专题01 与数轴有关的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以六类数轴综合题型为载体，通过解题通法提炼、题型模版归纳及压轴挑战，系统构建数轴问题的方法体系与知识逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1通法总结|距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数；绝对值转化距离；分类讨论临界点|从数轴基本概念到综合应用，构建“概念-方法-易错”逻辑链| |题型归纳|6类题型（每类1典例+3变式）|距离问题：|a-b|；动点问题：含t代数式表位置；折叠问题：对称点2a-x；规律探究：周期/递推公式；新定义：文字转数学表达式|按“基础表示→距离→动态（动点/折叠）→规律→创新”递进，实现知识迁移| |压轴挑战|12道综合题|综合运用数形结合、分类讨论、方程思想解决复杂数轴问题|整合六类题型核心方法，提升综合解题与创新意识|

专题01 与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 - 解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数表达位置；绝对值转化为距离和差；分类讨论分段求解。 - 易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解；分类讨论未顾临界点（重合、折返）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 【答案】6或 【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点间的距离，先根据题意得到A表示的数，再得到点B表示的数，再根据点C到点B的距离为4，利用数轴上两点间的距离公式求出点C的值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 题型模版 1.特征：数轴上已知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即 \( |a-b| \)，逆向则需讨论左右位置。 变式1-1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）在数轴上，到所对应的点的距离为个单位的点所对应的数是_________． 【答案】3或 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离．根据点在已知点的左侧和右侧两种情况计算即可． 【详解】解：到对应的点的距离为5个单位长度的点表示的数是， 或， 故答案为：3或． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 【答案】2或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据点B表示的数和点A到点B的距离，求出点A表示的数有两种可能，再结合点C表示的数，计算点A到点C的距离 【详解】解：∵点B表示的数为，点A到点B的距离为个单位长度， 因此点A表示的数为或． 又∵点C表示的数为2， 故点A到点C的距离为或． 故答案为2或8 变式1-3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 【答案】1，， 【分析】本题考查了数轴上两点距离，绝对值方程的应用．根据“友好三点”的定义，需考虑点到和距离相等、点到和距离相等、点到和距离相等三种情况，分别求解点对应的数． 【详解】解：设点表示的数为． 当点到点和点距离相等时，有 ，即 ，解得 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，即 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 当点到点和点距离相等时，点到点的距离为 ，故 ，解得 或 ，但点与点、不重合，因此 ． 故点对应的数为，或． 故答案为：1，，． 题型二、用数轴上的点表示有理数 典例2．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列各数，其中非负整数是___________． 【答案】(1)图见解析，4 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值； （1）根据题意可得点与原点的距离为3，那么从点的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据非负整数的概念选出即可． 【详解】（1）解：点表示的数是， 又由数轴知，两点间的距离为7个单位， 原点在点的右侧3个单位处，点所表示的数是， 如图，    故答案为：4； （2）解：，故非负整数是： 在数轴上表示各数，如下图：    故答案为：． 题型模版 1.特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2.方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1．（25-26七年级上·云南红河·期中）把下列五个数：，0，，， (1)分别在数轴上表示出来； (2)填入相应的大括号内． 非负整数集{            …}； 负分数集{            …}． 【答案】(1)见解析 (2)0，；， 【分析】本题主要考查的是数轴的概念、有理数的分类，熟练掌握数轴上数字的分布规律是解题的关键． （1）先计算乘方，再在数轴上表示； （2）根据有理数的分类方法填写即可． 【详解】（1）解：， 如图， （2）解：非负整数集{0，}； 负分数集{，}． 变式2-2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 【答案】(1) 在数轴上表示出各有理数，如下图所示： (2) ①，； ②，； ③，． 【分析】本题考查数轴，有理数的分类，能正确画出数轴和区分各个数是解题的关键． （1）利用数轴表示数的方法画出数轴进行描点即可．（2）根据有理数的分类，可得答案． 【详解】（1）解：，； （2）解：①分数集合，； ②负有理数集合，． ③非负整数集合，． 变式2-3．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上点B所表示的数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ． (4)把以上各数分别填在表示它所在的集合里： ①正有理数集合        …； ②非正数集合          …： ③分数集合          …． 【答案】(1)； (2)点表示的数为或； (3)图见解析，； (4)；；． 