解题的关键是根据数轴确定绝对值内式子的符号，再去掉绝对值符号进行化简． （1）根据数轴上、、的位置，判断、、的符号，去掉绝对值符号后合并同类项； （2）将的值代入（1）中化简后的式子，计算得出结果． 【详解】（1）解：根据数轴位置且，判断绝对值内式子的符号： ，故； ，故； ，故． 代入原式化简：      （2）解：当时，化简后的式子值为：． 10．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 11．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____． (4)，则的值为_____． (5)的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)4或 (3)2026 (4)或 (5)7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离． 运用了数形结合和分类讨论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题中结论解答即可； （2）的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在和2025之间和x不在和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，写出的含义，再根据2在和之间， 且和的距离等于，得出当时，的值最小，最小值等于7． 【详解】（1）解：由题得，， 数轴上表示1和的两点之间的距离是6． 故答案为：6． （2）解：由得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． 或． 故答案为：4或． （3）解：表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在和2025之间时，； 当x不在和2025之间，的值大于与2025两点的距离，又， 当x不在和2025之间，的值大于2026； 综上可知，当x在和2025之间时，的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026． （4）解：由（3）知，若， 则数x在的左侧或在2025的右侧，即或， 当时，， 由，解得； 当时，， 由，解得； 综上可知，的值为或． （5）解：表示x与两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在和之间，且和的距离等于， 所以当时，的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 12．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程． 【提出问题】两个有理数a，b满足，求的值． 【解决问题】解：由题意，得a，b两个有理数都为正数或都为负数． 分下列两种情况讨论： ①当a，b都是正数，即时，则； ②当a，b都是负数，即时，则． 综上所述，值为2或． 请根据上面的解题思路，解答下面的问题． (1)三个有理数a，b，c满足，求的值． (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)3或 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，解题的关键是掌握去绝对值的法则． （1）由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论求解； （2）由题意得a，b，c中正数有2个，负数有1个，则，再化简绝对值． 【详解】（1）解：由题意，得a，b，c都是正数或其中一个为正数，另两个为负数，分下列两种情况讨论： ①当a，b，c都是正数，即时， ； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， ． （2）解：因为a，b，c为三个不为0的有理数，且， 所以a，b，c中正数有2个，负数有1个， 所以， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02与绝对值有关的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、绝对值的非负性 题型二、利用数轴化简绝对值 题型三、绝对值的实际应用 题型四、分类讨论化简绝对值 题型五、绝对值的几何意义 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 -题型特征：涉及绝对值化简、解方程、几何意义、最值问题及含参讨论，常与数轴结合考查。 解题方法：利用零点分段法去绝对值：lb视为数轴上两点距离；最值问题用三角不等式或几何意义： 含参问题分类讨论参数范围。 -易错提醒：去绝对值时忽略“非负”条件致符号错；零点分段漏分界点；分类讨论未做到不重不漏：几 何意义与代数运算混淆。 夙题型归纳一精讲典型题法，务实解题根基 题型一、绝对值的非负性 典例1.(25-26六年级上·上海阶段检测)已知 x-1+2y+1=0 则s y 题型模版 1.特征：al≥0，多个非负数相加为0时每项均为0，常用于求字母值或最值。 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.方法：若a+b=0,则a=0且b=0;或利用非负性放缩证明不等式，确定取值范围。 变式1山.(25-26七年级上陕西西安阶段检测)若Q-1+(6+2=0 则a-2b的值为， 变式12(25-26七年级上河南南阳阶段检测)已知K++-2=0,则（+。 