专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形倒角模型，构建“通法-题型-挑战”三阶训练体系，系统提炼双角平分线与高线组合的解题逻辑，强化推理意识与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1核心总结|模型结论（90°±∠C/2）、互余转化、方程思想|从模型特征到解法迁移，建立角度计算通用框架| |题型归纳|4题型（1典例+3变式）|双内角（90°+∠C/2）、一内一外（∠C/2）、双外角（90°-∠C/2）、高线角平分线（差角关系）|按角平分线组合类型分层，由简到繁推导角度关系| |压轴挑战|13道综合题|多模型叠加、动态问题、跨图形拓展|综合应用前序方法，提升复杂情境下的推理与表达能力|

专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ ∠C）；高线模型利用互余关系转化角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ ∠C，外外为90°- ∠C）；高线在钝角三角形中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，和的平分线相交于点． (1)若，求的度数； (2)把（1）中这个条件去掉，试探索和之间有怎样的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义得出，，求出，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 和的平分线相交于点， ，， ， ． （2），理由如下： 在中，， 和的平分线相交于点， ，， ， ． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1．（25-26八年级上·山东滨州·期中）如图，在中，平分，平分，若，则的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由平分，平分，得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：， ， 平分，平分， ， ． 故答案为：． 变式1-2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 变式1-3．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）【问题原型】如图①，在中，，平分，平分，求的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解：，且． ． 平分，平分， ，， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在中，，、是的三等分线（即），、是的三等分线，则_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若，的度数为_________． ②当时，的一条边的所在直线与的某一边的所在直线垂直时，_________． 【答案】(1) ∴ ∴ (2) (3)①；②或或 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得，，进而根据三角形内角和定理可得； （3）①同（2）可得，根据已知，求得，进而求得； ②分情况讨论，当时，当时，当时，分别画出图形，根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：，且． ． ∵、是的三等分线，、是的三等分线， ，， ∴ ∴ （3）解：如图， 同（2）可得， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ ②如图，当时，设垂足为 ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：，即 如图，当时，设垂足为， ∵，、是的三等分线， ∴ ∴ 当时，如图， ∴ 综上所述，或或． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图，是的一个外角，为的平分线，在的内部，与交于点，． (1)判断是否平分，并说明理由； (2)如图2，的平分线交于点，，求的度数． 【答案】(1)解：平分，理由如下： ∵是的一个外角， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵，即， ∴ ∴， ∴平分 (2) 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得，，结合为的平分线，，进而证得平分； （2）由平分，平分，可证得，利用三角形内角和定理即可解得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，平分，即， ∵平分，即， 又∵， ∴， 在中，， ∴． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等式推导。 变式2-1．（25-26七年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E．已知，则的度数为______． 【答案】/115度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，进而得到，再利用的外角即可解答． 【详解】解：∵平分， ， ∵为外角的平分线， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 变式2-2．（25-26七年级下·四川资阳·期中）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与的延长线相交于点． (1)若，，求与； (2)若时，求与； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据，，可求出，再根据平分，平分，，可求出，，进而可求出；再根据平分，可得出，进而求出． （2）根据三角形内角和定理对进行表示，再根据平分，平分，，可求出，，再根据三角形外角的性质求出，根据，求出，将与相较即可证明． （3）由（2）可知，，则的内角为，，，根据题意分类讨论即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ，， 平分， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ，即， ． （2）证明：∵，则． ， ，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，即， ， ． （3）解：设，则，． ， 分类讨论： ①当时， ， 解得， ； ②当时， ， 解得， ③当时， ， 解得， ； ④当时， ， 解得， 综上可知或或或． 答：的度数为或或或． 变式2-3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若，求的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： 平分，平分， ，． ______， ． ______， ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在中，的平分线与外角的平分线交于点．设的度数为，求的度数．（用含的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在中，为锐角，内部的射线与外角内部的射线交于点（为锐角）．若，，设的度数为，则的大小为______．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；；45 (2) (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明，，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ 度． （2）解：平分，平分， ，． ， ． ， ， ∴ ． （3）解：∵，， ∴，， ， ． ， ， ∴ ∴，即． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在中，，平分外角，平分外角，平分，平分，求的度数． 【答案】 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解，进一步利用角平分线的性质得到，，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：，， ， ， ， 平分外角，平分外角， ，， 平分，平分， ，， ， ． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系式。 变式3-1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，已知中，与，相邻的外角的角平分线交于点D，则的度数为_______． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用表示出与的外角和；再结合角平分线的定义，求出所在三角形的内角和，进而得出的度数． 【详解】解：在中，， 故 ∴， ∵是外角平分线，， ∴， 故． 故答案为：． 变式3-2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图，，是的两个外角． ①，与之间的数量关系是________，并加以证明； ②若，的平分线，相交于点，直接写出与之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图，，是四边形的两个外角． ①，与，之间的数量关系是________； ②如图，，的平分线，相交于点，若，，则的度数是________． 【答案】(1)①； 证明：∵，是的两个外角． ∴ ∴； ② (2)①；② 【分析】（1）①根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理可得，即可得出； ②根据角平分线的定义得出，，结合①的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接，根据三角形的外角的性质可得，，进而可得 ②根据①的结论得出，，即可求解． 【详解】（1）①略 ②. 证明如下： ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴. （2）①如图，连接， ∵，是，的外角 ∴， ∴； 故答案为：． ②∵，， ∴ ∵，的平分线，相交于点， ∴ 由①可得， ∴ 变式3-3．（25-26七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），平分，平分，请确定与的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），平分，平分，请确定与的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），平分，平分，请确定与的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在中，，，分别平分，，M，N，Q分别在，，的延长线上，，分别平分，，，分别平分，，则________． 【答案】(1)， 理由：∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． (2) (3) (4) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出和与α，β之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴，， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴设，， 由三角形外角的性质可得：，， ∴， ∴， ∴． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得：， ∴， ∴． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）如图，，分别是的高和角平分线． (1)若，，求和的度数； (2)若，，且，直接写出和的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先利用三角形内角和求出，结合角平分线定义得到，再用内角和算出；根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出，最后作差得到； （2）先用三角形内角和表示出，结合角平分线得到，代入内角和公式化简求出；再由高线推出，通过角度相减化简得到的代数式． 【详解】（1）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ； （2）解：在中，由三角形内角和定理得：， 是的角平分线， ， 在中，由三角形内角和定理得：， 是的高， ， 在中，， ． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和求解。 变式4-1．（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，已知平分，过F作，若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据角平分线的定义可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后利用对顶角相等可得，再根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得：，即可解答． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 变式4-3．（25-26七年级下·山东潍坊·阶段检测）在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【分析】（1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． 【详解】（1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）如图，P为内一点，平分，平分，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义，三角形内角和定理和外角的性质，由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，求得，，由对顶角相等得，由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，的平分线与外角的平分线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C．25° D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出，再利用即可求解． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵， ∴ ， ∴， ∵的平分线与外角的平分线相交于点， ∴， ∴ 故选：C． 4．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，，点在平行线之间．连接并延长，与直线交于点；连接并延长，与直线交于点，与的角平分线交于点，且．若，，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，过点作，设，根据平行线的性质及角平分线得到，，，再根据，得到，由三角形内角和即可求得． 【详解】解：如图，过点作，过点作， 设， ， ，． 与的角平分线交于点， ，． ． ，， ． ，． ． ． ，， ． ，． ． ． ， ． ． ． ． 二、填空题 5．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，的外角平分线与的平分线相交于点P，，则的度数是___． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形外角平分线与内角平分线相交形成的角度计算，考查三角形内角和定理、外角性质以及角平分线的定义．先设出相关角，利用角平分线的性质表示出半角，再通过三角形外角与内角的关系建立方程，解方程求得角度即可． 【详解】解：设，∵平分，∴． 设的外角为，则． ∵平分外角，∴． 又∵是的外角，∴． 代入得，化简得． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东日照·期中）如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是___． 【答案】/40度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 【详解】解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 7．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形中，E，F分别是两组对边延长线的交点，，分别平分，，已知，，则的度数为______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义，连接，根据角的和差关系，得，再代入，化简即可作答． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别平分，，，， ∴ ， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题 9．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①，是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线，且、相交于点D．    (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若的角平分线交于点O，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据外角的定义得，则，，进而可得结论； （2）根据外角的定义得，根据角平分线的定义得，，则，根据三角形内角和定理求出，再结合（1）的结论即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵为的角平分线，为的角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为的一个外角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴． 10．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形中，是角平分线，． (1)如图（1），是高，，求的度数； (2)如图（2），点E在上，于F，试探究与的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E在的延长线上，于F，则与的大小关系是_________（直接写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到，，进而得出，由此即可解决问题； （2）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到； （3）过作于，依据平行线的性质可得，依据（1）中结论即可得到不变． 【详解】（1）解：如图1所示： 平分， ， ， ， ， ，， ； （2）解：结论． 理由如下：过作于，如图2所示： ， ， ， 由（1）可得， ； （3）解：结论仍成立． 过作于，如图3所示： ， ， ， 由（1）可得， ． 11．（25-26七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1，，平分，平分，则 度． (2)如图2，，，分别是，的三等分线（即，）求的度数． (3)在中，，分别是，的n等分线（即，），试说明与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据平分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出，根据三等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出，根据等分线求出，根据三角形的内角和定理得出，代入求出即可； 【详解】（1）解：， ， ∵平分平分， ， ， ； （2）解：∵， ， ∵分别是的三等分线， ， ， ． （3）解：∵分别是的等分线， ∴，， ． 12．（17-18八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，是的内角与的平分线和的交点，若，则____________度： (2)探究2：如图2，是的外角与外角的平分线和的交点，求与的数量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，是四边形的外角与的平分线和的交点，设． ①直接写出与的数量关系； ②根据的值的情况，判断的形状（按角分类）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；②当时，则是钝角三角形；当时，则是直角三角形；当时，则是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得，然后根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长交于点Q，由（2）可知，，则，又由即可得到；②根据α的值的情况，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴. ∵是的内角与的平分线和的交点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）； 理由：∵是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ， 在中， ； （3）①， 如图，延长交于点Q， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则，则是钝角三角形； 当时，则，则是直角三角形； 当时，则， ∵是四边形的外角与的平分线和的交点， ∴， ∴是锐角三角形． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，的角平分线与外角的平分线交于． (1)如图，若，则 ． (2)如图，四边形中，的角平分线及外角的角平分线相交于点，若，求的度数． (3)如图，中，的角平分线与外角的角平分线交于，若为延长线上一动点，连接，与的角平分线交于点，当滑动时有下面两个结论： 的值为定值； 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1) (2) (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出； （3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵平分平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的值为定值，①正确，其值是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同通法通法一明晰接心解法，助力能力迁移 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 ·解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+号 ∠C):高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 -易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90+ 2∠C,外外为90° 2∠C):高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 夙题型归纳一精讲典型题法，奔失解题根基 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1.