【分析】本题考查了在数轴上表示数，两点间的距离，有理数的乘方及分类等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用点向右平移个单位确定数轴原点，再确定点表示的数即可； （2）设点表示的数为，依题意得或，求解即可； （3）数轴上标上数字，先化简，，，，然后在数轴上描出表示各数的点，标上原数，根据数轴的性质用“”把这些数按从小到大连接起来即可； （4）根据正有理数、非正数、分数的定义分类即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，点A向右平移个单位为数轴原点，如图：    点在原点右侧个单位的位置， ∴点表示的数为， 故答案为：． （2）解：设点表示的数为，依题意得： 或， ∴或， ∴点表示的数为或； （3）解：，，，， 在数轴上表示为： 由数轴可知，． （4）解：①正有理数集合； ②非正数集合； ③分数集合， 故答案为： ；；． 题型三、数轴上的动点问题 典例3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 题型模版 1.特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 2.方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对值方程）。 变式3-1．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴向右平移7个单位到点B，则点B表示的数是______． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数加上移动的距离即可得到答案． 【详解】解：∵A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴向右平移7个单位到点B， ∴点B表示的数为， 故答案为：10． 变式3-2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 变式3-3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 【答案】(1)，，9 (2)7 (3)①2.5或7.5；②或 【分析】（1）由b是最大的负整数，可得．由，可求得，． （2）设点B与数x表示的点对应，根据折叠点既是的中点，也是B点及其对应点的中点，可得，求得x的值即可． （3）①由题意得t秒时，P点对应的数为，分两种情况：P点在 B点右侧时和P点在 B点左侧时，分别计算即可． ②由“点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍”列方程得，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，，9． （2）解：设点B与数x表示的点对应，则 ， 解得， 故答案为：7． （3）解：①情况1：P点在 B点右侧时， ， 解得； 情况2：P点在 B点左侧时， ， 解得． 综上，t的值为2.5或7.5时，点P到点B的距离是5． ②由题意得， 整理得， ∴或， 解得或． ∴点Q到点C的距离是点P到点B距离2倍时t的值为或． 题型四、数轴上的折叠问题 典例4．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 题型模版 1.特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，已知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x，利用中点公式或距离相等建立方程。 变式4-1．（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 【答案】或1或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：∵三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， ∵到4的距离是6， ， ， 三条线段的长分别为，，3， ①当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或1或． 故答案为：或1或． 变式4-2．（25-26七年级上·全国·单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 【答案】(1)9 (2)①；②；1008 (3) 【分析】（1）根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算； （2）①根据1表示的点与表示的点重合计算折痕所表示的数，再根据重合分点到折痕距离相等计算；②根据上A、B两点之间的距离为可计算A、B两点到折痕的距离，再根据A、B两点的位置计算即可； （3）根据数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b可计算折痕为，再根据与点c重合的点到的距离相等，分情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知， 1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕左侧，且到折痕距离为， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为9， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：9； （2）①1表示的点与表示的点重合， 则折痕为：， 表示的点在折痕右侧，且到折痕距离为：， 故3表示的点关于折痕的重合点在折痕左侧，到折痕距离为5， 则3表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：； ②，B两点之间的距离为2020，且A在B的左侧， 故A在折痕左侧，B在折痕右侧，且A、B到折痕的距离均为：， 则A点表示的数为：， B点表示的数为：， 故答案为：，1008； （3）数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b， 则折痕为：， 当表示的点在折痕左侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 当表示的点在折痕右侧， 则表示的点到折痕距离为：， 故表示的点关于折痕的重合点在折痕右侧，到折痕距离为， 则表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 综上所述，表示的点关于折痕的重合点表示的数为：， 故答案为：． 变式4-3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)6， (3)图③剪切处对应的点所表示的数为或． 