3-a+2 变式1-3.(25-26七年级上重庆期中)代数式 中，当Q=时，代数式有最大值，则最大 值为 题型二、利用数轴化简绝对值 典例2.(25-26七年级上·安徽铜陵期末)在数轴上点A、B、C表示的数分别为a、b、c,如图所示，且 点A、B到原点的距离相等， b c 0 B C 0 A (1)用“>=<”填空：a+b0,a-CC-b; ②化简b-c+k-a-b-d 题型模版 1特征：在数轴上标出各点，根据点的大小关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值符号。 2方法：先由数轴判断各代数式的符号，正数直接去绝对值，负数取相反数，再合并同类项化简。 变式2-1.(25-26七年级上·贵州安顺期末)表示有理数a,b,c的点在数轴上的位置如图所示. p 0b (1)比较大小：a+c 0,a-b0,bC;(填“>”或“<”) (2)化简： a+c-a-b-c-b+a 变式2-2.(25-26七年级上·甘肃平凉期末)有理数a,b,c在数轴上对应的位置如图所示，0为原点. a C 0 b 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)a 0,a-b0,a+b0,b-C0(填“<”或“>”或“=”) (②化简a-+a++b-d-a4 变式2-3.(25-26七年级上：四川南充期末)已知有理数αb,c在数轴上对应位置如图所示： c b 0 (1)用“>”，“<”填空：a-b0;a+c0;b-C0; (2)化简： a+c-a-b-3b-c 题型三、 绝对值的实际应用 典例3。(25-26七年级上河南南阳期中)党和国家非常重视青少年的身心健康，采用多种举措增强青少 年体质.有数据显示，近几年，青少年身心健康状况有一定提升，但肥胖问题仍不容忽视.一种少年儿童 的标准体重（单位：kg)的计算方式为：标准体重=（年龄×7-5）÷2.下表是七年级某6位同学的体重 情况，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数。 编号 1 2 5 体重情况 -1.1 +2 -0.5 +10 +4.7 -8.3 (1)表中的6位同学，哪几位同学的体重超出标准体重？最重的同学与最轻的同学体重相差多少？ (2)表中哪位同学的体重最符合标准体重.要想了解同学的体重情况，除了判断正负，还要考虑什么？ 题型模版 1.特征：用绝对值表示距离、误差或偏差等实际量，如零件尺寸误差、温度波动范围。 2.方法将实际问题转化为绝对值不等式（如x-sb),解不等式得范围，再结合题意取合理解。 变式3-1.(25-26七年级上江苏扬州期中)某农场正值苹果丰收季节，安排5位员工进行苹果采摘工作， 规定：采摘质量以100kg为标准，超出部分记作正数，不足部分记作负数，下表是某天这5位员工采摘苹 果的实际情况： 员工编号 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 采摘质量(kg +10 -15 +24 +12 -25 ) (①)采摘的质量与标准质量最接近的员工编号是。 号 (2)该农场预计每天采摘苹果50kg,通过计算说明这天这5位员工采摘的苹果的总质量是否达到了预计质 量 变式3-2.(25-26七年级上黑龙江哈尔滨期末)某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路， 如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下.单位：m 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 -4 +7 -5 +4 +6 -5 2 (1)在第几次记录时距A地最远？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.3升，问从A地出发，检修结束后再回到A地共耗油多少升？ 变式3-3.(25-26七年级上山西临汾期中)已知某零件的标准直径是10mm,超过规定直径长度的数量 记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 2 5 直径长度/mm +0.1 -0.15 -0.05 +0.25 -0.2 (I)试指出哪件样品的大小最符合要求？ (②)如果规定误差的绝对值在0.18mm之内是正品，误差的绝对值在0.18mm~0.22mm之间的是次品，误差 的绝对值超过0.22mm的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品？ 题型四、分类讨论化简绝对值 a 典例4.(25-26七年级上·湖南郴州期中)分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分 4/12 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类：当a>0时，a=a ,当=0时，4=0，当a<0时，=- .用这种方法解决下列问题： a a (1)当a=5时，求a ；当a=-2时，求la a b ab (2)已知a,b是有理数，当ab>0时，试求4ab的值. 题型模版 1.特征：绝对值内含有字母且符号不确定，需按字母取值范围分段讨论去绝对值。 2方法：令各绝对值内式子为0，找零点分区间，在各区间内判断正负，分段化简后合并结果。 变式41.(25-26七年级上广东广州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的 bol bl 数学思想.试用分类讨论解决下列问题.