(25-26八年级下·贵州毕节期中)如图，在△ABC中，∠ABC和∠4CB的平分线相交于点O (1)若∠A=52°，求∠BOC的度数： (2)把(1)中∠A=52°这个条件去掉，试探索∠BOC和∠A之间有怎样的数量关系。 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C,利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1.(25-26八年级上山东滨州期中)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若 ∠A=60°，则∠D的度数为一· D B 变式1-2.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)在△ABC中，∠BAC>∠ABC,三个内角的平分线交于点 E O B 图1 图2 (1)填空：如图1，若∠ACB=70°，则∠AOB的大小为度： (2)如图1，过点O作OD⊥OC,交AC于点D,证明：∠ADO=∠AOB: 3)如图2，CO的延长线交AB于点E.点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点N,请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系. 变式1-3.(25-26七年级下河南驻马店期末)【问题原型】如图①，在△ABC中，∠A=66°，BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACB,求∠D的度数， 图① 图② ()对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程. 解：：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，且∠A=66° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=114 :BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, I=5∠ABC,∠2=5∠ACB, 2 (补全过程) (②)【问题拓展】如图②，在△ABC中，∠A=a,BE、BF是∠ABC的三等分线（即∠ABF=∠FBE= ∠EBC),CE、CF是∠ACB的三等分线，则∠E= (用含的代数式表示) (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若∠E+∠F=249°，∠F的度数为 ②当∠ACB=48°时，△BFC的一条边的所在直线与△ABC的某一边的所在直线垂直时，∠A= 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2.(25-26七年级下·河北石家庄期末)如图，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的平分线， CD在∠ACE的内部，与BD交于点D,∠A=2∠D. 图1 图2 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)判断CD是否平分∠ACE,并说明理由： (②)如图2，∠ACB的平分线C0交BD于点O,∠D=48°，求∠D0C的度数. 题型模版 1特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式21.(25-26七年级上全国寒假作业)如图，在△ABC中，B0,C0分别平分∠ABC,∠ACB,且 BO,CO交于点O,CE为外角∠ACD的平分线，交BO的延长线于点E.己知∠E=25°，则∠BOC的度 数为 变式2-2.(25-26七年级下四川资阳期中)如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE/BC,交 AC于点E,DP平分LADE,交LACB的平分线于点P,CP与DE相交于点G,∠ACF的平分线CO与 DP的延长线相交于点O ()若∠A=50°，∠B=60°，求∠DPC与∠Q: (2)若∠A=x°时，求∠DPC与∠Q: (3)若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的∠A的度数. 变式23.(25-26七年级下·吉林长春期末)【问题再现】如图①，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外 角∠CBD的平分线BE交于点E.若∠C=9O°，求∠E的度数. 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ 【问题解决】 ()小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： :AE平分∠BAC,BE平分∠CBD, ,∠BAC=2∠BAE,∠CBD=2∠DBE ∠DBE=+∠BAE, .2∠DBE=2∠E+2∠BAE :∠CBD=+∠BAC, E=)c= 度 将小明的过程补充完整. 【应用】 (2)如图②，在△ABC中，∠CAB的平分线AE与外角∠CBD的平分线BE交于点E.设∠C的度数为m,求 ∠E的度数.（用含m的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在△ABC中，∠C为锐角，∠BAC内部的射线AE与外角∠CBD内部的射线BE交于点E(∠E 为脱).若<CAE=<B4C,∠CB5=4<CBD,设∠C的度数为m,则∠E的大小为一 4 (用 含m的代数式表示) 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3.(25-26七年级下河南新乡期中)如图，在△ABC中，∠A=80°，BF平分外角∠CBD，CF平分 外角∠BCE,BG平分∠CBF,CG平分∠BCF,求∠G的度数. 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°半角。 2方法：设两外角对应内角为∠B,∠C,利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1.(25-26八年级上四川广元期中)如图，己知△ABC中，∠B=40°，与∠BAC,∠ACB相邻的外 角的角平分线交于点D,则∠D的度数为 B 变式3-2.(25-26七年级下·吉林长春·期末)【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.”那 么三角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内 角之间的数量关系又如何呢？ D 图1 图2 图3 【问题初探】 (I)如图1，∠ACD,∠CAE是△ABC的两个外角. ①∠ACD,∠CAE与∠B之间的数量关系是 ， 并加以证明： 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若∠ACD,∠CAE的平分线CN,AM相交于点O,直接写出∠AOC与∠B之间的数量关系是 【迁移拓展】 (2)如图2，∠DAE,∠DCF是四边形ABCD的两个外角. ①∠DAE,∠DCF与∠B,∠D之间的数量关系是 ②如图3，∠DAE,∠DCF的平分线AM,CN相交于点O,若∠B=60°，∠D=136°，则∠AOC的度数 是 变式3-3.(25-26七年级下山东聊城期末)探究以下问题： E 图(a) 图(b) 图(c) 图(d) (I)探究一：如图()，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由： (2)探究二：如图(b),BE平分∠ABC,CE平分∠ACM,请确定∠A与∠E的数量关系 (3)探究三：如图(c),BF平分∠CBP,CF平分∠BCQ,请确定∠A与∠F的数量关系 解决问题： (④如图(d),在△ABC中，∠A=56,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,M,N,Q分别在DB,DC, BC的延长线上，BE,CE分别平分∠MBC,∠BCN,BF,CF分别平分∠EBC,∠ECO,则∠F= 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4.(25-26八年级下·重庆南岸·期末)如图，AD,AE分别是△ABC的高和角平分线. 7/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数； (②)若∠B=a,∠C=B,且a>B,直接写出LAEC和∠DAE的度数（用含a,P的代数式表示）. 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和求 解。 变式41.(2425八年级上：四川德阳阶段检测)如图，已知AF平分∠BAC,过F作FD⊥BC,若 ∠B=60°，∠BAC=96°，则∠F= 变式42.(25-26七年级下上海期中)如图，CD是△ABC的角平分线，E是CD的中点，过点E作 EF⊥AB于点F,连接BE. (1)若∠A=36°，∠ABC=66°，求∠DEF的度数： (②)若BD=8,EF=6,求△BCE的面积 变式43.(25-26七年级下山东潍坊阶段检测)在△ABC中，∠C>∠B,AE是边BC上的高，AD是 ∠BAC的平分线 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B∠ D E 图① 图② (1)如图O,若∠DAE=20°，∠B=30°，求∠C的度数： (2)如图②，若F是AD的延长线上一点，FG⊥BC于点G,试探究∠F与∠C,∠B之间的数量关系，并 说明理由。 ◆◆ 同压轴挑战一支克高障压轴，突骏思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级下·江西吉安期中)如图，P为△ABC内一点，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,且 ∠A=100°，则∠BPC的度数是() A P B A.100° B.110 C.140° D.130° 2.(25-26八年级上河南信阳期末)如图，在△ABC中，∠C=30°，∠ABC=80°，若BE是△ABC的高， AF是△ABC的角平分线，BE与AF相交于点O,则∠EOF的度数为() A.100° B.125° C.1350 D.150° 3.(25-26八年级上山东烟台期末)如图，在四边形ABCD中，∠D+∠C=230°，∠DAB的平分线与外 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角∠CBE的平分线相交于点F,则∠F的度数为() D B E A.10° B.15° C.25° D.30 4.(25-26七年级下·重庆阶段检测)如图，AB‖CD,点P在平行线AB,CD之间.连接PA并延长，与 直线BD交于点E;连接PC并延长，与直线BD交于点F,∠PCD与∠ABD的角平分线交于点O,且 B0∥PE∠0-∠P=a,∠PEF=B,则∠PFE定等F() .若 ，则 A 180°-a-B A. 2 B.90°+B-a C.a+B D.2a-2B 二、填空题 5.(25-26八年级上·安徽合肥阶段检测)如图，△ABC的外角平分线AE与∠ABC的平分线BD相交于点 P,∠C=80°，则∠APB的度数是一 A 6.(25-26八年级上山东日照期中)如图，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于P点，若 ∠D=42°，∠B=38°，那么∠P的度数是一. 10/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ○ 7.(2025七年级上江苏南京专题练习)如图，在四边形ABCD中，E,F分别是两组对边延长线的交点， EG,FG分别平分∠AEB,∠AFD,已知∠ABC=88°，∠ADC=72°，则∠EGF的度数为， B 8.(25-26七年级下·甘肃白银期中)如图，在△ABC中，已知∠A=60°，点O为△ABC内一点，且 ，其中0平分∠B0.C ∠B0C=140°BO 0平分∠AC0,B0平分∠4B0.C0:平分1C0,B0平分 ∠AB0,C0平 ∠ACOn-1 ∠BO,C=100°∠B022,C= ，…，以此类推，则 三、解答题 9.(25-26八年级上·辽宁沈阳期末)如图①，∠ACE是△ABC的一个外角，BD为∠ABC的角平分线， CD为∠ACE的角平分线，且BD、CD相交于点D. 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)猜想∠A与∠D的数量关系，并说明理由： (2)如图②，若∠ACB的角平分线C0交BD于点O,∠D0C=48°，求∠D的度数. 10.(25-26八年级上：浙江台州阶段检测)在三角形ABC中，AD是角平分线，∠B<∠C. B DE C B DF E 图(1) 图(2) 图(3) (1)如图(1)，AE是高，∠B=35,∠C=65°，求∠DAE的度数： (2)如图(2)，点E在AD上，EF⊥BC于F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系，并说明理由： 3)如图(3)，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F,则∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直 接写出结论，不需说明理由)· 11.(25-26七年级下陕西西安·期中)探究不同情境，回答下面问题： 图1 图2 备用图 ()如图1，∠A=55°，B0平分∠ABC,C0平分∠4CB,则∠BOC=度， @如图2，LA=60,B0:C0分别是∠1BC,∠ACB的=等分线（即∠0BC-ABC. ∠0 CB-LACB)求B∠OC的度数. 12/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O在6ABC中，B0:C0分别是∠ABC,∠ACB的u等分线（即∠0BC-∠1BC,∠0CB-∠4CB), n n 试说明∠BOC与∠A的关系. 12.(17-18八年级上全国课后作业)请你参与下面探究过程，完成所提出的问题. 图1 图2 图3 (I)探究1：如图1，P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点，若LA=70°，则∠BPC= 度： (2)探究2：如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数 量关系？并说明理由。 (3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=a. ①直接写出∠BPC与ax的数量关系； ②根据a的值的情况，判断△BPC的形状（按角分类）· 13。(25-26八年级上全国期末)如图，△1BC中，∠4BC 的角平分线与外角 1CD的平分线交于1 D 图1 图2 图3 四如图'，若A=70°，则 ∠A= (2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC的角平分线及外角∠DCE的角平分线相交于点F,若∠A+∠D=230° 求∠F的度数. (3)如图3，△AB 中，∠A C的角平分线与外角∠4CD的角平分线交于4，若5为B1延长线上一动点， 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接EC,∠AEC与∠ACE的角平分线交于点Q,当E滑动时有下面两个结论： ①∠Q+∠A 的值为定值： ②∠Q-∠A 的值为定值： 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值. 14/14