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题． （1）折叠纸面，若表示1的点与表示的点重合，中心点表示的数为0，即0与之间的距离等于0与1之间的距离，于是可得表示的点与表示的点重合； （2）折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2，可得出所求即可； （3）根据题意画出草图，通过计算可得出剪切处对应的点所表示的数的值． 【详解】（1）解：由题意得：对折中心点表示的数为0，因此表示的点与表示的点重合； 故答案为：； （2）解：折叠纸面，使表示1的点与表示3的点重合，中心点表示的数为2， 与2之间的距离为：，则表示与的点重合的点为：； m与2之间的距离为：，则表示与m的点重合的点为：； 故答案为：6，； （3）解：如图，由题意得，，    ∴， ∴剪切处D对应的点所表示的数； 剪切处C对应的点所表示的数； 综上：图③剪切处对应的点所表示的数为或． 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第 \(n\) 次后的坐标。 变式5-1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 变式5-2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 变式5-3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 【答案】(1)B表示的数为：5；C表示的数为 (2)①左；②6秒，此时点M表示的数为；③8秒，此时点M表示的数为； (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用数轴表示有理数，有理数的四则运算： （1）根据数轴上两点距离计算公式得到点到原点的距离为，再由点A和点B不重合，点B表示的数为5，再用点B表示的数减去点C到点的距离即可求出点C表示的数，最后在数轴上表示出点A，点B，点C即可； （2）①设运动时间为t，由于，且点M的运动速度大于点N的运动速度，故只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度；②二者相遇前运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数；③二者相遇后运动距离为，再算出时间进而可求出M表示的数； （3）根据题意可得动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度，据此求出2024次运动后点P表示的数，再由第2025次点P是向左运动2025个单位长度进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，点与点到原点的距离相等， ∴点到原点的距离为， ∵点A和点B不重合， ∴点B表示的数为5， ∵点在原点的左侧，且到点的距离为7， ∴点C表示的数为， （2）解：①设运动时间为t， ∵，且点M的运动速度大于点N的运动速度， ∴只有当M、N同时向左运动时，动点M与动点N的距离才可能为1个单位长度， 故答案为：左 ②当M、N相遇前二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； ③当M、N相遇后二者相距1个单位长度时，则，此时点M表示的数为； （3）解：有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从向右运动2个单位长度到点，第三次从向左运动3个单位长度到点，第四次从向右运动4个单位长度到点……， ∴动点P每相邻的两次运动相当于向右移动1个单位长度， ∴第2024次运动后点P向右运动个单位长度，即此时点P表示的数为， ∵第2025次点P是向左运动2025个单位长度， ∴表示的数为． 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2)过程见解析，值为3． 【分析】本题考查数轴上的点表示数，新定义以及整式的加减运算，读懂题意是解题关键； （1）①直接根据新定义求解即可； ②根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据新定义得出，，然后根据数轴上两点间的距离公式列式求解即可． 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 题型模版 1.特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2.方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是_____． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，还有新定义“美好点”，理解这个新定义是解决问题的关键．根据“美好点”的定义，，再根据，再根据与线段的位置关系分情况讨论，先求得，从而可得表示的数． 【详解】解：∵是美好点， ∴， ∵点所表示的数为，点所表示的数为2， ∴， ∴当在线段上时，，则，点表示的数是； 当在线段外时，由可得在右边，，则，点表示的数是； 故答案为：或． 变式6-2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)①8；②4； (2)2 (3)3或11 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解题中定义和分类讨论是解答的关键． （1）①根据两点之间的距离即可求解；②根据新定义，求得即可求解； （2）根据新定义得到点C为的中点，进而求解即可； （3）根据新定义分两种情况：点D在线段上和点D在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）解：①∵、、为数轴上三点，分别对应，，． ∴、两点之间的距离是， 故答案为：8； ②由数轴知， ∴，则； （2）解：∵点C在数轴上且， ∴，则点C为的中点， ∴点C表示的数为； （3）解：因为D是数轴上一点，且，所以． 因为点A表示的数为，点B表示的数为5，所以． 当点D在点A，B之间时，点D表示的数为； 当点D在点B的右边时，点D表示的数为． 所以点D表示的数为3或11． 变式6-3．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为， (3)或． 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点到点，点的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为； （2）依题意，得点到点，点的距离均为， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为， （3）根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 2．