两个有理数x,y满足y>0,求yy的值， 解： yy_y+Y=1+1=2 (1)x>0,y>0时，yyyy y,y-y+2=1-1=0 (2)x<0y<0时，yyyy y☒ 所以yy的值是2或0. 2abc lal bl le 仿照上面“分类讨论”的数学思想解.如果a,b,c是非零有理数，求abca b c的值 变式42.(25-26七年级上江苏扬州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的 数学思想.请运用分类讨论的数学思想方法，解答下面的问题： a bc ()三个有理数a、b、c满足abc<0,求a+b+c的值； 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②已知4=3，=1，且a<b,求a+b的值。 变式43.(2425七年级上江苏盐城期中)“分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨 论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题. 、lal.Ib.lcl 例：三个有理数a,b,c满足abc>0,求a+b+c的值. 解：由题意得：4，b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数. ①当a,b,c都是正数，即a>0,b>0,c>0时， 回4b4日_0+6+9=1+1+1=3： a b c a bc ②当a,b,c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a>0,b<0,c<0, 回，_“+b+c=1+(-)+()=-1, 则：a"cc a b 综上达：女合+只的值为3原1 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： a b ()已知a,b是有理数，当ab≠0时，求a十b值. b+c.a+c.a+b (2)已知a,b,c是有理数，a+b+c=0,bc>0,求a的值. 题型五、绝对值的几何意义 典例5.(25-26七年级上·天津阶段检测)在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多. 例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂 问题变得容易解决 ①当式子x++x-2 取最小值时，相应的x的取值范围是一，最小值是。 a当式子k-2+k-4+x-6+k- 取最小值时，相应的x的取值范围是 最小值是 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：a-b表示数轴上a与b两点间的距离，常用于解绝对值方程或不等式。 2方法：将绝对值方程视为数轴上到某点距离为定值，用距离几何意义直接确定解集，或用零点分段法代 数求解。 变式5-1.(2425七年级上河南漯河·阶段检测)我们知道一个数x的绝对值的几何意义是：在数轴上表 x-0 示这个数的点离原点（表示数0）的距离，的绝对值表示为内，也可以写成，比如 =2-0=2 在数轴上表示两个数，'的点之间的距离可以表示为-川，比如，表示3的点与'的点之间的距离表示 x-y 3 为3-(=3+1川=4 下+2+-可以表示点与点1之间的距离跟点与2之间的距离的和，根据图示易知：当点的位置在 点A和点B之间（包含点A和点B)时，点x与点A的距离跟点x与点B的距离之和最小，且最小值为3， 即k+2+r- 的最小值是3，且此时的值为2≤x≤1 请根据以上阅读，解答下列问题： A X B -2 x01 (1)表示3的点与-1的点之间的距离表示为 ②+2+x- 的最小值是 一，此时的取值范围为 变式5-2.(2025七年级上全国·专题练习)阅读下列材料并解决问题： 数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与形之间的联系，两个 有理数在数轴上对应的点之间的距离，可以用这两个数的差的绝对值表示，这也体现了绝对值的几何意义. 若在数轴上有理数对应的点为A,有理数b对应的点为B,则A,B两点之间的距离可表示 a-b八或 b-d,记为M=口-=h-小如武子k-3的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数”的点 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 之间的距离. -5-4-3-2-1012345→ 根据上述材料，回答下列问题： (1)-2与3的距离是 ②式子k+2Hx-前最小值是多少？ (3)应用：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）： 4名4A.4,…,某餐 饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P,点P选在 一，才能使这2014 户居民到点P的距离总和最小. 变式5-3.(25-26七年级上新疆乌鲁木齐期中)如图，数轴上A,B,C三点分别表示的数为4、4 7,点P表示的数为x. A B -5-4-3-2-1012345678 【阅读材料】：在数轴上表示数“的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数“的点与表 示数b的点的距离记 )，数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记 x-a+x-b 为 【初步运用】 填空：若-2=1，则x=一若-H+,则x= 【延伸探究】 (2)若动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点P到点B、点C 的距离之和为10； 【拓展探究】 (3)若点0表示的数为，当+24少-4Hy-8取最小值时，动点M从点A出发，以每秒2个单位长 8/12 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度的速度向右运动，动点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，M、N同时开始运动， 当经过多少秒时，点M、点N之间的距离正好等于点N到点Q、点C的距离和？（直接写出答案） ◆◆ 同压轴挑战一或克高难压轴，突政思维上限 一、单选题 1.(25-26七年级上辽宁锦州期末)下列说法正确的是（) A.若a+a=0,则a为负数 B.|a+l一定是正数 C.若aHb,则a=b D.若ab,则a-b是正数 2.(2025七年级上·全国专题练习)如果为有理数，代数式 024-x-2 存在最大值，这个最大值是 () A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 3.(2025七年级上江苏泰州专题练习)已知 风=3y= 8,且+y<0,则”-的值等于() A.5或-11 B.5或11 C.-5或11 D.-5或-11 4.(2022七年级上福建宁德竞赛)a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数 有() ①la-b>la-c小：②a-b-c>0:③1 ,回，-l,@a+M-b-d-a-d=0. a b c 0 a A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 5.(2526七年级上辽宁鞍山阶段检测)若a++6-3)=0,则（a-b八- 6(2026甘肃白银二模)若x为任意有理数， 表示在数轴上表示的点到原点的距离，K一 表示在 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数轴上表示的点到“表示的点的距离，则k+3引+k-2, 的最小值为 7.(25-26七年级上河南安阳期中)若a-3+b-4上0，则 1 1 1 1 b+a+1b+D+a+2Xb+2)+…+a+206+20) 8.(25-26七年级上安徽合肥期中)已知，数轴上A,B,C三点对应的有理数分别为a,b,c.其中点A 在点B左侧，4，B两点间的距离为4，且a,6,c满足口++(c-2025=0,则： (1)c的值为一. (②)数轴上任意一点卫点P对应的数为x,若存在使K-+K-+-d 的值最小，则x的值为 三、解答题 9.(25-26七年级上湖南衡阳期中)已知有理数a,b,c在数轴上的对应点位置如图所示(a<0<b<c, 且>4A, (化简a+l+e-小-口-d (2)若a=-5,b=2,c=4,求(1)中化简后式子的值. 10.(25-26七年级上湖北武汉·阶段检测)在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以 有0.02mm的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：mm): 做乒乓 球的同 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 学 +0.031 -0.017 +0.023 -0.021 +0.022 -0.011 检查结 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： ()有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 11.(25-26七年级上浙江宁波期中)点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示 AB=a-b 为AB,在数轴上A、B两点之间的距离 B a 例如：数轴上表示-1与2的两点间的距离1-(2列=1，而+2--(2列，所以k+2表示x与2两 点间的距离.利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和-5的两点之间的距离是 x-1=3 (2)若数轴上表示点的数满足 那么= )+1+K-2025的最小值为 ④r+1+k-20251=2029 则x的值为一 ⑤r+4到+2r-2+k-3】 的最小值为一 12.(25-26七年级上河南郑州阶段检测)在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思 想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程 4, 【提出问题】两个有理数a,b满足b>0,求a+6的值。 【解决问题】解：由题意，得a,b两个有理数都为正数或都为负数. 分下列两种情况讨论： ①当a,b都是正数，即a>0,b>0时，则 _0+2=1+1=2: a b a b ②当a,b都是负数，即a<0,b<0时，则 回-0+b=-1+(-0=-2. a b a b 11/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 综上所述， 国+以值为2或2 a b 请根据上面的解题思路，解答下面的问题. a.5.s (I)三个有理数a,b,c满足abc>0,求a+b+c的值. a bc=1 abc (②)若a,b,c为三个不为0的有理数，且a,求abc的值. 12/12