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意：A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等，得出点A表示的数为，点C表示的数为3，再结合数轴，即可得出点B表示的数． 【详解】解：∵A、C之间的距离为6个单位长度，点A、C到原点的距离相等， ∴点A表示的数为，点C表示的数为3， ∵点在点右侧2个单位， ∴点B表示的数为． 3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 4．（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，新定义运算，解题的关键是理解题意．根据“赋能点”定义，分别检查点与点D、E组成的三点中是否存在一点到其他两点距离相等． 【详解】解：∵点D表示，点E表示3， 对于， ∵，，， ∴不存在其中一个点到另外两个点的距离相等， ∴点与点不能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、E的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 综上，和符合． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 7．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是______． 【答案】或或15 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键．根据题目要求，需要分情况讨论，，，将这三种情况结合数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数，分别得出的值即可解答． 【详解】解：∵A，B，M是数轴上不同的三点， ∴①当点M在点A、B之间，时，，解得； ②当点M在点A的左侧，时，，解得； ③当点M在点B的右侧，时，，解得； 综上所述，m的值可以是或或15． 故答案为：或或15． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴上的三个点（三个点互不重合），若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”，已知点A，B表示的数分别为，1，点C为数轴上一个动点，若A，B，C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为______． 【答案】或3或0 【分析】本题主要考查了表示数轴上的点，解题的关键是理解中点关系，注意分情况讨论． 设点C表示的数为x，分三种情况讨论：点A为点和点的中点、点B为点和点的中点、点C为点和点的中点，根据距离相等列方程求解，即可作答． 【详解】解：依题意，设点C表示的数为x， 当点是点和点的中点时，，解得； 当点是点和点的中点时，，解得； 当点是点和点的中点时，． ∴点表示的数是或3或0， 故答案为：或3或0． 三、解答题 9．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的顺序用“＞”号连接起来． ，，，，， 【答案】 将各数在数轴上表示出来，如下图所示， 【分析】本题考查了数轴和有理数的比较大小，关键是正确确定表示各数的点的位置．首先在数轴上确定表示各数的点，然后根据在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大用“＞”把它们连接起来即可． 【详解】解：，， ． 10．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 【答案】(1) (2)或1 (3)1009， 【分析】（1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而即可解答； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，然后分A表示的数为5或两种情况分别求出B点表示的数即可； （3）依据M、N两点之间的距离为2022，并且M、N两点经折叠后重合，M点表示的数比N点表示的数大，即可得到M点表示的数． 【详解】（1）解：因为数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，，而，所以数轴上数3表示的点与数-7表示的点重合． 答案： （2）解：由题意知：点A表示的数为5或， 因为A，两点经折叠后重合， 所以当点A表示时，点表示1；当点A表示5时，点表示， 所以点表示的数是或1． （3）解：∵，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合， ∴ ，， 又∵点表示的数比点表示的数大， ∴点表示的数是1009，点表示的数是． 【点睛】本题主要考查的是数轴的认识，掌握数轴的定义和点的对称性是解题的关键． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 12．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)1；6；3 (2)①2，8，10；②不变，；③线段的长度为 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点间的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据点与点表示的数互为相反数，可得点B，根据点与点的中点为点表示的数，可得点D，进而即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度；②由题易知P是和的中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可；③同②思路即可得解． 【详解】（1）解：∵点与点表示的数互为相反数， ∴点B表示的数是1， 根据题意得，点与点之间的距离， ∵点与点的中点为点表示的数， ∴点D表示的数是， 故答案为：1，6，3； （2）解：①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②的值不变，，理由如下： 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且，即点P是点和点之间的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 与数轴有关的六类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 题型二、用数轴上的点表示有理数 题型三、数轴上的动点问题 题型四、数轴上的折叠问题 题型五、数轴上的规律探究问题 题型六、与数轴有关的新定义型问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涵盖动点、距离中点、绝对值几何意义、规律探究、有理数运算及方程应用，数形结合。 - 解题方法：距离用差的绝对值，中点用平均数；动点设时间参数表达位置；绝对值转化为距离和差；分类讨论分段求解。 - 易错提醒：忽视动点方向致符号错；绝对值漏解；分类讨论未顾临界点（重合、折返）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上两点之间的距离问题 典例1．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为___________． 题型模版 1.特征：数轴上已知两点表示的数，求它们之间的距离，或已知距离求其中一点坐标。 2.方法：数轴上两点距离为它们所表示数的差的绝对值，即 \( |a-b| \)，逆向则需讨论左右位置。 变式1-1．（25-26七年级上·山东聊城·期末）在数轴上，到所对应的点的距离为个单位的点所对应的数是_________． 变式1-2．（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）在数轴上有三个点A、B、C，且点A到点B的距离是5个单位长度，若点B表示的数是，点C表示的数是，则点A到点C的距离为______． 变式1-3．（25-26七年级上·江西赣州·期中）三个点中，其中一点到另外两点的距离相等时，我们称这三个点为“友好三点”．若数轴上三个不重合的点，点表示的数是，点表示的数是，则“友好三点”中的点所对应的数为___________． 题型二、用数轴上的点表示有理数 典例2．（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列各数，其中非负整数是___________． 题型模版 1.特征：将给定的有理数在数轴上用点标出，或根据数轴上的点读出其表示的有理数。 2.方法：确定原点、正方向和单位长度，正数在原点右侧，负数在左侧，按数值大小找到对应位置描点。 变式2-1．（25-26七年级上·云南红河·期中）把下列五个数：，0，，， (1)分别在数轴上表示出来； (2)填入相应的大括号内． 非负整数集{            …}； 负分数集{            …}． 变式2-2．（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 变式2-3．（24-25七年级上·四川绵阳·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上点B所表示的数是______； (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大连接起来． ． (4)把以上各数分别填在表示它所在的集合里： ①正有理数集合        …； ②非正数集合          …： ③分数集合          …． 题型三、数轴上的动点问题 典例3．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 题型模版 1.特征：数轴上一个或多个点按速度运动，求相遇时间、距离或特定时刻的位置坐标。 2.方法：用含时间t的代数式表示各点位置，根据运动方向列方程（如相遇则位置相等，距离为定值则绝对值方程）。 变式3-1．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）A为数轴上表示3的点，将点A沿数轴向右平移7个单位到点B，则点B表示的数是______． 变式3-2．（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 变式3-3．（25-26七年级上·吉林长春·期中）在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最大的负整数，且a，c满足． (1)a = ，b= ，c= ； (2)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 对应的点重合； (3)若动点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求t为何值时，点P到点B的距离是5； ②直接写出点Q到点C的距离是点P到点B距离的2倍时t的值． 题型四、数轴上的折叠问题 典例4．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 题型模版 1.特征：数轴沿某点折叠，两边的点能重合，已知折痕点坐标，求对应点或对称点坐标。 2.方法：若沿点a折叠，则点x的对称点为2a-x，利用中点公式或距离相等建立方程。 变式4-1．（25-26七年级上·湖北鄂州·期末）一条数轴，从数轴上面剪下6个单位长度（从到4）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______． 变式4-2．（25-26七年级上·全国·单元测试）翻折是初中阶段研究的重要的图形运动．（翻折运动）已知纸面上有一数轴，折叠纸面．    (1)若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与_____表示的点重合． (2)若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与_____表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同)，且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是_____，B点表示的数是_____； (3)若数轴上折叠重合的两点表示的数分别为a，b，那么数c表示的点与数_______表示的点也重合．(用含有a，b，c的代数式表示) 变式4-3．（23-24七年级上·福建宁德·期中）综合与探究：数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴，进行如下操作探究：    (1)操作1：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示数______的点重合； (2)操作2：折叠纸带，使数轴上表示1的点与表示3的点重合，则数轴上表示的点与表示数______的点重合，表示数的点与表示数______的点重合（用含的代数式表示）； (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一段纸带（如图①），将纸带按图②所示向左折叠，剪掉不重叠部分，不重叠部分的纸带长度为个单位长度，将重叠部分按图③所标注的剪切处剪切，得到三条长度相等的纸带，请直接写出图③剪切处对应的点所表示的数（用含的代数式表示）． 题型五、数轴上的规律探究问题 典例5．（26-27七年级·全国·小升初衔接）如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 题型模版 1.特征：数轴上点按一定规律移动或跳跃，求经过若干次后的位置，常涉及周期或递推。 2.方法：列举前几次位置，找出移动周期或递推公式，用余数法或公式计算第 \(n\) 次后的坐标。 变式5-1．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 变式5-2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段检测）已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 变式5-3．（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）已知数轴上有不重合的三个点，点表示的数为，点与点到原点的距离相等，点在原点的左侧，且到点的距离为7． (1)求点表示的数． (2)假设动点分别从点同时出发，动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒1个单位长度，当动点与动点距离为1个单位长度时，设运动时间为，求： ①动点与动点应同时向______（填“左”或“右”）运动； ②动点与动点相遇前的时间及此时动点表示的数； ③动点与动点相遇后的时间及此时动点表示的数． (3)在数轴上，有一个动点，从点出发，在数轴上作有规律的运动：第一次从点出发向左运动1个单位长度到点，第二次从点向右运动2个单位长度到点，第三次从点向左运动3个单位长度到点，第四次从点向右运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，当第2025次运动到点时，请直接写出点所对应的数． 题型六、与数轴有关的新定义型问题 典例6．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 题型模版 1.特征：给出数轴上点的某种新运算或新规则（如“友好点”“跳跃点”），要求按定义解决。 2.方法：仔细阅读定义，将文字转化为数学表达式（如距离、中点），按新规则列方程或不等式求解。 变式6-1．（24-25七年级上·山东临沂·期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图1，点表示的数为，点表示的数为2，表示1的点到点的距离是2，到点的距离是1，那么点是的美好点；又如，表示0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点．如图2，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为2．请写出美好点所表示的数是_____． 变式6-2．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义：已知点，，为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：． 应用： 如图有一条数轴，、、为数轴上三点，分别对应，，． (1)①、两点之间的距离是__________； ②求的值； (2)若点在数轴上且，求点表示的数； (3)若点是数轴上一点，且，直接写出点表示的数． 变式6-3．（25-26七年级上·河南周口·期中）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 2．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，数轴上有A，B，C三点，若点A，C到原点的距离相等，数轴的单位长度为1，则点B表示的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 3．（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26七年级上·北京通州·期末）对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个． 6．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______． 7．（25-26七年级上·江西上饶·期中）若A，B，M是数轴上不同的三点，且点A表示的数为，点B表示的数为3，点M表示的数为m，当其中一点到另外两点的距离相等时，m的值可以是______． 8．（25-26七年级上·广西南宁·期中）数轴上的三个点（三个点互不重合），若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”，已知点A，B表示的数分别为，1，点C为数轴上一个动点，若A，B，C三点满足“中点关系”时，则点C表示的数为______． 三、解答题 9．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从大到小的顺序用“＞”号连接起来． ，，，，， 10．（23-24七年级上·全国·课后作业）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：    若数轴上数表示的点与数0表示的点重合． (1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合； (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，两点经折叠后重合，求点表示的数； (3)若数轴上，两点之间的距离为2022，并且，两点经折叠后重合，如果点表示的数比点表示的数大，直接写出点，点表示的数． 11．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）综合运用 【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 12．（25-26七年级上·福建福州·阶段检测）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．        (1)【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是_____，点与点之间的距离_____，点与点的中点表示的数是_____． (2)【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点关于点的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是_____，点关于点的二次跳跃点表示的数是_____，线段的长度为_____． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $